2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测30 含
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课时跟踪检测(三十)
1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝x2，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案：D
解析：PA→＝(－2－x，－y)，PB→＝(3－x，－y)，
∴PA→·PB→＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.
2．在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
解析：由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，得
AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，
即AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0，即2AC→·BA→＝0，
∴AC→⊥BA→，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到|AB→|＝|AC→|，
故△ABC一定是直角三角形．
3．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，则AB→·AC→＝( )
A．23 B．2
C．－23 D．－2
答案：D
解析：由余弦定理，得
cos A＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝22＋22－322×2×2＝－12，
所以AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos A＝2×2×－12＝－2，故选D.
4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是( )
A．－π6 B．－π3
C.π3 D．2π3
答案：D
解析：由已知，可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，
即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
5．设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，若AO→＝13AB→＋13AC→，则∠BAC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：C
解析：取BC的中点D，连接AD，则AB→＋AC→＝2AD→.
由题意，得3AO→＝2AD→，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.
6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是( )
A.0，π6 B．π6，π
C.π3，π D．π3，2π3
答案：C
解析：设a与b的夹角为θ.
∵f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx，
∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，
∵函数f(x)在R上有极值，
∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，
即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜a24.
又∵|a|＝2|b|≠0，
∴cos θ＝a·b|a||b|＜a24a22＝12，即cos θ＜12.
又∵θ∈，∴θ∈π3，π，故选C.
7．若非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰非等边三角形
答案：C
解析：由AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0知，
角A的平分线与BC垂直，∴|AB→|＝|AC→|；
由AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12知，cos A＝12，∴A＝60°.
∴△ABC为等边三角形．
8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM→·CN→的取值范围为( )
A.2，52 B．
C． D．
答案：D
解析：设MN的中点为E，则有CM→＋CN→＝2CE→，
CM→·CN→＝14
＝CE→2－14NM→2＝CE→2－12.
又|CE→|的最小值等于点C到AB的距离，即322，
故CM→·CN→的最小值为3222－12＝4.
当点M与点A(或B)重合时，|CE→|达到最大，易知|CE→|的最大值为3222＋22＝132，
故CM→·CN→的最大值为6，
因此CM→·CN→的取值范围是．
9．在△ABC中，若AB→·AC→＝AB→·CB→＝2，则边AB的长等于________．
答案：2
解析：由题意知，AB→·AC→＋AB→·CB→＝4，即AB→·(AC→＋CB→)＝4，即AB→·AB→＝4，∴|AB→|＝2.
10．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC→·EM→的最大值为________．
答案：32
解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则C(1,1)，M1，12，
设E(x,0)，x∈，
则EC→·EM→＝(1－x,1)·1－x，12＝(1－x)2＋12，
当x∈时，(1－x)2＋12单调递减，
当x＝0时，EC→·EM→取得最大值32.
11．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．
答案：4
解析：由题意，可得
a·b＝3cos θ－sin θ＝2cosθ＋π6，
则|2a－b|＝2a－b2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝8－8cosθ＋π6∈，
所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.
12．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－2，则λ＝________.
答案：23
解析：∵BQ→＝AQ→－AB→＝(1－λ)AC→－AB→，
CP→＝AP→－AC→＝λAB→－AC→，
由BQ→·CP→＝－2，可得
·(λAB→－AC→)＝－2.
化简，得(1－λ)λAC→·AB→－(1－λ)AC→2－λAB→2＋AB→·
AC→＝－2，
又AC→·AB→＝0，AC→2＝4，AB→2＝1，
∴－(1－λ)×4－λ×1＝－2，解得λ＝23.
1．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：B
解析：因为AB⊥BC，点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，
故AC过圆心O，PA→＋PC→＝2PO→，
|PA→＋PB→＋PC→|＝|2PO→＋PB→|＝|3PO→＋OB→|.
当PO→与OB→同向共线时，即B(－1,0)时，|PA→＋PB→＋PC→|取得最大值7.故选B.
2．若函数f(x)＝2sinπ6x＋π3(－2
A．－32 B．－16
C．16 D．32
答案：D
解析：函数f(x)＝2sinπ6x＋π3(－2
由f(x)＝0，解得x＝4，即A(4,0)，
过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，根据对称性可知，A是B，C的中点，所以OB→＋OC→＝2OA→，
所以(OB→＋OC→)·OA→＝2OA→·OA→＝2|OA→|2＝2×42＝32.
3．在△ABC中，满足|AC→|＝|BC→|，(AB→－3AC→)⊥CB→，则角C的大小为( )
A.π3 B．π6
C.2π3 D．5π6
答案：C
解析：设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由(AB→－3AC→)⊥CB→，可得
(AB→－3AC→)·CB→＝(AB→－3AC→)·(AB→－AC→)
＝c2＋3b2－4AB→·AC→
＝c2＋3b2－4cbcos A
＝c2＋3b2－2(b2＋c2－a2)＝0，
即b2－c2＋2a2＝0.
又由|BC→|＝|AC→|可得a＝b，则c2＝3a2，
由余弦定理可得，
cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋a2－3a22a2＝－12，
所以△ABC的内角C＝2π3.
4．已知A，B，C是圆x2＋y2＝1上的三点，且OA→＋OB→＝OC→，其中O为坐标原点，则▱OACB的面积等于________．
答案：32
解析：如图所示，
由|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝1知，▱OACB是边长为1的菱形，且∠AOB＝120°.
∴S▱OACB＝|OA→||OB→|sin 120°＝1×1×32＝32.
5.已知向量m＝3sin x4，1，n＝cos x4，cos2x4.
(1)若m·n＝1，求cos2π3－x的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
解：m·n＝3sin x4cos x4＋cos2x4
＝32sin x2＋12cos x2＋12＝sinx2＋π6＋12.
(1)∵m·n＝1，∴sinx2＋π6＝12，
cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，
∴cos2π3－x＝－cosx＋π3＝－12.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理，得
(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，
∴cos B＝12，B＝π3，∴0＜A＜2π3，
