变化率与导数学案

第一章 导数及其应用

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

§1.1.3 导数的几何意义

§1.2 导数的计算

§1.2.1 几个常用函数的导数

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用

§1.3.1 函数的单调性与导数

§1.3.2 函数的极值与导数

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数

§1.4 生活中的优化问题举例

§1.5 定积分的概念

§1.5.1 曲边梯形的面积

§1.5.2 汽车行驶的路程

§1.5.3 定积分的概念

§1.6 微积分基本定理

§1.7 定积分的简单应用

§1.7.1 定积分在几何中的应用

§1.7.2 定积分在物理中的应用

章末整合提升 章末达标测试

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

§2.1.1 合情推理

§2.1.2 演绎推理

§2.2 直接证明与间接证明

§2.2.1 综合法和分析法

§2.2.2 反证法

§2.3 数学归纳法

章末整合提升

章末达标测试

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.2 复数的几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算

§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

章末整合提升

章末达标测试

模块综合检测

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

[课标要求]

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

一、函数平均变化率

如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．

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h 1.1.2 瞬时变化率——导数

学习目标 重点难点

1．能说出平均变化率和瞬时变化率的区别与联系．

2．会分析瞬时变化率就是导数的含义．

3．能记住导数的定义，会利用导数定义求函数的导函数. 重点：瞬时变化率的理解．

难点：利用导数定义求函数的导函数.

1．瞬时速度

(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．

(2)一般地，如果当Δt__________0时，运动物体位移s(t)的平均变化率s(t0＋Δt)－s(t0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t＝t0时的__________，也就是位移对于时间的____________．

预习交流1

做一做：如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3 s时的瞬时速度为__________．

2．瞬时加速度

一般地，如果当Δt__________时，运动物体速度v(t)的平均变化率v(t0＋Δt)－v(t0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t＝t0时的_________，也就是速度对于时间的____________．

3．导数

(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个______A，则称f(x)在x＝x0处______，并称该______A为函数f(x)在x＝x0处的______，记为______．

(2)导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的________．

(3)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的________，记作________．

预习交流2

做一做：设函数f(x)可导，则当Δx→0时，f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于__________．

1 变化率与导数、导数的计算

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

2.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义：f′(x0)是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

二、基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

三、导数的运算法则

1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

3.fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

1.函数求导的原则

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系

(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

利用导数的定义求函数的导数

1．用定义法求下列函数的导数．

(1)y＝x2； (2)y＝4x2.

§3.1 变化率与导数学案

§3.1.1 变化率问题

学习目标：

1.理解平均变化率的概念;

2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率.

教学过程：

一、学习背景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

2、求曲线的切线;

3、求已知函数的最大值与最小值;

4、求长度、面积、体积和重心等.

导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课学习

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

分析： (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出：

思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

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t o- 2 - 问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttth.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?

思考计算: 5.00t和21t的平均速度v

探究: 计算运动员在49650t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？