2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一课一练(含解析)人教A版必修一

高中数学《第2章一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设f(x)=13x3+12ax2+2bx+c，若f(x)在x1∈(0,1)处取得极大值，在x2∈(1,2)处取得极小值，则b−2a−1的取值范围为A. (1,4)B. (12,1) C. (14,1) D. (14,12)2.已知集合A={x|x2−x≤0}，B={x|12≤4x≤2}，则A∩B=()A. {x|12≤x≤1} B. {x|0≤x≤12} C. {x|12≤x≤0} D. {x|12≤x≤1}3.已知a>0，b>0，c>0，且，则的最大值为A. B. C. 3 D. 44.设集合，，则等于()A. B.C. D.5.定义表示不超过x的最大整数[x]，记{x}=x−[x]，二次函数y=−x2+mx−2与函数y={−x}在(−1,0]上有两个不同的交点，则m的取值范围是()A. (−52,−√2−1) B. (43,+∞) C. ⌀ D. 以上均不正确6.12函数f(x)、g(x)的定义域为R，且f(x)≥0的解集为{x|1≤x<2}，g(x)≥0的解集为，则不等式f(x)・g(x)>0的解集为()A. {x|1≤x<2}B. RC. D. {x|x<1或x≥2}7.在下列结论中，正确的结论为()(1)“”为真是“”为真的充分不必要条件(2)“”为假是“”为真的充分不必要条件(3)“”为真是“”为假的必要不充分条件(4)“”为真是“”为假的必要不充分条件A. (1)(2)B. (1)(3)C. (2)(4)D. (3)(4)8. 如图所示，正方形铁皮ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥、则正四棱锥体积的最大值为( )A. 32√275B. 32√1075 C. 32√2375 D. 32√103759.已知x +3y =2，则3x +27y 的最小值为( )A. 2√2B. 4C. 3√3D. 610. 若函数f(x)满足对于任意x ∈[n,m](n <m)有nk ≤f(x)≤km 恒成立，则称函数f(x)在区间[n,m]上是“被k 限制”的，若函数f(x)=x 2−ax +a 2在区间[1a ,a](a >0)上是“被2限制”的，则a 的取值范围是( )A. (1,√2]B. (1,√32] C. (1,2]D. [√233,√2] 11. 下列各式中最小值为2的是( )A.B.C.D.12. 已知直线(k +1)x +(k −1)y −5k −3=0恒过定点P(m,n)，若正实数a ，b 满足ma +nb =1，则a +b 的最小值为( )A. 9B. 8C. 7D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：①{x ∈R|x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−6x +1≤0}；③{y|y =2x ,x ∈[1,4]}；④{y|y ={2x +25,x ∈[0,1)x +1x ,x ∈[1,2]}.其中“互倒集”的是______(请在横线上写出所有正确答案) 14. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2,2019]时，符合条件的a共有______个．15.已知直线ax+by−1=0(ab>0)经过圆x2+y2−2x−4y=0的圆心，则1a +2b最小值是______ ．16.设x，y∈R+，且1x +9y=2，则x+y的最小值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式ax2+(a−2)x−2≤0．18.已知正实数a，b满足a+b=4．(1)求1a +4b的最小值．(2)证明：(a+1a )2+(b+1b)2≥25219.已知集合A={x|x2−ax≤x−a}，B={x|1≤log2(x+1)≤2}，C={x|x2+bx+c>0}，(1)若A∩B=A，求a的取值范围．(2)若B∩C=φ，且B∪C=R，求b、c的值．20.已知定义在R上的函数f(x)=|x−m|+|x|，m∈N∗，存在实数x使f(x)<2成立．(Ⅰ)求正整数m的值；(Ⅱ)若α>1，β>1，f(x)+f(β)=2，求证：4α+1β≥92．21.如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛.已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km.设点C到点B的距离为x.(参考数据：√3≈1.7.)(1)写出运输时间t(x)关于x的函数；(2)当点C选在何处时运输时间最短？22.m=−4求函数f(x)的最值；−4求实数m的值范围．若在x0∈R，f(x0)≥1m【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查导数和导数的应用，解题时要注意等价命题的合理转换．由题意知f′(x)=x2+ax+2b，结合韦达定理，利用不等式的性质求出a和b的范围，由此可以导出b−2a−1的取值范围．解：f′(x)=x2+ax+2b，设x2+ax+2b=(x−x1)(x−x2)，(x1<x2)则x1+x2=−a，x1x2=2b，因为函数f(x)当x∈(0,1)时取得极大值，x∈(1,2)时取得极小值∴0<x1<1，1<x2<2，∴1<−a<3，0<2b<2，−3<a<−1，0<b<1.∴−2<b−2<−1，−4<a−1<−2，−12<1a−1<−14，∴14<b−2a−1<1，故选C.2.答案：B解析：考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A={x|0≤x≤1},B={x|−12≤x≤12}，∴A∩B={x|0≤x≤12}．故选：B．3.答案：A解析：试题分析：因为，所以，当且仅当时取等号，所以，因为，所以，当时，，所以，则，所以的最大值为，故选A ．考点：基本不等式．4.答案：D解析：试题分析：因为，，所以=。

2020新教材人教A 版高一数学必修一第二章单元测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若a <0，－1<b <0，则有( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a2．若1a <1b <0，则下列结论正确的是( )A ．a >bB ．ab <b C.b a ＋a b <－2D ．a 2>b 2 3．不等式4＋3x －x 2<0的解集为( )A ．{x |－1<x <4}B ．{x |x >4或x <－1}C ．{x |x >1或x <－4}D ．{x |－4<x <1}4．若关于x 的不等式x 2＋px ＋q <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x的不等式x 2＋px ＋q x 2－5x －6>0的解集是( ) A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <－1或x >6}C ．{x |－1<x <1或2<x <6}D ．{x |x <－1或1<x <2或x >6}5．若正实数x，y满足x＋y＝2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为()A．1 B．2C．3 D．46．已知a>0，b∈R，那么“a＋b>0”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x －a)>0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()A．0≤a≤2B．－2≤a≤－1或－1<a≤0C．0≤a<1或1<a≤2D．－2≤a≤08．设a是实数，要使得对任意x∈{x|x<1或x>5}，都有x2－2(a －2)x＋a>0，则a的取值范围为()A．a≤5 B．1<a<4C．1<a≤7 D．1<a≤59．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz10．已知关于x 的不等式1a x 2＋bx ＋c <0(ab >1)的解集为空集，则T＝12(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1的最小值为( ) A. 3B ．2C ．2 3D ．411．当x >0时，x 2＋mx ＋4≥0恒成立，且关于t 的不等式t 2＋2t ＋m ≤0有解，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．－4≤m ≤1C ．m ≤4或m ≥1D ．m ≤－412．设M 是△ABC 内一点，且△ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( ) A ．8B ．9C ．16D ．18第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知关于x 的不等式(m 2＋4m －5)x 2－4(m －1)x ＋3>0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为________14．已知函数f (x )＝－1a ＋2x ，若f (x )＋2x ≥0在x >0上恒成立，则a 的取值范围是_________15．要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为____m 、宽为_______m.16．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为_______.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈{x |0≤x ≤2}，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．19．(12分)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为C (x )万元．在年产量不足8万件时，C (x )＝13x2＋2x (万元)；在年产量不小于8万件时，C (x )＝7x ＋100x －37(万元)．每年产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完．(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．(12分)已知函数y ＝x 2ax ＋b(a 、b 为常数)，且方程y －x ＋12＝0的两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求a 、b 的值；(2)设k >1，解关于x 的不等式y (2－x )<(k ＋1)x －k .21．(12分)已知方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根．(1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围；(2)如果两实根都在1<x <3内，求实数m 的取值范围；(3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．22．(12分)设函数y ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1.(1)当a ∈R 时，求关于x 的不等式y <0的解集；(2)若y ≤x 3－x 2＋1在x ≥32上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)1解析：D 由－1<b <0，可得1>b 2>0>b ，由a <0，得ab >ab 2>a .2解析：A 因为1a <1b <0，所以b <a <0.故选A.3解析：B 不等式4＋3x －x 2<0可化为x 2－3x －4>0，即(x ＋1)(x －4)>0，解得x >4或x <－1.故不等式的解集为{x |x >4或x <－1}．4解析：D 由题知x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)，故x 2＋px ＋q x 2－5x －6>0， 同解于(x －1)(x －2)(x ＋1)(x －6)>0，得x <－1，或1<x <2，或x >6.故选D.5解析：A 因为x ＋y ≥2xy ，且x ＋y ＝2，所以2≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以xy ≤1，所以1xy ≥1，所以1≥M ，所以M max ＝1.故选A.6解析：B 当a ＝1，b ＝2时，满足a ＋b >0，但是a >|b |不成立，即充分性不成立，当a >|b |时，一定有a ＋b >0成立，∴“a ＋b >0”是“a >|b |”的必要不充分条件，故选B.7解析：D 由题意得，x *(x －a )＝x ×[1－(x －a )]＝x ×[(a ＋1)－x ]，所以x *(x －a )>0等价于x ×[x －(a ＋1)]<0.由题意知该不等式的解集可以是空集，此时a ＝－1.当不等式的解集不是空集时，分两种情况：若a >－1，则不等式的解集为{x |0<x <a ＋1}，所以a ＋1≤1，即a ≤0，故a 的取值范围为－1<a ≤0；若a <－1，则不等式的解集为{x |a ＋1<x <0}，所以a ＋1≥－1，即a ≥－2，故a 的取值范围为－2≤a <－1.综上所述，a 的取值范围为－2≤a ≤0，故选D.8解析：D 令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .(1)f (x )与x 轴没有交点．这时f (x )恒大于0，满足要求．由Δ＝4(a －2)2－4a <0，解得1<a <4.(2)f (x )与x 轴有交点．这时，由函数图象可知，f (x )满足要求当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≥0，f (5)≥0，1≤a －2≤5，f (a －2)≤0，解得4≤a ≤5. 综上可知，a 的取值范围是1<a ≤5.9解析：B 方法1：因为x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz .又az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx .综上可得，最低的总费用为az ＋by ＋cx .方法2：采用特殊值法进行求解验证即可，若x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .10解析：D 由题意得，1a >0，b 2－4c a ≤0，得c ≥ab 24.所以T ＝12(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1≥1＋2ab ＋a 2b 22(ab －1). 令ab －1＝m ，则m >0，所以T ≥1＋2(m ＋1)＋(m ＋1)22m＝m 2＋2m ＋2≥4. 当且仅当m 2＝2m ，即m ＝2，ab ＝3时取到等号，则T ＝12(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1的最小值为4.故选D. 11解析：B ∵当x >0时，x 2＋mx ＋4≥0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x . ∵x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取等号，∴m ≥－4.∵关于t 的不等式t 2＋2t ＋m ≤0有解，∴Δ＝4－4m ≥0，∴m ≤1.故实数m 的取值范围是－4≤m ≤1.故选B.12解析：D 由△ABC 的面积是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积之和，可知12＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝12，且x >0，y >0，则1x ＋4y ＝(2x ＋2y )·(1x ＋4y )＝10＋8x y ＋2y x ≥10＋28x y ×2y x ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 8x y ＝2y x ，x ＋y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝13时等号成立，所以1x ＋4y 的最小值是18.故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13解析：(1)当m 2＋4m －5＝0，即m ＝1或m ＝－5时，显然m ＝1符合条件，m ＝－5不符合条件；(2)当m 2＋4m －5≠0时，由二次函数对一切实数x 恒为正数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －5>0，Δ＝16(m －1)2－12(m 2＋4m －5)<0， 解得1<m <19.综合(1)(2)得，实数m 的取值范围为1≤m <19.14解析：因为f (x )＋2x ＝－1a ＋2x ＋2x ≥0在x >0上恒成立，即1a≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在x >0上恒成立，因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥4，当且仅当x ＝1时等号成立． 所以1a ≤4，解得a <0或a ≥14.15解析：设鱼池的相邻两边长分别为x m ，y m ，则xy ＝432， ∴(x ＋6)(y ＋8)＝xy ＋6y ＋8x ＋48＝480＋6y ＋8x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当6y ＝8x ，即x ＝18，y ＝24时，等号成立．16解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12(x y ＋2y x )≥2，当且仅当x y ＝2y x ，即x ＝2y 时等号成立．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17解：(1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎨⎧ k <0，k >66或k <－66.所以k <－66.即k 的取值范围是k <－66.18解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x＝x ＋1x －4. 因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.故当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈{x |0≤x ≤2}，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在0≤x ≤2上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在0≤x ≤2上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34.所以a 的取值范围是a ≥34.19解：(1)因为每件商品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元．依题意得，当0<x <8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x －2＝－13x 2＋4x －2；当x ≥8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫7x ＋100x －37－2＝35－x －100x . 所以P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋4x －20<x <8，35－x －100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－13(x －6)2＋10，因此，当x ＝6时，P (x )取得最大值P (6)＝10(万元)；当x ≥8时，P (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝15(万元)， 当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时，取等号，即x ＝10时，P (x )取得最大值15万元．因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这。

高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a>b>0,c>d，下列不等式中必成立的一个是（ ）A．a c>bdB．ad<bc C．a+c>b+d D．a―c>b―d2．已知x，y均为正实数，且1x+2+4y+3=12，则x+y的最小值为( )A．10B．11C．12D．133．若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．(―∞,―2)∪[4,+∞)B．(―∞,―4)∪[2,+∞)C．(―2,4)D．(―4,2)4．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）A．5B．245C．235D．1955．小明从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ）A．a＜v＜ab B．v＝ab C．ab＜v＜a+b2D．v＝a+b26．已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b ―3a―1b≤0恒成立，则m的最大值为（ ）A．4B．16C．9D．37．已知x，y∈（―2，2），且xy＝1，则22―x2+44―y2的最小值是（ ）A．207B．127C．16+427D．16―4278．已知函数f(x)=2x|2x―a|，若0≤x≤1时f(x)≤1，则实数a的取值范围为（ ）A．[74，2]B．[53，2]C．[32，2]D．[32，53]二、多选题9．已知a>b>c>0，则（ ）A．a+c>b+c B．ac>bc C．aa+c>bb+cD．a x<b c10．已知a>0，b>0，且a+b=ab，则（ ）A．(a―1)(b―1)=1B．ab的最大值为4C．a+4b的最小值为9D．1a2+2b2的最小值为2311．已知a，b∈R∗，a+2b=1，则b2a +12b+12ab的值可能为（ ）A．6B．315C．132D．5212． 现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点.C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明有（ ）A ．a +b 2≥ab (a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0)C ．a 2+b 22≥a +b2(a ≥0,b >0)D ．ab ≥21a+1b(a >0,b >0)三、填空题13．已知不等式|x ―1|+|x +2|≥5的解集为　　．14． 已知实数x ，y 满足―1≤x +y ≤4且2≤x ―y ≤3，则x +3y 的取值范围是　　.15．若关于x 的不等式x 2+mx ―2<0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为　　.16．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xyZ 取得最大值时，2x+1y ―2z的最大值为 .四、解答题17．U =R ，非空集合 A ={x |x 2―5x +6<0} ，集合 B ={x |(x ―a )(x ―a 2―2)<0} ．（1）a =12时，求 (∁ U B )∩A ；（2）若 x ∈B 是 x ∈A 的必要条件，求实数 a 的取值范围．18．已知 p :|1―x ―13|≤2 ， q :x 2―2x +1―m 2≤0(m >0) ，若 ¬p 是 ¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.19.求解不等式x 2―a ≥|x ―1|―120.已知a ，b ，c 都为正实数，满足abc （a ＋b ＋c ）＝1（1）求S ＝（a ＋c ）（b ＋c ）的最小值（2）当S 取最小值时，求c 的最大值.21.某项研究表明；在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位；辆∕时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位米∕秒）、平均车长l （单位:米）的值有关，其公式为F =76000νv 2+18v +20l（1）如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为多少.（2）如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少.22．已知a ，b ，c 为实数且a +2b +5c =10.（1）若a ，b ，c 均为正数，当2ab +5ac +10bc =10时，求a +b +c 的值；（2）证明：(2b +5c )2+(a +b +5c )2+(a +2b +4c )2≥4903.答案解析部分1．C已知a>b>0,c>d,由不等式的同向相加的性质得到a+c>b+d正确；当a=2,b=1,c=-1,d=-2时，a c<bd, ，a―c=b―d A，D不正确；c=2，d=1时，ad=bc,B不正确. 2．D解：因为x,y>0，且1x+2+4y+3=12，则x+y=(x+2)+(y+3)―5=2(1x+2+4y+3)[(x+2)+(y+3)]―5=2(5+y+3x+2+4(x+2)y+3)―5≥2(5+2y+3x+2⋅4(x+2)y+3―5=13，当且仅当y+3x+2=4(x+2)y+3，即x=4,y=9时等号成立，则x+y的最小值为13.3．D由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4yx+xy+4≥24yx⋅xy+4=8，当且仅当4yx=xy，由于x>0，y>0，即当x=2y时，等号成立，所以，x+2y的最小值为8，由题意可得m2+2m<8，即m2+2m―8<0，解得―4<m<2，因此，实数m的取值范围是(―4,2)，4．A从题设可得15y+35x=1，则3x+4y=15(3x+4y)(1y+3x)=15(3x y+12yx+13)≥15(12+13)=5，5．A6．B7．C8．C不等式f(x)≤1可化为|2x―a|≤2―x，有―2―x≤a―2x≤2―x，有2x―2―x≤a≤2x+2―x，当0≤x≤1时，2x+2―x≥22x×2―x=2（当且仅当x=0时取等号），2x―2―x≤2―12=32，故有32≤a≤2。

章末综合测评(二）一元二次函数、方程和不等式(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若m＜0，n＞0且m＋n＜0,则下列不等式中成立的是（)A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－mD[法一：(取特殊值法）令m＝－3,n＝2分别代入各选项检验，可知D正确．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．]2．不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为()A．（－∞，0)∪错误!B。

错误!C。

错误!D．错误!A[当x≥0时,原不等式即为x(1－2x）＞0,所以0＜x＜错误!；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为（－∞，0）∪错误!，故选A.］3．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为｛x|－1＜x＜2｝，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为（）A。

错误! B.错误!C．｛x|－2＜x＜1｝ D．｛x｜x＜－2或x＞1｝A［由题意知x＝－1,x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由根与系数的关系得错误!⇒错误!∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0。

解得－1＜x＜错误!.］4．设A＝错误!＋错误!,其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是()A．A≥B B．A〉BC．A<B D．A≤BB[∵a，b都是正实数，且a≠b,∴A＝错误!＋错误!〉2错误!＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4）＋2＝－（x－2）2＋2≤2，即B≤2，∴A〉B。

]5．不等式组错误!的解集为()A．{x｜－4≤x≤－3｝B．{x｜－4≤x≤－2}C．｛x｜－3≤x≤－2｝D．∅A［错误!⇒错误!⇒错误!⇒－4≤x≤－3。

]6．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A．5 km处B．4 km处C．3 km处D．2 km处A[设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝错误!，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8,∴k1＝20，k2＝错误!,∴费用之和为y＝y1＋y2＝错误!＋错误!x≥2错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即x＝5时取等号．]7．已知a，b，c∈R,a＋b＋c＝0，abc>0,T＝错误!＋错误!＋错误!，则()A．T〉0 B．T<0C．T＝0 D．T≥0B［取特殊值，a＝2,b＝c＝－1，则T＝－错误!<0，排除A,C，D，可知选B.]8．已知x〉0,y>0.若错误!＋错误!>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是（)A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4C．－2<m〈4 D．－4〈m〈2D[∵x>0，y>0，∴错误!＋错误!≥8错误!.若错误!＋错误!〉m2＋2m恒成立,则m2＋2m<8,解之得－4<m<2.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的个数是（）A．若a>b,c≠0,则ac>bcB．若a〉b,则ac2>bc2C．若ac2〉bc2，则a>bD．若a>b〉0，c>d，则ac〉bdABD［若a〉b，c<0时，ac〈bc，A错；B中，若c＝0,则有ac2＝bc2，B错；C正确；D中，只有c〉d>0时，ac〉bd,D 错，故选ABD.]10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是（）A．ab有最大值错误! B。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质考点1不等关系的建立1.(2019·安徽宿州十三所重点中学高一期中)完成一项装修工程,请木工共需付工资每人400元,请瓦工共需付工资每人500元,现有工人工资预算不超过20000元。

设木工x 人,瓦工y 人,则工人满足的关系式是( )。

A.4x +5y ≤200 B.4x +5y <200 C.5x +4y ≤200 D.5x +4y <200 答案：A解析：由题意,可得400x +500y ≤20000,化简得4x +5y ≤200。

故选A 。

2.有一家三口的年龄之和为65岁,设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x ,y ,z ,则下列选项中能反映x ,y ,z 关系的是( )。

A.x +y +z =65 B.{x +y +z =65,x >y >z ,x ,y ,z ∈N *C.{x +y +z =65,x >z >0,y >z >0,x ,y ,z ∈N *D.{ x +y +z =65,x <65,y <65,z <65,x ,y ,z ∈N *答案：C解析：由题意得x +y +z =65,x >z >0,y >z >0,x ,y ,z ∈N *。

故选C 。

3.△ABC 的三边长分别为a ,b ,1,则a ,b 满足的不等关系是 。

答案：{a +b >1,b +1>a ,a +1>b解析：由三边长的关系得a +b >1,b +1>a ,且a +1>b 。

4.有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表:所有不等关系的不等式组。

答案：解:设需安排x 艘轮船和y 架飞机,则{ 300x +150y ≥2000,250x +100y ≥1500,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N ,即{6x +3y ≥40,5x +2y ≥30,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N 。

2020-2021学年高一上数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a <1；④a >b ⇒1a <1b .其中正确的命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 对于①，当a ＝1，b ＝－2时，a >b ，但a 2<b 2，故①错误； 对于②，当a <b <0时，a 2>b 2也成立，故②错误； 对于③，只有当a >0且a >b 时，ba <1才成立，故③错误；当a >0，b <0时，④错误．2．已知a >1，b >1，记M ＝1a ＋1b ，N ＝1ab ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．不确定答案 A解析 M ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ≥2ab >1ab ，故选A.3．不等式x －1x ＋2<0的解集为( )A ．{x |x >1}B ．{x |x <－2}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x >1或x <－2}答案 C解析 原不等式等价于(x －1)(x ＋2)<0，则原不等式的解集为{x |－2<x <1}． 4．不等式－3x 2＋7x －2<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13<x <2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 D ．{x |x >2}答案 B解析 不等式－3x 2＋7x －2<0可化为3x 2－7x ＋2>0，方程3x 2－7x ＋2＝0的两根为x 1＝13，x 2＝2，则不等式3x 2－7x ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >2，故选B. 5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 答案 B解析 设每件产品的平均费用为y 元， 由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．6．若y ＝－x 2＋mx －1有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2 D ．1<m <3答案 A解析 因为y ＝－x 2＋mx －1有正值， 所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.7.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2>ab (a >b >0)B ．a 2＋b 2>2ab (a >b >0) C.2ab a ＋b <ab (a >b >0) D.a ＋b 2<a 2＋b 22(a >b >0) 答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b 2，在Rt △OCF 中， CF ＝OF 2＋OC 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22 ＝a 2＋b 22>OF ＝a ＋b2，故选D. 8．已知12≤x ≤2时，y 1＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与y 2＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么当12≤x ≤2时，y 1＝x 2＋bx ＋c 的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54 答案 B解析 y 2＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1＋1x.当x ＝1时，y 2取得最小值3，所以y 1＝(x －1)2＋3. 所以当x ＝2时，(y 1)max ＝4.故选B.9．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤18答案 D解析 由a ＋b ＝4，得ab ≤a ＋b 2＝42＝2，故C 错； 由ab ≤2得ab ≤4，∴1ab ≥14，故A 错；B 中，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故B 错；由a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22得a 2＋b 2≥2×⎝⎛⎭⎫422＝8，∴1a 2＋b 2≤18，D 正确． 10．若不等式ax 2＋ax －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．－16≤a <0 B ．a >－16 C ．－16<a ≤0 D ．a <0答案 C解析 设y ＝ax 2＋ax －4，x ∈R ， 则由题意可知y <0恒成立． 当a ＝0时，y ＝－4<0满足题意；当a ≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋16a <0，解得－16<a <0.故－16<a ≤0. 11．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.12．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |－1<m <4}B ．{m |m <－1或m >4}C ．{m |－4<m <1}D ．{m |m <0或m >3}答案 B解析 因为不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y4min <m 2－3m ， 因为x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，所以x ＋y4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x ＋2≥24x y ·y4x＋2＝4， 当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取“＝”， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y4min ＝4，故m 2－3m >4， 即(m ＋1)(m －4)>0， 解得m <－1或m >4，所以实数m 的取值范围是{m |m >4或m <－1}． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知x >0，则7－x －9x 的最大值为________．答案 1解析 因为x >0，则7－x －9x＝7－⎝⎛⎭⎫x ＋9x ≤7－2x ·9x ＝1，当且仅当x ＝9x即x ＝3时取等号． 14.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则不等式ax ＋bcx ＋a<0的解集是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <3 解析 由题图知，1和2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 所以－b a ＝3且ca ＝2，所以b ＝－3a ，c ＝2a 且a >0.不等式ax ＋b cx ＋a <0等价于(ax ＋b )(cx ＋a )<0，即(x －3)(2x ＋1)<0，所以－12<x <3.15.x 2＋3x ＋42x(x >0)的最小值为________．答案 72解析 x 2＋3x ＋42x ＝12⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋3≥12×(24＋3)＝72.当且仅当x ＝2时等号成立．16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50<x ≤80时，每天售出的件数P ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，则销售价格每件应定为________元．答案 60解析 设销售价格定为每件x (50<x ≤80)元，每天获得利润为y 元，则 y ＝(x －50)·P ＝105(x －50)(x －40)2，设x －50＝t ，则0<t ≤30， 所以y ＝105t (t ＋10)2＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t ＋20≤10520＋2t ·100t ＝2 500，当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的二次项系数为a ，且不等式ax 2＋bx ＋c >－4x 的解集为{x |1<x <3}，若y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值大于－3，求a 的取值范围． 解 由题意得方程ax 2＋bx ＋c ＝－4x 的两个根是1,3， 即ax 2＋(b ＋4)x ＋c ＝0的两个根是1,3.所以⎩⎨⎧－b ＋4a＝4，ca ＝3，所以b ＝－4a －4，c ＝3a .又二次函数的最大值大于－3，即4ac －b 24a >－3，且a <0，消去b ，c 得到关于a 的不等式a 2＋5a ＋4>0， 解得a 的取值范围是－1<a <0或a <－4. 18．(12分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式ax 2＋bx －a ＋2>0的解集是{x |－1<x <3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式ax 2＋bx －a ＋2>0. 解 (1)因为不等式ax 2＋bx －a ＋2>0的解集为{x |－1<x <3}， 所以－1,3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，(2)当b ＝2时，y ＝ax 2＋2x －a ＋2＝(x ＋1)(ax －a ＋2)， 因为a >0，所以(x ＋1)(ax －a ＋2)>0可转化为 (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a －2a >0，①若－1＝a －2a，即a ＝1时，解集为{x |x ≠－1}． ②若－1>a －2a，即0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x <a －2a 或x >－1. ③若－1<a －2a，即a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x <－1或x >a －2a . 综上，当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x <a －2a 或x >－1；当a ＝1时，解集为{x |x ≠－1}；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x <－1或x >a －2a . 19．(12分)设函数y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)．(1)若不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为{x |－1<x <3}，求a ，b 的值； (2)若a ＋b ＝1，a >0，b >0，求1a ＋4b 的最小值．解 (1)∵不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为{x |－1<x <3}， ∴－1和3是方程ax 2＋bx ＋3＝0的两个实根，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.(2)∵a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，所以1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝13，b ＝23时等号成立，所以1a ＋4b的最小值为9.20．(12分)已知二次函数y ＝x 2－ax (a ∈R )． (1)若a ＝2，求不等式x 2－ax ≥3的解集；(2)若x ≥1时，x 2－ax ≥－x 2－2恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)若a ＝2，可得x 2－2x －3≥0，(x －3)(x ＋1)≥0， 所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}．(2)当x ≥1时x 2－ax ≥－x 2－2，即a ≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 恒成立， 又2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4x ·1x＝4， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，所以a ≤4，故所求a 的取值范围是{a |a ≤4}． 21．(12分)已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )．(1)解这个关于x 的不等式；(2)若当x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1. ②当a >0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)>0， 解得x <－1或x >1a.③当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)<0. 若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1； 若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式的解集为空集； 若1a >－1，即a <－1，则－1<x <1a. 综上所述，当a <－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <1a ； 当a ＝－1时，不等式解集为∅；当－1<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <－1； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x <－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >1a . (2)∵当x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0， ∴a >1，即a 的取值范围为{a |a >1}．22．(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的关系如下：当0≤x ≤4时，y ＝168－x －1；当4<x ≤10时，y ＝5－12x .若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4) 解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度y 1可表示为：当0≤x ≤4时，y 1＝648－x －4；当4<x ≤10时，y 1＝20－2x .则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得0≤x <8，所以此时0≤x ≤4.当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8， 所以此时4<x ≤8.综合得0≤x ≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂， 则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度y 2＝2⎝⎛⎭⎫5－12x ＋a ⎣⎡⎦⎤168－(x －6)－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x －a －4. 因为4≤14－x ≤8，而1≤a ≤4， 所以4≤4a ≤8，故y 2≥8a －a －4.当且仅当14－x ＝4a 时，y 2有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a的最小值为24－162≈1.6.。

2020-2021学年新教材人教A版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试题2020材人教A版高一数学必修一第二章单元测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题 (每小题5分，共60分)1.若a<0，-1<b<0，则有()A。

a>ab>ab2B。

ab2>ab>aC。

ab>a>ab2D。

ab>ab2>a2.若a<b<0，则下列结论正确的是()A。

a>bB。

ab<bC。

a+b<-2D。

a2>b23.不等式4+3x-x2<0的解集为()A。

{x|-1<x<4}B。

{x|x>4或x<-1}C。

{x|x>1或x<-4}D。

{x|-4<x<1}4.若关于x的不等式x2+px+q0的解集是()A。

{x|1<x<2}B。

{x|x6}C。

{x|-1<x<1或2<x<6}D。

{x|x6}5.若正实数x，y满足x+y=2，且xy≥XXX成立，则M的最大值为()A。

1B。

2C。

3D。

46.已知a>0，b∈R，那么"a+b>0"是"a>|b|"的()A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件7.在R上定义运算*:x*y=x·(1-y)。

若关于x的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()A。

≤a≤2B。

-2≤a≤-1或-1<a≤1C。

≤a<1或1<a≤2D。

-2≤a≤1或a>18.设a是实数，要使得对任意x∈{x|x5}，都有x2-2(a-2)x+a>0，则a的取值范围为()A。

a≤5B。

1<a<4C。