《最优化方法》1
一、填空题:
1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中
___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示
为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为
__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为
___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶
方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________
3.设严格凸二次规划形式为：
min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2
s.t. 2%! 4- x2 < 1
> 0
x2 > 0
则其对偶规划为_______________________________________________
min%（d ） = f （x k +ad k ）
的最优步长为务=—叫）F.
d kT Gd k
2. （10分）证明凸规划
min/（x ）,x G D （其中子（兀）为严格凸函数，D 是凸集）
的最优解是唯一的
3. （13分）考虑不等式约束问题
min /（x ）
s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}
其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可行点，若在元处 d 满足
巧（计<0,
VC,（元）（可
则d 是元处的可行下降方向。
4. 求解无约束最优化问题: min/（x ）,xe^,设*是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则:
用最速下降法求解时, 搜索方向卅= _____________
用Newton 法求解时, 搜索方向卅二 ____________
用共轨梯度法求解时, 搜索方向卅二 ________________
《最优化方法》2
一、填空题:
1.最优化问题的数学模型一般为:
其中
___________ 称为目标函数，____________ 称为约束函数，可行域D可以表示
为______________________________ ,若_________________________________ 称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2. ______________________________________________________ 设f（x）=昇+2“2-10“+5兀2，则其梯度为___________________________________ ，海色矩阵
,几何意义为，二阶
方向导数为,几何意义为
3.设严格凸二次规划形式为：
min /(%) = X,2 + 兀：_ 2x} - x2
S.t. Xj + x2 < 1
%! > 0
兀2 no
则其对偶规划为_______________________________________________
4.求解无约束最优化问题: 设*是不满足最优性条件的第k
步迭代点，则:
用最速下降法求解时, 搜索方向十二____________
用Newton法求解时, 搜索方向卅= ____________
用共轨梯度法求解时, 搜索方向卅= _________________
二.(10分)简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。(200 字左右)
三.(25分)计算题
3.(10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解:
min /(x) = 2昇一3屛一6%]%2(%] -x2 -1).
4. (15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问 题： min
/=!
n
s.t. c(x)=工“ -a = 0 /=!
其中 p > 1,61 > 0.
四. 证明题(共33分)
1. (10 分)
设f(x )=丄XG 兀+宀+/是正定二次函数，证明一维问题
2
min ?(a) = f(x k +ad k
) 2. (23分)考虑如下规划问题
min /(x),x e R n
s.t. q(x) < 0,z = 1,2,…，加.
其中/(x),c f (x)(i = 1,???,?)是凸函数，证明：
(1)
(7分)上述规划为凸规划； (2) (8分)上述规划的最优解集疋为凸集;
(3) (8分)设/(x),c f (x)(i = l,2,---,n)有连续的一阶偏导数,若F 是
的最优步长为纵=-
d kT Gd k
KT 点，则/是上述凸规划问题的全局解。
《最优化方法》试题3
一、 填空题
1 ?设于（兀）是凸集Su/?"上的一阶可微函数，则于⑴是S 上的凸函数
的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义 是（ ）；
2?设/（兀）是凸集川上的二阶可微函数，则/（兀）是疋上的严格凸函数
）（填”当，或”当且仅当'）对任意xer , ▽分（朗是
）矩阵;
? 2 r
min z =兀「+ 兀：一 x }x 2 - 2x } - 3x 2
二、选择题
min f = (%j -2)2 +￡
1 ?给定问题w. -州+W ,则下列各点属于K-T 点的是
%! - X 2 < 0
( )
A) (0,0卩
B) (1,1/ 0 (丄,D) 2 2 雪y
2 2 2 ?下列函数中属于严格凸函数的是(
) A) /(%)=彳 + 2X {X 2 -10^+ 5X 2 3.已知规划问题和./. -x,-x 2 >-2 可行方向集为（
-x, - 5X 2 > -5 x 2 > 0
）,下降方向集为（ 则在点X = （-,-/处的 6 6 ）。
B)
/(x) = x,2-xf (x 2 <0)
C) /(x) = 2彳 + x A x 2 + ￡ + 2xf -6X[%3 f(x) = 3%j + 4X 2 一 6兀3
三、求下列问题
s.t. 2x l - 3X 2 < 30
x x + 4X 2 < 20
x p x 2 > 0
取初始A （0,5）r
o 四、考虑约束优化问题 min /(兀)=彳 +4兀；
s.t. 3%] + 4X 2 > 13
用两种惩罚函数法求解。
五. 用牛顿法求解二次函数
/（兀）=（X ］ -勺+兀3）亠+（—兀］+兀2 +兀3）?+（兀I +兀2 -尤3）2
（\ ［、丁
的极小值。初始点、％ =丄,1,丄O U 2）
六、证明题
1?对无约束凸规划问题min f （x ） = ^x T Qx + c T
x ,设从点、恥R”出发，沿方 向d eR n 作最优一维搜索，得到步长丁和新的A y = x+Td ,试证当 d T
Qd = 1
时,F 2=2［/（x ）-/（y ）］o 2?设/=（/,/,x ；）r ＞（）是非线性规划问题
111111 / 丫）：旺+ 2勺+ 3x 3的最优 1 2
s.t. ￡+€ + 兀；=10 解，试证F 也是非线性规划问题讪兀:+理+球
的最优解，其中 *
D)
s.t. X)+ 2X2+3X3=f
/=x；+2x； + 3x；o
《最优化方法》试题4
一、是非题
1.若某集合是凸集，则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于此集合。
2 ?设函数/(x) G C2,若号(兀*) = 0,并L v2/(x)半正定，则F是min/(x) 的局部最优
解。
3.设X*是min/(x)的局部最优解，则在F处的下降方向一定不是可行方向。
4?设兀*是min/(x)的局部最优解，则兀"是min/(x)的K-T点。
5.设函数f(x)eC\则用最速下降法求解min /(x)时，在迭代点*处的搜索方向一定
是/(兀)在*处的下降方向。
6.用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点。
二、在区间［-1,1］上用黄金分割法求函数f(x) = x2-x + 2的极小点，求岀初始的两个试点及保留区间。
三、验证点(1±血,上也)丁与(0,-3/是否是规划问题
min /（x） = %）2 +x2
s.t.彳+x^ < 9
_ X] _ 七 + ] n 0
的K-T点。对K-T点写出相应的Lagrange乘子。
四、用外点法求解
min f（兀）=（兀]-1）2 + %2
s.t. x2 > 1
五.用共梔梯度法求解无约束优化问题
min Xj2 + 2x； + 2x i x2 -x l-^-x2
取初始点x°=(O,O)J精度为10=
六、证明题
1?设集合Su/?"是凸集，笊x),…人⑴是S上的凸函数，令
/(兀)=max {人(x),…￡ (x)} xeS
证明/(兀)也是S上的凸函数。
2.设X厶={x eR" ^a ij x j>0,j = 1,???,?!，XE X L,记
/ (x) = { w {1,…，加}丨￡ a ij x j =勺},
= G{1,???,/?} I =o},
证明：”是蜀在兀处的可行方向的充要条件是
工6jPj ?0, i e I（x）; 耳no, j GJ（X）o
《最优化方法》试题5
填空题
1?设Q为n阶对称正定矩阵，为行满秩矩阵，则问题” 1 T
minf M = -xQx的?T 点为( )；
s.t. Ax = h
2.min /(x) = (x1 -2 4-2x2)2的平稳点、为( )，该平稳点( )(填’是，或“不是’)局部最优解；
min/(x)
3?设丈是冋题v s.t. Ax>b的可行解，则在父处有
AeR mxn,xeR\beR,n
A,x = b v A2x>b2y其中4 =(斗,A),b = (/<#) ,则"0是丘的下降方向
的充要条件为( ),dHO是丘的可行方向的充要条件为
( )。
二.运用0. 618法求
min f\x)= x2 - x + 2
在区间［-1,3］上的极小点。要求最终区间长度不大于原区间长度的
0. 08倍。(计算结果精确到0. 001 )
三、用最速下降法求解无约束问题min /(x) = 3(x,- 2)2 + 4(x2-3)2,取初始点兀
⑴=(4,3『。
四、证明题
1?用牛顿法求函数f(x) = ^x T Ax^b T x^c (A为对称正定矩阵)的极小值只需一次迭代；
2.罚函数内点法定义惩罚函数G(x,r) = /(x) + rB(x)，(其中B(x) > 0 )。设
加>?伙=1,…)产生序列｛*)｝，证明：
(1) G(+W+JSG(卅)山)；
(2 ) B(严))》B(兀⑹);
(3)
min f = + x2
五、求约束问题p,2 +x| -9 = 0的Kuhn—Tucker点。
S? A 〔X] + 兀2 — 1 = 0
六、设、f : RJ R连续可微，考虑约束问题片：min /(兀)，其中
xeD
D = (%l Ax = /?,%>()｝o 设x G ￡>?y* 是问题P2: min Vf (x)7 (y - x)的最优解。求：
1)什么条件下兀是问题片的K-T点；
2)什么条件下d =才-兀为兀处的可行下降方向.
七、某银行有投资资金兀。，投资于A,B两个项目，计划5年为一个周
期。A, B两个项目的资金回收率分别为a, b( 0
(/= 1, 2,…，4 )底根据现有投资资金兀?对A,B两个项目的投资额
做出决策，以％投资于A项目，一年中可产生经济效益g(y.),余额
(兀开)投资于B项目，一年可产生经济效益其中g,h为两个单调非减函数(显然不投资则效益为0)?问每年底作何投资决策, 可使在第5年底的总效益最大？试合理选择问
题的特征量，建立特征量之间的定量关系，写出数学模型。
二.（10分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。
三.（25分）计算题
1. （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解:
min /(x) = 2彳_3昇_6旺兀2(兀1 _兀2 _】)?
2. （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题:
min /（x） = x{x2
s.t. c（x）=兀；+ x；— 1 = 0
的最优解和相应的乘子。
四.证明题（共33分）
1.（10分）设/（兀）= *HGx +厂* 1 2 * * * * 7\ + 5是正定二次函数，证明一维问题