天津市南开区2018届高三上学期期末数学试卷理科 含解析
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2018-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，则M∩N=（ ）
A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x≥﹣1}
2．复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A．i B．1 C．﹣i D．﹣1
3．如果命题“￢（p∧q）”为假命题，则（ ）
A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题
C．p、q至少有一个为真命题 D．p、q至多有一个为真命题
4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．πcm3 B．3πcm3 C．πcm3 D．πcm3
5．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
6．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．
7．抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0＜t＜1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.
9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是 ．
10．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是 ．
11．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是 ．
12．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k= ．
13．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ= ．
14．已知实数a，b满足：a≥，b∈R，且a+|b|≤1，则+b的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．
15．（13分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，π]上的取值范围．
16．（13分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
（1）求角C的大小；
（2）若且a+b=5求△ABC的面积．
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．
18．（13分）在等差数列{an}中，首项a1=1，数列{bn}满足bn=（）an，b1b2b3=
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+anbn＜2．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．
（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；
（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．
20．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex．
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2＜cex．
2018-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，则M∩N=（ ）
A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x≥﹣1}
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．
【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，
N={x|＞0}={x|x＜1}，
∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A．i B．1 C．﹣i D．﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵ =，
∴复数的虚部是1．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．如果命题“￢（p∧q）”为假命题，则（ ）
A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题
C．p、q至少有一个为真命题 D．p、q至多有一个为真命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．
【解答】解：∵命题“￢（p∧q）”为假命题，
∴命题“p∧q”为真命题，
∴命题p、q均为真命题．
故选：A．
【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题．
4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．πcm3 B．3πcm3 C．πcm3 D．πcm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，据此可计算出体积．
【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，
所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π（cm3）．
故选D．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
5．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，
由图象知AD的斜率最大，
由，得，即A（1，5），
则z=的最大值z===，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．
6．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：设P（x0，y0）
依题意可知抛物线准线x=﹣1，
∴x0=5﹣1=4
∴|y0|==4，
∴△MPF的面积为×5×4=10
故选：B
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．
7．抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0＜t＜1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分的几何意义求积分，利用积分函数即可S的最小值．
【解答】解：∵y=f（x）=x2，
∴f'（x）=2x，
即切线l在P处的斜率k=f'（t）=2t，
∴切线方程为y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，
即y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，
y=2tx﹣t2，
作出对应的图象，
则曲线围成的面积S==
==，
∵0＜t＜1，
∴当t=时，面积取的最小值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查积分的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分公式即可得到面积的最小值，考查学生的计算能力．
8．已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用已知条件求出f（1﹣x）的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．
【解答】解：函数f（x）=，
f（1﹣x）=，
函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数，
就是y=f（1﹣x）与y=1交点个数，
如图：可知两个函数的图象由三个交点，
函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为3．
故选：C．
