波利亚及其解题理论_李忠如38页PPT

换句话说，如果一个封闭曲线与区域内的任意直线都没有交点，那么这个封闭曲 线必然完全位于区域外。
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。

2、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基 本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思 维通路，也即培养学生数学思维的广阔性。
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• 波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅 平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔 登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致 词中说：“每个大学生，每个学者，特别是 每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。
• 我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大 中学生同样也是非常需要的和有益的。
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长、宽、高 这个问题的条件是否充分，能否确定未知数x？充分，如果知
道a,b,c,就能确定长方体，知道长方体就可以确定对角线。
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2.拟定计划
首先，教师愿意向学生暴露自己的思维过程。 当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意 和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。
其次，教师应指导学生对数学解题过程进行 分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成 数学学习最重要的内容——数学的思想和方 法。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自 然、认识自然的活动。
传统的应用题条件不多不少，数量结构明显，使得学生用于 数学抽象的思考较少，到了最低限度，学生的信息处理能力、 独立思考能力受到了压抑。而新教材在解决实际问题的教学 中，需要教师鼓励学生利用已有的生活经验进行解题。
教师要根据题目的特点和学生的思维发展水平使学生掌握一 些常用的解题策略。
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《怎样解题》表—回顾
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导 出这个结果？你能不能一下子看出它来？你 能不能将这一结果或方法用于其他问题？
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在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的 反思：
1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完 成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息” 进行再思考。

拟定计划
• 例4
设a (0,1), b (0,1), 求证 : a 2 b 2 (1 a ) 2 b 2 (1 a ) 2 (1 b) 2 a 2 (1 b) 2 2 2
拟定计划
• 从左式四个表达式特征可以看出，它们表示 两点间的距离。 • 构造点A(1,0),B(1,1),C(0,1),D(0,0),四边形 ABCD为正方形 • P(a,b)
执行计划
13)把你想好的解题过程具体地用术语,符号, 图形,式子表述出来. 14)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方 案. 15)解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
16)你能拟定其它解题方案吗? 17)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用 它的方法吗? 18)你能找到什么方法检验你的结果吗?
实现计划
• 在解题中，这一步是最容易的，如果计划 是完善的，实现计划往往是‚例行公事‛， 作一些机械性的计算，但计划往往是不完 善的，所以又往往需要回到上一步，出现 一些反复．此外，计算或操作中也许有困 难存在，甚至会遇到难以逾越的困难，这 时原来计划必须推倒重来．
检验与回顾
• 解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间．回顾， 则好像打开了电灯．这时一切都清楚了：在以前的 探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样 走，等等．朦胧变成了自觉． • 正如波利亚所说，这是‚领会方法的最佳时机‛， ‚当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是 新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探 究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许多 有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？ 什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察 到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应 该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍 可供下次遇到类似问题时应用？’

画图，引入适当的符号 将条件的不同部分分开
拟订方案
1)你以前见过它吗？ 2)你是否见过同样的题目以一种形式上稍有不同的形式出现？ 3) 你是否知道与此有关的题目吗？ 4) 你知道一条可能有用的定理吗？ 5) 有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你能利用它 吗? 6) 如果你不能解这个题,可先解一个有关的题,你能否想出一个 较易下手的,较一般的,特殊的,类似的题?
解题必须实践
• 解题是一种实践性的技能，就像游泳、 滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和 实践学到它……你想学会游泳，你就 必须下水，你想成为解题的能手，你 就必须去解题． ——波利亚
参考资料
• 波利亚著《怎样解题--数学教学法的新 面貌》(涂泓 冯承天译).上海：上海科 技教育出版社,2002年. • 冯光庭编著的《高中数学新课程高效 创新教学法》武汉大学出版社
波利亚的数学学习原则
•主动学习原则 •最佳动机原则 •阶段序进原则
波利亚关于解题的研究
理 解 题 目
拟 订 方 案
执 行 方 案
回 顾
理解题目
你必需理解题目
1) 未知量是什么？ 2) 已知数据是什么？ 3) 条件是什么？ 4) 条件有可能满足吗？ 5) 条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？
波利亚的数学教育思想
• 波利亚对数学、数学教育的目标和价值有独特的认识，其 教育思想的核心是“数学教育的目的是什么？”即“中小 学生为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途 径学好数学？“ • 波利亚认为教会学生解题就是教会学生思考、培养他们独 立探索的一条有效途径，解题是人类最富创造特征的一项 活动。
波利亚及其解题理论
Hale Waihona Puke 学习内容1、波利亚的生平 2、波利亚的教育思想 3、波利亚的数学学习原则 4、波利亚的解题思路（重点）

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PPT课件
鸡兔同笼问题：一个农夫有若干鸡和兔子，它们 共有 50 个头 140 只脚，问鸡和兔子各有多少只？
未知量是 (x, y)，已知量是…… “部分条件”是……
x y 50
(1)
2x 4y 140
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2)
求解这个二元一次方程组…… 这里，我们碰到的是一个“多元的”未知量。
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1991.3；
• 数学解题学引论
1996.10.
[M] 西安. 陕西
师范大学出版社，
1997.6
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PPT课件
观点是指观察事物所处的位置或采取的态度。 解题教学中的解题观点是指对“怎样解题”、“为
什么这样解题”的整体认识和基本态度。
《怎样解题》
乔治 ·波利亚《数学与猜想》
《数学的发现》
PPT课件
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PPT课件
检验与回顾
解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间．回顾，
则好像打开了电灯．这时一切都清楚了：在以前的
探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样 走，等等．朦胧变成了自觉．
正如波利亚所说，这是“领会方法的最佳时机”，
“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是
新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探
问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否
考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
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PPT课件
3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正确
的?你能否证明这一步骤是正确的?
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4. 回顾
能否检验这个论证? 你能否用别的方法导出结果? 能不能一下子看出它来? 能不能把这结果或方法用于其他问题?

题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把 10．引入适当字母，向根本量靠拢．
2、你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
解答告诉他．因为比解答更重要的是解法 启发法的目的是要学习发现和创造和规那么
://wenku. 关于波利亚解题表的解释
，即如何从走向未知，而将题目中的“信 息〞重新编排，适当整理，正是走向未知 的第一步．
四、回忆
1. 能否检验这个论证? 2. 你能否用别的方法导出结果? 3. 能不能一下子看出它来? 4. 能不能把这结果或方法用于其他问题
?
1个例子
例1 k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0
读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真 做的事，切莫无视
弄清问题
正如波利亚所说，这是“领会方法的最正确时机〞，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回忆他所做的 一切，可能有利于探究他刚刚抑制困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我 可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习 的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？’ 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 关于波利亚解题表的解释
问题应当用自己的语言重新表达．通 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
〔１〕要对自己所教课程有假设趣；
过复述，可以发现学生是否理解了题意， 你能否用别的方法导出结果?
波利亚的‘‘启发法’’和 ‘‘合情推理’’
有没有忽略重要的局部．凡有学生来问问 ://wenku.

反对这种类型 “协助〞的缘由。 (1)假设学生已接近于问题的处理，他能
短少条件。 多余条件。
7．拟定方案 现实上，求解一个问题的主要成果是想象
出一个解题方案的思绪。这个思绪能够是 逐渐构成的。
假设我们对该论题知识贫乏，是不容易产 生好念头的。假设我们完全没有知识，那 么根本不能够产生好念头。
一个好念头的根底是过去的阅历和已有的 知识。仅仅靠记忆缺乏以产生好念头。
例如，知8与2求另一个数6的运算，知8 与6求另一个数2的运算，就是加法的逆运 算——减法。在自然数集合中，加法和乘法 总可实施。
减法运算5-3=2，虽然有2+3=5，但 2+5≠3，故减法运算，求被减数，加法是 减法的逆运算；求减数，那么加法不是减 法的逆运算。
所以减法是加法的逆运算，除法是乘 法的逆运算。但是，加法不是减法的逆运 算，乘法也不是除法的逆运算。
上述一些问题有几个益处。 首先，公式经过这么多的检验，这一现实不能不使一个聪明
的学消费生深化的印象。
学生以前就置信公式是正确的，由于公式是他仔细推导出来 的。但是如今经过这么多检验，他就更坚信无疑了，这种自 信心的添加来源于一种“实验的数据〞。正是由于上述问题， 公式的细节获得了新的意义，而且和不同的现实联络起来了。 这样，公式就更容易记住，学生的知识得以稳定。
加法减法是互逆运算吗？
1、什么是逆运算？
〔1〕在某个集合M中，对于恣意两个有序 元素a、b，根据某种法那么，可在M中找到 独一确定的元素c与它们对应，这种对应法 那么称为“运算〞。
例如，在自然数集合中，〔6，2〕
这对数按照某种法那么与8对应，这种法那
么就是自然数的加法运算；
〔2〕假设知c与a、b中的一个，求另一个元 素，那么这样的运算称为上述运算的“逆 运算〞。

• 教师应更新教育观念 ,摆出良好姿态 数学家乔治· 波利亚在他的《怎样解题》一书中 自始至终体现出对学生的关怀和设身处地地为学 生考虑的思想。因此，我们以后作为教师应转变 教育思想,树立起为学生服务观 念, 摆出良好姿态面对我们 的学生，我们要相信每个学生 都是有能力学好的。
• 这就要求教师要做到：
五 对波利亚“怎样解题”表的评 价
• 波利亚“怎样解题”表具有巨大的理论价 值。解题表中不仅蕴含着重要的思想方 法——化归、变换的思想方法，而且是各 种数学思想方法的源泉，在教学中利用解 题表，学生的自学能力有较快的提高，独 立思考校和进行创造性活动的能力也逐步 增强。 。
六 波利亚《怎样解题》启示
——你可以改述这个问题吗?回到定义！ ——你若能解决这个问题，试先解决 一个有关的问题。你能想出一个更 容易着手的有关问题吗？一个更一 般的问题？一个更特殊的问题？一 个类似的问题？你能解决问题的一 部分吗？ ——你用了全部的计划 ——实行你的解决计划，校核每一步骤。
（一）必须了解问题 ——未知数是什么？已知数是什么？ 条件是什么？ ——可能满足什么条件 ——画一个图，引入适当的符号。
拟订计划
（二）找出已知数和未知数之间的 关系。假使你不能找出关系，就得 考虑辅助问题，最后应该想出一个 计划。
——你以前见过它吗？ ——你知道什么有关的问题吗？ ——注视未知数!试想出一个有相同 或相似的未知数的熟悉问题。
讲解 第三步：实现计划: • 证明: 过直线a任作一个平面γ, 和平面α相交于直 线b 直线a∥平面α a∥b 直线a ⊥平面β b⊥平面β
γ β
a b
α
而平面α过直线b，则 平面α⊥平面β. • 检查：直线和平面平行的性质定理， 直线和直线 平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理， 三个定理清晰保证每步成立。

回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包 含在问题中的所有必要的概念?
3. 实现计划

实现你的求解计划,检验每一步骤.

你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
你能否证明这一步骤是正确的?
4. 回顾
能否检验这个论证?




解题过程： 第1弄清问题 条件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)点P为△ABC内切圆上的动点． 问题(未知)： 求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的 最小值和最大值．
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第2拟订计划
回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见 过相关的问题：
(1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形 的形状、解三角形等(知三求一，已知的三个 边角元素中至少有一个是边)，题目基本符 合． (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这 个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶 点的距离的平方和的最值问题．
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第4 回顾
（1）在方法上，本题是使用“解析法”解决 三角问题的一个成功案例. （2）在数学思想上，本题是数形结合数学思 想的一个成功应用. （3）在基础知识的使用上，本题主要用到了 “余弦定理”、“勾股定理”、“参数方程” 和“三角函数的性质”等.
你能否用别的方法导出结果?
能不能一下子看出它来?
能不能把这结果或方法用于其他问题?

例
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分
别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/c=4/3，点P 为△ABC内切圆上的一个动点．求点P到顶点 A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值．

• (8) 把条件的各个部分分开，你能否把它
们写下来?
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• 第2 找出已知数与未知数之间的关系；如果找 不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题： 你应该最终得出一个求解的计划——拟定计 划．
• (1) 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? • (2) 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? • (3) 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题．
• 第2拟订计划
• 回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见过相关的问题： • (1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形的形状、解三角形等(知三求三，
已知的三个边角元素中至少有一个是边)，题目基本符合． • (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这个三角形的某个特征曲线上的动
点到三个顶点的距离的平方和的最值问题．
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怎样解题表的解释
• 第1 你必须了解问题(弄清问题)
• (1) 未知数是什么?
• (2) 已知数据是什么?
• (3) 条件是什么?
• (4) 满足条件是否可能?
• (5) 要确定未知数，条件是否充分?
• (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？ 或者是矛盾的？
• (7) 画张图，引入适当的符号．
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变更题目的常用方法——题目
分解与组合——穷举法,中途点 • 等价的题目 回到定义
等价变换 映射到别的领域 简化 • 特殊的题目 约化 极端情形
一般化 • 更一般的题目 —— 强化 充分题
必要题 基本题 • 相关的题目 辅助题 类 似第3题4页/共36页
问题解决与数学思维的培 养