[A 组 学业达标]
1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A ．p 1p 2
B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)
C ．1－p 1p 2
D ．1－(1－p 1)(1－p 2)
解析：恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决，甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．故选B.
答案：B
2．下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )
A ．一枚硬币掷两次，A 表示“第一次为正面”，
B 表示“第二次为反面”
B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A 表示“第一次摸到白球”，B 表示“第二次摸到白球”
C ．掷一枚骰子，A 表示“出现点数为奇数”，B 表示“出现点数为偶数”
D ．A 表示“一个灯泡能用1 000小时”，B 表示“一个灯泡能用2 000小时” 解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．
答案：A
3．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.49
B.29
C.23
D.13
解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝2
3，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也
为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49
.
答案：A
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4，两个零件是否加
工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.12
B.512
C.14
D.16
解析：两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A 、事件B ，则P ＝P (A B )＋P (A B )＝2
3×?
???1－34＋????1－23×34＝512. 答案：B
5．甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为15，乙答对的概率为1
4，则两人中恰有一人
答对的概率为( )
A.7
20 B.1220 C.120
D.220
解析：第一种：甲答对，乙答错，此时概率为15×????1－14＝3
20；第二种：甲答错，乙答对，此时的概率为????1－15×14＝420.综上，两人中恰有一人答对的概率为320＋420＝7
20
. 答案：A
6．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A ，B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________.
解析：因为A ，B 相互独立，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P (A |B )＝P (A )＝0.3.
答案：0.65 0.3
7．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，1
68，
且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
解析：加工出来的零件的正品率是????1－170×????1－169×(1－168)＝67
70，因此加工出来的零件的次品率为1－6770＝3
70
.
答案：3
70
8.如图所示，A ，B ，C 表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为________．
解析：设P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.7，则P (A )＝0.1，P (B )
＝0.2，P (C )＝0.3，故该系统的可靠性为1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案：0.994
9．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是1
3，
12，2
3
，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率． 解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝1
2，P (C )
＝2
3
. 停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ，
故概率为P ＝????1－13×12×23＋13×????1－12×23＋13×12×????1－23＝718
. 10．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A 与B 的独立性：
(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为1
4.
这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P (A )＝12，P (B )＝3
4，
P (AB )＝1
2
.
由此可知P (AB )≠P (A )P (B )， 所以事件A ，B 不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为1
8，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4
个基本事件，AB 中含有3个基本事件．
于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝3
8，
显然有P (AB )＝3
8＝P (A )P (B )成立．
从而事件A 与B 是相互独立的．
[B 组 能力提升]
11.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )
A.13
B.29
C.49
D.827
解析：按A →B →C →A 的顺序的概率为13×13×13＝127，按A →C →B →A 的顺序的概率为
2
3×23×23＝827，故跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝127＋827＝1
3
. 答案：A
12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，
则灯亮的概率为( )
A.316
B.34
C.1316
D.14
解析：记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，
图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C )P (D )[1－P (AB )]＝12×12×????1－12×12＝316，∴灯亮的概率为1－316＝13
16
.
答案：C
13．国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，1
5.假定三人的行动相
互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
解析：设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝1
5，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P (A B
C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－????1－13×????1－14×????1－15＝1－25＝3
5
. 答案：3
5
14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P (B )＝2
5；
②P (B |A 1)＝5
11
；
③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；
⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 解析：①P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝
510×511＋210×411＋310×411＝9
22
，①不正确，⑤不正确；②P (B |A 1)＝510×
51112＝5
11，正确；③事件B 与事件A 1有关系，故不正确；④A 1，
A 2，A 3不可能同时发生，是两两互斥的事件，故正确．
答案：②④
15．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率． 解析：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)， 则P (A 1)＝0.6，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5，P (A 4)＝0.2. (1)法一：该选手被淘汰的概率：
P ＝P (A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)
＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
法二：P ＝1－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)·P (A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.
(2)法一：P ＝P (A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)·P (A 3)P (A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.
法二：P ＝1－P (A 1)－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576. 16．某示范性高中的校长推荐甲，乙，丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23，23，1
2，他们考核所得的
等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
解析：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .
则事件A ，B ，C 是相互独立事件，事件A B C 与事件E 是对立事件，于是 P (E )＝1－P (A B C )＝1－????1－23×????1－23×????1－12＝17
18. (2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P (ξ＝30)＝P (A B C )＝????1－23×????1－23×????1－12＝118
， P (ξ＝40)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝2
3×????1－23×????1－12＋????1－23×23
×????1－12＋????1－23×????1－23×12＝518
， P (ξ＝50)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝23×23×????1－12＋23×????1－23×1
2＋????1－23×23×12＝4
9
，. P (ξ＝60)＝P (ABC )＝23×23×12＝2
9.
所以ξ的分布列为：