2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测38 含

课时跟踪检测(三十八)

1．下列不等式一定成立的是( )

A．lgx2＋14>lg x(x>0)

B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.1x2＋1>1(x∈R)

答案：C

解析：当x＞0时，x2＋14≥2·x·12＝x，

所以lgx2＋14≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；

运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；

由基本不等式可知，选项C正确；

当x＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D不正确．

2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )

A.72 B．4

C.92 D．5

答案：C

解析：依题意，得1a＋4b＝121a＋4b·(a＋b)＝125＋ba＋4ab≥125＋2ba·4ab＝92，当且仅当 a＋b＝2，ba＝4ab，a>0，b>0，即a＝23，b＝43时等号成立，

即1a＋4b的最小值是92.

3．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )

A.1ab>12 B．1a＋1b≤1

C.ab≥2 D．1a2＋b2≤18

答案：D

解析：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝4，∴4＝a＋b≥2ab，

∴ab≤2，即ab≤4.

A项，∵ab≤4，∴1ab≥14，故A不恒成立；

B项，∵ab≤4＝a＋b，∴1a＋1b≥1，故B不恒成立；

C项，∵ab≤2，∴C不恒成立；

D项，∵2＝a＋b2≤a2＋b22，∴a2＋b2≥8，

∴1a2＋b2≤18，∴D恒成立．

4.－aa＋(－6≤a≤3)的最大值为( )

A．9 B．92

C．3 D．322

答案：B

解析：解法一：因为－6≤a≤3，

所以3－a≥0，a＋6≥0，

则由基本(均值)不等式可知，

－aa＋≤－a＋a＋2＝92，

当且仅当a＝－32时等号成立．

解法二：－aa＋＝－a＋322＋814≤92，

当且仅当a＝－32时等号成立．

5．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则1x＋1y的最小值是( )

A．4 B．3

C．2 D．1

答案：D

解析：1x＋1y＝x＋yxy≥2xyxy＝2xy，

当且仅当x＝y时等号成立．

∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.

∴1x＋1y≥2xy＝1.

6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

A．a

C.ab

答案：A

解析：设甲、乙两地之间的距离为s.

∵a

又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.

7．已知x>1，y>1，且14ln x，14，ln y成等比数列，则xy(

)

A．有最大值e B．有最大值e

C．有最小值e D．有最小值e

答案：C

解析：∵x>1，y>1，且14ln x，14，ln y成等比数列，

∴ln x·ln y＝14≤ln x＋ln y22，

∴ln x＋ln y＝ln xy≥1⇒xy≥e.

8．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为( )

A．0 B．1

C.94 D．3

答案：B

解析：由已知，得z＝x2－3xy＋4y2，(*)

则xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤1，当且仅当x＝2y时等号成立，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，

所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－1y2＝－1y－12＋1≤1.

9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．

答案：－∞，14

解析：∵圆关于直线对称，

∴直线过圆心(－1,2)，即a＋b＝1.

∴ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b＝12时等号成立．

10．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为________．

答案：8

解析：函数y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，又点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.

∴1m＋2n＝1m＋2n(2m＋n)＝4＋nm＋4mn≥8，当且仅当nm＝4mn，即m＝14，n＝12时等号成立．

11．已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则a2b＋1的取值范围是________．

答案：(0，＋∞)

解析：由题意知，(b,1)到x＋y＋a＝0的距离为2，即b＋1＋a2＝2，得a＋b＝1，a＝1－b，

a2b＋1＝－b2b＋1＝b＋2－b＋＋4b＋1

＝(b＋1)＋4b＋1－4≥2b＋4b＋1－4＝0，

当且仅当b＝1，a＝0时等号成立，

又a＞0，b＞0，所以a2b＋1＞0.

12．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．

答案：2

解析：依题意，得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，

即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时等号成立)，

即x＋22xyx＋y的最大值为2.

又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.

1．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )

A.22 B．22

C.2 D．2

答案：D

解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y≥22xy，

∴4xy－(x＋2y)≤4xy－22xy，

∴4≤4xy－22xy，

即(2xy－2)(2xy＋1)≥0，

∴2xy≥2，∴xy≥2.

2．若正数a，b满足a＋b＝2，则1a＋1＋4b＋1的最小值是( )

A．1 B．94

C．9

D．16

答案：B

解析：1a＋1＋4b＋1＝1a＋1＋4b＋1a＋＋b＋4

＝141＋4＋b＋1a＋1＋a＋b＋1≥14(5＋24)＝94，

当且仅当b＋1a＋1＝a＋b＋1，即a＝13，b＝53时等号成立，故选B.

3．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，求z＝x2＋4y2的取值范围．

解：∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤x2＋4y22，

∴6－(x2＋4y2)≤x2＋4y22，

∴x2＋4y2≥4，当且仅当|x|＝2|y|时等号成立．

又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，

∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12，当且仅当x＝－2y时等号成立．综上可知，x2＋4y2的取值范围为．

4.已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.

(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；

(2)求1x＋1y的最小值．

解：(1)∵x＞0，y＞0，

∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.

∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，即xy≤10，

当且仅当2x＝5y时等号成立．

因此有 2x＋5y＝20，2x＝5y，解得 x＝5，y＝2，此时xy有最大值10.

∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.

∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.

(2)∵x＞0，y＞0，

∴1x＋1y＝1x＋1y·2x＋5y20＝1207＋5yx＋2xy

≥1207＋25yx·2xy＝7＋21020，

当且仅当5yx＝2xy时等号成立．

由 2x＋5y＝20，5yx＝2xy，解得 x＝1010－203，y＝20－4103.

∴1x＋1y的最小值为7＋21020.

5．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值．

解：(1)由题设，得S＝(x－8)900x－2＝－2x－7 200x＋916，x∈(8,450)．

(2)因为8

所以2x＋7 200x≥2 2x×7 200x＝240，

当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.

故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.