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第九、十章 多元函数积分学§9.1 二重积分一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题 X型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在 D 上连续，则21()()(,)(,)(,)x bDDax f x y d f x y dxdy dx f x y dy φφσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰Y 型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y c y d y x y φφ=≤≤≤≤其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据X 型区域或Y 型区域I ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合X 型区域中关于D 的要求，又不符合Y 型区域中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合X 型区域或Y 型区域中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
多元函数积分学是数学的一个分支，它是对多元函数进行积分的理论。
与一元函数积分学相比，它更加复杂，但它为我们研究物理学、工程学和其他自然科学问题提供了更强大的工具。
在本文中，我将介绍的一些基本理论，包括重积分、极坐标变换、格林公式等。
一、重积分重积分是的基本概念，它是对多元函数在某一区域上的积分。
重积分可以表示为Riemann积分或Lebesgue积分两种形式，具体形式与多元函数的性质有关。
在Riemann积分中，我们将区域分成有限个小区域，对每个小区域内的多元函数进行积分，最后将积分结果相加。
而在Lebesgue积分中，我们采用测度的概念，将多元函数的定义域分成不可数个小区域，在每个小区域上定义一个测度，对多元函数在每个小区域内的值进行加权积分，最后求出所有小区域上的积分和即为整个区域上的积分。
重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如计算物体的体积、求解场的强度等。
同时，重积分也是进一步研究多元函数性质的基础。
二、极坐标变换极坐标变换是一种将平面直角坐标系上的点表示为极径和极角的变换。
它可以将一些复杂的函数转化为简单的极坐标函数，使得对多元函数进行积分更加方便。
在极坐标系中，被积函数可以表示为一个积分项和一个积分域，积分项为正态函数，积分域为从 $0$ 到 $2\pi$ 的一个闭区间和一个在某个圆内部的有界区域，在这个有界区域上的积分相当于在平面直角坐标系上的二重积分。
因此，我们可以使用积分转化公式将多元函数在极坐标系中的积分转化为在平面直角坐标系中的二重积分。
极坐标变换在数学中有着广泛的应用。
例如，对于一个椭球体积的计算，使用极坐标变换可以将三维积分转化为二维积分，更加方便计算。
三、格林公式格林公式是中的一个重要定理，它是关于多元函数的一个等式，用于计算曲面积分和线积分之间的关系。
在平面上，格林公式是一个计算平面上曲线积分和面积的公式，它表明二元函数在解析条件下，其在一个闭合路径内的曲线积分等于该函数在这个区域内的面积积分。
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一个重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分不同，多元函数的积分需要考虑多个自变量和相应的积分变量。
一、多元函数的积分定义对于二元函数f(x, y)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∬f(x, y)dA = limΔx,Δy→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，Δx和Δy分别表示x和y方向的分割长度，Σ表示对所有的(i, j)求和，xi和yj表示分割后的小区域的任意点，ΔA表示小区域的面积。
对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∭f(x1, x2, ..., xn)dV = limΔx1,Δx2,...,Δxn→0 Σf(x1i, x2j, ..., xnk)ΔV其中，Δx1, Δx2, ..., Δxn分别表示各个方向的分割长度，Σ表示对所有的(i1, i2, ..., in)求和，x1i, x2j, ..., xnk表示分割后小区域的任意点，ΔV表示小区域的体积。
二、多元函数的积分计算与一元函数的积分类似，对于多元函数的积分计算也需要借助于定积分的性质、微积分的基本定理和换元积分法等方法。
1. 球坐标和柱坐标对于具有某种对称性的多元函数，可以选择适当的坐标系来简化积分计算。
常用的坐标系有球坐标和柱坐标。
球坐标系适用于具有球对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ其中，r代表点到坐标原点的距离，θ表示点与正z轴的夹角，φ表示点在xy平面上与正x轴的夹角。
柱坐标系适用于具有柱对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rcosθ, y = rsinθ, z = z其中，r代表点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与正x轴的夹角，z表示点在z轴上的坐标。
2. 积分的性质多元函数的积分具有类似于一元函数积分的一些性质，如线性性质、可加性质、保号性质等。
第九章 多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、 三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。
（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。
2、 三重积分的计算：（1） 作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。
（2） 计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之……投影法方法概要该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的质量，立体区域V 是曲面()y x z z,1=（称为下曲面），()y x z z ,2=（称为上曲面）与以σxy边界为准线，母线平行于Oz 轴的柱面为侧面。
图形示例适用范围投影区域较简单，上、下曲面可表示为垂直坐标平面坐标轴对应的变量为坐标平面上对应的两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。
注意点若xy σ是x 一型区域：()()b x a x y x ≤≤≤≤,21ϕϕ，则有()()()()()().,,,,,,2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z x x b aVdz z y x f dy dx dv z y x f ϕϕ若σxy 是y 一型区域：()()d x c y x y ≤≤≤≤,21ϕϕ，则有()()()()()().,,,,,,2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z y y dcVdz z y x f dx dy dv z y x f ϕϕ若σxy 是圆域或圆域的一部分时，也可化为σxy 上的二重积分以后，再用极坐标变换化为累次积分。
平面截割法方法概要该方法是将所求立体看作是一根平行于某一坐标轴的细棒，通过将细棒上任意一小截面上的质量积分，最终得到总质量。
设立体V介于两平面dzcz==,之间（dc<，知对立体V中任意一点()z yxP,,，有dzc≤≤）。
过()[]d czz,,,0,0∈，作垂直于Oz轴的平面与立体相截，截面区域为zD，如图6-26所示，（知对立体V中的任意一点()z y xP,,，有()z Dyx∈,），从而立体区域V可表示为：()(){},,,:,,dzcDyxzyxVz≤≤∈=于是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zDdcVdxdyzyxfdzdvzyxf,,,,图形示例适用范围()z y x f,,仅是z的表达式或是常数，而zD的面积有公式可计算，可使这种方法，()()()().dzSzgdxdydzzgdxdyzgdzdvzgzzzDdcDdcDdcV⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而直接化成了关于z的一元函数定积分。
注意点根据具体情况，也可作垂直于Oy轴或Ox轴的平面去截割立体。
()z yxf,,仅是x（y）的表达式或是常数，而D的面积有公式可计算煮面坐标变换（多好听的名字，大家把柱体当成锅，就可以煮面了，最好是圆底锅）方法概要.,0,20.,sin ,cos +∞<<-∞+∞<≤≤≤===z r z z r y r x πθθθ由直角坐标与柱面坐标可知，()θ,r 是点()z y x M ,,在Oxy 平面上投影点()y x M ,'的极坐标，z 是原直角坐标系中的竖坐标，如图6-27.此时()().,sin ,cos ,,dz rdrd z r r f dv z y x f VVθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=设平行于Oz 轴的直线与区域V 的边界至多只有两个交点，设V 在Oxy 平面上的投影区域为xy σ。
区域xy σ用θ,r 不等式表示与平面中的极坐标变换把平面区域用θ,r 不等式表示完全相同，把上面投影法中的上曲面与下曲面表示成()().,,,12θθr z z r z z ==于是立体区域V 可表示为()()()(){}.,,,,:,,:21θσθθθθr r r z z r z z r V ∈≤≤从而()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθθθθ,,621,sin ,cos ,,r z r z r Vdz z r r f rdrd dv z y x f图形示例适用范围若立体在Oxy 平面上的投影区域是圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有22y x +），可用柱面坐标系下的计算。
（另外两个坐标平面同样适用）注意点在柱面坐标系下，一般总是先积z ，后积r ，最后积θ。
煮面坐标系变换实质上是投影法与极坐标变换的结合，在积分计算的过程中不要忘记添加r 因子球面坐标变换方法概要.0,0.20.cos,sinsin,cossin+∞≤≤≤≤≤≤===ρπϕπθϕρθϕρθϕρzyx由直角坐标和球面坐标可知。
θ就是点()z yxM,,在Oxy平面上投影点()yxM,'的极坐标()θ,r中的θ，此时()().sincos,sinsin,cossin,,2ρϕθϕρϕρθϕρθϕρdddfdvzyxfVV⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1、找出立体V在Oxy平面上投影区域xyσ的极角θ的范围βθα≤≤。
即立体V在两半平面ZOA 与ZOB之间，即立体V中的任意一点()ρϕθ,,M满足βθα≤≤。
2、在βα,之间过极点作射线θθ=，该射线与Oz轴组成的半平面与立体起截得一截面区域。
若对[2，B]之任一Q值。
对应的射线与OZ轴组成的半平面与立体V截面的圆形相同。
我们一般选取特殊的Q值如Q=2π，此时得到的截面，我们观察更清楚。
找出该区域ϕ的范围()()[]θϕθϕ21,，即()()θϕϕθϕ21≤≤（一般情况下()01=θϕ，且()θϕ2）为常数）。
过极点O在该截面上作射线与截面的边界交于两点。
极径小的交点落在下曲面()ϕθρρ,1=，极径大的交点落在上曲面()ϕθρρ,2=，即截面上任意一点()ρϕ,满足()()ϕθρρϕθρ,,21≤≤，()()θϕϕθϕ21≤≤,如图6-28.从而在球面坐标立体区域V可表示为()()()()(){}.,,,,:,,2121βθαθϕϕθϕϕθρρϕθρρϕθ≤≤≤≤≤≤=v于是()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ϕθρϕθρθϕθϕβαρϕρϕρθϕρθϕρϕϕθ,,22121sincos,sinsin,cossinsin,,dfdddvzyxfV图形示例适用范围若立体V是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主体，（或被积函数中含有222zyx++）。
此时用球面坐标系下的计算。
注意点球面坐标系下，总是先积ρ，再积ϕ，最后积θ，而且在大多数情况下，()()()θϕθϕϕθρ211,0,0,==为常数。
不要忘记因子哦。
3、 第一类曲线积分概念的引入：第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。
关建是把曲线Γ表示成参数方程，并且找出参数的区间[]βα,即可化成t 的一元函数定积分。
总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为()⎰Γds y x f ,（1）若()().,,:βα≤≤⎩⎨⎧==Γt t y y t x x 则()()()()()().,,,22⎰⎰'+'=Γβαdt t y t x t y t x f ds y x f（2）若(),,:b x a x y ≤≤=Γϕ则()()()()⎰⎰'+=Γbadx x x x f ds y x f .1,,2ϕϕ（3）若(),,:d y c y x ≤≤=Γψ则()()()()⎰⎰'+=Γd cdy y y y f ds y x f .1,,2ψψ（4）若(),,:βθαθ≤≤=Γr r即()().,sin ,cos βθαθθθθ≤≤==r y r x 则()()()()()()⎰⎰'+=Γβαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f(5)另外也可以表示为r 的函数，但是这种方法不常用 以上各种转化的目标是将积分最终转化为 一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放4、第一类曲面积分的引入：第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰'+'+==xyd z z y x z y x f Q dS z y x f y x Sσσ若曲面()()xy z x z x y y S σ∈=,,,:，则()()()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=zxd z y x y z z x y x f dS z y x f Sσσ.1,,,,,22若曲面()(),,,,:yz z y z y x x S σ∈=则()()()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=yzd z x y x z y z y x f dS z y x f Sσσ.1,,,,,22这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分，所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐标平面上的积分更好积一些两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的 5.点函数积分的基本性质设()()P g P f ,在有界闭区域Ω上都可积，有性质1 ()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f性质2()()⎰⎰ΩΩΩ=Ωd P f k d P kf （k 为常数）。
上面两条性质称为线性运算法则。
性质3 ()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点。
性质4 若()Ω∈≥P P f ,0，则().0⎰Ω≥Ωd P f若()()0,0≠≥P f P f ，且()P f 连续，Ω∈P ，则().0⎰Ω>Ωd P f性质5 若()()P g P f ≤，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f性质6()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f性质7 若()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ，最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m性质8（中值定理） 若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使得()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f ()()ΩΩ=⎰Ω*d P f P f 称为函数()P f 在Ω上的平均值。
