第六章风险与风险厌恶

4
投资者的风险态度
风险厌恶(Risk aversion) 风险中性(Risk neutral) 风险爱好(Risk lover)
5
风险厌恶型投资者的无差异曲线 （Indifference Curves）
Expected Return
1 P
2
3
4 Increasing Utility Standard Deviation
36
无差异曲线
1 投资者效用函数： U E (r ) A 2 2 其中A为外生变量。 如此，为保持 U不变，可调整 E (r )和的组合 在E (r )和 空间中，为一系列的点 。 连结各点得到投资者的 无差异曲线。 其中U 为无差异曲线的确定等 价收益率。 投资者无差异曲线簇与 资本配置线相切的点， 为与投资者风险厌恶程 度相应的最优资产配置 水平
25
资产组合的动态调整(续)
Vanguard Fidelity Portfolio P Risk-Free Assets F Portfolio C
113,400/300,000 = 0.378 96,600/300,000 = 0.322 210,000/300,000 = 0.700 90,000/300,000 = 0.300 300,000/300,000 = 1.000
2 A
2 B
则该投资者认为“A占优于B”，或A比B有优势(A dominates B)。
19
占优原则（Dominance Principle）
期望回报 4 2 1 方差或者标准差 3
• 2 占优 1; 2 占优于3; 4 占优于3;
20
表 6.3 风险厌恶系数A=4的投资者的 可能组合效用值
21

6-26
6.5 风险容忍度与资产配置
• 投资者必须从可行集中选择一种最优的资产组 合C：选择风险资产的比例y，使效用最大化。 ①完整资产组合的 E ( r ) r P f
②方差：
s ys
2 C 2
2 P
③效用函数：
1 2 U E (r ) As 2
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
6-9
6.1.2 风险厌恶和效用价值
2、均值-方差(M-V) 准则 • 投资组合A优于投资组合B，如果： 与
ErA ErB
sA sB
• 至少有一个条件严格成立。 ① 期望收益率相同，风险低者更优。 ② 风险水平相同，期望收益高者更优。
图 6.8 用无差异曲线寻找最优组合
与资本配置线 相切的最高无差 异曲线，其切点 对应最优投资组 合的标准差和期 望收益。 y*的决策取决 于投资者的风险 厌恶水平。
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6-33
表 6.6 四条无差异曲线和资本配置线的 期望收益
给定s和U，求出E(r)，代入CAL
6-18
例： 相关数据
风险组合P的收益率为rP，期望收益为E( rP )，标准 差为sP；无风险资产的收益率为rf。
rf = 7% E(rp) = 15%
rC =yrP ＋ （1 － y）rf
srf = 0% sp = 22%
，取期望值
风险投资组合P的投资比例为y，无风险投资组合F 的投资比例为1-y，整个组合C的收益率rC为：
– 借出资金的资本配置线的斜率 = 8/22 = 0.36，
– 借入资金的资本配置线的斜率 = 6/22 = 0.27， ★资本配置线在P点重合。

• 假定无风险利率为5%，投资者面对以下三种不同 的投资组合如何选择呢？
•
表6-1 提供的风险投资组合（无风险利率为5%）
• 投资组合 风险溢价（%） 期望收益（%） 风险程度(SD)(%)
• Ｌ（低风险） ２
７
５
• M（中风险） ４
９
１０
• Ｈ（高风险） ８
１３
２０
• 可以看出，风险随着期望收益而增加，那么最具 有吸引力的投资组合是哪个？
７-20
6.1.3 评估风险厌恶
• 考虑一个风险厌恶程度为A的投资者，他的全部财产就是 一块真实的不动产。假设在某任一年度里，发生泥石流损 害不动产，使得投资者的财产化为乌有的概率为p，这样 的事件带来的收益是-100%。另外，不动产保持原样的概 率就为1-p，认为这样的收益率为0。
r（损失）= -1（即-100%）
p
1-p
r（未损失）=0
• 这种情况下的期望收益和标准差是多少？
７-21
6.1.3 评估风险厌恶
• E (r)=p*(-1)+(1-p)*0= -p p
(6-2) -1-(-p)=p-1
1-p
0-(-p)=p
s2 r = p (p 1)2 (1 p) p2
• = p(1 p)
(6-3)
７-22
７-25
结论：经济学家预测投资者的风险厌恶程度A位于2和 4之间，而他们愿意为期望损失付出的代价（保险费率） 大概在损失的概率的2-3倍之间。
大量的股票指数投资组合中得到的期望收益率与标准 差的估计可以证实大多数投资者的风险厌恶程度在2—4之 间。
７-26
6.2风险资产与无风险资产投资组合的资本配置
6.1.3 评估风险厌恶

风险、投机与赌博
投机：为获得相应的报酬而承担一定的商业风险。
注意： 1、明确“相应的报酬”和“一定的风险”含义。 “相应的报酬”是指除去无风险收益之后的实际期望收益，它 或者是超额收益或者是风险溢价。--比如，投资者如果选择股 票，他希望获得的是股票期望收益高于国库券期望收益的风险 溢价。 “一定的风险”是指足以影响决策的风险，当增加的收益不足 以补偿所冒的风险时，投资者会放弃产生正的风险溢价的机会。
U1
U2
B X
A
3、同一个投资者有无限多条无差异曲线
对任何一个风险收益组合，投资者对其的偏好程度都
能与其他组合相比。无差异曲线图中越靠左上方的无差异
曲线代表的满足程度越高，投资者的目标尽力选择在左上角。
4、同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异
曲线都不能相交
假设某个投资者的两条无差异曲线相交于X点。由于X和
2、风险厌恶。现代投资组合理论还假设，投资者是 风险厌恶的，即在其他条件相同的情况下，投资者将 选择标准差较小的组合。
3
本章主要内容
投资者的风险态度 投资组合的效用评分方法 单一风险资产与单一无风险资产的投资
组合 资本配置线（CAL） 最优资本配置比例 资本市场线（CML）
4
6.1 风险与风险厌恶
率存在一定的低估 习惯以货币市场基金作为对绝大部分投资者
易接受的无风险资产
– 无风险利率有时可用LIBOR(伦敦银行同业拆放 利率 )来代替
28
6.4 单一风险资产与单一无风险资产的资产组合
记风险资产组合P的期望收益率为E
(rP
),
标准差为
，
P
无风险资产组合F的收益率为rf ，

- 风险厌恶 - 风险中性
- 风险爱好
效用 效用函数
U = E ( r ) - .005 A s 2 A 为投资者的风险厌恶指数
6-5
风险厌恶和效用价值：投资实例
U = E ( r ) - .005 A s 2 = 高 低 .22 - .005 A (34%) 2
风险厌恶
A
5
价值
-6.90
.6 (150-122)2 + .4(80=122)2 = 1,176,000
s = 34.293
6-3
风险投资与无风险投资
W1 = 150 盈利= 50
风险投资
100
1-p = .4
无风险国库券
W2 = 80 盈利= -20 盈利 = 5
风险溢价 = 17
6-4
风险厌恶与效用价值
投资者对风险的态度
sp2 = w12s12 + w22s22 + 2W1W2 Cov(r1r2) Cov(r1r2) = 证券1和证券资产组合的收益率是构成资产组合的每 种资产收益率的加权平均值，以资产组合比例 作为权数。 rp = W1r1 + W2r2 W1 = 在证券1上的投资比例 W2 = 在证券2上的投资比例 r1 = 证券1的期望收益率 r2 = 证券2的期望收益率
6-12
风险资产与无风险资产组合
规则4：当一项风险资产和一项无风险资产相组 合时，资产组合的标准差等于风险资产的标准 差乘以该资产组合投资于这部分的资产上的比 例。
s p = w风险资产 s
风险资产
6-13
投资组合风险
规则5：方差分别是s12和s22两项风险资产 以w1 和w2 的权重构成一个资产组合，该 资产组合的方差为：

U = E ( r ) - .005 A σ 2 = .22 - .005 A (34%) 2 风险厌恶度 效用值 Risk Aversion A Value High 5 -6.90 3 4.66 Low 1 16.22
T-bill = 5%
6-7
风险厌恶,风险与收益的权衡
Equilibrium of Risk Aversion,Risk and return Aversion,
6-16
风险中性投资者的无差异曲线 Risk neutral: Indifference Curves
期望收益 Expected Return
风险中性型的 投资者对风险 无所谓,只关 心投资收益.
标准差 Standard Deviation
6-17
风险偏好投资者的无差异曲线 Risk Seeking : Indifference Curves
6-12
确定性等价收益率(Certainly 确定性等价收益率(Certainly equivalent rate) rate) 为使无风险资产与风险资产具有相同的效 用而确定的无风险资产的报酬率,称为风 险资产的确定性等价收益率. 由于无风险资产的方差为0 由于无风险资产的方差为0,因此,其效用 U就等价于无风险回报率,因此,U就是风 就等价于无风险回报率,因此,U 险资产的确定性等价收益率.
期望收益Expected Return 期望收益
风险偏好型的 投资者将风险 作为正效用的 商品看待,当 收益降低时候, 可以通过风险 增加得到效用 补偿.
标准差Standard Deviation 标准差
6-18
资产组合风险
Portfolio Risk
到现在为止,我们的讨论一直集中在个人全部资产组合的 风险与收益上.这样的资产组合是由各种类型的资产组成 的,除了在金融市场上的直接投资外,投资者还持有养老 基金,以储蓄形式进行的人寿保险计划,住宅,还有并非 最不重要的是他们自身技能带来的获利能力(人力资本). Investor portfolios are composed of diverse types of assets. In addition to direct investment in financial markets, investors have stakes in pension funds, life insurance policies with savings components, homes, and not least, the earning power of their skills (human capital).

E(r)=p (-1)+(1-p) 0=-p
方பைடு நூலகம்为：
2 =p (-1+p)2 +(1-p) (0+p)2 =p(1-p)
效用值为：
1 1 U= E(r)- A 2 (r)=-p- Ap(1-p) 2 2
6-13
现在可以将风险厌恶者与个人愿意付出多少保险来 规避可能的损失联系在一起。假定一个保险公司在 对一年中的任何损失都提供保费率为v的财产保险， 个人按每美元的实际不动产价值付保费v给保险公司， 就可以不用承担风险，保险公司可以对任何损失进 行偿还，因此真实不动产可以在年末时仍然保持它 的原始价值。考虑这样条款所带来的确定负收益率 为-v，效用值为U=-v：
风险厌恶型的投资者会放弃公平博弈或更糟的投资组合，而更愿意考虑 无风险资产或正溢价的投机性投资。
效用评价公式：
U E (r )
1 A 2 2
其中，U 为效用值，A 为投资者的风险厌恶系数(A 越大表明该投资者 越厌恶风险，在冒同等风险的情况下必须给予其更大的风险溢价，否则 不愿意冒此风险)。系数 1/2 为一个约定俗成的分数项。收益率必须采用 小数形式而不是百分数形式。
6-4
我们可以把风险投资的效用值看成是投资者的“确 定等价收益率”。确定等价收益率就是为使无风险 投资与风险投资具有相同的吸引力而确定的无风险 投资收益率。只有当一个投资组合的确定等价收益 大于无风险投资收益时，这个投资才是值得的。 风险中性的投资者(A=0)只是根据期望收益率来判 断风险预期。风险的高低与风险中性投资者无关， 对他们来说，投资组合的确定等价收益率就是预期 收益率。 风险偏好者(A<0)更加愿意参加公平博弈与赌博， 这种投资者将风险的“乐趣”考虑在内之后反而使 他们的期望收益率升高。 均值-方差准则：如果E(rA)≥E(rB)，σA≤σB，且至少 有一项不相等时，投资组合A优于B。

1.无风险的短期国债（或货币市场基金）；2.模仿公开市场指数的普通股基金；代表这样策略的资本配置线叫作资本市场
线。
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6-37
6.6被动策略:资本市场线
•从1926~2009年的历史数据上看，被动策
略提供的平均风险溢价为7.9%，标准差是20.8%，报酬-波动比率是0.38。
•一般风险厌恶系数在2.0-4.0之间。
投资者对风险厌恶程度越高（A越大），对风险要求的补偿就越高。确定等价收益率：风险资产的效用值，即无风险资产达到与风险资产相同的效用所需要的收益率。
INVESTMENTS|
6-9
6.1.2风险厌恶和效用价值
2、均值-方差(M-V)准则
•投资组合A优于投资组合B，如果：
ErEr与
sAsB
AB
•至少有一个条件严格成立。①期望收益率相同，风险低者更优。②风险水平相同，期望收益高者更优。
•投资组合的吸引力随着期望收益的增加和风险
的减少而增加。
•收益与风险同时增加是会怎么样呢？
INVESTMENTS|
6-6
表6.1可供选择的风险资产组合
(无风险利率= 5%)
投资者会根据风险收益情况为每个资产组合给出一个效用值分数。
INVESTMENTS|
6-7
6.1.2风险厌恶和效用价值
1、效用函数
资本配置:•是投资组合构建中最
控制风险:
•简化方法：只需控制投资于风险资产组合
重要的问题；
•在大量的投资资产种
和无风险资产组合的比重。
类中选择证券；
INVESTMENTS|
6-13
6.2风险资产与无风险资产组合的资本配置
基本资产配置：

补充：边际效用递减规律
投资者对所有报酬的每个美元赋予的价值是不同的。特别 是，他们的财富越多，对每个额外增加的美元赋予的“评价 价值”就越少。随着财富的增多效用函数值也相应增大，但 是财富每增加1美元所增加的效用逐渐减少。
例如，一对兄弟，哥哥彼得有200000美元，弟弟鲍尔只有 1000美元。他们各自愿意工作多少小时去再挣1美元？
无差异曲线
无差异曲线的特征：
U1 U2
B X
A
3、同一个投资者有无限多条无差异曲线 对任何一个风险收益组合，投资者对其的偏好程度都
能与其他组合相比。无差异曲线图中越靠左上方的无差异 曲线代表的满足程度越高，投资者的目标尽力选择在左上角。
4、同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异 曲线都不能相交
E(RP )
I1 I2 I3
P
中等风险厌恶投资者
E(RP )
I1
I2 I3
P
轻微风险厌恶投资者
评估风险厌恶程度
例：考虑一个风险厌恶程度为A的投资者， 他的全部财产就是一块真实的不动产。 假设在某任一年度里，发生泥石流损害 不动产，使得投资者的全部财产化为乌 有的概率为p。这样的事件带来的收益是 -100%。另外，不动产保持原样的概率 为1-p，并认为这样的收益为0。
计算
2、考虑一风险投资组合，年末来自该资产 组合的现金流可能为7万美元或20万美元， 概率都是0.5。可供选择的国库券投资的 年利率为6%。如果投资者要求8%的风 险溢价，那么他愿意支付多少钱购买该 风险资产组合？
无风险资产的含义
无风险资产：如果投资者在期初 购买了一种无风险资产，那么他 将准确地知道在持有期期末这笔 资产的准确价值。无风险资产的 最终价值没有任何不确定性，无 风险资产的标准差，根据定义， 应为零。

风险与风险厌恶

风险与风险厌恶 资产组合的风险
风险与风险厌恶

风险的定性描述 单一前景的风险 风险、投机与赌博 风不确定性

风险无处不在 不确定性并不意味着损失
风险与风险厌恶

单一前景的风险


例子：投资10元，有两种选择，一种是确切的 得到10.5元，另一种是以60%的可能性得到15 元，以40%的可能性得到8元。对于第二种情 况，我们知道，它的预期回报是12.2元，比第 一种高1.7元，但是这种投资也有风险。 度量：度量预期回报与实际回报之间的差距， 差距越大，则风险越大。上例中，我们知道：
E [ w ] 12.2; D ( w ) 11.76; 3.43
风险与风险厌恶

风险、投机与赌博


赌博的预期回报低于投入 投机是为了获得较高报酬而承担风险 有时难以区分赌博、投机与投资之间的差别
风险与风险厌恶

风险厌恶与效用函数



投资者的分类 财富与效用的关系 效用函数 无差异曲线
风险与风险厌恶

风险与风险厌恶 资产组合的风险
资产组合的风险

单个资产的风险与资产组合的风险


保单的风险与收益 组合中的风险是可以对冲的 套期保值与分散化
资产组合的风险

案例

Table 6.1 Available Risky Portfolios (Risk-free Rate = 5%) 提供的风险投资组合（无风险利率为5%）
Utility Function 效用函数
U = E ( r ) – 1/2 A σ2 Where U = utility 效用值 E ( r ) = expected return on the asset or portfolio 资产或投资组合的期望收益 A = coefficient of risk aversion 投资者的 风险厌恶系数 σ2 = variance of returns 收益方差
CHAPTER 6
Risk Aversion and Capital Allocation to Risky Assets 风险厌恶与风险资产 的资本配置
Risk and Risk Aversion 风险与风险厌恶
Speculation 投机
– Considerable risk 一定的风险
• Sufficient to affect the decision 足以影响决策
The Risk-Free Asset 无风险资产
Only the government can issue default-free bonds 只有政府才可以发行无违约风险的债券 – Guaranteed real rate only if the duration of the bond is identical to the investor’s desire holding period 只有当债券的偿还期等于投 资者愿意持有的期限时才能对投资者的实际 收益率提供担保 T-bills viewed as the risk-free asset 短期国库 券可以作为无风险资产 – Less sensitive to interest rate fluctuations 对利率的波动不敏感

我们可通过下面这个例子进一步理解赌博与投机之间异同。
例题：有两个投资者对美元和英镑的远期汇率进行较量。假如一年之后，一英镑的价值超过1.7美元（这种情况的概率假设为P），小张要付给小黄100美元；如果少于1.7美元（1-P），则小黄要付给小张100美元。试问，小黄小张这个较量行为是赌博还是投机。
按照损失形成的原因分类。 自然风险是指由于自然现象、物理现象和其他实质风险因素所形成的风险，如地震、海啸、暴风雨、洪水、火灾等。 社会风险是指由于反常的个人行为或不可预料的团体行为而形成的风险，如抢劫、盗窃、罢工、暴动等。 经济风险是指生产经营过程中，由于相关因素的变动而估计错误导致产量减少或价格涨跌的风险。 政治风险是指由于种族、宗教、国家之间的冲突、叛乱、战争所引起的的风险。
（一）单一前景的风险
W = 100
W1 = 150 盈利 = 50
W2 = 80 盈利 = -20
p = 0.6
1-p = 0.4
E(W) = pW1 + (1-p)W2 = .6 (150) + .4(80) = 122 s2 = p[W1 - E(W)]2 + (1-p) [W2 - E(W)]2 = .6 (150-122) 2 + .4(80-122) 2 = 1176 s = 34.293
二、风险与风险厌恶
基于风险“客观说”的定义，风险是指在给定的客观情况下，在特定期间内，那些可能发生的结果之间的差异程度。风险的存在意味着可能产生一个以上的结果，这种结果有可能是不好的偏向，也可能是好的偏向。 为了更好地理解风险的这个特性，我们先找一个比较简单的切入点——单一前景的风险，它是指将某一初始财富用于投资面临的风险，这一投资机会只产生两种可能的结果，其中一好一坏。

第六章 风险厌恶作为偏好的一个基本性质，如公理3所述，我们要求它是凸的。

偏好的凸性对参与者的行为，特别是他的最优消费/组合选择有着重要影响。

在这一节中，我们来具体研究这些影响。

为简单起见，如不特别声明，我们假设效用函数是可微的。

我们首先探讨效用函数的凸性的经济意义，尤其是它与对风险的态度的内在关系。

接着，我们引入风险厌恶的概念以及它的具体度量。

最后，我们考虑不同偏好所反映的风险厌恶之间的比较。

6.1 边际效用递减我们先给出一些有用的数学结论。

定义6.1 对于函数()u ，如果,x y ∀和[0,1]α∈，((1))()(1)()u x y u x u y αααα+-≥+-则我们称()u 为凹的。

我们立即可以得到下面的定理：定理6.1 如果帻凸的连续偏好由（5.4）式中的期望效用函数表示，那么相应的效用函数()u 是凹的。

证明：我们只考虑如下的消费计划：01[;][;0]c c x =。

x y ∀>以及(0,1)α∈，偏好的凸性要求((1))()(1)()u x y u x u y αααα+->+-如果我们用不等式代替严格不等式，那么它对0α=或1以及y x =都成立。

因此，u 是凹的。

Q.E.D.定理7.2 如果凹函数()u 还是二阶可微的，那么0u ''≤。

证明：令x z δ=-，y z δ=+以及12α=，那么，u 是凹的意味着 1()[()()]2u z u z u z δδ≥-++ 或21{[()()][()()]20u z u z u z u z δδδ+----≥ 如果u 是二阶可微的，我们可以在上面的不等式中取极限0δ→，从而得到0u ''≤。

Q.E.D.现在我们来考察在（5.4）式的期望效用函数中()u为凹性的经济含义。

()u 表示的是消费的直接效用。

而它的一阶导数'()u 表示的是消费的边际效用。

不满足性要求'()0u > ，即边际效用始终为正。

第6章风险与风险厌恶A. 多项选择题难度等级：E =简单；M =中等；D =偏难。

6.1 国库券支付6%的收益率，有40%的概率取得12%的收益，有60%的概率取得2%的收益。

风险厌恶的投资者是否愿意投资于这样一个风险资产组合？( M )a. 愿意，因为他们获得了风险溢价b. 不愿意，因为他们没有获得风险溢价c. 不愿意，因为风险溢价太小d. 不能确定e. 以上各项均不准确6.2 下面哪一个有关风险厌恶者的陈述是正确的？( M )a. 他们只关心收益率b. 他们接受公平游戏的投资c. 他们只接受在无风险利率之上有风险溢价的风险投资d. 他们愿意接受高风险和低收益e. a和b6.3 下列哪一个是正确的？ ( M )I. 风险厌恶投资者拒绝公平游戏的投资II. 风险中性的投资者只通过预期收益评价风险资产III. 风险厌恶的投资者只通过风险来评价风险资产IV. 风险喜好者不参与公平游戏a. 只有Ib. 只有IIc. 只有I和IId. 只有II和IIIe. 只有II、III和IV6.4 在均值-标准差坐标系中，无差异曲线的斜率是____。

( E )a.负b.0c.正d.向东北e. 不能决定6.5 在均值-标准差坐标系中，有关风险厌恶者的无差异曲线哪一个是正确的？( M )a. 它是有相同预期收益率和不同标准差的投资组合轨迹b. 它是有相同标准差和不同收益率的投资组合轨迹c. 它是收益和标准差提供相同效用的投资组合轨迹d. 它是收益和标准差提供了递增效用的投资组合轨迹e. 以上各项均不准确6.6 在收益-标准差坐标系中，下列哪一项是正确的？ (纵坐标轴代表收益，横坐标轴代表标准差)。

( M )I. 投资者个人的无差异曲线可能相交II. 无差异曲线的斜率是负的III. 在一系列的无差异曲线中，最高的一条代表的效用最大IV. 两个投资者的无差异曲线可能相交a. 只有I、IIb. 只有I I、IIIc. 只有I、IVd. 只有III、IVe. 以上各项均不准确6.7 艾丽丝是一个风险厌恶的投资者，戴维的风险厌恶程度小于艾丽丝的，因此____。