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【高考调研】高中数学 课时作业20 专题研究二 特殊数列求和方法 新人教版必修5

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【高考调研】2015年高中数学 课时作业20 专题研究二 特殊数列求和方法 新人教版必修51．数列12·5，15·8，18·11，…，1n －n ＋，…的前n 项和为( )A.n3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n6n ＋4D.n ＋1n ＋2答案 B2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12nB.12n (n ＋1)＋1－12n －1C.12(n 2－n ＋2)－12nD.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A3．若一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2 011等于( )A ．－3 016B ．－3 015C ．－3 014D ．－3 013答案 C4．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项之和为( )A ．2n－1 B ．n ·2n－n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1，∴S n ＝n－2－1－n ＝2n ＋1－2－n .5．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.512 C.12 D.712答案 B 解析 b n ＝1a n ＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512. 6．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5 050解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＋2＝5 050.7．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1n2－1＝________. 答案n 2n ＋1解析 ∵a n ＝1n2－1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 8．求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n＋1xn )2.解析 当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1xn )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n＋2＋1x2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x2n )＝x 2x 2n －x 2－1＋x －2－x －2n1－x－2n＋2n＝x 2n －x 2n ＋2＋x 2n x 2－＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，x 2n－x 2n ＋2＋x 2n x 2－＋2n ，x ≠±1.9．求和1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋an －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解析 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.当a ≠1时，a n ＝1－a n1－a ＝11－a (1－a n)．∴S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n)] ＝11－a [n －a －a n1－a]＝n 1－a－a－a n －a2.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2 a ＝，n 1－a－a－an －a2a10．求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解析 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2nn ＋＝2(1n －1n ＋1)，∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.11．数列{a n }的前n 项和为S n ＝10n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和． 解析 易求得a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)． 令a n ≥0，得n ≤5；令a n ＜0，得n ≥6. 记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则 (1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝10n －n 2. (2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5－a 6－a 7－…－a n＝2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.综上，得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10nn ≤5时，n 2－10n ＋50 n ≥6时12．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n －1}的前n 项和．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列{a n2n －1}的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1， 故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n ＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n2n －1. 综上，数列{a n 2n －1}的前n 项和S n ＝n2n －1.►重点班·选作题13．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1，知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于a n＝a1＋(n－1)d，S n＝n a1＋a n2，所以a n＝2n＋1，S n＝n(n＋2)．(2)因为a n＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)．因此b n＝14n n＋＝14(1n－1n＋1)．故T n＝b1＋b2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＝nn＋.所以数列{b n}的前n项和T n＝nn＋.。

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新教材2024版高中数学第四章数列习题课数列求和课件新人教A版选择性必修第二册

新教材2024版高中数学第四章数列习题课数列求和课件新人教A版选择性必修第二册


(2)由(1)得 bn＝(3n－2)·2n， 则 Tn＝1×21＋4×22＋…＋(3n－2)×2n， 于是 2Tn＝1×22＋4×23＋…＋(3n－5)×2n＋(3n－2)×2n+1， 两 式 相 减 ， 得 － Tn ＝ 2 ＋ 3(22＋ 23 ＋ … ＋ 2n) － (3n － 2)·2n+1＝ 2 ＋ 3·22(11－－22n-1)－(3n－2)·2n+1＝(5－3n)·2n+1－10，所以 Tn＝(3n－5)·2n+1＋10.
(2)根据数列{bn}的通项可知利用错位相减法进行求和，从而可求出 数列{bn}的前n项和Tn.
素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养．
错位相减法的适用题型及关键点 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，可采用错位相减法．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
第四章 数列
习题课 数列求和
学习目标
素养要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒 序相加求和、错位相减求和法
数学运算
2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法
逻辑推理
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系
或等比关系，并能用相关知识解决与前n项和 数学运算、逻辑推理
相关的问题
自学导引
分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数 列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．
①－②，得 an＝2an－1＋1， 即 an＋1＝2(an－1＋1)． ∵a1＋1＝2≠0，∴an－1＋1≠0， ∴aan－n＋1＋11＝2， ∴{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． ∵an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
几种特殊数列求和的方法和技巧

几种特殊数列求和的方法和技巧

几种特殊数列求和的方法和技巧说实话数列求和这事，我一开始也是瞎摸索。

特别是那些特殊数列，感觉就像一团乱麻，找不到头绪。

就拿等差数列来说吧，我试过好多种方法。

最开始我就傻傻地一个一个相加，那叫一个慢，而且特别容易出错。

后来我才知道有求和公式这么个好东西。

首项加末项的和乘以项数再除以二，这个公式就像一把万能钥匙。

比如说1到100的自然数相加，首项是1，末项是100，项数是100，那按照公式来计算就是(1 + 100)×100÷2 = 5050，多简单快捷。

还有等比数列求和。

我刚开始根本不知道还有专门的公式。

我自己在那瞎琢磨，把每一项都单独算出来再加起来，那可把我累得够呛。

然后知道公式后，就轻松多了，首项乘以1减去公比的n次方再除以1减去公比。

不过这里要注意公比要是不等于1。

我有一次就因为没注意这个条件，结果算出了个完全错误的答案。

后来我做等比数列求和就特别小心这个公比的条件。

再说说裂项相消法。

这个一开始我都没听说过。

有一次遇到这样一个数列，像1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + ……这样的。

我当时毫无办法，后来看书上介绍裂项相消法，把1/(n×(n + 1))写成1/n - 1/(n + 1)这种形式。

这样一写，再求和的时候大部分项就相互抵消了，只剩下开头的1和最后的-1/(n + 1)，算起来特别方便。

错位相减法我觉得比较难理解。

我第一次做这种数列求和的时候就懵了。

给一个等差数列和等比数列相乘得到的新数列求和，我按照常规思路根本做不出来。

后来慢慢研究才知道要先写出乘以公比后的数列，然后两式相减，再去求差之后的和。

就像有一堆苹果，一部分是单个数的等差数列堆，另一部分是按倍数增长的等比数列堆，要计算总数就得这么巧妙地处理。

这些特殊数列求和的方法和技巧呢，其实就是通过不断地尝试错误，再总结经验得到的。

大家做的时候一定要多动手，多看例题，这样才能更好地掌握。

高中数学人教A版必修五-2021届高考数列求和的方法讲解(Word版可编辑)

高中数学人教A版必修五-2021届高考数列求和的方法讲解(Word版可编辑)

数列求和的方法总结和练习方法概述：1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式S n ＝()21naan+＝na1＋()dnn21-.②等比数列的前n项和公式(Ⅰ)当q＝1时，S n＝na1；(Ⅱ)当q≠1时，S n＝()qqa n--111＝a1－a n q1－q.③常见的数列的前n项和：123+++……+n=(1)2n n+， 1+3+5+……+(2n－1)=2n2222 123+++……+n=(1)(21)6n n n++，3333123+++……+n=2(1)2n n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦等(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(5)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{a n·b n}的前n项和，其中{an}和{b n}分别是等差数列和等比数列．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.2. 常见的裂项公式 (1)()11+n n ＝1n －1n ＋1；(2)()k n n +1＝1k (1n －1n ＋k)；(3)()()12121+-n n ＝12(12n －1－12n ＋1)；(4)()()211++n n n ＝12()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+21111n n n n ； (5)1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．(6)设等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)．数列求和题型考点一 公式法求和1.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和.2.已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.变式训练1.设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .2.在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二 错位相减法1.已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .2.已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.变式训练1.已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .2.设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .3.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .5.已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .6.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2＝3S n－S n＋1＋3, n∈N*.(1)证明：a n＋2＝3a n；(2)求S n.考点三分组求和法1.在等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝22 n a＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.2.已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝n a2＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和.变式训练1.已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n －a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.考点四 裂项相消法1.S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．2.等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n 的前n 项和．3.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝an＋1SnSn＋1，求数列{b n}的前n项和T n.变式训练1.正项数列{a n}满足：a2n－(2n－1)a n－2n＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n＝1（n＋1）a n，求数列{b n}的前n项和T n.2.等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .3.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .考点五 倒序相加法1.已知函数f (x )＝14x＋2(x ∈R )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.变式训练1.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.考点六 并项求和1.数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________.2.在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝()21+n n a ，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .。

人教版数学高二-备课资料数列的求和的方法与技巧

人教版数学高二-备课资料数列的求和的方法与技巧

数列的求和的方法与技巧“数列求和”是数列中的重要内容，也是高考命题的一个热点问题,求解数列求和问题应将常见的求和方法与一些常用的数式变换技巧联系起来，以达到快速解决解决问题的目的。

.现将常见的求和方法总结归纳如下：1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法.[例1]（I ）已知数列}{n a 的通项公式)12)(12()2(2+-=n n n a n ，求它的前n 项和.[解析],1212++-=n n n n a n),1212()121321()5232()311(++-+--+--+++++=∴n n n n n n n n S n =1212)12121()5352()3231(1++=++-+--++++++n n n n n n n n n =12)1(2++n n n ；（II ）已知数列}{n a 的通项公式,)]1([122++=n n n a n 求它的前n 项和.[解析],)1(11)1()1(222222+-=+⋅-+=n n n n n n a n.)1(11))1(11()1)1(1()3121()211(22222222+-=+-+--++-+-=∴n n n n n S n（III ）求和：;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n [解析]注意：数列的第n 项“n ·1”不是数列的通项公式，记这个数列为}{n a ，∴其通项公式是.6)2)(1(2)1(6)12)(1(2)1()321()321()321(),,,3,2,1()]1([222222++=++++-+=+++++++++-⋅++++=∴=+-=--⋅=n n n n n n n n n n n n n n S n k k k kn k n k a n k （Ⅳ）已知数列.}{,)109()1(n n n n S n a n a 项和的前求⨯+= [解析]n n n b n a )109(,1=+=为等差数列 为等比数列，∴应运用错位求和方法：.)109()10(999),10()109(1099)109()1(])109(1[108159)109()1(])109()109()109[(59101:,)109()1()109(3)109(2109;)109()1()109(31092111321322n n n n n n n n n n n n n S n n n S n S n S ⨯+-=∴+-=⨯+--⨯+=⨯+-++++=⨯+++⨯+⨯=∴⨯+++⨯+⨯=++++ 两式相减得 [评注]例1讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应的变换.[例2]（I ）设),3(9)(2-≤-=x x x f（1）求)(x f 的反函数);(1x f -（2）若;),2(),(,1111n n n u n u f u u 求≥-==--（3）若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+ [解析]（1）9)(21+-=-x x f（2）}{),2(9122121n n n u n u u u ∴⎩⎨⎧≥+==- 是公差为9的等差数列，,89,0,892-=∴>-=∴k u u n u n n n （3）),8919(9119891--+=++-=k k k k a k);119(91)]8919()1019()110[(91-+=--+++-+-=∴n n n S n （II ）设函数),2)(1(,1:}{,332)(11≥==+=-n b f b b b x x x f n n n 作数列 求和：.)1(11433221+-⋅-+-+-=n n n n b b b b b b b b W[解析]),384(91,312,32211++=∴+=∴+=+-n n b b n b b b n n n n n ①当n 为偶数时]})1[()43()21{(94222222n n W n --++-+-= 298)]12(1173[94]})1[()43()21{(98n n n n ⨯--++++-=--++-+-+ =);62(9194)]22(2[21942n n n n n +-=-+⨯⨯- ②当n 为奇数时}])1()2[()21{(9422222n n n W n +---++-=).762(91312198]22121[9431]21[98})]32(1173[{9431})]1()2[()43()21{(98222++=++⨯++⨯-⨯-=++--++-+++-=++---++-+-+n n n n n n n n n n n n n [评注]例2中的（I ）、（II ）两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟运用求和方法，问题（I ）中运用了“裂项”求和方法，而问题（II ）中灵活运用了拆项与并项的求和方法.[例3]已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2)21(+=n n n a S S 满足， （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式；（II ）求证.211121<+++nS S S [解析]（I ）2)1(4+=n n a S ①，而211)1(4+=--n n a S ②，①—②得,0)2)((0)(2111212=--+⇒=+------n n n n n n n n a a a a a a a a2}{),2(2,01=∴≥=-∴>-d a n a a a n n n n 是公差 的等差数列，;12,1)1(41211-=∴=⇒+=n a a a a n 而 （II ）22221212111111,nS S S n S n n +++=+++∴= .212)111()3121()211(1111),2(111)1(11212<-=--++-+-+<+++∴≥--=-<nnn S S S n n n n n nn [评注]例3是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，∴作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.小试牛刀1．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,)1(2,11n n a n S a +==（I ）求n a 与1-n a 的关系式，并求{n a }的通项公式；（II ）求和.111111212322-++-+-=+n n a a a W 2．将等差数列{n a }的所有项依次排列，并如下分组：（1a ），（32,a a ），（7654,,,a a a a ），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n 组有12-n 项，记T n 为第n 组中各项的和，已知T 3=-48，T 4=0，（I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）求数列{T n }的通项公式；（III ）设数列{ T n }的前n 项和为S n ，求S 8的值.参考答案1．（I ）),2(1,2)1(2111≥-=⎩⎨⎧=+=---n a n n a na S a n S n n n n n n 两式相减得;,12211122111n a n n n n n a a a a a a a a n n n n n n =∴=⋅⋅--⋅-=⋅⋅⋅=∴--- （II ）)]4121()311[(21)2(1531421311-+-=+++⋅+⋅+⋅=n n W n ].211123[21)]211()5131(+-+-=+-++-+n n n n 2．（I ）设{n a }的公差为d ，则486473-=-=d a T ①，036874=+=d a T ②，解①②得;232,9,27-=∴-==n a a d n（II ）当2≥n 时，在前n －1组中共有项数为,1222112-=+++--n n ∴第n 组中的22)12(22)232(21111⨯-+⨯-=----n n n n n n T 项的和 ;22423122--⨯-⨯=n n （III ）.59415,255}{88=∴S a S n 项的前为。