容斥原理初步

一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。

A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。

如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的【例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。

容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。

它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。

本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。

一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。

在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。

在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。

容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。

二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。

如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。

2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。

因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。

通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。

这就是容斥原理的基本推导过程。

接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。

假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。

2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。

这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。

第四章 容斥原理● 是组合学中的一个基本计数理论。

也称 “包容与排斥原理”、“入与出原理”、“包含排斥原理”或“交互分类原理”。

● 加法法则的限制：要求将计数的集合划分为若干个互不相交的子集，且这些子集都比较容易计数。

● 问题：实际中又有很多计数问题要找到容易计数而又两两不相交的子集并非易事。

但往往能够知道某一集合的若干相交子集的计数，进而把所要求的集合中的元素个数计算出来。

§4.1 引 言（一） 研究内容（1）实例【例】求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数的个数。

①不超过20 的正整数中是2的倍数的数有⎥⎦⎥⎢⎣⎢220＝10个，即A＝{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}；②是3的倍数的数有⎥⎦⎥⎢⎣⎢320＝6个，即B ＝{3,6,9,12.15,18}； ③二者相加为16个。

但实际上满足条件的数只有13个：即2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20；原因在于把既是2的倍数，又是3的倍数的数重复算了一次，这样的数恰好有⎥⎦⎥⎢⎣⎢⨯3220＝3个，即6,12,18。

④正确的统计方法应为：10＋6－3＝13个。

（2）内容容斥原理所要研究的就是若干个有限集合的交或并的计数问题。

（二） 集合的表示用大写字母表示一个集合，如A 、B 、C 、S 等，用小写字母表示集合的元素，如a 、b 、c 、x 、y 、z 等。

元素a 属于集合A ，记为A a ∈，不属于A ，记为A a ∉ . 空集记为φ。

（三） 集合的运算（1） 并（和）：记为B A 或A ＋B ； （2） 交（积）：记为B A 或AB ； （3） 差：记为A －B （4） 对立集（非）：即A ＝S －A 显然有 A －B ＝B A ⋅＝A －AB（四） 优先级类似于数字的四则运算，规定在混合算式中的优先级为：先取非，次为交，再次为并或差。

对于出现在同一算式中的同级运算，按从左向右的顺序进行。

容斥原理常识型公式
摘要：
1.容斥原理的定义与概念
2.容斥原理的公式表示
3.容斥原理的应用示例
4.容斥原理的扩展与深化
正文：
【1.容斥原理的定义与概念】
容斥原理，是概率论中的一个基本原理，用于解决离散事件的概率计算问题。

它是基于集合的概念，通过研究事件之间的关系，给出了求解复杂事件发生概率的一种方法。

【2.容斥原理的公式表示】
容斥原理的公式表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

其中，
P(A∪B) 表示事件A 和事件B 的并集发生的概率，P(A) 和P(B) 分别表示事件A 和事件B 发生的概率，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 的交集发生的概率。

【3.容斥原理的应用示例】
假设有一个袋子，里面有3 个红球和2 个绿球。

从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

根据容斥原理，抽到红球的概率为：P(红球) = P(红球) + P(绿球) - P(红球∩绿球)。

因为绿球和红球是互斥事件，即抽到一个球后，就不能再抽到另一个
球，所以P(红球∩绿球) = 0。

所以，P(红球) = P(红球) + P(绿球) = 3/5。

【4.容斥原理的扩展与深化】
容斥原理不仅适用于离散事件，还可以扩展到连续事件的概率计算。

在连续事件的概率计算中，需要用到积分的概念，此时的容斥原理公式为：
P(A∪B) = ∫[P(A|x)dx + P(B|x)dx - P(A∩B|x)dx]。

容斥问题讲解方法一、容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要原理，主要用于解决包含与排斥的问题。

当两个或多个集合存在重叠时，我们不能简单地将这些集合的元素数目相加，因为重叠部分的元素被重复计算了。

容斥原理提供了解决这类问题的方法，通过将各个集合的元素数目两两相减，得到不重叠部分的元素数目。

二、基本形式两个集合的容斥问题：设A和B是两个集合，则A和B 的并集的元素数目可以通过|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| 来计算。

三个集合的容斥问题：设A、B和C是三个集合，则A、B和C的并集的元素数目可以通过|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C| 来计算。

三、复杂形式当集合的数量增加时，容斥原理可以扩展到更复杂的形式。

通过递归或归纳的方法，可以将多个集合的并集的元素数目表示为各个集合元素数目的函数。

四、解题技巧明确问题的条件和目标：首先需要明确问题的条件和目标，确定涉及的集合以及它们之间的关系。

画出文氏图：在理解问题时，可以通过画出文氏图来直观地表示各个集合以及它们的重叠部分。

文氏图是一种用封闭曲线表示集合及其关系的图形。

应用容斥原理：根据问题的具体情况，选择适当的容斥原理公式来解决问题。

如果涉及多个集合，需要仔细分析它们的重叠关系。

简化计算：在应用容斥原理时，需要注意简化计算，避免出现大量的重复计算和复杂运算。

可以采取提取公因式、使用对称性等方法来简化计算。

检查答案：在解决问题后，需要检查答案是否符合实际情况和逻辑，确保答案的正确性。

五、注意事项理解问题的背景和要求：在解决容斥问题时，需要注意理解问题的背景和要求，弄清各个集合的含义和关系。

避免重复计数：在应用容斥原理时，需要注意避免重复计数。

特别是当集合之间存在多重重叠时，需要仔细分析重叠部分的关系。

分情况讨论：当问题涉及多种情况时，需要注意分情况讨论。

不同情况下的集合关系可能会有所不同，需要分别进行分析和计算。

课程十四集合初步与容斥原理1、集合与元素的特性2、什么是并集3、什么是交集4、什么是容斥原理我们把这类问题称为重叠问题。

解答重叠问题一般用公式法或图像法。

运用容斥原理一：C=A+B-AB这一公式可计算出两个集合圈的有关问题。

运用容斥原理二：D=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 这一公式可计算出三个集合圈的有关问题。

运用图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图像帮助 分析，逐个计算出各个部分，从而解答问题。

祝导演为拍一部电视剧《剑》物色一批演员，对这批演员的要求是：学习目标重 点总 结引 入即会骑马，又会蹈舞，又会击剑。

一天，祝导演来到某文艺工作队，想从这里挑选符合条件的同志，该队队长告诉他，40名队员中，每人至少会一种表演艺术，其中会骑马的有30人，会舞蹈的有16人，会击剑的有24人，会骑马又会舞蹈的有14 人，会舞蹈又会击剑的有12人，会击剑又会骑马的有8人。

祝导演想一想说：就从中挑选骑马、舞蹈、击剑三样全会的那几位同志吧！其实，祝导演已经知道选中的有几位同志了，小朋友，你知道吗？如果你们现在还不会用数学知识求出来的话，请认真学习本节内容，学完之后就可解决以上问题。

集合与元素把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。

每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：集合A=｛0，1，2，3，…，9｝，其中0，1，2，…，9为A的元素。

并集由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的并集，记作A∪B,记号”∪”读作“并”。

A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

A BA∪B例已知6的约数集合为A=｛1，2，3，6｝，10的约数集合为B=｛1，2，5，10｝，则A∪B=｛1，2，3，5，6，10｝。

交集A、B两个集合公共的元素，也就是那些即属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A ∩B ”，读作“A 交B ”，如下图阴影表示：A∩B例已知6的约数集合A=｛1，2，3，6｝，10的约数集合B=｛1，2，5，10｝，则A ∩B=｛1，2｝。