2015-2016学年高二上学期第三次月考数学试卷(文)
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高二年级第三次月考文科数学试题时量：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、 已知复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则复数z = ( )A 、1i +B 、1i -C 、 1i -+D 、1i -- 2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xxy =+D ．sin 2y x x =+ 3. 在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.3D 1.5D4. 设0.61.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )A.a b c ＜＜B. a c b ＜＜C.b a c ＜＜D.b c a ＜＜5. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 6. 设a ，b 为正实数，则“a＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件7. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A ．83cm B ．123cm C ．3233cm D ．4033cm 8. .函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ）A ．[3,1]-B ．(3,1)-C ． (,3][1,)-∞-+∞D ．(,3)(1,)-∞-+∞9. 已知非零向量,a b满足||=4||(+)b a a a b ⊥ ，且2则a b 与的夹角为（ ）A ．3π B ． 2π C ． 32π D ． 65π10. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）11. 设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b = ( ) A ．1 B ．78 C ．34 D ．1212. 设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )A ．252 B ．492 C ．12 D ．14二．填空题:本大题共4小题,每小题4分,共20分 13. =-+-1)21(2lg 225lg .14. 在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ，45=∠B ，则=AC .15. 已知数列{}n a 是首项、公比都为正数的等比数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为841)3n -（，则数列}{n a 的通项公式为 . 16. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .三．解答题:本大题共6小题,共70分 17. 已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,2π上的最大值和最小值.18. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果;（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.19. 如图,已知1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA AB =AC =3,1BC AA ==1BB = 点E ,F 分别是BC ,1AC 的中点.（I ）求证:EF 平面11A B BA ; （II ）求证:平面1AEA ⊥平面1BCB .（III ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.20..已知数列}{n a 中，11=a ，-12n n a a -=（2≥n ） （I ）求数列{}n a 的通项公式和它的前n 项和n S ； （II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21. 已知函数4()4,,f x x x x =-∈R （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =, 求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.22. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b bαα的离心率为2，且12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.高二年级第四次月考文科数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. D2. A3. B4. C5.B6. A7. C8. D9. C 10. D 11. D 12.A二．填空题:本大题共4小题,每小题4分,共20分13.-1 14. 2 15.12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 16. 12-.三．解答题:本大题共6小题,共70分 17. 已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,2π上的最大值和最小值.18. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果;（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】（I ）3,1,2;（II ）（i ）见试题解析;（ii ）35（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A ==19. 如图,已知1AA ⊥平面ABC ,11,BB AAAB =AC =3,1BC AA =1BB = 点E ,F 分别是BC ,1AC 的中点.（I ）求证:EF 平面11A B BA ; （II ）求证:平面1AEA ⊥平面1BCB .（III ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小. 【答案】（I ）见试题解析;（II ）见试题解析;（III ）30 【解析】（II ）因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .（III ）取1BB 中点M 和1B C 中点N ,连接11,A M A N ,,NE 因为N 和E 分别为1B C ,BC 中点,所以1NE BB ,112NE BB =,故1NE AA ,1NE AA =,所以1A N AE ,1A N AE =,又因为AE ⊥平面1BCB,20.已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 14(31)4.9n n n T ++-⋅=【解析】21. 已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）见试题解析;（III ）见试题解析. 【解析】由于3()44f x x ¢=-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.（III ）由（II ）知()13124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412ax '=-+,因为()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,又由（II ）知()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .类似的,设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 可得()4h x x = ,对任意的(),x ∈-∞+∞,有()()40f x h x x -=-≤ 即()()f x h x ≤ .设方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '= ,因为()4h x x = 在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,因此,11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .22. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b bαα且12）在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）||2||OQ OP =；（ii ）（i ）设00||(,),,||OQ P x y OP λ=由题意知00(,)Q x y λλ--.。
