波利亚及其解题理论_李忠如共38页文档

波利亚的解题理论（讲稿）同学们好!今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。

首先，让我们了解一下波利亚的生平.乔治·波利亚（George Polya,1887-1985）美籍匈牙利数学家，生于匈牙利,青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学,1912年获数学博士学位。

他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家,也是享有国际盛誉的数学方法论大师,为数学方法论的现代研究,特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。

他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论,发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944)、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961)等。

其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题,而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。

在数学方面,对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献,留下了以他的名字命名的术语和定理。

在数学解题研究领域,波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。

这里主要介绍他的解题理论。

学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。

波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事"（苏格拉底语),由此,数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力.为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书,与1948年出版，风靡世界.其中“怎样解题"表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。

概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。

1．帮助学生第一部分在教室中目的教师最重要的任务之一是帮助学生。

这个任务并不很简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。

学生应当有尽可能多的独立工作经验。

但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。

那么他很可能没有进步。

但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合理的工作。

如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。

为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。

不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。

教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。

2．问题、建议、思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。

这样，在大量的问题中，我们总是问：未知数是什么?我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。

有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。

问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。

从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。

前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。

读者充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。

这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。

3．普遍性表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。

它们的用途不限于任何题目。

我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。

波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用一、波利亚的数学解题思想简介波利亚认为：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。

”在数学学科中，波利亚认为能力就是指学生解决问题的才智，这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性的创造精神。

他发现，在数学上要想获得重大的成就或发现，就应该注重平时的解题。

因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练。

”而这种“解题”并不同于“题海战术”，波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个暂新的天地。

他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。

、二、波利亚解题表简介波利亚的解题思想集中体现在解题表上，该解题表主要分为四个部分，分别为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。

具体的步骤及问题如下表：三、一元一次方程实际问题教学的重要性方程是贯穿中学数学教学的一条重要纽带，而一元一次方程作为最基础的方程，是教学的重点，也是教学的难点。

掌握一元一次方程应用题解题方法是中学生学好方程的关键，也是学好数学的一个关键环节，能使学生在更深层次上理解数学，进而学好数学。

刚刚从小学升入初中的学生，通过对应用题的学习，对数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法和技能的获得都将起到重大的作用。

一元一次方程的应用是让学生通过审题，根据应用题的现实意义，找出等量关系，列出有关方程。

一元一次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数、几何的基础知识与基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，对其他学科的学习也将起到积极的促进作用。

在提高学生解决问题能力，培养学生对数学的兴趣等方面有独特的意义。

如何能让学生对一元一次方程实际问题形成一种规范的解题思路，培养学生良好的解题习惯，拓展学生的解题思维呢本文以实例为载体，以波利亚的解题思想为理论基础对该问题进行了研究。

波利亚解题----- 案例分析(0507)(总7 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-“内页可以根据需求调整合适字体及大小-波利亚解题——案例分析例题：给定正四棱台的高力，上底的一条边长"和下底的一条边长久求正四棱台的体积V •（学生已学过棱柱、棱锥的体积）波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些本题的未知是什么①正四棱台的高力;②Jz底边长d ；正四棱台的体积V •③下底边长b -- ' /二、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系）1）怎样才能求得V由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥"，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的•如果知道了相应两棱锥的体积K和岭，我们就能求出棱台的体积"=%-岭。

①这样我们就引入两个新的符号K和匕，同时也找到了V、岭、匕三个量之间的联系，这就把求V 转化为求X和«•2）怎样才能求得叫和匕据棱锥的体积公式,底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。

并且，一旦求出小棱锥的高■大棱锥的高也就求出，为x + h .我们再次引入了一个新符号■于是根据棱锥的体积公式就有匕十* V,=1Z,2（X +/7）,这样，问题就由求叫和匕转化为了求x。

3）怎样才能求得x为了使未知数x与已知数方、“联系起来，建立起一个等量关系•我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化"的思考•用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把“、力、x联系起来（转化为平面几何问题）.由三角形相似的性质得：沪二7 ②b x + hV t =Lb 2(x+h) = ^b 2- 3 3 b'h3(〃这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解•解上述方程，便可由d 、b 、表示x,至此，我们已在V 与已知数d 、“、"之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟 通・三、实现计划（利用找到的联系进行解题）作辅助线，由相似三角形的性质可得，专=— b x + h “心 cih 解得—o b_a所以两椎体的体积分别为有：所以棱台的体积：F 岛昔需S 也③四、回顾（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。

波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。

这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。

综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。

波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。

波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。

1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。

1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。

他一生发表200多篇论文和许多专著。

他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。

由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。

《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。

这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。

著名数学家范。

德。

瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。

这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。

二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。

他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。

高中数学解题中波利亚解题模型的应用21世纪我国基础教育进入到新课改时代，为了适应时代发展的需求，解决传统应试教育所带来的弊端，培养学生健全的人格，极力需要构建新的基础教育体系.高中数学教学中，往往存在学生压力过大，解题效率过低，不仅挫伤学生学习积极性，而且难以发挥学生创造力，使得如何提高学生数学素质，高效解答数学题目，成为当前每一位高中数学教师亟需解决的重要任务之一.一、波利亚解题模型概述波利亚是一位经典分析大师，在变分学、概率论及函数论等多方面有深入研究.波利亚解题思想较丰富，其中最为经典的专著有《数学的发现》、《数学与猜想》及《怎样解题》等，其中《怎样解题》中的解题模型及解题表具有重要应用价值.在波利亚解题模型中，将解题过程分为四个阶段，即理解问题、制定计划、实施计划及回顾分析.其中第一阶段，理解问题要弄清已知条件是什么，问题是什么.如：解决应用题时，采用数学语言将题目描述出来，明确其中的已知条件为未知条件等.弄清题目后，可通过大脑对相关条件及问题进行搜索定位，寻找采用哪一种方法来解决.第二阶段，制定计划则需要在面对问题时，应理解条件中各个要求有怎样的联系，或者未知量与已知量有什么关系等.可从寻找模型、寻找技能、转化题目三方面进行，也是指找到与此题目相类似的问题，并从相关解题中获得启发，深入分析题目的问题及条件等，查看是否有合适的思想方法及技能，尤其在遇到较为复杂的问题时，可将其转换为比较熟悉的模型，对其进行解决.第三阶段，实施制定的计划，在已形成的解题思路及解题方案的指引下，采用已学知识、技能及原理等解决问题.第四阶段，则需要对整个解题过程进行回顾性分析及总结，主要要求学生怎么理解问题，形成怎样的解题思路，及如何检验所得到问题的结果，本题是否还隐藏有其他的解决办法.二、波利亚解题模型在高中数学解题中的应用波利亚解题模型可分为四大类，即双轨迹模式、递归模式、叠加模式.详细掌握上述三种模式，将其储存在大脑中，随时支取并解决类似的问题，这样一来，可提高数学解题效率，培养学生创新思维.1.叠加模式所谓叠加模式将一般情况分为若干特殊情况的组合，或者将几种特殊情况叠加为一般情况，进而选取适宜的解决办法.例1当一个物体的抛物线的运动轨迹如图1所示，其初始速度设置为v，对其求取物体运动曲线的轨迹方程.解析对于此道题目的解答可采用叠加模式进行解决.可知物体的运动轨迹是一曲线，并不是圆弧.当一质点在水平方向的匀速直线运动经过t秒后，其位移为x=vt，而实际运动的轨迹则可视为两种运动的相互叠加.因此，可得出以下方程组：x=vt，y=gt2/2.消去t,得y=g2v2x2.由此可知，其运动轨迹是一条抛物线.2.递归模式所谓的递归模式常用在数列求和中.在高中数学解题中此类题型是较为常见的题，解决此类题目时需要应用递归模式.例2S2=12+22+32+42+52+62+…+n2的和.解析针对此题的解题方式我们可采用递归模式来进行求解.由公式（n+1）3=n3+3n2+3n+1,得出（n+1）3-n3=3n2+3n+1.将具体数值代进去，即可得到23-13=3×12+3×1+1；33-23=3×22+3×2+1；43-33= 3×32+3×3+1，…，（n+1）3-n3=3n2+3n+1.将两边相加，得到（n+1）3-1=3S2+3S1+n.最后将S1代入到上式中，可得到S2=n(n+1)(2n+1)/6，采取同样的办法可得到S3=［n(n+1)/2］2.3.双轨迹模式所谓的双轨迹模式在数学几何解题中有广泛应用，可将问题转化为一个点，根据条件将其分为几大部分，每一部分都能够转变为某一点的一条轨迹，而每条轨迹可能是一条直线或圆等，当满足条件后的几个轨迹交点也即是需要求解的问题.例3已知三个相等并且不在同一直线上的圆，作一圆使得包含其他三个，并且与三个圆均相切.解析对于此道题，要想实现与其他三个圆均相切，则必须找到相应的圆心及半径即可，根据圆心及半径作圆就较为简单.因此，本题的解题关键就是寻找圆心及半径.可假设作出下图2.在该图中O假设为要找的圆心，而O1、O2、O3为已知圆的圆心，其A、B、C均为切点，即：OA=OB=OC,表示所求圆的半径.另外，根据题目条件可知，三个已知小圆的半径均相等，即O1A=O2B=O3C，也表示OO1=OO2=OO3.这样一来，将问题转化为：已知圆心O1、O2、O3三点，作与它们距离相等的点O，换句话来说，求取△O1O2O3外接圆的圆心.最终，将此道题可转换为我们之前解答的题目，就可很简单的将圆作出来.三、结束语波利亚解题模式在高中数学解题中的应用逐渐推广，通过教学实践证明：应用波利亚解题模型可提高学生解题效率，培养学生创造思维能力，符合新课改要求.本文通过对其中三种波利亚解题模型进行详细分析，旨在为今后的高中数学教学工作提供借鉴.。