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a=zeros(6); %邻接矩阵初始化 a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10; a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;a(3,4)=10;a(3,5)=20; a(4,5)=10;a(4,6)=25;a(5,6)=55; a=a; b=sparse(a)
2018/9/28 数学建模1
图与网络模型实验
1. 邻接矩阵表示法 邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵，邻接矩 阵记作W = ( wij )n´ n ，当G 为赋权图时 ì ï ï 权值，当vi 与v j 之间有边时， wij = í ï 0或¥ ，当vi 与v j 之间无边时. ï ï î 当G 为非赋权图时， ì ï ï 1，当vi 与v j 之间有边时， wij = í ï 0，当v i 与v j 之间无边时. ï ï î 采用邻接矩阵表示图，直观方便，通过查邻接矩阵元
v1
v2
v3
v4
v5
u5
2018/9/28
u4
u3
数学建模1
u2
u1
• 根据题意，人不在场时，狼要吃羊，羊要 吃菜，因此，人不在场时，不能将狼与羊， 羊与蔬菜留在河的任一岸。例如，状态（0， 1，1，0）表示人和菜在对岸，而狼和羊在 此岸，这时人不在场狼要吃羊，因此，这 个状态是不可行的。
• 通过穷举法将所有可行的状态列举出来，可行的状 态有（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1， 0，1），（1，0，1，1），（1，0，1，0），（0， 1，0，1），（0，1，0，0），（0，0，1，0）， （0，0，0，1），（0，0，0，0）可行状态共有十 种。每一次的渡河行为改变现有的状态。现构造赋 权图 ，其中顶点集合 中的顶点（按照上面的顺序 编号）分别表示上述十个可行状态，当且仅当对应 的两个可行状态之间存在一个可行转移时两顶点之 间才有边连接，并且对应的权重取为1，当两个顶 点之间不存在可行转移时，可以把相应的权重取为 inf 。
h = view(biograph(b,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','off'))
2018/9/28
数学建模1
实验项目名称： 图论模型MATLAB软件预处理
• 实验目的与原理：掌握图与网络在计算机 中数据存取方法，将图与网络转化为领接 矩阵、稀疏矩阵等多种方法，矩阵的各种 读写方式。
赋权图G 之间的状态转移关系见图 4.8，最终求得的 状态转移顺序为 1 6 3 7 2 8 5 10 ， 经过 7 次渡河就可以把狼，羊，蔬菜运过河，第一次运 羊过河，空船返回；第二次运菜过河，带羊返回；第三 次运狼过河，空船返回；第四次运羊过河。
Node 6 Node 7 Node 9 Node 8 Node 10
最短路问题软件求解
（1）用狄克斯屈拉算法写代码 （2）用逐次逼近法写代码 (3)用graphshortestpath() (4)0-1线性整数规划模型 x = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options) x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq)
Node 1
Node 3
Node 2
Node 4
Node 5
图 4.8 可行状态之间的转移
clc, clear a=[1 1 1 1;1 1 1 0;1 1 0 1;1 0 1 1;1 0 1 0 0 1 0 1;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1; 0 0 0 0]; %每一行是一个可行状态 b=[1 0 0 0;1 1 0 0;1 0 1 0;1 0 0 1]; %每一行是一个转移状态 w=zeros(10); %邻接矩阵初始化 for i=1:9 for j=i+1:10 for k=1:4 if findstr(mod(a(i,:)+b(k,:),2),a(j,:)) w(i,j)=1; end end end end w=w'; %变成下三角矩阵 [i,j,v]=find(w); %找非零元素 c=sparse(i,j,v,10,10) %构造稀疏矩阵 [x,y,z]=graphshortestpath(c,1,10,'Directed',false) % 该图是无向图 h = view(biograph(c,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','off')); Edges = getedgesbynodeid(h); %提取句柄h中的边集 set(Edges,'LineColor',[0 0 0]); %为了将来打印清楚，边画成黑色 set(Edges,'LineWidth',1.5); %线型宽度设置为1.5
2018/9/28
数学建模1
• 定义： • 1）人—M（Man），狼—W（Wolf）， 羊—G （Goat）， 草—H（Hay） • 2） 点—— vi 表示河岸的状态 • 3） 边—— ek 表示由状态 vi 经一次渡河到状 态 vj • 4） 权——边 ek 上的权定为 1
我们可以得到下面的加权有向图
渡河游戏 • 一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要 从南岸过河到北岸，河上只有一条独木舟， 每次除了人以外，只能带一样东西；另外， 如果人不在，狼就要吃羊，羊就要吃白菜， 问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东 西都运过河去，并且在河上来回次数最少？ 这个问题就可以用求最短路方法解决。
实验内容与步骤：
• 因此问题变为在图 中寻找一条由初始状态（1， 1，1，1）出发，经最小次数转移达到最终状态 （0，0，0，0）的转移过程，即求从状态（1， 1，1，1）到状态（0，0，0，0）的最短路径。 这就将问题转化成了图论中的最短路问题。 • 该题的难点在于计算邻接矩阵，由于摆渡一次 就改变现有的状态，为此再引入一个四维状态 转移向量，用它来反映摆渡情况。用1表示过河， 0表示未过河。例如，（1，1，0，0）表示人带 狼过河。状态转移只有四种情况，用如下的向 量表示（1，0，0，0），（1，1，0，0），（1， 0，1，0），（1，0，0，1）。
素的值可以很容易地查找图中任两个顶点 v i 和 v j 之间有无 边，以及边上的权值。当图的边数 m 远小于顶点数 n 时， 邻接矩Байду номын сангаас表示法会造成很大的空间浪费。
4. 稀疏矩阵表示法 稀疏矩阵是指矩阵中零元素很多，非零元素很少的矩 阵。对于稀疏矩阵，只要存放非零元素的行标、列标、非零 元素的值即可，可以按如下方式存储（非零元素的行地址， 非零元素的列地址） ，非零元素的值。
最短路问题
2018/9/28
数学建模1
• 状态说明： • v1,u1 =( M,W,G,H ); v2,u2 =(M,W,G); v3,u3 =(M,W,H); 此游戏转化为在下面的二部图中求从 v 到 u 的最短路问题。 • v4,u4=(M,G,H); v5,u5 =(M,G)
1 1
最短路问题
在 Matlab 中无向图和有向图邻接矩阵的使用上有很 大差异。 对于有向图，只要写出邻接矩阵，直接使用 Matlab 的命令 sparse 命令， 就可以把邻接矩阵转化为稀疏矩阵的 表示方式。
对于无向图， 由于邻接矩阵是对称阵， Matlab 中只 需使用邻接矩阵的下三角元素，即 Matlab 只存储邻接 矩阵下三角元素中的非零元素。 稀疏矩阵只是一种存储格式。 Matlab 中， 普通矩阵 使用 sparse 命令变成稀疏矩阵， 稀疏矩阵使用 full 命令 变成普通矩阵。
= {v s , v1 ,L , v5 , vt } 中
?
8 3 0 .
clc, clear a=zeros(7); a(1,2)=4; a(1,3)=2; a(2,3)=3; a(2,4)=2; a(2,5)=6; a(3,4)=5; a(3,6)=4; a(4,5)=2; a(4,6)=7; a(5,6)=4; a(5,7)=8; a(6,7)=3; b=sparse(a); %构造稀疏矩阵，这里给出构造稀疏矩阵 的另一种方法 [x,y,z]=graphshortestpath(b,1,7,'Directed',true,'Method',' Dijkstra') % Directed是有向的 h=view(biograph(b,[],'ShowArrows','on','ShowWeights','o n'))
例 4.11 度。
求图 4.9 所示有向图中 v s 到 v t 的最短路径及长
v1
4
6
2
2
v4
8
vs
2
3
5
v3
4
4
7
vt
3
v2
v5
图 4.9 有向图的最短路
解 该赋权有向图中顶点集V 总共有 7 个顶点，邻接矩阵 轾 0 4 2 ゥ ゥ 犏 犏 ゥ 0 3 2 6 犏 犏 ゥ 0 5 ゥ 4 犏 W= 犏 ゥ ゥ 0 2 7 犏 犏 ゥ ゥ 0 4 犏 犏 ゥ ゥ ? 0 犏 犏 ゥ ゥ ゥ 臌
2018/9/28
数学建模1
S=[1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 7 8]; %起始节点向量 E=[2 3 5 4 4 6 5 7 8 6 7 8 9 9 9]; %终止节点向量 W=[1 2 12 6 3 4 4 15 7 2 7 7 15 3 10]; %边权值向量，有向 图，G(9,9)=0; 9个节点 G=sparse(S,E,W); %关联矩阵的稀疏矩阵表示 G(9,9)=0; P=biograph(G,[],'ShowWeights','on');%建立有向图对象P H=view(P);%显示各个路径权值 [Dist,Path]=graphshortestpath(G,1,9,'Method','Dijkstra') % 求节点1到节点9的最短路径 set(H.Nodes(Path),'Color',[1 0.4 0.4]);%以下三条语句用红 色修饰最短路径 edges=getedgesbynodeid(H,get(H.Nodes(Path),'ID')); set(edges,'LineColor',[1 0 0]); set(edges,'LineWidth',2.0);
