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高中数学 第1章 三角函数 1.21.2.2 同角三角函数关系练习 苏教版必修4

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1.2.2

同角三角函数关系

A级

基础巩固

一、选择题

1．已知α∈π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )

A.34 B．－34 C.43

D．－43

解析：由sin α＝35，α∈π2，π得

cos

α＝－1－sin2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.

答案：B

2．sin2α＋cos4α＋sin2α cos2α的化简结果是(

)

A.14 B.12 C.32 D．1

解析：sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.

答案：D

3．已知tan α＝13，且0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( )

A．±310 B.310 C.310 D．±310

解析：sin α·cos αsin2α＋cos2α＝tan αtan2α＋1＝310.

答案：B

4．若α∈[0，2π)，且有1－cos2α＋1－sin2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )

A.0，π2 B.π2，π

C.π2，π D.π，32π

解析：因为1－cos2α＋1－sin2α＝sin α－cos α，

所以sin α≥0，且cos α≤0.

又α∈[0，2π)，所以α∈π2，π.

答案：B

5．若sin

θ＝m－3m＋5，cos

θ＝4－2mm＋5，则m的值为(

)

A．0 B．8

C．0或8 D．3

解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得m－3m＋52＋4－2mm＋52＝1，

解得m＝0或8.

答案：C

6．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．

解析：sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sinα（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝

－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.

答案：－2tan2α

7．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．

解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，

所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α.

所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α.

所以tan α＝－2.

答案：－2

8．若A为△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝23，则△ABC的形状为________三角形．

解析：因为sin A＋cos A＝23，则(sin A＋cos A)2＝49.

所以sin Acos A＝－518<0，则A为钝角．

故△ABC为钝角三角形．

答案：钝角

9．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．

解析：由cos α＋2sin α＝－5，sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝－25，cos α＝－15.

所以tan

α＝sin

αcos

α＝2.

答案：2

10．化简下列各式：

(1)

1＋sin

θ1－sin

θ＋ 1－sin θ1＋sin θ；

(2)1－sin x1＋sin x－1＋sin x1－sin

x· 1－cos x1＋cos x－ 1＋cos x1－cos

x.

解：(1)原式＝ （1＋sin θ）21－sin2θ＋ （1－sin θ）21－sin2θ＝1＋sin θ|cos θ|＋1－sin θ|cos θ|＝2|cos θ|.

(2)原式＝ 1－sin2x（1＋sin x）2－ 1－sin2x（1－sin x）2·1－cos2x（1＋cos x）2－

1－cos2x（1－cos x）2＝|cos x|1＋sin x－|cos x|1－sin x·|sin x|1＋cos x－|sin x|1－cos x＝

－2sin x·|cos x|cos2x·－2cos x·|sin x|sin2x＝4|sin x·cos x|sin x·cos x

x≠nπ2，n∈Z，

所以当x∈nπ，nπ＋π2时，原式＝4；

当x∈nπ＋π2，（n＋1）π时，原式＝－4.

B级 能力提升

11．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )

A．－32 B.32 C．－52 D.52

解析：由题意知θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ>0，

所以sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝52.

答案：D

12．已知α是锐角，且tan α是方程4x2＋x－3＝0的根，则sin α＝( )

A.45 B.35 C.25 D.15

解析：因为方程4x2＋x－3＝0的根为x＝34或x＝－1，

又因为tan α是方程4x2＋x－3＝0的根且α为锐角，

所以tan α＝34.所以cos α＝43sin α.

代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋169sin2α＝1.

所以sin2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.

答案：B

13．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是________．

解析： 1－cos α1＋cos α＝ （1－cos α）2sin2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，

所以sin α<0.故2kπ－π<α<2kπ，k∈Z.

答案：{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}

14．化简：tan

α＋tan αsin αtan α＋sin α·1＋1cos α·sin α1＋sin α.

解：原式＝tan α（1＋sin α）tan α＋sin α·cos α＋1cos α·sin

α1＋sin

α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.

15．已知3sin α－2cos α＝0，求1sin αcos α的值．

解：由3sin α－2cos α＝0，得tan

α＝23.

1sin αcos α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝tan2α＋1tan α＝136.

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高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系优化

高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系优化

1.2.2 同角三角函数关系

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1.以下各式中能成立的是( )

A.sinα=cosα=21 B.cosα=31且tanα=2

C.sinα=21且tanα=33 D.sinα=-21且cosα=-21

思路解析：若sinα=21，则α=2kπ+6或α=2kπ+65.不妨取α=6，显然cos6≠21，∴A不正确.

又cosα=31时，则sinα=±911=±322.此时tanα=±22≠2，∴B不正确.

显然D中sin2α+cos2α=41≠1，不正确.

答案：C

2.如果角x的终边位于第二象限，则化简函数y=xxx22sin1coscos1sin的值为( )

A.1 B.2 C.0 D.-1

思路解析：利用同角基本关系式sin2x+cos2x=1以及x属于第二象限，有y=|sin|sinxx+xxxxxxcoscossinsin|cos|cos=1-1=0.

答案：C

3.化简三角函数式y=cos4x+sin2x+cos2xsin2x的结果为( )

A.0 B.21 C.1 D.23

思路解析：利用cos2x+sin2x=1，有y=cos2x（1-sin2x）+sin2x+cos2xsin2x=cos2x+sin2x=1.

答案：C

4.已知cosθ=-54且90°＜θ＜180°，则sinθ=_______________，tanθ=_______________.

思路解析：利用同角基本关系式且θ∈（90°，180°），易得sinθ=2cos1=53.

2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数关系讲义苏教版必修4

2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数关系讲义苏教版必修4

1.2.2 同角三角函数关系

学

习

目 标 核 心 素 养(教师独具)

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝sin αcos

α.(重点)

2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.

同角三角函数的基本关系

1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.

2．商数关系：tan α＝sin αcos

αα≠kπ＋π2，k∈Z.

思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？

[提示] 不一定．

1．思考辨析

(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(

)

(2)对任意角α，sin α2cos α2＝tan α2都成立．( )

(3)若sin α＝12，则cos α＝32.( )

[解析] (1)√.符合同角三角函数的关系．

(2)×.等式sinα2cos α2＝tan α2的条件是 cos α2≠0，α2≠π2＋kπ，k∈Z，

即α≠π＋2kπ，k∈Z.

(3)×.因为α的范围不明确，故cos α＝±1－sin2α＝±32.

[答案] (1)√ (2)× (3)×

2．已知α是第二象限角，且cos α＝－13，则tan α＝________.

－22 [∵α是第二象限角，∴sin α＞0.

又sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝1－cos2α＝1－－132＝223，

∴tan α＝sin αcos α＝－22.]

3．已知tan α＝2，则cos α－5sin

α3cos α＋sin α＝________.

－95 [由tan α＝2知cos α≠0，

所以cos α－5sin α3cos α＋sin α＝1－5tan α3＋tan

α＝－95.]

利用同角基本关系式求值

【例1】 (1)已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值；

数学苏教版高一必修4_第1章1.2.2同角三角函数关系_作业

数学苏教版高一必修4_第1章1.2.2同角三角函数关系_作业

[学业水平训练]

1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________．

解析：∵5，12，13为勾股数组，且α为第四象限角，

∴sin α＝－513.

答案：－513

2．化简sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ得________．

解析：原式＝sin θ（1－sin θ）－sin θ（1＋sin θ）（1＋sin θ）（1－sin θ）

＝sin θ－sin2θ－sin θ－sin2θ1－sin2θ＝－2sin2θcos2θ＝－2tan2θ.

答案：－2tan2θ

3．若sin x＋cos x＝2，那么sin4x＋cos4x的值为________．

解析：由sin x＋cos x＝2，得2sin xcos x＝1，由sin2x＋cos2x＝1，得sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x＝1.

所以sin4x＋cos4x＝1－12(2sin xcos x)2＝1－12×1＝12.

答案：12

4．已知sin(α－π4)＝13，则cos(α－π4)等于________．

解析：cos(α－π4)＝± 1－sin2（α－π4）＝± 1－（13）2＝±223.

答案：±223

5．已知tan α＝m(π＜α＜3π2)，则sin α＝________．

解析：因为tan α＝m，所以sin2αcos2α＝m2，

又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝1m2＋1，sin2α＝m2m2＋1.

又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m＞0.

因而sin

α＝－mm2＋1 .

答案：－m1＋m2

6．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，那么tan θ的值是________．

解析：法一：设P(x，y)是角θ终边上任一点，P到坐标原点的距离为r，则r＝x2＋y2>0，且sin θ＝yr，cos θ＝xr.由已知有y＋xr＝15 ①，即25(x＋y)2＝x2＋y2，整理并解得yx＝－34或yx＝－43 ②.因为0＜θ＜π，所以y＞0，又由②知x＜0，再由①知x＋y＞0，则|x|＜|y|.

高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学

高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学

1．2.2 同角三角函数关系

[学习目标] 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

[知识链接]

1．任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？

答 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.

2．在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？

答 MP＝sin α，OM＝cos α，AT＝tan α.

3．如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？

答 设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝x2＋y2>0，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.

于是sin2 α＋cos2 α＝yx2＋xr2＝y2＋x2r2＝1，

sin αcos α＝yrxr＝yx＝tan α.

即sin2 α＋cos2 α＝1，tan α＝sin αcos α.

[预习导引]

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2，k∈Z)．

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：

sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；

(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：

sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.

要点一 利用同角基本关系式求值

例1 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．

解 ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角，

如果α是第二象限角，那么

sin α＝1－cos2α＝ 1－－8172＝1517，

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