2020-2021学年广西省南宁市高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案

南宁市2021届数学高二上学期期末检测试题一、选择题1．已知命题“p 且q ”为真命题，则下面是假命题的是( ) A.p B.q C.p 或q D.p ⌝2．下列结论成立的是( ) A ．若ac bc >，则a b > B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则a d b c ->- 3．若平面中，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题:p x ∀∈R ，2210x +>，则p ⌝是（ ）． A ．x ∀∈R ，2210x +≤ B ．x ∃∈R ，2210x +> C ．x ∃∈R ，2210x +<D ．x ∃∈R ，2210x +≤ 5．若p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则( ) A ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x > B ．p ⌝：x R ∀∈，sin 1x > C ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x ≥D ．p ⌝：x R ∀∈，sin 1x ≥6．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=7．设函数()(1)xf x x e =+，则'(1)f =（ ）A ．1B ．2C ．3+eD ．3e8．某企业生产甲、乙两种产品均需要A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）9．如图，等腰直角三角形的斜边长为，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中阴影部分)，若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M 的概率为A.14B.8π C.4π D.14π-10．①25y x =+是一次函数；②25y x =+的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个三段论形式的正确的推理，则作为大前提、小前提和结论分别是（ ） A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②11．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m12．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A ．)0(>>b a B ．1615C ．2031D ．4031二、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，66S =，则9S =______．14．计算2()xe x dx +=⎰_______________.15．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=__________．16．设()28210012101(43)(21)(21)(21)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则1210a a a ++⋯+=_______________． 三、解答题 17．已知函数（，且）.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）当是时，求的值；（3）解关于的不等式.18．已知长方体中，棱，棱，连结，过点作的垂线交于，交于.（1）求证：平面； （2）求点到平面的距离.19．电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：（1）求图中的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为，求的数学期望和方差.20．已知数列是等比数列，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的的最小值；若不存在，说明理由. 21．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值,求动点P的轨迹方程C. 22．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．（1）判断四面体的形状，并说明理由；（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．1414．1 e215．41n16．3 4三、解答题17．（1）函数为偶函数（2）-1(3) ，或【解析】分析：（1）先判定函数定义域关于原点对称，再利用f(-x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数。

南宁市2021年春高二数学（理）上学期期末联考卷命题范围：必修⑤+选修2-1．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(2,1,0)-A 和向量(3,5,10)=-a ），且2=ABa ，则点B 的坐标为（ ）A ．(4,9,20)-B ．(7,10,24)--C ．(4,9,20)--D ．(5,6,24)-2．与双曲线2212-=x y 共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是（ ） A ．2212+=x y B ．2214+=x y C ．2222193+=x y D ．22163+=x y 3．已知实数a 、b 、c 满足<<a b c ，且0<ac ，那么下列选项中一定成立的是（ ） A ．()0->ac a c B ．()0-<c b a C ．22<cb ab D ．<ab ac 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40=S ，510=a ，则（ ）A ．16=aB ．4=-dC ．510=SD ．24=-n S n n5．设变量x 、y 满足约束条件404021+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩x y x y x y ，则目标函数2=+z x y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．86．关于双曲线22146-=x y 与双曲线221(46)46-=-<<+-x y t t t，下列说法正确的是（ ） A ．实轴长相等 B ．离心率相等 C ．焦距相等 D ．焦点到渐近线的距离相等 7．在ABC中，=AC ，4=BC ，3∠=ABC π，则ABC 的面积等于（ ）A．2 C．．3 8．下列四个结论：①命题“若260--=x x ，则3=x ”的逆否命题为“若3≠x ，则260--≠x x ”； ②“2>x ”是“260+->x x ”的必要不充分条件；③2()=++f x x x a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是(2,0)-； ④对于命题p ：存在0∈x R ，使得2010++<x x ，则⌝ p 为：对任意∈x R ，均有210++≥x x ．其中，错误的结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 9．已知数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，且点()()*1,+∈n n P a a n N 在直线10-+=x y 上，则121111+++⋅⋅⋅+=n S S S （ ） A ．(1)(2)2++n n B ．2(1)(2)++n n C ．2(1)2++n n D ．12(2)++n n10．设抛物线2:4=-C y x 的焦点为F ，以抛物线上不同两点A 、B 为直径的圆恰好过焦点F ，直线AB 与抛物线C 的准线的交点恰好在x 轴上，则该圆的半径为（ ）A ．3B ．6 C．11．如图，在直三棱柱111-ABC A B C 的底面ABC 中，1==AB AC，=BC ，12=AA ，则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦为（ ）A．3．81 C．9 D．312．已知椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的左、右两个顶点分别是1A 、2A ，左、右两个焦点分别是1F 、2F ，P是椭圆上异于1A 、2A，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．124+=PF PF b B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积等于定值14-C ．使12PF F 为等腰三角形的点P 有6个D ．使得1290∠=︒F PF 的点P 有2个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“0∀≥x ，sin cos 1+≤x x ”的否定是________，且是________命题（填：真、假）． 14．设0>x ，0>y，2+=x y ，则xy 的最大值为________．15．已知向量(0,,3)=a k，(3,2,=-b ，若,60〈〉=︒a b ，则=k________．16．已知抛物线2:12=C x y ，直线l 过点(0,3)与抛物线C 交于A ，B 两点，且||14=AB ，则直线l 倾斜角α的正弦值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知2:340+-≤p x x ；:()(1)0-+≤q x m x ． （1）若2=m ，∨p q 为真，求x 的取值范围；（2）已知命题“若q ，则p ”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为n S ，29=a ，133+=+n n S S ，*∈n N ．（1）求1a ； （2）求数列{}n a 的通项公式．19．（本小题满分12分）已知定点(A ，B ，动点P 到两定点A 、B 距离之差的绝对值为．（1）求动点P 对应曲线C 的轨迹方程；（2）过点(1,1)Q 作直线与曲线C 交于M 、N 两点，若点Q 恰为MN 的中点，求直线MN 的方程． 20．（本小题满分12分） 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin )()sin ()-+=-A C a c B a b ．（1）求角C 的大小；（2）若=c ≥b c ，求12-b a 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图所示，圆锥的高2=PO ，底面半径1=OB ，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，点F 为底面圆周上一点，满足0⋅=EF AB．（1）求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； （2）求二面角--E DF B 的正弦值． 22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的离心率为2，且经过点⎛ ⎝⎭A ． （1）求C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且满足+=OM ON OA λ，求MON 面积最大时直线l 的方程．参考答案、提示及评分细则1．A ∵(3,5,10)=-a ，且2=AB a ，∴(6,10,20)=-AB ，∵(2,1,0)-A ，∴B 的坐标为(62,101,200)-+-+，即(4,9,20)-）．2．C由条件，双曲线的焦点坐标为(，离心率为3．A ∵<<a b c ，且0<ac ，∴⋅>⋅a ac c ac ，即()0->ac a c ，故A 正确． 4．C 由条件140+=a a ，510=a ，解得16=-a ，4=d，∴2(1)64282-=-+⨯=-n n n S n n n ． 5．C 确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值．6．C 双曲线22146-=x y 每个量都是确定的，双曲线221(46)46-=-<<+-x y t t t的实轴长、离心率、虚轴长都与t有关，它们的焦距相同都为．7．C∵=AC 4=BC，3=B π，∴2222cos =+-b a c ac B，∴222424cos3=+-⨯⨯c c π，解得2=c ，∴11sin 42222==⨯⨯⨯=ABCSac B 8．B 对于结论②，解不等式260+->x x ，可得3<-x 或2>x ，所以“2>x ”是“2-60+>x x ”的充分不必要条件．9．C ∵点()()*1,+∈n n P a a n N 在一次函数1=+y x 的图象上，∴11+-=n n a a ，∴数列{}n a 为等差数列，中首项为11=a ，公差为1，∴=n a n ，∴数列{}n a 的前n 项和(1)2+=n n n S ，∴12112(1)1⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n S n n n n ， ∴123111*********(1)21212231222++⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭n n S S S S n n n n ．10．C 准线与x 轴的交点坐标为(1,0)，故直线AB 可设为：1=+x ty ，设211,4⎛⎫- ⎪⎝⎭y A y ，222,4⎛⎫- ⎪⎝⎭y B y ，联立直线与抛物线得方程组214=+⎧⎨=-⎩x ty y x，化简得2440++=y ty ，所以124+=-y y t ，124=y y ，由⊥AF BF 得()222212121216164=-++-y y y y y y ，解得22=t ，故圆的半径为||2==AB ．11．C 以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间坐标系，则(1,0,0)B ，1(0,1,2)C ，∴1(1,1,2)=-BC ，1(1,0,2)=AB ，1(0,1,2)=AC ，故平面11AB C 的法向量为(2,2,1)-，所以直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦为=． 12．D 故2=a b ，由椭圆定义知1224+==PF PF a b ；设()00,P x y ，则2200221+=x y a b，所以122202200222000114⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-=-+--PA PA x b a y y b k k x a x a x aa ||3-≤+c PF c c ， ∴使12PF F 为等腰三角形的点P 有6个；当点P 在上、下顶点处时，12120∠=︒F PF 取到最大角，故使得1290∠=︒F PF 的点P 有4个．13．0∃≥x ，sin cos 1+>x x 真 14．140>x ，0>y ，2+≥x y ≥14≤xy ，当且仅当2=x ，4=y 时，xy 取最大值14．15．14-由题意，21cos602||||⋅===⋅︒+a b a b k ，解得14=-k ． 16 由题意可知，直线l 的斜率存在当直线的斜率为零时，由于(0,3)为抛物线的焦点，故应有||12=AB ，所以直线的斜率存在，且不为零，设直线l 的方程为3(0)=+≠y kx k ，由2312=+⎧⎨=⎩y kx x y，消去x 得，()2212690-++=y k y ，所以212126+=+y y k ，所以212||6121214=++=+=AB y y k ，所以6=±k ，所以tan 6=±α，所以sin 7=α． 17．解：（1）若2=m ，:41-≤≤p x ，:12-≤≤q x ， 命题∨p q 为真时，p 、q 两个命题一真一假或两个都为真，其反面为两个都为假，当p 假且q 假时1421><-⎧⎨><-⎩或或x x x x ，即2>x 或4<-x ， 所以命题∨p q 为真时42-≤≤x ，即x 的取值范围为[4,2]-． 5分（2）“若q 则p ”为真命题，则q 的解集包含于p 的解集，当1=-m 时，满足题意；当1>-m 时:41-≤≤p x ，:1-≤≤q x m ，因为q 的解集⊆p 的解集，所以1≤m ，即11-<≤m ； 当1<-m 时:41-≤≤p x ，:1≤≤-q m x ，因为q 的解集⊆p 的解集，所以41-≤<-m ．综上，实数m 的取值范围为[4,1]-． 10分18．解：（1）由133+=+n n S S 得12133+=+a a a ，因为29=a ，所以13=a ． 5分 （2）当2≥n 时，133-=+n n S S ，则()113+--=-n n n n S S S S ，即13+=n n a a ，所以13+=n na a ，又∵21933==a a ，所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式是3=n n a ． 12分19．解：（1）由题意知：||||||||-=<=PA PB AB P 的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且=a=c1==b ，故曲线C 的方程为：2212-=x y ； 6分（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，满足221122221212⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y x y ，两式相减得222212122-=-x x y y ，即()()12222-+=x x x x ()()1212-+y y y y ，因为点Q 为MN 的中点，故12121212+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩x x y y ， ∴121212-=-y y x x ，即直线MN 的斜率为12，又过点Q ，故直线MN 的方程为：11(1)2-=-y x ，即210-+=x y ． 12分20．解：（1）∵(sin sin )()sin ()-+=-A C a c B a b ，由正弦定理，()()()-+=-a c a c b a b ，即222-=-a c ab b ．由余弦定理，2221cos 22+-==a b c C ab ， 又∵(0,)∈C π，∴3=C π． 6分（2）因为=c ≥b c，由正弦定理得2sin sin sin ====b a cB A C，∴2sin =b B ，2sin =a A ，∵23+=B A π，∴23=-A B π．∵≥b c ，∴≥BC ．∴233≤<B ππ．∴1232sin sin 2sin sin sin 2326⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a B A B B B B B ππ． ∵662≤-<B πππ．∴1sin 126⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭B π．∴122-∈⎣b a ． 12分21．解：设弧AFB 的中点为G ，以O 为原点，OG 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(0,0,1)D ，10,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭E ， 设∠=GOFθ，0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πθ，则(cos ,sin ,0)F θθ，1cos ,sin ,12⎛⎫=-- ⎪⎝⎭EF θθ，(0,2,0)=AB ，由0⋅=EF AB，∴2sin 10-=θ，∴1sin 2=θ，cos =θ，∴1,02⎫⎪⎪⎝⎭F ， （1）312⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭EF ，(0,1,1)=-BD，cos ,7〈〉==-EF BD ， 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为7； 6分 （2）(0,1,1)=-BD ，31,122⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭DF ， 设平面DFB 的法向量为1(,,)=n x y z ，则由1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD n DF n ，得01022-+=⎧+-=⎩y z x y z ，令1=x ，则=y=z 1(1,3,=n ，又10,,02⎛⎫= ⎪⎝⎭DE ，设平面EDF 的法向量为2(,,)=n x y z ，则由102102⎧=⎪⎪+-=y xy z ，令2=x，则0=y ，=z 2(2,0,=n ，则125cos ,71==+n n ，故二面角--E DF B的正弦值为7． 12分 22．解：（1）由题意得2222221112⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩c aa b a b c ，解得2221⎧=⎨=⎩a b ， 所以椭圆C 的方程为2212+=x y ； 4分 （2）由题意可知，直线MN 的斜率显然存在， 设直线MN 的方程为(0)=+≠y kx m m ，()11,Mx y ，()22,N x y ，由2212⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y kx m 得()222214220+++-=k x kmx m ． ∴()()()22222216421228210∆=-+-=+->k m k m k m①且12221224212221⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩km x x k m x x k ，所以()121222221+=++=+m y y k x x m k ， 因为+=OM ON OA λ，所以1221224212212⎧+=-=⎪+⎪⎨⎪+==⎪+⎩km x x k m y y k λ，所以2=-k，代入①得<<m 且0≠m ， 所以12111||||||||2222=-===MONm Sm x x m m2222222+-=⋅=m m ． 当且仅当222=-m m ，即1=±m 时上式取等号，此时符合题意， 所以直线MN 的方程为12=-±y x ． 12分。

广西壮族自治区南宁市高级中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A. 【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．2. 如图是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过多少道工序（）A．6 B．5或7 C．5 D．5或6或7参考答案：B【考点】EH：绘制简单实际问题的流程图．【分析】根据工序流程图，写出一件不合格产品的工序流程即可．【解答】解：由某产品加工为成品的流程图看出，即使是一件不合格产品，“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、定为废品”五道程序；或是“零件到达后经过粗加工、检验、粗加工、检验、定为废品”五道程序；或是“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、粗加工、检验、定为废品”七道程序．所以，由工序流程图知须经过5或7道工序．故选：B．【点评】本题考查工序流程图的应用问题，解题时应认真审题，做到不漏不重，是基础题．3. 若，且，则( )A.0B.1C.D.参考答案：A略4. （x3+）10的展开式中的常数项是（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索．此后，该网站的点击量每月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（）A．2倍以上，但不超过3倍B．3倍以上，但不超过4倍C．4倍以上，但不超过5倍D．5倍以上，但不超过6倍参考答案：D6. 下列命题是真命题的是（）A．使得 B．使得C．恒有 D．恒有参考答案：D解：故D正确7. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=xm，根据俯角的定义得到∠MAC=45°，∠MAD=30°，由平行线的性质得到∠D=30°，∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x，根据含30度的直角三角形三边的关系得DB=AB，即100+x=x，解出x即可．【解答】解：设AB=xm，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，在Rt△ABC中，BC=AB=x，在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，∴DB=AB，即100+x=x，解得x=50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．8. 已知与共线，则=A． 8 B． C．D．参考答案：B9. 已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A． B． C．D．参考答案：D10. 在下列结论中，正确的是（）①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __参考答案：12. 设关于的不等式的解集中整数的个数为，则数列的前项和=____________.参考答案：13. 幂函数 f （x ）=x α（α∈R ） 过点，则 f （4）=．参考答案：2 略14. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为___________ . 参考答案： 1215. 已知点P 为双曲线右支上一点，为双曲线的左、右焦点。