山东省青岛开发区十四中高三数学一轮复习椭圆几何性质专项练习
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山东省青岛开发区十四中2015届高三一轮复习数学椭圆几何性质专项练习
1、已知P 是椭圆1452
2=+y x 上一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为（ ）
A ．33
4
B ．)32(4-
C ．)32(4+
D ．4
2、已知椭圆122
2
2=+b y a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优
美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为
3、椭圆的两焦点为F1，F2，以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为
4、椭圆1492
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，
点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_ _ 5、设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,
且
4CBA π
∠=
,若AB=4,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为
6、在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴
的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率
为 .
7、已知焦点在x 轴上的椭圆),0(,1422
2>=+b b y x F1,F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得
→
→=⋅021PF PF ，则b 的取值范围是
8、椭圆1492
2=+y x 上的点到直线2x-3y+33=0距离的最大值是
9、椭圆
22
22:1
x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为3,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接
12
,PF PF ,设
12
F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点
(,0)M m ,求m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线
12
,PF PF 的斜
率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1
211kk kk +
为定值,并求出这个定值.
10、如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率
2
2e =
,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于
,A A '两点,4AA '=.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '
作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '
⊥,求圆Q 的标准方程.
11、平面直角坐标系xOy 中,过椭圆22
22:1(0)
x y M a b a b +=>>的右焦点F 作直30x y +=交M 于,A B 两
点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为1
2.
(Ⅰ)求M 的方程;
(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.
参考答案
1、已知P 是椭圆1452
2=+y x 上一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为（ B ）
A ．33
4
B ．)32(4-
C ．)32(4+
D ．4
2、已知椭圆122
22=+b y a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优
美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为
21
5-
3、椭圆的两焦点为F1，F2，以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分， 则椭圆的离心率为
13- .
4、椭圆1492
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围
是___
553553<<-
x _
5．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π
∠=
,若AB=4,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为
________
【答案】46
.
6、在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴
的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为
_______.
【答案】3
7、已知焦点在x 轴上的椭圆),
0(,1422
2>=+b b y x F1,F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得
→
→=⋅021PF PF ，则b 的取值范围是 (]
2,0
8、椭圆14922=+y x 上的点到直线2x-3y+33=0距离的最大值是__21__________
9、椭圆
22
22:1
x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,
离心率为,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接
12
,PF PF ,设
12
F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点
(,0)M m ,求m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线
12
,PF PF 的斜
率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1
211
kk kk +
为定值,并求出这个定值.
【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程222
21x y a b +=得2
b y a =± 由题意知221b a =,即2
2a b = 又
c
e a =
=2 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2
21
4x y +=
(Ⅱ)由题意可知:11||||PF PM PF PM ⋅u u u v u u u u v u u u v u u u u v =22||||PF PM PF PM ⋅u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ,11||PF PM PF ⋅u u u v u u u u v u u u v =22||PF PM PF ⋅u u u u v u u u u v u u u u v ,设00(,)P x y 其中
2
04x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(
23
000
416)312x x x -=-,因为
2
04x ≠, 所以
034m x =
,而0(2,2)x ∈-,所以
33
(,)22m ∈- (3)由题意可知,l 为椭圆的在p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:
0014x x y y +=,所以004x k y =-,
而
12
k k ==,代入1211kk kk +中得
001200
11
4(8x x kk kk x x +=-+=-为定值.
10、如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,
离心率
2e =
,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于
,A A '两点,4AA '=.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '
作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '
⊥,求圆Q 的标准方程.
【答案】
11、平面直角坐标系xOy中,过椭圆
22
22
:1(0)
x y
M a b
a b
+=>>
的右焦点F作直30
x y+=交M于,A B两
点,P为AB的中点,且OP的斜率为1 2.
(Ⅰ)求M的方程;
(Ⅱ),C D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD AB
⊥,求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】。
