巧思妙解1
- 格式：docx
- 大小：86.95 KB
- 文档页数：2
下载文档原格式
合集下载
一元一次方程之巧思妙解
一元一次方程之巧思妙解
解一元一次方程的通常步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1.但是对于有些具备特殊性的一元一次方程，我们完全可以打破常规，灵活、巧妙地变通解题步骤，避繁就简，使解题过程简捷明了. 下面介绍几种技巧，供同学们参考.
一、巧去括号
分析：如果按例1使括号前的系数依次相乘，解题过程会变得非常复杂.这时要充分利用方程特点，将方程两边同乘以或除以某数，是括号前的系数变成1，从而去掉括号.
解：方程两边同乘以3，去掉大括号，然后
二、巧拆项
分析：观察方程的特点，可先将每个含有分母的多项式拆开，分类合并，可简化过程.
分析：观察各项未知数的系数和常数
三、巧换元
分析：将（x-1）看成一个整体，用换元法，可大大简化运算.
四、巧用分式的基本性质
分析：若直接去分母较繁，观察本题可先用分数的基本性质，使化分数和去分母一次到位，从而避免了繁杂的运算.
五、巧分组通分
分析：观察四个分母的数字特点，采用移项后分组通分，即将分母是21和14的两项放在一组，另外两项成一组，可巧解方程.
分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项中的分母有公约数4，移项局部通分，可简化解题过程.。
巧思妙解求个数
３＋３＋３＋ｌ＋１＝ １ ， 选 ｅ 故 １
个， 得到俯 视 图中每 个小正方形 相应位 置上 的正 方
体货箱 的个数 （ 如图 ７ ， ）于是求得这些 正方体货箱的个 数是 １＋ ２＋１＋１ ３＋ ＋１＝９故选 Ｃ这堆正方体小货 ． ．
零 ① ３
①２ ①１
１
３ ２
数依次为 ３ ２ １ 将数字填入俯视 图中从上 到下 的 ， ，， 每行小正方形中， 图 ６ 如 所示每个小正方形内不带
４７
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
形的个数依次为 ２ １１ 将数字填入俯视 图中从 左 ，， ，
．
菇 ， 荔
中学数 学杂 志
２ １ 第 ４期 ００年
圈 的数 字． 取 图 ６中每个小正方形 内填人的一对数 中较小 的
观察左视图， 从左到右每列 中的小正方形的个数
依次为 １２将数字填入俯视 图中从上到下 的每行小正 ，， 方形 中， 图 ２中每个 小正方形 内不带圈的数字 如
② １ ②
２
立方块组成的几何体 的三视图 ， 能不能求出这个几
何体 所需 的小 立方 块 呢？
我们 可 以先根 据 主视 图和左 视 图确 定 出俯视 图
中每 个小 正方 形相 应位 置上 的小 正 方 块 的个 数 ， 再
①１ ①
２
１
＿
１ １ １
求出组成这个几何体所需小正方块的个数． 具体方
法如 下 ：
２
第 一步 ： 根据 主视 图 ， 出从 左 到右 每列 中小 正 数
方 形 的个数 ， 在俯 视 图从 左 到 右相 应 的列 中的 每 个
１ １ １
主
俯 视
个， 得到俯 视 图中每 个小正方形 相应位 置上 的正 方
体货箱 的个数 （ 如图 ７ ， ）于是求得这些 正方体货箱的个 数是 １＋ ２＋１＋１ ３＋ ＋１＝９故选 Ｃ这堆正方体小货 ． ．
零 ① ３
①２ ①１
１
３ ２
数依次为 ３ ２ １ 将数字填入俯视 图中从上 到下 的 ， ，， 每行小正方形中， 图 ６ 如 所示每个小正方形内不带
４７
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
形的个数依次为 ２ １１ 将数字填入俯视 图中从 左 ，， ，
．
菇 ， 荔
中学数 学杂 志
２ １ 第 ４期 ００年
圈 的数 字． 取 图 ６中每个小正方形 内填人的一对数 中较小 的
观察左视图， 从左到右每列 中的小正方形的个数
依次为 １２将数字填入俯视 图中从上到下 的每行小正 ，， 方形 中， 图 ２中每个 小正方形 内不带圈的数字 如
② １ ②
２
立方块组成的几何体 的三视图 ， 能不能求出这个几
何体 所需 的小 立方 块 呢？
我们 可 以先根 据 主视 图和左 视 图确 定 出俯视 图
中每 个小 正方 形相 应位 置上 的小 正 方 块 的个 数 ， 再
①１ ①
２
１
＿
１ １ １
求出组成这个几何体所需小正方块的个数． 具体方
法如 下 ：
２
第 一步 ： 根据 主视 图 ， 出从 左 到右 每列 中小 正 数
方 形 的个数 ， 在俯 视 图从 左 到 右相 应 的列 中的 每 个
１ １ １
主
俯 视
巧学妙解王高中数学
巧学妙解王高中数学
【最新版】
目录
1.引言：介绍王高中数学的背景和重要性
2.巧学妙解的方法：详细解释如何巧学妙解王高中数学
3.实际应用：展示巧学妙解王高中数学的具体效果
4.结论：总结巧学妙解王高中数学的重要性和方法
正文
数学对于很多高中生来说是一项极具挑战性的学科，尤其是王高中数学。
然而，通过巧学妙解，学生可以更好地理解和掌握这门学科。
首先，我们需要了解什么是巧学妙解。
巧学妙解是一种通过寻找问题的关键点，然后运用数学规律和技巧进行解答的方法。
对于王高中数学来说，这意味着学生需要找到问题的切入点，然后运用数学公式和定理进行解答。
那么，如何巧学妙解王高中数学呢？学生需要从以下几个方面入手。
首先，学生需要熟悉数学公式和定理。
这是巧学妙解的基础。
学生需要掌握各种数学公式和定理，并能够熟练运用它们。
其次，学生需要培养数学思维。
数学思维是指运用逻辑思维和抽象思维进行数学推理和证明的能力。
通过培养数学思维，学生可以更好地理解和掌握数学知识。
最后，学生需要多做练习。
练习可以帮助学生熟悉数学题型，提高解题能力。
同时，学生也可以通过做题来检验自己的学习成果，找出自己的不足之处，并及时进行改正。
巧学妙解王高中数学不仅可以提高学生的学习效率，还可以提高学生的数学成绩。
通过巧学妙解，学生可以更好地理解和掌握王高中数学，从
而在高考中取得好成绩。
总的来说，巧学妙解是一种有效的学习方法，可以帮助学生更好地理解和掌握王高中数学。
生活中数学奇思妙解
生活中数学奇思妙解一.隐含的剩余问题的条件1。
剪呢料一个裁缝，有一块十六米长的呢料，他每天从上面剪下两米，问多少天后，他剪下最后的一段呢料？2.一人最远走多少千米?甲乙二人到沙漠探险，每天走20千米，已知每人最多可以带一个人24天的食物、水，不准将部分食物存放于途中，求其中一人最远可以深入沙漠多少千米？（要求最后两人都返回出发点）设:甲开始和乙一起走，甲在途中返回，乙最后一个人走，并返回。
（如图1）乙和甲分手时最多只能带２４天的食物和水。
所以甲和乙在前面就要用去２４天的食物（包括甲返回的食物，和乙用去的食物），所以甲出发24÷3=８天就要返回。
（图2）乙和甲分手时最多只能带２４天的食物和水。
所以甲和乙在前面就要用去２４天的食物（包括甲返回的食物，和乙用去的食物），所以甲出发24÷3=８天就要返回。
（图2）乙分手的时候还有２４天的食物，但后８天的食物要先备足。
所以２４天－８天＝１６天的食物。
乙只能再向前走16÷2=8天这样乙一共走了两个8天，所以乙最远能走16×20=320千米。
3.有三个人登山，出发时每人只能够带六天的食物，也就是说只允许他们三天后返回下山。
为了能登的更高些，他们改变了食物分配。
其中两个人可以把自己的食物分给另一个人。
但保证自己能下山。
请问留下的的那人最高能登几天？二.数字和问题1.把1---8这8个数字填在正方形中,使其四条边上的数字之和相等．怎么填？把1——8的8 个数字加起来是36，正方形四条边的的数字之和相等；所以，四条边的数字和全部相加是4的倍数，而且角上的四个数字重复使用了一次，所以四条边的数字和可能是48，52，56，60，64 （1）当每条边是48时，每条边的和是48÷4=12。
角上四个数的和是48-36=12。
1+2+3+6=121 5 68 43 7 2图1（2）当每条边是52时，每条边的和是52÷4=13。
舍去“多余”条件巧思妙解
一
般解法 由 “ 原计划 每天用糖 １ ０ 千克 ”和计划２ ５０ 月份用糖 ２ ８
天 ，求得计划 用糖 千克 数为 ：１ ０ ８ ４ ０ ０（ 克 ） 由 “ ５ ０Ｘ２ ＝ ２ ０ 千 。 原计 划每天用糖 １ ０ 千克 ”和 “ 天节约 用糖２ ％ ” ，求得 实际 每天用 ０ ５ 每 ０
２ 、机床厂加 工一批机 床 ，计 划每 天加工１ Ｏ ，６ 台 ２ 天可 以完成 任 务。 由于工人的积极性高 ，实际用５ 天就 完成 了任务 ，工作效 率提高了
几分之几７
３ ｌ
１ １
【 ×（一吉）】 ２＝ （ 。这样， 素 １ 一８７ 天） 便除去了 “５０ １０千克” 这个
“ 多余 ”条件。
练 习：
１ 、某化肥 厂要生 产一批化 肥 ，原计 划每 天生产８ 吨 ，１ 天可 以 ０ Ｏ
＾
完 成任务。实 际用７ｔ Ｕ 的 工作效率提高了 － ￣ 苦， ｌ － ２ 几分之几？
糖 的千 克数 ：１ ０ ０× （ 一 ） ２ ０（ 克 ） 又 由所 求的前 两个 ５ １ 士 ：１ ０ 千 。 条件 ，求得计划用糖千克数可供实际所用的天数：４ ０ ０ ０ ３ ２ ０ ÷１ ０ ＝ ５ ２
（ ）。最后 求得 实际 可 多用 的天 数 ：３ — ８ ７（ ） 综合 算式 天 ５ ２＝ 天 。
米数 为 ：１ ０ ÷８ ９ 米 ），修完 剩下 的公路还 要 的天 数为 ： ０Ｘ ８ ＝ ０（
１８ ０ ０÷９ ＝１ （ ）。 ０ 天 ２
巧 妙解 法 如 果 除去 “ ８ ０ ”这 个 “ １０ 米 多余 ” 的条件 ，你 会发
， ）
现 ：根据８ 天修 了全长的专可 以知道 ，修完这条公路共用天数为 ：
般解法 由 “ 原计划 每天用糖 １ ０ 千克 ”和计划２ ５０ 月份用糖 ２ ８
天 ，求得计划 用糖 千克 数为 ：１ ０ ８ ４ ０ ０（ 克 ） 由 “ ５ ０Ｘ２ ＝ ２ ０ 千 。 原计 划每天用糖 １ ０ 千克 ”和 “ 天节约 用糖２ ％ ” ，求得 实际 每天用 ０ ５ 每 ０
２ 、机床厂加 工一批机 床 ，计 划每 天加工１ Ｏ ，６ 台 ２ 天可 以完成 任 务。 由于工人的积极性高 ，实际用５ 天就 完成 了任务 ，工作效 率提高了
几分之几７
３ ｌ
１ １
【 ×（一吉）】 ２＝ （ 。这样， 素 １ 一８７ 天） 便除去了 “５０ １０千克” 这个
“ 多余 ”条件。
练 习：
１ 、某化肥 厂要生 产一批化 肥 ，原计 划每 天生产８ 吨 ，１ 天可 以 ０ Ｏ
＾
完 成任务。实 际用７ｔ Ｕ 的 工作效率提高了 － ￣ 苦， ｌ － ２ 几分之几？
糖 的千 克数 ：１ ０ ０× （ 一 ） ２ ０（ 克 ） 又 由所 求的前 两个 ５ １ 士 ：１ ０ 千 。 条件 ，求得计划用糖千克数可供实际所用的天数：４ ０ ０ ０ ３ ２ ０ ÷１ ０ ＝ ５ ２
（ ）。最后 求得 实际 可 多用 的天 数 ：３ — ８ ７（ ） 综合 算式 天 ５ ２＝ 天 。
米数 为 ：１ ０ ÷８ ９ 米 ），修完 剩下 的公路还 要 的天 数为 ： ０Ｘ ８ ＝ ０（
１８ ０ ０÷９ ＝１ （ ）。 ０ 天 ２
巧 妙解 法 如 果 除去 “ ８ ０ ”这 个 “ １０ 米 多余 ” 的条件 ，你 会发
， ）
现 ：根据８ 天修 了全长的专可 以知道 ，修完这条公路共用天数为 ：
巧思妙解的两个途径_一般化与特殊化
ak b k
k= 2
( a1 + a2 +
2
2
+ a k ) ( b 1+ b 2 +
2
2
2
+ b k)
2
收稿日期 : 2006- 10- 11
<
1 1 a 1 b 1 a1 b 1 + a 2 b 2 +
+ a n bn
.
2007 年第 8 期
n
17
ak bk + a k ) ( b1 + b 2+
2
于是 , 不等式的右边可以改写为 8 127 1 8 128= 1- a 14 = 1 1 + + a2 a3 + 1 . a 13
< 1 =
1 2
3+
3
-
3 ( 4- 1) +
1 3 = 2 - n ( n + 1) ( n + 2) . 从而 , 得到 例3
n k= 2
这就由问题特殊性提供了另一个逐项放 大的思路 : a2 a2 1 , 2 2 < 2< a 2 2( a 1 + a 2 ) 2 a 2 a3 a3 1 , 2 2 2 < 2< 3( a 1 + a 2 + a 3 ) 3 a3 a3 a 13 2 2 13( a 1 + a 2 + a 13 1 2 < . 13 a 13 a13
13
=
k= 2 13 k= 2 13
ak (1 + 1 +
2 2
+ 1 ) ( a1 + a2 +
善用几何性质求轨迹方程——对一道课本练习的巧思妙解
圆 ．选 Ａ ．
【 提示 】如图，设切点为
、
Ｂ， 连 结 ＭＡ、 ＭＢ、 Ｐ ． Ｍ
先 思考 图 形 中 四边 形 Ａ Ｐ所 ＭＢ
具有 的几何性质 ，再动手 来求
点 Ｐ的轨迹方程．
五 、感悟 升华
平 面解析几何本身 （ 或本质 ）就是数与形的完美
结合 ，故求解时万万不能脱离 图形而一味地进行繁难
（ ） ｃ的圆心轨迹 的方程 ；２ 略． １求 （）
性质可知：Ｄ ＝加 ｌｌｃ１ ｌｃ１ ｛Ａ Ｉｌ ＝Ｄ Ｂ ． ：
【 解析】 Ｄ ｘＹ ， 设 （，）由分析可知 ： 三角形 Ｏ Ｃ为直 Ｄ 角三角形 ， Ｄ ＋ 故ｌＯ Ｉ Ｉ ｌ ｌＣ ｌ又由ｌ ＩＩ Ｃｌ ２ ２ Ｏ ， ＝Ｄ －
平 面几何 中的有关 定理 和性质 （ 中垂 线定 理 、勾 如 股定 理 、垂 径定理 、中线 定理 、中位线 性质 、角平 分线性质 、连心线性质等 ） ．尝试 看看能否得 出有益 的数 量关系或结 论． 使解法 巧妙优美 的一种有效 这是
方法．
：
。
【 点评】 用参数法求轨迹方程思路 自然流畅， 但运
此圆作两条切线 。若 这两切线
互相垂直 ，试求动点 Ｐ的轨迹
方程．
ＺＡＱ ＝ＺＦＱ ， 且 ＿ Ｐ ＿ ￣Ｐ
上Ｑ Ｐ，故 有 ＡＱ＝ Ｑ，ＡＰ ＝
尸连接 Ｏ ． Ｐ，则 ｏ Ｐ
一
Ａ ｏｏ为该椭 圆的实半轴 ： （
长） ；同理 ，在右 图 中亦 同样 可得 出此 结 论． 合可 综 得 ：动 点 Ｐ到 原点 ０的距 离为定 长 ａ ，故其 轨迹 为
方法 ．
二 、教 参答 案
提供给教师的参考书中 。答 案如下 ：
【 提示 】如图，设切点为
、
Ｂ， 连 结 ＭＡ、 ＭＢ、 Ｐ ． Ｍ
先 思考 图 形 中 四边 形 Ａ Ｐ所 ＭＢ
具有 的几何性质 ，再动手 来求
点 Ｐ的轨迹方程．
五 、感悟 升华
平 面解析几何本身 （ 或本质 ）就是数与形的完美
结合 ，故求解时万万不能脱离 图形而一味地进行繁难
（ ） ｃ的圆心轨迹 的方程 ；２ 略． １求 （）
性质可知：Ｄ ＝加 ｌｌｃ１ ｌｃ１ ｛Ａ Ｉｌ ＝Ｄ Ｂ ． ：
【 解析】 Ｄ ｘＹ ， 设 （，）由分析可知 ： 三角形 Ｏ Ｃ为直 Ｄ 角三角形 ， Ｄ ＋ 故ｌＯ Ｉ Ｉ ｌ ｌＣ ｌ又由ｌ ＩＩ Ｃｌ ２ ２ Ｏ ， ＝Ｄ －
平 面几何 中的有关 定理 和性质 （ 中垂 线定 理 、勾 如 股定 理 、垂 径定理 、中线 定理 、中位线 性质 、角平 分线性质 、连心线性质等 ） ．尝试 看看能否得 出有益 的数 量关系或结 论． 使解法 巧妙优美 的一种有效 这是
方法．
：
。
【 点评】 用参数法求轨迹方程思路 自然流畅， 但运
此圆作两条切线 。若 这两切线
互相垂直 ，试求动点 Ｐ的轨迹
方程．
ＺＡＱ ＝ＺＦＱ ， 且 ＿ Ｐ ＿ ￣Ｐ
上Ｑ Ｐ，故 有 ＡＱ＝ Ｑ，ＡＰ ＝
尸连接 Ｏ ． Ｐ，则 ｏ Ｐ
一
Ａ ｏｏ为该椭 圆的实半轴 ： （
长） ；同理 ，在右 图 中亦 同样 可得 出此 结 论． 合可 综 得 ：动 点 Ｐ到 原点 ０的距 离为定 长 ａ ，故其 轨迹 为
方法 ．
二 、教 参答 案
提供给教师的参考书中 。答 案如下 ：
巧思妙解一元一次方程
吉 ） 此 把一 为 个 体移 、并 求 ，简 解 （９因 可 视 一 整 ， 合 再 解可 化 题 一， ９ 项
照
解去 括 ， 一 （ ） （９ ｓ中 号得 吉＋ ＝ ） 古 一 古 一． ９
移 项 ， 一 ＿ ｘ ０ 故 ｘ ０ 得 ＿ ＝ １ ＝ ．
，
四 、 用 相 反 数 的 性 质 巧
总 之 ． 一 元 一 次 方 程 既 要 熟 练 掌 握 解 方 程 的 一 般 方 法 ， 又 不 要 解 但 拘 泥 于 解 方 程 的 常 规 方 法 ， 解 法 僵 化 ， 根 据 题 目 的 特 征 ， 活 变 通 解 使 要 灵 题 步 骤 ． 样才 能收 到事 半功倍 之 效． 这
八 、 项 凑 整 法 移
侈０８
解 方 程 ： ７ ２ｏ ２４ ９ ４
一
一
．
２３
１１ ２３
１１
分 ｓ规 法 先 分 ，细 察注 到 ， 吾 析常 方 是 去 母仔 观 ，意 一 一＝
１故不 去分母 直接 移项 可 得解． ．
解。 移 项 ， ３ 一２ ：１ ｌ， 并 ， ：１ ： 得 ２ ３ １ １ 合 一 得 ．
２ ＋１． ６
＋
１５ ． ＋４
．
Ｏ． ２
０． ５
牛 星 － 猩 虫三 寺堑 一 直 基奎 哇亟 ， 星 丞
的小数 均 可化 为整 数．
量
曼 都 盒 鱼 数 堡 盟
一 砸 旦 子 巾 １
Ｑ
，
丕
５ｘ
＋ —
—
解 方 程 可 化 为 原
即 ２ －２ ｘ ７＋１ ｘ ＝３ ＋８ ＋８ ｘ ． Ｏ
．
２
“巧思妙解”源自递推分析
பைடு நூலகம்
②假设ｎ 时结论成立 ，ｇ２ ＋ ＝ Ｐ＋
（ ｎＥＮ ． ）
解 ：１ 因 （）
， ） （ ：
（ ０ ， ≤０ 所 以 当 ） 而Ⅱ ， ＞ ∈（ ， ） ０Ｉ时
０； ∈ （ ， ∞） １ ＋ 时 （ ） ｏ 所 ｒ （ ） ＜ ． Ｘ ｘ 在 ｆ
（ ， ） 递 增 ， （ ， ａ） 递 减． ０ １上 在 １＋ 。上
—
ｊ ／ 当 取 ，２ ， １ １ 遍０ ，， …， 并相 ． １３ 一 ｋ ＋２
— — 一 二等价于ｌ ＞ —一 一 １ Ｕ Ｊ—— ／ 一 ｍ ｌ ｌ ｌ —
一
ｋ ２ ＋ （ 一１ ０ ）
— —
＋ｌ ０ １ ＋ 一
－
３＋ ２
， １ ； ，ｐｎ＜ ２ｘ 立． ：ｋ ｌ（｝ （ ） ０ ｇ｜ｘ，－ 成 ．ｘ 令 ＋ Ｊ∈
（ ） 当 遍２， ＜ １ｓ ， 取 ’ ， …并加 ２ ，１＋ ，相， 云…ｎ ｎ ｎ 得争． ＋ｔ（ ＋争… 斛 二） ． ｎ ， ＊ ‘ ２ ＞
，
…
１可 用导数证明 ， （ 过程略 ） 得到
本 没 有 用 到 题 （） 结 论 ， 是 用 数 学 １的 而
归纳 法 证 明．
已 知 函娄
性：
～～ 聃～ 一 琊 ～ 如 （证： … ２明 ） 专 等 ）
（） ２ ＋ 十 ＝ ， 论 函 数 的 单 调 １若 ａ ｂ １０ 讨
２ １２ 然 成 立 ： ＞ｎ ￣
数学教学 通讯（ 教师版 ）
始— — 力 解 哭 题 （ ） 设 置 Ｊ ３ ， （ ） 力 ２作
教学研究＞ 备课参 考
铺．是 值 ．ｊ 垫但赋 —‘ ） ＝（ ｊ． ｎｊ２ ＋／ ＼ ＋＋ 加 得＋＋＋＋＞ｃ 缺 乏 思 路 的指 向性 ， 技 巧 性 较 强 ． ， ÷． 一ｎ ＋ － ｎ “ ， 显得
②假设ｎ 时结论成立 ，ｇ２ ＋ ＝ Ｐ＋
（ ｎＥＮ ． ）
解 ：１ 因 （）
， ） （ ：
（ ０ ， ≤０ 所 以 当 ） 而Ⅱ ， ＞ ∈（ ， ） ０Ｉ时
０； ∈ （ ， ∞） １ ＋ 时 （ ） ｏ 所 ｒ （ ） ＜ ． Ｘ ｘ 在 ｆ
（ ， ） 递 增 ， （ ， ａ） 递 减． ０ １上 在 １＋ 。上
—
ｊ ／ 当 取 ，２ ， １ １ 遍０ ，， …， 并相 ． １３ 一 ｋ ＋２
— — 一 二等价于ｌ ＞ —一 一 １ Ｕ Ｊ—— ／ 一 ｍ ｌ ｌ ｌ —
一
ｋ ２ ＋ （ 一１ ０ ）
— —
＋ｌ ０ １ ＋ 一
－
３＋ ２
， １ ； ，ｐｎ＜ ２ｘ 立． ：ｋ ｌ（｝ （ ） ０ ｇ｜ｘ，－ 成 ．ｘ 令 ＋ Ｊ∈
（ ） 当 遍２， ＜ １ｓ ， 取 ’ ， …并加 ２ ，１＋ ，相， 云…ｎ ｎ ｎ 得争． ＋ｔ（ ＋争… 斛 二） ． ｎ ， ＊ ‘ ２ ＞
，
…
１可 用导数证明 ， （ 过程略 ） 得到
本 没 有 用 到 题 （） 结 论 ， 是 用 数 学 １的 而
归纳 法 证 明．
已 知 函娄
性：
～～ 聃～ 一 琊 ～ 如 （证： … ２明 ） 专 等 ）
（） ２ ＋ 十 ＝ ， 论 函 数 的 单 调 １若 ａ ｂ １０ 讨
２ １２ 然 成 立 ： ＞ｎ ￣
数学教学 通讯（ 教师版 ）
始— — 力 解 哭 题 （ ） 设 置 Ｊ ３ ， （ ） 力 ２作
教学研究＞ 备课参 考
铺．是 值 ．ｊ 垫但赋 —‘ ） ＝（ ｊ． ｎｊ２ ＋／ ＼ ＋＋ 加 得＋＋＋＋＞ｃ 缺 乏 思 路 的指 向性 ， 技 巧 性 较 强 ． ， ÷． 一ｎ ＋ － ｎ “ ， 显得
巧思妙解2011年高考数学题
巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷）杨洪林1.（题18）如图，在平面直角坐标系x O y中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k= 2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k ＞0，求证：PA⊥PB.【参考答案】（1）…….（2）…….（3）解法一将直线PA的方程y= kx代入，解得x=±.记μ=，则P（μ,μk）, A（-μ, -μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为=，其方程为.代入椭圆方程得（2 + k2）x2 -2μk2x–μ2（3k2 + 2）= 0, 解得x =或x = - μ .因此B（, ），于是直线PB的斜率k1 === -.因此k1 k= - 1，所以PA ⊥ PB.解法二设P（x1, y1）,B（x2, y2）,则x1＞0, x2＞0, x1≠x2，A（-x1,-y1）,C（x1,0）.设直线PB、AB的斜率分别为k1、k2，因为C在AB上，所以k2 ===.从而k1k+1=2k1k2+1 = 2··+ 1 =+ 1= = = 0. 因此k1k = - 1，所以PA ⊥ PB.·巧思·①利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ⊥PB”就转化为“证明OA ⊥OD”。
②将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。
③利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k= k BC），必可得到k OA·k OD = -1AB（条件都已用到）。
·妙解·设AB的中点D（a,b），A（a+ m,b+ n），B（a - m,b - n），则C（-a -m,0），OD ∥PB.且（a + m）2 + 2（b + n）2= 4 =（a - m）2 +2（b - n）2am + 2bn = 0.k PA = = 2 k AC = 2 k AB = = - = - = -PA⊥PB.【评注】①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-2,5)，与x轴相交于B(-1,0)，C(3,0)
两点。
(1)求抛物线的函数表达式。
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得△B′CD，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标。
(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式。
如图2：易证△BCP≌△C妙解】①当点P在x轴上方时；如图3：连BQ，∵Q在对称轴上∴BQ=QC=CP，故点B、C、P在以点Q为圆心CQ为半径的圆上。∴ ∴ ∴BP： 。
②当点P在x轴下方时；方法同上，略。请自行补充完整。
解答：
（1）y=x2-2x-3；
（2）由B(-1,0)，C(3,0)可知对称轴为直线x=1,故OB=2，BC=4。∵翻折，∴BC′=BC=4，由勾股定理可得OC′= ，故C′ 。易知∠C′BO=60°，∴∠DBO=30°。Rt△DB0中，OD=OB·tan∠DBO=2× = ,故D（1， ）。
（3）①当点P在x轴上方时；如图1：连CC′，PC′，BQ。由（2）可知△CBC′是等边三角形，∠C′CB=60°=∠QCP，∴∠C′CB-∠C′CQ=∠QCP-∠C′CQ，即∠BCQ=∠C′CP，又BC=CC′，CQ=CP，，∴BQ=C′P=CP。故BP是轴对称图形BCC′P对称国轴，∴∠PBO=30°∴ ∴BP： 。
两点。
(1)求抛物线的函数表达式。
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得△B′CD，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标。
(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式。
如图2：易证△BCP≌△C妙解】①当点P在x轴上方时；如图3：连BQ，∵Q在对称轴上∴BQ=QC=CP，故点B、C、P在以点Q为圆心CQ为半径的圆上。∴ ∴ ∴BP： 。
②当点P在x轴下方时；方法同上，略。请自行补充完整。
解答：
（1）y=x2-2x-3；
（2）由B(-1,0)，C(3,0)可知对称轴为直线x=1,故OB=2，BC=4。∵翻折，∴BC′=BC=4，由勾股定理可得OC′= ，故C′ 。易知∠C′BO=60°，∴∠DBO=30°。Rt△DB0中，OD=OB·tan∠DBO=2× = ,故D（1， ）。
（3）①当点P在x轴上方时；如图1：连CC′，PC′，BQ。由（2）可知△CBC′是等边三角形，∠C′CB=60°=∠QCP，∴∠C′CB-∠C′CQ=∠QCP-∠C′CQ，即∠BCQ=∠C′CP，又BC=CC′，CQ=CP，，∴BQ=C′P=CP。故BP是轴对称图形BCC′P对称国轴，∴∠PBO=30°∴ ∴BP： 。