2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（ ）U =R {}|24A x x =≤≤{}2|log 1B x x =>()U A B =A ．B ．C ．D ．∅{}2{}|02x x ≤≤{}|4x x ≤【答案】B【分析】首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.B 【详解】因为，{}{}222[2,4],|log 1|log log 2A B x x x x ==>=>又因为是上的单调递增函数，2log y x =()0,∞+所以，则，所以，()2B =+∞，(]U 2B =-∞， (){}U 2A B = 故选：B .2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ）2i1i z =-i z A ．1BC ．2D ．4【答案】B【分析】先化简，然后利用模的公式进行求解即可z 【详解】因为，()()()()2121111i i ii i i i i i 1z +===+=-+--+=故选：B3．“是“直线与圆：相交”的（ ）k <≤y kx =C ()2223x y -+=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据直线和圆相交时圆心到直线的距离和半径的关系判断“和“直线与k <≤y kx =圆：相交”的逻辑推理关系，即可判断答案.C ()2223x y -+=【详解】设圆：的圆心到直线的距离为d ，C ()2223x y -+=y kx =则，d =当直线与圆：相交时，，y kx =C ()2223x y -+=d =<解得k <<当一定成立，k<<k<≤当k <≤k <<k 故“是“直线与圆：相交”的必要不充分条件，k <≤y kx =C ()2223x y -+=故选：B4．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下：()()()()()22 5.879n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++α0.150.100.050.0250.010x α2.0722.0763.8415.0246.635则下列说法中正确的是：（ ）A ．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”B ．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”【答案】C【分析】根据独立性检验的方法即可求解.【详解】由题意可知，，()()()()()22 5.879 5.024n ad bc a b c d a c b d χ-=≈>++++所以在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”.2.5%故选：C.5．设等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 3644a a a +=+9S =A ．18B ．24C ．48D ．36【答案】D【解析】由题意结合等差数列的性质可得，再由等差数列前项公式结合等差数列的性质可54a =n 得，即可得解.19959()92a a S a +==【详解】数列是等差数列，所以，{}n a 365444a a a a a +=+=+所以，所以..54a =19959()92a a S a +==36=故选：D .【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6．执行如图所示的程序框图，输出的Р为（ ）A ．10B ．5C ．D ．1-8-【答案】C【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．【详解】，则，17i =<112,011,20119i T P =+==+==-=，则，27i =<213,112,19217i T P =+==+==-=，则，37i =<314,213,17314i T P =+==+==-=，则，47i =<415,314,14410i T P =+==+==-=，则，57i =<516,415,1055i T P =+==+==-=，则，67i =<617,516,561i T P =+==+==-=-，所以输出的Р为.77i =≥1-故选：C.7．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:20至8:10之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12232535【分析】根据几何概型求概率公式进行求解.【详解】7:20至8:10之间共50分钟，其中当到达车站的时刻为7:20至7:30之间，或者7:50至8:00之间时，满足等车时间不超过10分钟，共有20分钟满足要求，故他等车时间不超过10分钟的概率为.202505=故选：C 8．函数的图象大致为（ ）()cos e xx xf x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可π(0,2x ∈判断作答.【详解】函数的定义域为R ，，即函数是()cos e x x x f x =()()()cos cos e e x xx x x xf x f x ----==-=-()f x 奇函数，排除CD ；当时，，即当时，函数的图象在x 轴的上方，显然A 不满π(0,2x ∈()cos 0e xx x f x =>π(0,)2x ∈()f x 足，B 满足.故选：B9．“不积跬步，无以至千里:不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离明年高考还有242天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是()24211%+；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的2421.0110.8925≈()24211%-2420.990.0896≈值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天.(参考数据:)lg101 2.0043,lg 99 1.9956≈≈A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.【详解】依题意，1.011000.99nn≥所以，1.01lg lg100,lg1.01lg 0.9920.99nn n n≥-≥，()10199lg1.01lg 0.992,lg lg 2100100n n ⎛⎫-≥-≥ ⎪⎝⎭，()()lg101lg 992, 2.0043 1.99562n n -≥-≥，20.00872,2300.0087n n ≥≥≈所以大约经过天.230故选：D10．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15310325625【答案】D【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有种实习方案，3353C A 60=当分为2,2,1人时，有种实习方案，22353322C C A 90A ⋅=即共有种实习方案，6090150+=其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，13233333C A C A 36+=故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，36615025=故选：D.11．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、1F 2F C 22221()00a x y a b b >-=>，1F C 右两支分别交于A ，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）B 22345AB BF AF =∶∶∶∶A ．2BCD 【答案】C 【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再3AB =24BF =25AF =1a =290ABF ∠=利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．2452c =【详解】，不妨令，，，22345AB BF AF = ：：：：3AB =24BF =25AF =，，22222||||AB BF AF += 290ABF ∠∴=又由双曲线的定义得：，，122BF BF a-=212AF AF a-=，11345AF AF ∴+-=-13AF ∴=．，．123342BF BF a∴-=+-=1a ∴=在中，，12Rt BF F 222221212||||6452F F BF BF =+=+=又，，2212||4F F c =2452c ∴=c ∴=双曲线的离心率．∴ce a ==故选;C12．已知定义在R 上的函数满足，且函数是偶函数，当时，()f x ()()2f x f x =--()1f x +[]1,0x ∈-，则（ ）()21f x x =-20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．925162534254125【答案】C【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有(1)f x +()f x 1x =，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和()(2)f x f x -=+()2()f x f x =--()f x 将化到上即可求解.()2()f x f x =--20235[]1,0-【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，(1)f x +(1)(1)f x f x -=+()(2)f x f x -=+因为，所以，所以，()2()f x f x =--()(2)2f x f x ++=(2)(4)2f x f x +++=所以，所以函数的周期为4，()(4)f x f x =+()f x 所以，33((101204(53525f f f =⨯+=因为，所以.233334(2()21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭故选：C.二、填空题13．设满足约束条件，则的最大值为__________.,x y 103010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩2zx y =-【答案】6【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可得出最大值.2z x y =-【详解】画出可行域解可得，.3010x y y +-=⎧⎨+=⎩()4,1B -由图可知，当直线经过点时，取得最大值6.:2l z x y =-()4,1B -z 故答案为：.614．已知随机变量满足，若，则__________．ξ()2,B p ξ ()314P ξ≤=p =【答案】/120.5【分析】根据，利用二项分布的概率公式列方程计算即可.()()()101P P P ξξξ≤==+=【详解】由已知得，()()()()()21231011C 14P P P p p p ξξξ≤==+==-+-=解得12p =故答案为：.1215．的展开式中含项的系数为30，则实数a 的值为___________．61(1)ax x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭3x 【答案】2【分析】写出的展开式的通项，再令的指数等于和，结合题意即可得解.61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 32【详解】的展开式的通项为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661C C ,0,1,2,3,4,5,6kk k k kk T x x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭令，则，令，则（舍去），622k -=2k =623k -=32k =所以的展开式中含项的系数为，61(1)ax x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭3x 26C 1530a a ==所以.2a =故答案为：.216．对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--()f x [1,1]-仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当π2π(Z)4x k k =+∈()f x ()f x π时，.其中正确结论是__________.π2π,2π(Z)2x k k k ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭()0f x >【答案】②④【分析】将表示为分段函数的形式并画出图像，根据三角函数的值域、最值、最小正周期、()f x 函数值等知识确定正确答案.【详解】因为，cos ,sin cos 11()(sin cos )sin cos sin ,sin cos 22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩作出函数的图像，如图所示：()fx 所以，的值城为，①错误；()fx ⎡-⎢⎣函数的最小正周期是，③错误；()f x 2π当且仅当时，函数取得最大值，②正确；π2π(Z)4x k k =+∈()f x 当且仅当时，，④正确.π2π,2π(Z)2x k k k ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭()0f x >故答案为：②④三、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，.ABC 4a =6c =1cos 8C =(1)求及b 的值；sin A (2)求AB 边上的高.【答案】(1)sin A=5b =【分析】（1）先由，求得，再利用正弦定理即可求得，利用余弦定理即可求得1cos 8C =sin C sin A ；b （2）利用等面积法求解即可.【详解】（1）在中，因为，ABC 1cos 8C =所以，sin C ==又，4,6a c ==由正弦定理得：sin sin a CA c===由余弦定理得：，2222cos c a b ab C =+-即，2200b b --=解得或（舍去）；5b =4b =-（2）设AB 边上的高为，h 则，11sin 22ABC S bc A ch== 即，解得1156622h ⨯⨯=⨯h =即AB 18．为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100直方图：(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机[80,90)[90,100]抽取2人，这2人中在的人数设为随机变量，请求出随机变量的分布列与数学期望.[90,100]X X 【答案】(1)72(2)分布列见解析，()23E X =【分析】（1）根据中位数的求法求得中位数.（2）根据分层抽样求得和抽取的人数，然后按照超几何分布的知识求得分布列并[80,90)[90,100]求得数学期望.【详解】（1）因为，()0.0100.030100.40.5,0.40.045100.850.5+⨯=<+⨯=>所以竞赛成绩的中位数在内.[)70,80设竞赛成绩的中位数为，则，解得.m ()700.0450.40.5m -⨯+=72m ≈所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.（2）和的频率分别为，[80,90)[90,100]0.1,0.05所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，[80,90)4[90,100]2的可能取值为，X 0,1,2，()022426C C 620C 155P X ====，()112426C C 81C 15P X ===,()202426C C 12C 15P X ===所以随机变量的分布列为:X X 012P 25815115数学期望.()8121215153E X =⨯+⨯=19．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，其中，P ABCD -AD BC ，，，平面ABCD ，且，点M 在棱PD 上（不包括端点），AD BA ⊥3AD =2AB BC ==PA ⊥3PA =点N 为BC 中点．(1)若，求证：直线平面PAB ；2DM MP = MN (2)求二面角的余弦值．N PC D --【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明（2）建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）取PA 的点Q ，满足，连接MQ ，QB ，2=AQ PQ因为，所以且，2DM MP = MQ AD 113QM AD ==又因为，且，点N 为BC 中点，即，且，BC AD 2BC =BN AD 1BN =所以且，则四边形MQBN 为平行四边形，MQ BN BN MQ =则，平面PAB ，平面PAB ，MN BQ ∥MN ⊄BQ ⊂所以直线平面PAB ．MN （2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则，，，，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,3,0D ()0,0,3P 又N 为BC 的中点，则，()2,1,0N 所以，，，，()0,3,3PD =- ()2,1,0CD =- ()2,1,3PN =- ()2,2,3PC =- 设平面CPD 的法向量为，()1,,n x y z = 则，令，则，1120330n CD x y n PD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1x =()11,2,2n = 设平面CPN 的法向量为，()2,,n a b c = 则，令，则，222230230n PC a b c n PN a b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 3a =()23,0,2n = 所以，121212cos ,n n n n n n ⋅=== 由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为N PC D --20．设正项数列的前n 项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：{}n a n S 11a =①，；②；③34a =()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥()1n n S ma m =-∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.()()12323412n n a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R (1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，是数列的前n 项和，求证：.()2111log n n b n a +=+n T {}n b 1n T <【答案】(1)12n n a -=(2)见解析【分析】（1）选①，证得数列等比数列，求出公比，再根据等比数列得通项公式即可的解；{}n a 选②，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；11a S =m n 选③，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；1122a k =⋅k n （2）利用裂项相消法求出，即可得解.n T 【详解】（1）解：选①，因为，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥所以，()2112n n n a a a n -+=≥所以数列等比数列，{}n a 设数列得公比为{}n a ,0q q >由，得或（舍去），22314a a q q ===2q =2q =-所以；12n n a -=选②，因为，()1n n S ma m =-∈R 当时，，1n =1111S ma a =-=所以，所以，11m -=2m =即，21n n S a =-当时，2n ≥，1122n n n n n a S S a a --=-=-所以，()122n n a a n -=≥所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，{}n a 所以；12n n a -=选③，因为，()()12323412n n a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R当时，，所以，1n =11222a k =⋅=1k =即，()12323412nn a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当时，，2n ≥11231234(1)2n n a a a na n --++++=-⋅ 所以，1(1)(1)2(2)n n n a n n -+=+⋅≥即，12(2)n n a n -=≥当时，上式也成立，1n =所以；12n n a -=（2）证明：由（1）得，()()2111111log 11n n b n a n n n n +===-+++所以，11111221111131n T n n n =-+--=-<++++ 所以.1n T <21．某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：20152016201720182019年份x12345报考人数y 3060100140170(1)经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测年y x y x ˆˆˆybx a =+2020（按计算）的报考人数；6x =(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，()2,N μσ385μ=，录取方案：总分在分以上的直接录取；总分在之间的进入面试环节，录取2225σ=400[]385,400其中的；低于分的不予录取，请预测年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，80%3852020保留整数）．参考公式和数据：，，．()()()121ˆni ii n i i x x y y b x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx =-()()51360i i i x x y y =--=∑若随机变量，则，，()2,X N μσ ()0.6826P X μσμσ-<<+=()220.9544P X μσμσ-<<+=．()330.9974P X μσμσ-<<+=【答案】(1)，人ˆ368yx =-208(2)人90【分析】（1）根据已知条件以及参考数据，利用公式求解即可.（2）根据已知，利用正态分布以及频数的计算公式进行求解.【详解】（1）由题可知：，，1(12345)35x =++++=1(3060100140170)1005y =++++=，，521(10i i x x =-=∑51521()()360ˆ3610()i i i ii x x y y bx x ==--===-∑∑．ˆˆ1003638a y bx =-=-⨯=-关于的线性回归方程为，y ∴x ˆ368y x =-当2020年即时，人，6x =ˆ3668208y=⨯-=即预测2020年的报考人数为208人.（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布，，(385N 215)则，,40038515=+10.6826(400)0.15872P X ->==直接录取人数为人,2080.158733.0133⨯=≈，之间的录取人数为人，[385400]0.68262080.856.8572⨯⨯=≈预测2020年该专业录取的大约人数是人．∴335790+=22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-过定点.l 【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB ,x t x =-<<2x ≠-则，,,A t B t ⎛⎛⎝⎝所以，212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：，22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，，122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++12112(21)()22k m k x x =+-++++12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--，24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。
