《变化率与导数》典型例题课件

高中数学导数典型例题

题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值

1. 已知函数32()fxxaxbxc 过曲线()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为y=3x+1 。

（1）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；

（2）在（1）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值；

（3）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

解：（1）极值的求法与极值的性质

（2）由导数求最值

（3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图

2. 已知).(3232)(23Raxaxxxf

(1)当41|| a时, 求证：)x(f在)1,1( 内是减函数;

(2)若)x(fy在)1,1( 内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.

解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图

（2）草图——讨论

题型二：利用导数解决恒成立的问题

例1：已知322()69fxxaxax（aR）．

（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；

（Ⅱ）当0a时，若对0,3x有()4fx恒成立，求实数a的取值范围．

例2：已知函数222()2()21xxfxetexxt，1()()2gxfx．

（1）证明：当22t时，()gx在R上是增函数；

（2）对于给定的闭区间[]ab，，试说明存在实数 k，当tk时，()gx在闭区间[]ab，

上是减函数；

（3）证明：3()2fx≥．

解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0)

(3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1

讨论太难 分界线即1-t^2/8=0

做不出来问问别人，我也没做出来

例3：已知3)(,ln)(2axxxgxxxf

有关偏导数典型例题

例1 ：求 在点（1，0）处的偏导数

解：法1

法2 先求偏导函数. 求 时. 将y看作常数，求 时，将x看作常数.

故

故

法3 先求

再求 最后求得

同理可得

例2 ： 求 的偏导数，其中

解：将y看作常数时， 是幂函数，因此

将x看作常数时， 是指数函数，因此，

例3： 设 ，证明u满足

证: 从而

同理

故

例4 ：设 求 .

解：令y=1得 ,从而

令x = 0得f(0,y)=0故 .

应该注意对于本题若采用先求偏导函数 和 然后再将点（0，1）代入算 和 则在算 和 时运算相对复杂，此外，因

无法算出 的值，可见，在求函数在某一点的偏导数时，应注意使用例4的方法。

例5： 求

其中 ，在（0，0）点的偏导数

解 求分段函数在分段点处的偏导数通常用定义求。

同理

高中数学导数典型例题

题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值

1. 已知函数32()fxxaxbxc 过曲线()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为y=3x+1 。

（1）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；

（2）在（1）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值；

（3）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

2. 已知).(3232)(23Raxaxxxf

(1)当41|| a时, 求证：)x(f在)1,1( 内是减函数;

(2)若)x(fy在)1,1( 内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.

题型二：利用导数解决恒成立的问题

例1：已知322()69fxxaxax（aR）．

（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；

（Ⅱ）当0a时，若对0,3x有()4fx恒成立，求实数a的取值范围．

例2：已知函数222()2()21xxfxetexxt，1()()2gxfx．

（1）证明：当22t时，()gx在R上是增函数；

（2）对于给定的闭区间[]ab，，试说明存在实数 k，当tk时，()gx在闭区间[]ab，

上是减函数；

（3）证明：3()2fx≥．

例3：已知3)(,ln)(2axxxgxxxf

（1）求函数)(xf在)0](2,[ttt上的最小值

（2）对(0,),2()()xfxgx恒成立，求实数a的取值范围

题型三：利用导数研究方程的根

例4：已知函数axaxxf313)(23.

（Ｉ）讨论函数)(xf的单调性；

（Ⅱ）若曲线()fx上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

例5：已知函数),(3)(23Rbaxbxaxxf，在点))1(,1(f处的切线方程为.02y

有关偏导数典型例题

例1 ：求 在点（1，0）处的偏导数

解：法1

法2 先求偏导函数. 求 时. 将y看作常数，求 时，将x看作常数.

故

故

法3 先求

再求 最后求得

同理可得

例2 ： 求 的偏导数，其中

解：将y看作常数时， 是幂函数，因此

将x看作常数时， 是指数函数，因此，

例3： 设 ，证明u满足

证: 从而

同理

故

例4 ：设 求 .

解：令y=1得 ,从而

令x = 0得f(0,y)=0故 .

应该注意对于本题若采用先求偏导函数 和 然后再将点（0，1）代入算 和 则在算 和 时运算相对复杂，此外，因

无法算出 的值，可见，在求函数在某一点的偏导数时，应注意使用例4的方法。

例5： 求

其中 ，在（0，0）点的偏导数

解 求分段函数在分段点处的偏导数通常用定义求。

同理