高考数学复习考点知识题型归类与专题训练4---函数及其表示

专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．).3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段基础知识融会贯通1．函数与映射2.(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.重点难点突破【题型一】函数的概念 【典型例题】若函数y ＝f （x ）的定义域为M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B ．【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．B ．y ＝arcsin （sin x ）和y ＝sin （arcsin x ）C．y＝x和y＝arccos（cos x）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，y x，函数的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsin x）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sin x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cos x）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D．思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（）A．（﹣1，2] B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B．【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2）B．（1，4）C．R D．（，﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D．命题点2 已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：函数的定义域为R，∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，k＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．【题型三】求函数解析式【典型例题】已知函数f（2）＝x+45，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2+1 B．f（x）＝x2+1（x≥2）C．f（x）＝x2D．f（x）＝x2（x≥2）【解答】解：；∴f（x）＝x2+1（x≥2）．故选：B．【再练一题】若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（）A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3【解答】解：函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．则：，解方程组得：f（x）＝x+1．故选：A．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 【题型四】分段函数命题点1 求分段函数的函数值 【典型例题】已知函数，则的值是（ ）A ．﹣1B ．3C ．D ．【解答】解：由题意可得，f （） 1∴f （f （））＝f （﹣1）＝3﹣1故选：C ．【再练一题】 设f （x ）则使得f （m ）＝1成立的m 值是（ ） A ．10B ．0，10C ．0，﹣2，10D ．1，﹣1，11【解答】解：当m ＜1时，f （m ）＝（m +1）2＝1 ∴m ＝﹣2或m ＝0 当m ≥1时，f （m ）＝4 1∴m ＝10综上：m 的取值为：﹣2，0，10 故选：C ．命题点2 分段函数与方程、不等式问题 【典型例题】 已知f （x ）则不等式x +（x +2）•f （x +2）≤5的解集是（ ）A ．[﹣2，1]B ．（﹣∞，﹣2]C ．D ．【解答】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【再练一题】函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．基础知识训练1．下列图象中可作为函数图象的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x＝c（c∈P）只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线x＝c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选：C．2．下列四个图象中，不能作为函数图象的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x＝a至多有一个交点，图C中，当﹣2＜a＜2时，x＝a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故C不是函数的图象.故选：C．3．函数的定义域为A． B．C． D．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则：；解得，且；该函数的定义域为：．故选：D．4．已知函数,则的定义域为A． B．C． D．【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．故选：B．5．函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选：C．6．已知函数，则( )A．1 B． C． D．【答案】D【解析】依题意，故，解得.故，所以.故选D.7．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，将x换为，代入上式得：f（x），故选：D．8．设f（x）=，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A， =f（x），A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D， =f（x），D正确；故选：A．9．已知函数，则满足的t的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，可得时，递增；时，递增，且，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．10．已知函数，则函数的零点个数为A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到，故方程的解：，则原问题转化为求方程时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.12．设函数，若，则实数a的取值范围是( )A． B．C． D．【答案】C【解析】解：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．13．若函数的值域是，则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，即，故选：D．14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C． D．【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。

2024高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳函数是数学领域的一个重要概念，在高考中占据着很大的比重。

下面是2024年高考一轮复习函数知识点及最新题型的详细归纳。

1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

通常用f(x)表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。

2.函数的表示方法函数可以用解析式、图像、表格等多种方式表示。

其中，解析式是最常见的表示方法，常见的函数表示如下：线性函数：f(x) = ax + b二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c指数函数：f(x)=a^x对数函数：f(x) = loga(x)三角函数：sin(x)，cos(x)，tan(x)3.函数的性质-定义域和值域：函数的定义域是自变量能取的全部实数值的集合，值域是因变量能取的全部实数值的集合。

-奇偶性：若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数是偶函数；若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数是奇函数。

-单调性：如果对于函数的定义域内的任意x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)，则称函数是递增的；如果当x₁<x₂时，有f(x₁)>f(x₂)，则称函数是递减的。

-周期性：如果对于函数的定义域内的任意x，有f(x)=f(x+T)，其中T为正常数，则称函数具有周期T。

4.函数的运算函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。

-两个函数的和：(f+g)(x)=f(x)+g(x)-两个函数的差：(f-g)(x)=f(x)-g(x)-两个函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)*g(x)-一个函数除以另一个函数：(f/g)(x)=f(x)/g(x)随着高考的，函数的考查形式也在不断变化，以下是一些最新的函数题型归纳：-函数的图像分析：考生需要根据给定函数的解析式或表格，画出其对应的图像，然后分析图像的特点，如极值、拐点、单调性等。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第06讲函数的概念及其表示（精讲）【A组在基础中考查功底】则函数根据函数图像可知：(f x 故选：ACD.8．已知函数4 ()f x xx=+A．-3B 【答案】ABC四、解答题12．定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 都有()2243f x x x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()23g x f x x =-+在[],1m m +上是单调函数，则求实数m 的取值范围.【答案】(1)()21f x x =-(2)(][),01,-∞+∞ 【分析】（1）配方后，利用整体法求解函数解析式；（2）求出()g x 的单调区间，与[],1m m +比较，得到不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()()2224321f x x x x -=-+=--，故函数()f x 的解析式为()21f x x =-；（2）()()2223122121x x g x x x x =-+=---++=在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为()g x 在[],1m m +上是单调函数，所以m 1≥或11m +≤，解得0m ≤或m 1≥，所以实数m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ .【B 组在综合中考查能力】由图可得当且仅当0t<<时）的，故()()()()36494922f f f f m n =⨯=+=+.【C 组在创新中考查思维】，该函数在当32m>时，当x>m时()2,3f x⎛∈-∞-⎝①，当1,22aa >>时，()f x 在[]0,1上单调递增，②，由2222a a a x ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭解得12x a +=或1x -=。

高考数学总结归纳知识点加题型高考数学是每个学生都要面对的一门重要科目，它占据了高考综合素质评价的一定比重。

为了帮助同学们更好地备考高考数学，下面将对常见的知识点进行归纳总结，并附上相应的题型练习。

一、函数与方程1. 一次函数知识点：函数的概念、斜率和截距的含义、函数图像与性质等。

题型练习：已知一次函数y=2x-3，请确定函数的斜率和截距，并绘制函数图像。

2. 二次函数知识点：二次函数的概念、顶点坐标、对称轴、单调性等。

题型练习：已知二次函数y=x^2-4x+3，请确定函数的顶点坐标、对称轴，并描述函数的单调性。

3. 指数函数与对数函数知识点：指数函数与对数函数的性质、图像、定义域与值域等。

题型练习：已知指数函数y=3^x，请确定函数的定义域、值域，并绘制函数图像。

二、几何与三角函数1. 三角函数知识点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、性质、图像等。

题型练习：已知直角三角形中一角的正弦值为0.6，请确定该角的度数，并计算其余弦和正切值。

2. 平面几何知识点：平面图形的面积、周长、相似性、圆的性质等。

题型练习：已知正方形的边长为3 cm，请计算其面积和周长。

3. 空间几何知识点：立体图形的体积、表面积、相似性、平行性等。

题型练习：已知长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，请计算其体积和表面积。

三、概率与统计1. 概率知识点：概率的基本概念、概率的计算、事件间的关系等。

题型练习：有一枚均匀的骰子，抛掷一次，求出出现奇数点数的概率。

2. 统计知识点：统计数据的收集、整理、分析和展示等。

题型练习：某班级的学生身高数据为：160 cm、165 cm、170 cm、175 cm、180 cm，请计算平均身高和中位数。

以上仅为部分高考数学的知识点总结和相应题型练习，希望对同学们备考高考数学有所帮助。

在备考过程中，同学们要注重理论与实践相结合，多进行题型练习和模拟考试，熟悉考题的出题规律和解题技巧。