巧思妙解1

一元一次方程之巧思妙解
解一元一次方程的通常步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1.但是对于有些具备特殊性的一元一次方程，我们完全可以打破常规，灵活、巧妙地变通解题步骤，避繁就简，使解题过程简捷明了. 下面介绍几种技巧，供同学们参考.
一、巧去括号
分析：如果按例1使括号前的系数依次相乘，解题过程会变得非常复杂.这时要充分利用方程特点，将方程两边同乘以或除以某数，是括号前的系数变成1，从而去掉括号.
解：方程两边同乘以3，去掉大括号，然后
二、巧拆项
分析：观察方程的特点，可先将每个含有分母的多项式拆开，分类合并，可简化过程.
分析：观察各项未知数的系数和常数
三、巧换元
分析：将（x-1）看成一个整体，用换元法，可大大简化运算.
四、巧用分式的基本性质
分析：若直接去分母较繁，观察本题可先用分数的基本性质，使化分数和去分母一次到位，从而避免了繁杂的运算.
五、巧分组通分
分析：观察四个分母的数字特点，采用移项后分组通分，即将分母是21和14的两项放在一组，另外两项成一组，可巧解方程.
分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项中的分母有公约数4，移项局部通分，可简化解题过程.。

３＋３＋３＋ｌ＋１＝ １ ， 选 ｅ 故 １
个， 得到俯 视 图中每 个小正方形 相应位 置上 的正 方
体货箱 的个数 （ 如图 ７ ， ）于是求得这些 正方体货箱的个 数是 １＋ ２＋１＋１ ３＋ ＋１＝９故选 Ｃ这堆正方体小货 ． ．
零 ① ３
①２ ①１
１
３ ２
数依次为 ３ ２ １ 将数字填入俯视 图中从上 到下 的 ， ，， 每行小正方形中， 图 ６ 如 所示每个小正方形内不带
４７
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
形的个数依次为 ２ １１ 将数字填入俯视 图中从 左 ，， ，
．
菇 ， 荔
中学数 学杂 志
２ １ 第 ４期 ００年
圈 的数 字． 取 图 ６中每个小正方形 内填人的一对数 中较小 的
观察左视图， 从左到右每列 中的小正方形的个数
依次为 １２将数字填入俯视 图中从上到下 的每行小正 ，， 方形 中， 图 ２中每个 小正方形 内不带圈的数字 如
② １ ②
２
立方块组成的几何体 的三视图 ， 能不能求出这个几
何体 所需 的小 立方 块 呢？
我们 可 以先根 据 主视 图和左 视 图确 定 出俯视 图
中每 个小 正方 形相 应位 置上 的小 正 方 块 的个 数 ， 再
①１ ①
２
１
＿
１ １ １
求出组成这个几何体所需小正方块的个数． 具体方
法如 下 ：
２
第 一步 ： 根据 主视 图 ， 出从 左 到右 每列 中小 正 数
方 形 的个数 ， 在俯 视 图从 左 到 右相 应 的列 中的 每 个
１ １ １
主
俯 视

巧学妙解王高中数学
【最新版】
目录
1.引言：介绍王高中数学的背景和重要性
2.巧学妙解的方法：详细解释如何巧学妙解王高中数学
3.实际应用：展示巧学妙解王高中数学的具体效果
4.结论：总结巧学妙解王高中数学的重要性和方法
正文
数学对于很多高中生来说是一项极具挑战性的学科，尤其是王高中数学。

然而，通过巧学妙解，学生可以更好地理解和掌握这门学科。

首先，我们需要了解什么是巧学妙解。

巧学妙解是一种通过寻找问题的关键点，然后运用数学规律和技巧进行解答的方法。

对于王高中数学来说，这意味着学生需要找到问题的切入点，然后运用数学公式和定理进行解答。

那么，如何巧学妙解王高中数学呢？学生需要从以下几个方面入手。

首先，学生需要熟悉数学公式和定理。

这是巧学妙解的基础。

学生需要掌握各种数学公式和定理，并能够熟练运用它们。

其次，学生需要培养数学思维。

数学思维是指运用逻辑思维和抽象思维进行数学推理和证明的能力。

通过培养数学思维，学生可以更好地理解和掌握数学知识。

最后，学生需要多做练习。

练习可以帮助学生熟悉数学题型，提高解题能力。

同时，学生也可以通过做题来检验自己的学习成果，找出自己的不足之处，并及时进行改正。

巧学妙解王高中数学不仅可以提高学生的学习效率，还可以提高学生的数学成绩。

通过巧学妙解，学生可以更好地理解和掌握王高中数学，从
而在高考中取得好成绩。

总的来说，巧学妙解是一种有效的学习方法，可以帮助学生更好地理解和掌握王高中数学。

生活中数学奇思妙解一.隐含的剩余问题的条件1。

剪呢料一个裁缝，有一块十六米长的呢料，他每天从上面剪下两米，问多少天后，他剪下最后的一段呢料？2.一人最远走多少千米?甲乙二人到沙漠探险，每天走20千米，已知每人最多可以带一个人24天的食物、水，不准将部分食物存放于途中，求其中一人最远可以深入沙漠多少千米？（要求最后两人都返回出发点）设:甲开始和乙一起走，甲在途中返回，乙最后一个人走，并返回。

（如图1）乙和甲分手时最多只能带２４天的食物和水。

所以甲和乙在前面就要用去２４天的食物（包括甲返回的食物，和乙用去的食物），所以甲出发24÷3=８天就要返回。

（图2）乙和甲分手时最多只能带２４天的食物和水。

所以甲和乙在前面就要用去２４天的食物（包括甲返回的食物，和乙用去的食物），所以甲出发24÷3=８天就要返回。

（图2）乙分手的时候还有２４天的食物，但后８天的食物要先备足。

所以２４天－８天＝１６天的食物。

乙只能再向前走16÷2=8天这样乙一共走了两个8天，所以乙最远能走16×20=320千米。

3.有三个人登山，出发时每人只能够带六天的食物，也就是说只允许他们三天后返回下山。

为了能登的更高些，他们改变了食物分配。

其中两个人可以把自己的食物分给另一个人。

但保证自己能下山。

请问留下的的那人最高能登几天？二.数字和问题1.把1---8这8个数字填在正方形中,使其四条边上的数字之和相等．怎么填？把1——8的8 个数字加起来是36，正方形四条边的的数字之和相等；所以，四条边的数字和全部相加是4的倍数，而且角上的四个数字重复使用了一次，所以四条边的数字和可能是48，52，56，60，64 （1）当每条边是48时，每条边的和是48÷4=12。

角上四个数的和是48-36=12。

1+2+3+6=121 5 68 43 7 2图1（2）当每条边是52时，每条边的和是52÷4=13。

一
般解法 由 “ 原计划 每天用糖 １ ０ 千克 ”和计划２ ５０ 月份用糖 ２ ８
天 ，求得计划 用糖 千克 数为 ：１ ０ ８ ４ ０ ０（ 克 ） 由 “ ５ ０Ｘ２ ＝ ２ ０ 千 。 原计 划每天用糖 １ ０ 千克 ”和 “ 天节约 用糖２ ％ ” ，求得 实际 每天用 ０ ５ 每 ０
２ 、机床厂加 工一批机 床 ，计 划每 天加工１ Ｏ ，６ 台 ２ 天可 以完成 任 务。 由于工人的积极性高 ，实际用５ 天就 完成 了任务 ，工作效 率提高了
几分之几７
３ ｌ

１ １
【 ×（一吉）】 ２＝ （ 。这样， 素 １ 一８７ 天） 便除去了 “５０ １０千克” 这个
“ 多余 ”条件。
练 习：
１ 、某化肥 厂要生 产一批化 肥 ，原计 划每 天生产８ 吨 ，１ 天可 以 ０ Ｏ
＾
完 成任务。实 际用７ｔ Ｕ 的 工作效率提高了 － ￣ 苦， ｌ － ２ 几分之几？
糖 的千 克数 ：１ ０ ０× （ 一 ） ２ ０（ 克 ） 又 由所 求的前 两个 ５ １ 士 ：１ ０ 千 。 条件 ，求得计划用糖千克数可供实际所用的天数：４ ０ ０ ０ ３ ２ ０ ÷１ ０ ＝ ５ ２
（ ）。最后 求得 实际 可 多用 的天 数 ：３ — ８ ７（ ） 综合 算式 天 ５ ２＝ 天 。
米数 为 ：１ ０ ÷８ ９ 米 ），修完 剩下 的公路还 要 的天 数为 ： ０Ｘ ８ ＝ ０（
１８ ０ ０÷９ ＝１ （ ）。 ０ 天 ２
巧 妙解 法 如 果 除去 “ ８ ０ ”这 个 “ １０ 米 多余 ” 的条件 ，你 会发
， ）
现 ：根据８ 天修 了全长的专可 以知道 ，修完这条公路共用天数为 ：

ak b k
k= 2
( a1 + a2 +
2
2
+ a k ) ( b 1+ b 2 +
2
2
2
+ b k)
2
收稿日期 : 2006- 10- 11
<
1 1 a 1 b 1 a1 b 1 + a 2 b 2 +
+ a n bn
.
2007 年第 8 期
n
17
ak bk + a k ) ( b1 + b 2+
2
于是 , 不等式的右边可以改写为 8 127 1 8 128= 1- a 14 = 1 1 + + a2 a3 + 1 . a 13
< 1 =
1 2
3+
3
-
3 ( 4- 1) +
1 3 = 2 - n ( n + 1) ( n + 2) . 从而 , 得到 例3
n k= 2
这就由问题特殊性提供了另一个逐项放 大的思路 : a2 a2 1 , 2 2 < 2< a 2 2( a 1 + a 2 ) 2 a 2 a3 a3 1 , 2 2 2 < 2< 3( a 1 + a 2 + a 3 ) 3 a3 a3 a 13 2 2 13( a 1 + a 2 + a 13 1 2 < . 13 a 13 a13
13
=
k= 2 13 k= 2 13
ak (1 + 1 +
2 2
+ 1 ) ( a1 + a2 +

圆 ．选 Ａ ．
【 提示 】如图，设切点为
、
Ｂ， 连 结 ＭＡ、 ＭＢ、 Ｐ ． Ｍ
先 思考 图 形 中 四边 形 Ａ Ｐ所 ＭＢ
具有 的几何性质 ，再动手 来求
点 Ｐ的轨迹方程．
五 、感悟 升华
平 面解析几何本身 （ 或本质 ）就是数与形的完美
结合 ，故求解时万万不能脱离 图形而一味地进行繁难
（ ） ｃ的圆心轨迹 的方程 ；２ 略． １求 （）
性质可知：Ｄ ＝加 ｌｌｃ１ ｌｃ１ ｛Ａ Ｉｌ ＝Ｄ Ｂ ． ：
【 解析】 Ｄ ｘＹ ， 设 （，）由分析可知 ： 三角形 Ｏ Ｃ为直 Ｄ 角三角形 ， Ｄ ＋ 故ｌＯ Ｉ Ｉ ｌ ｌＣ ｌ又由ｌ ＩＩ Ｃｌ ２ ２ Ｏ ， ＝Ｄ －
平 面几何 中的有关 定理 和性质 （ 中垂 线定 理 、勾 如 股定 理 、垂 径定理 、中线 定理 、中位线 性质 、角平 分线性质 、连心线性质等 ） ．尝试 看看能否得 出有益 的数 量关系或结 论． 使解法 巧妙优美 的一种有效 这是
方法．
：
。
【 点评】 用参数法求轨迹方程思路 自然流畅， 但运
此圆作两条切线 。若 这两切线
互相垂直 ，试求动点 Ｐ的轨迹
方程．
ＺＡＱ ＝ＺＦＱ ， 且 ＿ Ｐ ＿ ￣Ｐ
上Ｑ Ｐ，故 有 ＡＱ＝ Ｑ，ＡＰ ＝
尸连接 Ｏ ． Ｐ，则 ｏ Ｐ
一
Ａ ｏｏ为该椭 圆的实半轴 ： （
长） ；同理 ，在右 图 中亦 同样 可得 出此 结 论． 合可 综 得 ：动 点 Ｐ到 原点 ０的距 离为定 长 ａ ，故其 轨迹 为
方法 ．
二 、教 参答 案
提供给教师的参考书中 。答 案如下 ：

吉 ） 此 把一 为 个 体移 、并 求 ，简 解 （９因 可 视 一 整 ， 合 再 解可 化 题 一， ９ 项
照
解去 括 ， 一 （ ） （９ ｓ中 号得 吉＋ ＝ ） 古 一 古 一． ９
移 项 ， 一 ＿ ｘ ０ 故 ｘ ０ 得 ＿ ＝ １ ＝ ．
，
四 、 用 相 反 数 的 性 质 巧
总 之 ． 一 元 一 次 方 程 既 要 熟 练 掌 握 解 方 程 的 一 般 方 法 ， 又 不 要 解 但 拘 泥 于 解 方 程 的 常 规 方 法 ， 解 法 僵 化 ， 根 据 题 目 的 特 征 ， 活 变 通 解 使 要 灵 题 步 骤 ． 样才 能收 到事 半功倍 之 效． 这
八 、 项 凑 整 法 移
侈０８
解 方 程 ： ７ ２ｏ ２４ ９ ４
一
一
．
２３
１１ ２３
１１
分 ｓ规 法 先 分 ，细 察注 到 ， 吾 析常 方 是 去 母仔 观 ，意 一 一＝
１故不 去分母 直接 移项 可 得解． ．
解。 移 项 ， ３ 一２ ：１ ｌ， 并 ， ：１ ： 得 ２ ３ １ １ 合 一 得 ．
２ ＋１． ６
＋
１５ ． ＋４
．
Ｏ． ２
０． ５
牛 星 － 猩 虫三 寺堑 一 直 基奎 哇亟 ， 星 丞
的小数 均 可化 为整 数．
量
曼 都 盒 鱼 数 堡 盟
一 砸 旦 子 巾 １
Ｑ
，
丕
５ｘ
＋ —
—
解 方 程 可 化 为 原
即 ２ －２ ｘ ７＋１ ｘ ＝３ ＋８ ＋８ ｘ ． Ｏ
．
２

பைடு நூலகம்
②假设ｎ 时结论成立 ，ｇ２ ＋ ＝ Ｐ＋
（ ｎＥＮ ． ）
解 ：１ 因 （）
， ） （ ：
（ ０ ， ≤０ 所 以 当 ） 而Ⅱ ， ＞ ∈（ ， ） ０Ｉ时
０； ∈ （ ， ∞） １ ＋ 时 （ ） ｏ 所 ｒ （ ） ＜ ． Ｘ ｘ 在 ｆ
（ ， ） 递 增 ， （ ， ａ） 递 减． ０ １上 在 １＋ 。上
—
ｊ ／ 当 取 ，２ ， １ １ 遍０ ，， …， 并相 ． １３ 一 ｋ ＋２
— — 一 二等价于ｌ ＞ —一 一 １ Ｕ Ｊ—— ／ 一 ｍ ｌ ｌ ｌ —
一
ｋ ２ ＋ （ 一１ ０ ）
— —
＋ｌ ０ １ ＋ 一
－
３＋ ２
， １ ； ，ｐｎ＜ ２ｘ 立． ：ｋ ｌ（｝ （ ） ０ ｇ｜ｘ，－ 成 ．ｘ 令 ＋ Ｊ∈
（ ） 当 遍２， ＜ １ｓ ， 取 ’ ， …并加 ２ ，１＋ ，相， 云…ｎ ｎ ｎ 得争． ＋ｔ（ ＋争… 斛 二） ． ｎ ， ＊ ‘ ２ ＞
，
…
１可 用导数证明 ， （ 过程略 ） 得到
本 没 有 用 到 题 （） 结 论 ， 是 用 数 学 １的 而
归纳 法 证 明．
已 知 函娄
性：
～～ 聃～ 一 琊 ～ 如 （证： … ２明 ） 专 等 ）
（） ２ ＋ 十 ＝ ， 论 函 数 的 单 调 １若 ａ ｂ １０ 讨
２ １２ 然 成 立 ： ＞ｎ ￣
数学教学 通讯（ 教师版 ）
始— — 力 解 哭 题 （ ） 设 置 Ｊ ３ ， （ ） 力 ２作
教学研究＞ 备课参 考
铺．是 值 ．ｊ 垫但赋 —‘ ） ＝（ ｊ． ｎｊ２ ＋／ ＼ ＋＋ 加 得＋＋＋＋＞ｃ 缺 乏 思 路 的指 向性 ， 技 巧 性 较 强 ． ， ÷． 一ｎ ＋ － ｎ “ ， 显得

巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷）杨洪林1.（题18）如图，在平面直角坐标系x O y中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k= 2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k ＞0，求证：PA⊥PB.【参考答案】（1）…….（2）…….（3）解法一将直线PA的方程y= kx代入，解得x=±.记μ=，则P（μ,μk）, A（-μ, -μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为=，其方程为.代入椭圆方程得（2 + k2）x2 -2μk2x–μ2（3k2 + 2）= 0, 解得x =或x = - μ .因此B（, ），于是直线PB的斜率k1 === -.因此k1 k= - 1，所以PA ⊥ PB.解法二设P（x1, y1）,B（x2, y2）,则x1＞0, x2＞0, x1≠x2，A（-x1,-y1）,C（x1,0）.设直线PB、AB的斜率分别为k1、k2，因为C在AB上，所以k2 ===.从而k1k+1=2k1k2+1 = 2··+ 1 =+ 1= = = 0. 因此k1k = - 1，所以PA ⊥ PB.·巧思·①利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ⊥PB”就转化为“证明OA ⊥OD”。

②将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。

③利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k= k BC），必可得到k OA·k OD = -1AB（条件都已用到）。

·妙解·设AB的中点D（a,b），A（a+ m,b+ n），B（a - m,b - n），则C（-a -m,0），OD ∥PB.且（a + m）2 + 2（b + n）2= 4 =（a - m）2 +2（b - n）2am + 2bn = 0.k PA = = 2 k AC = 2 k AB = = - = - = -PA⊥PB.【评注】①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。

利用数形结合思想㊀巧思妙解几何问题罗志山(海安市角斜镇老坝港初级中学ꎬ江苏南通２２６６３４)摘㊀要:数形结合思想是借助可视化的几何图形ꎬ将数学概念与几何图形相结合ꎬ帮助学生更好地理解和应用数学知识的一种思想方法ꎬ在初中数学解题中有着广泛的应用.几何问题不仅可以培养学生的空间想象力和几何推理能力ꎬ而且可以培养学生的几何直观.因此ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师可将数学概念与平行四边形㊁全等三角形㊁阿氏圆等几何图形相结合ꎬ让学生能够更直观地理解和应用数学知识.关键词:数形结合思想ꎻ初中数学ꎻ课堂教学ꎻ几何问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２６－００２９－０３收稿日期:２０２３－０６－１５作者简介:罗志山(１９６６.０３－)男ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中数学课堂是学生掌握数学基础知识㊁训练基本技能㊁形成基本数学思想㊁积累数学活动经验的主阵地ꎬ也是培养学生高阶数学思维的主阵地[１].数形结合思想是一种重要的数学思想方法ꎬ是将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行思考的一种思想.在初中数学教学过程中ꎬ教师需培养学生数形结合意识ꎬ提高数形结合能力ꎬ从而提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.１利用数形结合思想妙解平行四边形问题平行四边形是初中数学中一个重要的平面图形ꎬ它的性质在解题中有着广泛的应用.在与平行四边形有关的数学问题中ꎬ其主要涉及平行四边形的定义㊁性质和判定等知识ꎬ利用这些知识解决问题时ꎬ数形结合思想可以发挥重要作用.在初中数学教学中ꎬ教师可以借助数形结合思想ꎬ帮助学生理解平行四边形的概念㊁性质和判定ꎬ还可以帮助学生找到数学学习的灵活性和机动性.在 平行四边形 教学中ꎬ教师可以给学生展示一些平行四边形的实际例子ꎬ比如铁路轨道㊁篮球场地等ꎬ通过观察这些实际对象的特点ꎬ学生可以直观地感受到平行四边形的形状和性质.然后ꎬ教师可引导学生观察并描述这些平行四边形的特点ꎬ如对边是否平行㊁对角是否相等等ꎬ从而帮助学生建立对平行四边形的初步认识.接着ꎬ教师可以为学生展示课堂例题ꎬ培养学生的应用能力.例１㊀如图１ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬ设点ＥꎬＦ分别为边ＢＣꎬＡＢ上的一点ꎬＣＦ与ＡＥ相交于一点ＰꎬＣＦ＝ＡＥ.求证:øＡＰＤ＝øＣＰＤ.图１㊀例１题图为使学生熟练运用平行四边形的性质解决本题ꎬ教师可帮助学生回顾平行四边形的性质.指导学生绘制平行四边形的几何图形ꎬ引导学生观察图形中的边㊁角㊁对角线ꎬ并与平行四边形的定义结合起来ꎬ探索平行四边形的性质.教师可要求学生测量平９２行四边形各边的长度和各角的大小ꎬ通过比较ꎬ学生发现平行四边形的对边相等㊁平行四边形的对角相等.同时ꎬ教师还可以引导学生观察平行四边形的对角线的特征ꎬ学生容易发现 平行四边形的对角线互相平分 .针对本题ꎬ在教师的指引下ꎬ学生积极思考ꎬ踊跃发言ꎬ得到了问题的证明方法.证明㊀如图２ꎬ过点Ｄ作ＤＧʅＡＥꎬＤＨʅＣＦꎬ垂足分别为ＧꎬＨ.连接ＤＦꎬＤＥ.图２㊀例１题证明图根据图形特征ꎬ易得ＳәＡＤＥ＝１２Ｓ平行四边形ＡＢＣＤꎬＳәＡＣＦ＝１２Ｓ平行四边形ＡＢＣＤꎬ所以ＳәＡＤＥ＝ＳәＡＣＦꎬ即１２ＡＥ ＤＧ＝１２ＣＦ ＤＨꎬ又因为ＡＥ＝ＣＦꎬ所以ＤＧ＝ＤＨꎬ所以ＤＰ为øＣＰＡ的角平分线ꎬ所以øＡＰＤ＝øＣＰＤ.除此之外ꎬ教师还可以设计一些与实际生活相关的问题ꎬ要求学生利用平行四边形的性质进行推理和解答.例如ꎬ教师可以给学生一个房间的平面图ꎬ要求学生找出平行四边形.通过这样的问题设计ꎬ能够将数学知识与实际情境相结合ꎬ培养学生的逻辑推理能力和问题分析能力.借助数形结合的数学思想方法ꎬ可为学生解决问题提供良好的数学解题思路ꎬ提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.在初中数学教学中ꎬ教师可借助数形结合的思想方法ꎬ激发学生学习数学的兴趣ꎬ提高学生的几何直观和几何推理能力.２利用数形结合思想妙解全等三角形问题数形结合思想的应用非常广泛ꎬ不仅可以解决与平行四边形有关的几何问题ꎬ还可以解决与全等三角形有关的几何问题.教师可引导学生将数学概念与几何图形相结合ꎬ帮助学生更好地理解数学概念和几何图形的结构特征ꎬ从而提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.在 全等三角形 教学中ꎬ教师可展示一些全等三角形ꎬ引导学生观察图形的特征ꎬ从而得到全等三角形的性质.首先ꎬ教师给学生展示两个全等三角形ꎬ并提醒学生注意图形中的对应边㊁对应角的大小关系.然后ꎬ教师让学生通过观察和比较ꎬ找出两个全等三角形中具有相等关系的边或角ꎬ从而发现全等三角形的对应边相等㊁全等三角形的对应角相等.接下来ꎬ教师可以设计一些有趣的几何问题ꎬ让学生利用数形结合思想解决.例２㊀如图３ꎬ在әＡＢＣ中ꎬ点Ｄ在线段ＡＣ上ꎬ线段ＢＤ平分øＡＢＣꎬ延长ＢＡ到点Ｅ处ꎬ使得ＢＥ＝ＢＣꎬ连接ＤＥꎬ若øＡＤＥ＝３８ʎꎬ求øＡＤＢ的度数.图３㊀例２题图教师引导学生结合图形特征ꎬ对已知条件和所求角度之间的逻辑关系进行思考ꎬ利用数形结合思想求解.学生指出ꎬ从角平分线入手ꎬ根据全等三角形的性质可得出对应角相等ꎬ然后再借助假设法和等量代换得出最后的结果.教师对学生的求解思路给予充分肯定ꎬ并请学生写出求解过程.解㊀因为ＢＤ平分øＡＢＣꎬ所以øＤＢＥ＝øＤＢＣ.在әＢＤＥ和әＢＤＣ中ꎬ因为ＢＣ＝ＢＥꎬøＥＢＤ＝øＣＢＤꎬＢＤ＝ＢＤꎬ所以әＢＤＥɸәＢＤＣꎬ所以øＢＤＥ＝øＢＤＣ.设øＢＤＡ＝αꎬ则øＣＤＢ＝øＥＤＢ＝α＋３８ʎꎬ又因为øＣＤＡ为平角ꎬ所以α＋α＋３８ʎ＝１８０ʎꎬ解得α＝７１ʎꎬ即øＡＤＢ＝７１ʎ.除此之外ꎬ教师还可以引导学生将数学概念与实际生活中的问题相结合ꎬ让学生意识到全等三角形在生活中的广泛应用.例如ꎬ教师可以给学生讲解全等三角形在建筑设计㊁地图绘制等领域的应用等.借助数形结合思想方法ꎬ学生对几何知识有了更深入的理解ꎬ提高了学生观察和比较的能力.全等三角形的判定与性质是解决与全等三角形有关几何问题的工具ꎬ数形结合思想为学生提供了一种有效０３解决几何问题的方法ꎬ使学生灵活运用所学知识解决几何推理问题.因此ꎬ掌握全等三角形的概念可以帮助学生更好地理解和应用全等三角形的判定与性质解决实际问题ꎬ为学生未来的学习和发展打下坚实的基础[２].３利用数形结合思想妙用最值阿氏圆阿波罗尼斯圆是一种特殊的圆ꎬ简称为阿氏圆ꎬ其特点是它的半径与焦点之间的距离成反比例关系ꎬ学生学习阿波罗尼斯圆的意义在于它代表了几何学中的一个重要概念ꎬ不仅具有理论上的价值ꎬ还有实际应用的意义.通过学习阿波罗尼斯圆ꎬ教师可以引导学生深入理解数学中的比例关系和图形的性质ꎬ帮助学生更好地理解和解决最值问题.在 圆 的教学中ꎬ教师可以指出阿波罗尼斯圆的研究对于几何学发展的重要意义ꎬ扩展学生对圆形的认识ꎬ使学生能够更加全面地理解和应用圆的性质.通过研究阿波罗尼斯圆ꎬ教师可以引领学生进一步探索圆的曲率㊁切线和法线等方面的特性.在教学实践中ꎬ教师可以给学生呈现一个最值问题ꎬ求解一个三角形内切圆半径的最大值问题ꎬ然后引入阿氏圆的概念ꎬ并通过对几何图形的观察ꎬ让学生发现阿氏圆的半径与三角形的边长之间存在着某种关系.接着ꎬ教师可以引导学生运用数学知识ꎬ如勾股定理和三角形面积公式ꎬ结合阿氏圆的性质ꎬ推导出最值问题的解决方法.通过这样的教学方式ꎬ学生不仅能够理解数学规律ꎬ还能够培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力.例３㊀如图４ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＢＣＡ＝９０ʎꎬ且ＣＢ＝４ꎬＣＡ＝５ꎬ圆Ｃ的半径为２ꎬ点Ｐ为圆上的一个动点ꎬ连接ＰＡ和ＰＢꎬ求ＰＡ＋１２ＰＢ的最小值.图４㊀例３题图结合图形特征和已知条件ꎬ教师可以鼓励学生自主解答ꎬ培养学生的数学思维能力ꎬ提升学生的数学核心素养.其中一名学生提供了如下解题思路:如图４ꎬ在线段ＢＣ上取一点Ｄꎬ使ＰＤ＝１２ＢＤꎬ连接ＡＤꎬ则ＰＡ＋１２ＰＢ＝ＡＰ＋ＰＤ.要使ＰＡ＋１２ＰＢ最小ꎬ只需ＡＰ＋ＰＤ最小.根据图形特征可以发现ꎬ当点ＡꎬＰꎬＤ三点在同一条直线上时ꎬＡＰ＋ＰＤ最小ꎬ即ＰＡ＋１２ＰＢ最小值为ＡＤ.为此ꎬ教师给予学生充分肯定ꎬ并鼓励其他学生继续思考ꎬ突破问题难点ꎬ最终求出结果ꎬ有学生求得ＡＤ＝３７ꎬ教师肯定了学生的回答.借助数形结合思想解决与阿氏圆有关的最值问题ꎬ为学生提供了锻炼几何推理思维的机会ꎬ帮助学生深刻理解数学最值问题的几何意义ꎬ从而为学生的数学学习提供更加丰富和深入的活动体验[３].总之ꎬ数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法ꎬ在初中数学解题中有着广泛的应用.几何问题不仅可以培养学生的空间想象力和几何推理能力ꎬ而且可以培养学生的几何直观.因此ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师也可以将数学概念与几何图形相结合ꎬ让学生能够更直观地理解和应用数学知识.数形结合思想是一种有效解决几何问题的思想方法ꎬ可以提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的数学核心素养ꎬ促进学生全面发展.参考文献:[１]赵春玉.初中数学教学中数形结合思想的应用探析[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２３(２０):４６－４８. [２]何朝富.数形结合思想在初中数学教学中的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２３(２３):１０７－１１０. [３]杨敏.浅谈如何激活初中生的数形结合意识[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２３(１４):７４－７５.[责任编辑:李㊀璟]１３。

2 2
剖析 3：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
x 2 y 2 xy 3( x y 1) ( x 2 2x 1) ( y 2 2 y 1) ( xy x y 1)
( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 1)( y 1)
x 3 3 3 5 y 1 x 2 x 2 4 2 4 4
2
1 3 5 5 y x 1 ( x 1) 2 . 2 4 4 4 1 1 当且仅当 y x 1 0 ， x 1 0 x 1 ， y 时等号成立. 2 2
( x 3) 2 4( x 2 3x 3) 3( x 1) 2 0 .
2 巧思妙解案例2
你会巧思妙解案例2吗？
数学既是神秘深奥的也是好玩有趣的！这就是数学教师独有的高雅的精 神享受！这就是数学王国对数学教师的最高奖赏！这就是数学迷宫吸引无数 人为之疯狂的魅力所在！试题是专家集体智慧结晶，因而这些试题呈现在我 们面前时显得高雅、高质、高贵，但命制试题又是有规律且可掌控的！应该 说绝大部分试题都是在原有试题（包括教科书例题、习题、高考试题、竞赛 试题乃至国际奥赛试题）上进行高质量加工、改编、拼接、组装、引申、拓 展．只是命题专家精心“无痕”“嫁接”，我们在短时间内难以发现“庐山 真面目”而已，这也是数学高深莫测的缘由之一．一旦寻觅到命制原创试题 专家的意图，顺着思路与构思，我们就可以从源头上找到真正的巧思妙解.
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二、诠释巧思妙解
思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括及间接反映.解题就是一种 思维活动.解题不仅要结果，而且要呈现解题活动的必要过程，更要充分暴露解题 的思维.巧思妙解则是解题的最高境界，因此巧思妙解的构思过程就是思维发散的 历程．而发散思维则指大脑在思维时呈现一种扩散状态的思维模式，主要表现为视 野广阔、多维发散，故而发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维 ．巧思妙解有利于培养学生发散思维，优化思维品质，激发创新意识及创造力． 安振平先生指出：“巧思妙解不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技， 而是一种高思维层次、高智力水平的艺术，是一种独立于史诗、音乐、绘画之外的 数学美．”罗增儒教授指出：“巧思妙解不是低层次技巧的堆切，而是对知识内容 的深层认识．巧思妙解不是特殊技巧的神秘操作，而是对题目结构特征的充分挖掘 ．”基于此，怎样才能对知识内容达到深层次的认识呢？怎样才能对题目的结构特 征进行充分挖掘呢？

中考数学：巧思、巧解、巧算桑蕊中考数学：巧思、巧解、巧算桑蕊目前，各校初三年级的同学已经基本结束了第一轮复习，将全面开始第二轮复习。

第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期。

如果说第一轮复习的重点是巩固基础知识，由老师引导，将初中三年数学的全部知识回顾一遍；那么第二轮数学复习，则更要发挥同学们的学习自主性。

各位同学要根据自己的实际水平，选择适合自己实际情况的复习策略，突击重点、难点，有的放矢，这样才能达到事半功倍的效果。

在此给各位同学几点建议：根据模考准确定位同学们要重视模拟考，对自己的考卷做个详尽的分析。

看自己的试卷不是看哪些题目得了多少分，而是看究竟在什么地方失分了、失分的原因是什么，要做到心中有数，在分析失分原因时多找主观原因。

了解了自己的薄弱环节，就要给自己制定一个合适的复习计划，有个明确的复习策略。

不同的同学应根据自己的实际有所侧重：90-100分左右的同学，急需夯实基础，复习时以理解为主，切忌走马观花、好高骛远。

中考试题中属于平时学习常见的“双基”题占80％左右。

这部分同学要在这部分试题上保证得分，就必须结合课本系统复习，对必须掌握的内容心中有数、胸有成竹。

这部分同学还应侧重提高自己的数学应用能力，真正做到在理解的基础上活学活用。

建议各位同学首先一定要配合老师，跟着老师的节奏进行复习，积极主动，不另搞一套；其次，复习时应注意以中、低档题目为主的练习。

另外，对于较难的题，或者易错的题，应养成做标记的好习惯，做到理解———记忆———消化———再记忆。

复习宗旨是在第一阶段复习的基础上延伸和提高。

120-130分左右的同学，建议抓两头促中间，针对热点，抓住弱点，开展难点知识专项复习。

对各地的模拟卷不要机械式地一整套一整套地做，而是要有选择性。

建议每天做一小套选择填空题试卷，对错误的情况做好记录，同时控制解题时间，确保“快而准”。

在解综合题时可以先跟着老师走，弄清解题基本策略。

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化学方程式计算中的巧思 妙解——差量法
1.题型例析 2.方法指导 3.典题剖析 4.解题模板
目录
一、题型例析 用H2还原x g CuO，当大部分固体变红时停止加热， 冷却后得残留固体y g，共用去z g H2，此时生成水的 质量为( B ) 9 8 A. (x－y)g B. (x－y)g 8 9 C．9z g
目录
三、典题剖析
1． (2017· 合肥质检)将 a L NH3 通过灼热的装有铁触媒的硬质 玻璃管后， 气体体积变为 b L(气体体积均在同温同压下测定)， 该 b L 气体中 NH3 的体积分数是( C )
2a－b b－a 2a－b b－ a A. B. C. D. a b b a
提示：只需比较反应前后气体体积的差量即可
转解析 目录
四、解题模板 解题的基本步骤：
1.表示出理论差值及相应反应物、生成物对应的物理量， 要注意不同物质的物理量及单位间的对应关系；
2.表示出实际差量并写在相应位置(注意应将理论差值与实 际差值写在方程式最右侧)；
3.根据比例关练提升，请完成《创新设计》其他题型精练！
9 D. z g 40
转解析
说明：需要注意的是不可用z g H2进行计算，因为用去的 H2并非全部参加了反应；不可只用x g进行计算，因为CuO 未全部参加反应；不可只用 y g进行计算，因为y g是CuO 和Cu的质量和。
目录
二、方法指导
1 ．差量原理：所谓“差量”就是指反应过程中反应物的某种物理 量之和(始态量)与同一状态下生成物的相同物理量之和(终态量)的 差，这种物理量可以是质量、物质的量、气体体积、气体压强、反 应过程中的热效应等。 2 ．计算依据：化学反应中反应物或生成物的量与差量成正比。 3 ．解题关键：一是明确产生差量的原因，并能根据方程式求出理 论上的差值(理论差量)。二是结合题中的条件求出或表示出实际的 差值(实际差量)。

第1篇尊敬的领导、同事们：时光荏苒，转眼间，我们塑料制品公司已经走过了又一个辉煌的年度。

在这一年里，我们公司全体员工团结一心，共同努力，取得了令人瞩目的成绩。

在此，我对过去一年的工作进行总结，并对新的一年提出展望。

一、回顾过去，硕果累累1. 市场拓展：在过去的一年里，我们公司积极拓展市场，成功进入多个行业领域，产品远销国内外，市场份额逐年上升。

2. 产品研发：我们公司不断加大研发投入，推出了一系列具有竞争力的新产品，满足了市场需求，提升了企业核心竞争力。

3. 质量管理：我们公司始终坚持“质量第一”的原则，严格把控生产流程，确保产品质量稳定可靠，赢得了客户的高度认可。

4. 员工培训：为了提高员工综合素质，我们公司定期组织各类培训活动，提升员工技能，激发团队凝聚力。

5. 企业文化：我们公司积极营造和谐的企业文化氛围，关爱员工，关心员工成长，增强了企业的凝聚力和向心力。

二、存在的问题1. 市场竞争加剧：随着塑料制品行业的快速发展，市场竞争日益激烈，我们需要不断提高自身实力，以应对挑战。

2. 研发投入不足：虽然我们在研发方面取得了一定的成绩，但与行业领先企业相比，我们的研发投入仍有待提高。

3. 人才储备不足：随着企业规模的不断扩大，人才需求日益增加，我们需要加强人才引进和培养，为企业发展提供有力支持。

三、展望未来，再创佳绩1. 加大市场拓展力度：在新的一年里，我们将继续拓展市场，争取更多优质客户，提高市场份额。

2. 深化产品研发：加大研发投入，加快产品创新，推出更多具有市场竞争力的新产品。

3. 提升质量管理水平：继续加强质量管理，确保产品质量稳定可靠，提高客户满意度。

4. 加强人才队伍建设：加大人才引进力度，培养一批高素质的专业人才，为企业发展提供有力保障。

5. 深化企业文化建设：继续营造和谐的企业文化氛围，关爱员工，激发员工潜能，为企业发展注入活力。

总之，过去的一年，我们塑料制品公司取得了丰硕的成果。

一道圆周运动题的巧思妙解刘红久;刘红丁;侯光社【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》【年(卷),期】2014(000)007【总页数】1页(P59-59)【作者】刘红久;刘红丁;侯光社【作者单位】新邵县酿溪中学;新邵县酿溪中学;新邵县酿溪中学【正文语种】中文问题：已知大环半径R1与小环半径R2之比为8∶1，当小环在大环上绕大环不滑动旋转1周时，小环将转过多少圈？：如图1，将大环⊙O的周长变为等长线段AB，因为AB的长度是⊙O周长的8倍，所以⊙O从A不滑动地旋转到B点时，⊙O旋转的圈数为：n=AB÷⊙O的周长=2πR1∶2πR2=8。

学生犯错的原因：⑴只考虑了小环转过的路程，没有考虑小环转过的角度；(2)只考虑了小环在大环外侧的旋转，没有考虑小环在大环内侧的旋转。

所以绝大部分学生采取的是上面的错误解法。

正确的解法应该是这样的——解法1：①如图2，当小环在大环外侧旋转时，某时刻小环任一半径转过的角度当小环绕大环1周时此时小环转过了9圈。

②如图3，当小环在大环内侧转动时，某时刻小环任一半径转过的角度当小环绕大环1周时，此时小环转过了7圈。

解法2 ：将大环转化成n边形，使得n边形的周长等于小环⊙O周长的8倍。

当⊙O从A点不滑动地旋转1周回到A点时，⊙O旋转的圈数即为所求。

①如图4，当小环⊙O在n边形的外侧运动时，⊙O在n边形的各边上旋转8周，在每个顶点处旋转一个外角，而n边形的外角和为360°，即在每个外角顶点处共旋转1圈，故小环合计旋转8+1=9圈。

②如图5，当小环⊙O在n边形的内侧运动时，⊙O在n边形的各边上旋转8周，在每个顶点处少旋转一个外角，而n边形的外角和为360°，即在每个外角顶点处共少旋转1圈，故小环合计旋转8-1=7圈。

圆可以看作一个边数无限多的多边形，所以当小环在大环上绕大环不滑动旋转1周时，小环将转过9圈或7圈。

解法3：如图6，将小环看作一个质点，那么当小环外绕大环一周时，质点转过的周长为2π（R1+R2）=2π（8R2+R2）=9×2πR2，所以小环将转过9圈。