线性代数证明题

27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=332322131211000a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ， 其中000332312=-=a a A ，00002213=-=a A ，00121123=-=a aA ， 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3332223121111||1A A A A A A A A 是上三角矩阵． 四、证明题（本大题6分）27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ，得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-． 四、证明题（本大题6分）27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关． 证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．四、证明题（本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2，得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．四、证明题（本大题6分）27．设α为0=Ax 的非零解，β为b Ax =（0≠b ）的解，证明α与β线性无关． 证：设021=+βαk k ，则0)(21=+βαk k A ，021=+βαA k A k ，0021=+b k k ，由此可得02=k ，从而01=αk ，又0≠α，可得01=k ，所以α与β线性无关．27．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，r ξξξ,,,21 是其导出组Ax =0的一个基础解系．证明r ξξξη,,,,21 线性无关．证：设02211=++++r r k k k k ξξξη ， 则0)(2211=++++r r k k k k A ξξξη ， 02211=++++r r A k A k A k kA ξξξη ，000021=++++r k k k kb ，0=kb ， 由0≠b ，得0=k --（1） 从而02211=+++r r k k k ξξξ ， 由r ξξξ,,,21 线性无关，得021====r k k k -（2） 由（1）（2）可知r ξξξη,,,,21 线性四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设向量组321,,ααα线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=，证明：向量组321,,βββ线性无关． 证：设0332211=++βββk k k ，即0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ， 0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，因为321,,ααα线性无关，必有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，021111110110101110011101||≠=-=-==A ，方程组只有零解：0321===k k k ，所以321,,βββ线性无关．四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022=+A A ，证明A 的特征值只能是0或2-．证： 设a 是A 的特征值, 则 a^2+2a 是 A^2+2A 的特征值而 A^2+2A =0, 零矩阵的特征值只能是0 所以 a^2+2a = 0 所以 a(a+2)=0 所以 a=0 或 a=-2 即A 的特征值只能是0或-2.四、证明题（本大题共1小题，6分）27．证明：若向量组n ααα,,,21 线性无关，而n n n n ααβααβααβααβ+=+=+=+=-132321211,,,, ，则向量组n βββ,,,21 线性无关的充要条件是n 为奇数．证：设02211=+++n n k k k βββ ，即0)()()(1232121=+++++++n n k k k k k k ααα ，由n ααα,,,21 线性无关，可得齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+0013221n k k k k k k ，其系数行列式110000100110001)1(10001100001001110001110000010001100011||1nA +-+== n +-+=1)1(1，当且仅当n 为奇数时，0||≠A ，齐次方程组只有零解，n βββ,,,21 线性无四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ 四、证明题（本大题6分）27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无 证明：设存在不全为0的实数k1,k2,k3,k4,k5使得k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0 则(k1+k5)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4+(k4+k5)α5=0 因为向量组α1.α2.α3.α4,α5线性无关，所以k1+k5=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0，k4+k5=0 解得k1=k2=k3=k4=k5=0所以不存在不全为0的实数使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0， 所以向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1线性无关。

《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1关于-「m线性相关性的证明中常用的结论(1)设'' m> m = °，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明U，'m必全为零，则…「m线性无关；如果能得到不全为零的-厂，’m使得等式成立，贝，1厂「m线性相关。

(2)i厂「m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。

(3)如果〉i厂「m F n，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。

(4 ) 如果我们有两个线性无关组，〉1厂，5，W i，1，,「W且W「W 是同一个线性空间的两个子空间，要证>1,…「m「i，_「t线性无关。

这种情况下，有些时候我们设-°1 1 mm 11 t t1 1 mm， 1 1 t t根据题设条件往往能得到----° ,进而由〉1，_「m・W「」…，1 W的线性无关得到系数全为零。

题型2・关于欧氏空间常用结论(1)内积的定义(2)单位正交基的定义U B二(X i， ,X n)，B 二(y「，y n)。

则(u,v)二人％人丫“5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论(1)初等变换不改变矩阵的秩(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩(3)阶梯形的秩(4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式r(A Bp r(A) r(B);r(AB)乞min{ r(A),r(B)};r(A) = r(A T) = r(A T A);max{r(A), r(B)}乞r(A, B) = r I T乞r(A) r(B);6丿Ar = r(A) + r(B);< B丿(A、r(A) + r(B)兰r | 兰r(A) + r(B) + r(C);<C B丿A m nB 二0= r(A) r(B尸n(5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式)例：证明：r(A m n) r(B厂n r(AB)。

线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。

3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。

10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。

13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。

第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。