2021年上海中考数学二模23题汇编

数学第二次模拟试卷（时间：100 分钟，满分：150 分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1. 据统计，2015 年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000 人次，80016000 用科学记数法表示是…………………………………………………………………………………（▲）（A）8.0016 ⨯106 ； （B）8.0016 ⨯107 ； （C）8.0016 ⨯108 ； （D）8.0016 ⨯109 .2.下列计算结果正确的是…………………………………………………………………（▲）（A）a 4 ⋅a 2 =a8 ；（B）(a 4 )2 =a 6 ；（C）(ab)2 =a 2 b 2 ；（D）(a -b)2 =a 2 -b 2 .3.下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是………………………（▲）（A）折线图；（B）扇形图；（C）条形图；（D）频数分布直方图．4. 下列问题中，两个变量成正比例关系的是……………………………………………（▲）（A）等腰三角形的面积一定，它的底边与底边上的高；（B）等边三角形的面积与它的边长；（C）长方形的长确定，它的周长与宽；（D）长方形的长确定，它的面积与宽.5.如图1，已知l1 ∥l2 ∥l3 ，DE = 4 ，DF = 6 ，那么下列结论正确的是…………（▲）（A）BC : EF = 1:1 ；（B）BC : AB =1: 2 ；（C）AD : CF = 2 : 3；（D）BE : CF = 2 : 3 ．图16.如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过x + 2 ⎩（ ▲ ）（A ）2cm ；（B ） 2 cm ； （C ）4cm ；（D ） 4 cm ．二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7.分解因式： ma 2- mb 2＝ ▲ .8.方程 = x 的根是 ▲ .⎧2 - x > 09.不等式组 ⎨2x + 3 > 1的解集是 ▲ . 10.如果关于 x 的方程 x 2 + x + a - 7= 0 有两个相等的实数根，那么 a 的值等于▲ .4x -111. 函数 y =的定义域是 ▲ ． 4x12.某飞机如果在 1200 米的上空测得地面控制点的俯角为30︒ ，那么此时飞机离控制点之间的距离是 ▲ 米．13.一个口袋中装有 3 个完全相同的小球，它们分别标有数字 0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为 素数的概率是 ▲ ． 14.如图 2，在四边形 ABCD 中， 点 M 、 N 、 P 分别是 AD 、 BC 、 BD 的中点， 如果BA = a ， DC = b ，那么 MN = ▲.（用 a 和b 表示）图 2图 315．如果某市 6 月份日平均气温统计如图 3 所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是 ▲C .3 33⎪⎩16. 已知点 A (x , y ) 和点 B (x , y )在反比例函数 y = k的图像上，如果当0 < x < x ，1 12 2x1 2可得 y 1 < y 2 ，那么 k▲0 ．（填“>”、“=”、“<”）17．如图 4，点 E 、F 分别在正方形 ABCD 的边 AB 、BC 上，EF 与对角线 BD 交于点G ， 如果 BE = 5 ， BF = 3，那么 FG : EF 的比值是 ▲ ．图 4图 5①图 5②18．如图 5①，在矩形 ABCD 中，将矩形折叠，使点 B 落在边 AD 上，这时折痕与边 AD 和边 BC 分别交于点 E 、点 F .然后再展开铺平，以 B 、 E 、 F 为顶点的△ BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图 5②，在矩形 ABCD 中，AB = 2 ，BC = 4.当“折痕△ BEF ”面积最大时，点 E 的坐标为 ▲ ．三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（本题满分 10 分）⎛ 1 ⎫-2计算： -32+ - 2 + ⎪ - ⎝ 3 ⎭2 tan 60-1 .20．（本题满分 10 分）⎧⎪x 2 + y 2= 5,解方程组： ⎨x 2 - 3xy + 2 y 2=0.已知：如图6，在△ABC 中，AB =AC = 13 ，BC = 24 ，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，AP 2 =AD ⋅AB ，求∠APD 的正弦值．图622．（本题满分10分）自2004 年5 月1 日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200 千米的高速公路限速120 千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120 千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？23．（本题满分12分）如图7，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD平分∠ABC ，过点D 作DF ∥AB 分别交AC 、BC 于点E 、F ．（1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC ⊥AB ，求证：AC OE =AB EF ．图7如图8，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =1x2 +bx +c 的图像与y 轴交于点A，3与双曲线y =8有一个公共点B，它的横坐标为4．过点B 作直线l∥x 轴，与该二次函数图x像交于另一点C，直线AC 的截距是-6 ．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC 的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D 为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D 的坐标，如果不存在，说明理由．图8如图9，在Rt△ABC 中，∠C = 90 ，AC = 14 ，tan A =3，点D 是边AC 上的一点，4AD = 8 ．点E 是边AB 上一点，以点E 为圆心，EA为半径作圆，经过点D ．点F 是边AC 上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G 在边BC 上时，设AF =x ，CG =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG ，当△EFG 与△FCG 相似时，推理判断以点G 为圆心、CG 为半径的圆G 与圆E 可能产生的各种位置关系．普陀区2015 学年度第二学期九年级数学期终考试试卷图9 参考答案及评分说明图9 备用图一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(B)；2．(C)；3．(A) ；4．(D)；5．(B)；6．(C) .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. m(a +b)(a -b)；8. x =2；9. - 1 <x < 2 ；10. 2 ；11．x ≠ 0 ；12. 2400；113．； 1 114． b - a ；2 2 15．22；316．<；317．；83 18．（，2）．2三、解答题（本大题共7 题，其中第19---22 题每题10 分，第23、24 题每题12 分，第25 题14 分，满3 3 分 78 分）19．解：原式= -9 + 2 - +9 - - 1··························································· （8 分）=1 - 2 .·············································································（2 分）20．解：方程②可变形为(x - y )(x - 2y ) = 0 .················································· （2 分）得： x - y = 0 或 x - 2 y = 0 ，························································ （2 分）⎧x 2 + y 2 = 5，⎧x 2 + y 2 = 5， 原方程组可化为 ⎨ x - y = 0； ⎨x - 2 y = 0 ··········································（2 分）⎩ ⎩． ⎧ x = 1 10，⎧x = - 1 10， ⎪ 1 2 ⎪ 2 2 ⎧x 3 = 2，⎧x 4 = -2解得： ⎨ ⎨ ⎨ y = 1 ⎨ y ·····························（4 分） ⎪ y = 1 10；⎪ y = - 1 10 ⎩ 3 ；⎩ 4 = -1⎩⎪ 1 2 ⎩⎪ 2 2⎧ x = 1 10，⎧ x = - 1 10， ⎪ 1 2 ⎪ 2 2 ⎧x 3 = 2，⎧x 4 = -2 ∴原方程组的解是 ⎨ 1 ⎨ 1 ⎨ y = 1 ⎨ y = -1 ⎪ y = 10；⎪ y = - 10 ⎩ 3 ；⎩ 4⎩⎪ 1 2 ⎩⎪ 2221、解：过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为点 E ．················································ （1 分）∵ AP 2= AD ⋅ AB ， AB = AC ，∴ AP 2= AD ⋅ AC ．·····································································（1 分） ∴AD =AP ∠PAD AP ． AC= ∠CAP ，···································································· （1 分）∴△ APD ∽△ ACP ．·································································（1 分） 得∠APD = ∠C ．·······································································（1 分） ∵ AB = AC ， AE ⊥ BC ，∴ CE = 1BC = 12 ．···························· （2 分）2∵ AE ⊥ BC ， AC = 13， ∴由勾股定理得 AE = 5．·······················（1 分）∴ s in C = AE = 5 AC 13．································································· （1 分） 即sin ∠APD = 5．····································································（1 分） 13322．解：设李师傅的平均速度为 x 千米/时，王师傅的平均速度为(x - 20) 千米/时．（1 分）根据题意，可列方程 200 - 200 = 1．··········································· （3 分）x - 20 x 2整理得 x 2 - 20x - 8000 = 0 ．解得 x 1 = 100 ， x 2 = -80 ．··························································· （2 分）经检验， x 1 = 100 ， x 2 = -80 都是原方程的解． 因为速度不能负数， 所以取x = 100 ．································································································ （1 分）李师傅的最快速度是：100 ⨯ (1 +15% ) = 115 千米/时，小于 120 千米/时．·（2 分） 答：李师傅没有超速．··································································· （1 分）23． 证明：（1）∵ AD ∥ BC ， DF ∥ AB ，∴四边形 ABFD 是平行四边形．··········································· （1 分） ∵ AD ∥ BC ，∴ ∠ADB = ∠DBC ．···································· （1 分） ∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD = ∠DBC ．·····························（1 分） ∴ ∠ABD = ∠ADB ．························································· （1 分） ∴ AD = AB ．···································································（1 分） ∴四边形 ABFD 是菱形．···················································· （1 分） （2）联结OF ．∵ AC ⊥ AB ，∴ ∠BAO = 90．∵四边形 ABFD 是菱形，∴ AB = BF ．·······························（1 分） 又∵ ∠ABO = ∠OBF ， BO 是公共边，∴△ ABO ≌△ FBO ．∴ ∠BFO = ∠BAO = 90．················································ （1 分）∵ DF ∥ AB ，∴ ∠FEC = ∠BAO = 90．··························· （1 分）∵ ∠EFC + ∠ECF = 90， ∠EFC + ∠OFE = 90，∴ ∠OFE = ∠ECF ．························································（1 分） 又∵ ∠BAC = ∠FEO ，∴△ ABC ∽△ EOF ．························ （1 分）∴ AB = AC．································································· （1 分） OE EF即： AC OE = AB EF ．124．（1）解：把 x = 4 代入 y = 8，得 y = 2 ．x∴点 B 的坐标为(4, 2)．··························································· （1 分） ∵直线 AC 的截距是-6 ，∴点 A 的坐标为(0, -6)．························ （1 分）∵二次函数的 y = 1x 2 + bx + c 的图像经过点 A 、 B ，3⎧1⎧ 2∴可得： ⎪3 ⨯16 + 4b + c = 2，解得： ⎪b = 3 ． ⎨⎪⎩c = -6 ⎨ ⎪⎩c = -6∴二次函数的解析式是 y = 1 x 2 + 2x - 6 ．··································· （2 分）3 3（2）∵ BC ∥x 轴，∴点 C 的纵坐标为2 ．把 y = 2 代入 y = 1 x 2 + 2x - 6 ，解得 3 3x = 4 ， x = -6 ．∵ (4, 2)是点 B 的坐标，∴点 C 的坐标为(-6, 2)．······························（2 分） 设直线 AC 的表达式是 y = kx - 6 ，∵点 C 在直线 AC 上，∴ k = - 4．3 ∴直线 AC 的表达式是 y = - 4x - 6 ．··············································（1 分）3（3）① BC ∥ AD 1设点 D 1 的坐标是(m , -6)，由 D C = AB ，可得： (6 + m )2+ 64 = 16 + 64，解得： m = -2 ， m = -10 （舍）．∴点 D 1 的坐标是(-2, -6)．·························································· （2 分）② AC ∥ BD 2可得：直线 BD 的表达式是 y = - 4 x + 22．23 3设点 D 的坐标是⎛n , - 4 n + 22 ⎫ ，2 3 3 ⎪⎝ ⎭5 5 5 5 ⎪ ⎪由 AD 2 = BC ，可得： n 2+ ⎛ - 4 n + 22 + 6 ⎫3 3 = 100 ，⎝ ⎭解得： n = 14， n = 10 （舍）．5∴点 D 的坐标是⎛ 14 ,18 ⎫．························································· （2 分）2⎪⎝ ⎭③∵ AC = BC ，∴ CD 3 ∥ AB 不存在．······························································ （1 分）综上所述，点 D 的坐标是(-2, -6)或⎛ 14 ,18 ⎫．⎝ ⎭25．（1）解：作图正确．············································································ （2 分）设 AD 的垂直平分线与 AB 交于点 E ，垂足是点 H ．在 Rt △ AHE 中，由 tan A = 3， AD = 8 ，得： AE = 5 ， EH = 3 ．4所以圆 E 的半径长等于5 ．······················································（2 分） （2）∵ ∠1 + ∠C = ∠2 + ∠EFG ， ∠C = ∠EFG = 90 ，∴ ∠1 =∠2． 又∵ ∠C = ∠DHE = 90 ，∴△ CFG ∽△ HEF ．·························································· （1 分）∴ HE = FH ．∴ 3 = x - 4 ． CF CG 14 - x y-x 2 + 18x - 56化简得： y =（ 4 < x <14 ）．························ （2 分+1 分）3（3）①当点G 在边 BC 上时△ EFG 与△ FCG 相似，有两种可能． 当∠3 = ∠4 时，可得： CF ∥EG ． 易证四边形 HCGE 是平行四边形．∴ y = EH = 3， EG = HC = 10 ．∵ r G + r E = 8 <10 ，∴两圆外离．································································ （2 分） 当∠1 = ∠3 时，延长 EF 与 BC 的延长线相交于点 M ，234 34 可证得 MF = EF ，由△ MCF ≌△ EHD ，可得：点 F 是CH 的中点． ∴ HF = 5 ， y = 25 ， EG = MG = 34 ．∵ r + r 3 = 40 ， r - r 3 = 10 ，G E 3 G E 3∴两圆相交．·······························································（2 分） ②当点G 在 BC 延长线上时△ EFG 与△ FCG 相似，只能是∠1 =∠2． 设 EG 与 AC 交于点 N ,易证：点 N 是 EG 的中点． 由△ CNG ≌△ HNE ，可得CG = 3 , EG = 2 ．∵ r G + r E = 8 < 2 ，∴两圆外离．····························································· （2 分）。

2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D 2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 ． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 ． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 ． 12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 ．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 （用向量a 、b 表示）．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 米．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 （用含n 的式子表示）．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 ．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x=的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 ．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2) 223134xxx x+>--⎧⎪+⎨-⎪⎩．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b aba ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a=+，23b=-．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，//CD AB，10AB=，以AB为直径的O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．（1）求CD的长；（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．23．（12分）如图，在ACB∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90ABC行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：324．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．25．（14分）如图，已知BAC ∠，且3cos 5BAC ∠=，10AB =，点P 是线段AB 上的动点，点Q 是射线AC 上的动点，且AQ BP x ==，以线段PQ 为边在AB 的上方作正方形PQED ，以线段BP 为边在AB 上方作正三角形PBM ．（1）如图1，当点E 在射线AC 上时，求x 的值；（2）如果P 经过D 、M 两点，求正三角形PBM 的边长；（3）如果点E 在MPB ∠的边上，求AQ 的长．2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D【解答】解：A 、当0m <B 、当1m <-无意义，故此选项不符合题意；C 、当1m =-时，11m +无意义，故此选项不符合题意；D 、m故选：D ．2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-【解答】解：将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得2(3)2y x =---， ∴顶点坐标为(3,2)-，故选：A ．3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯【解答】解：将0.0000077用科学记数法表示是67.710-⨯．故选：C ．4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和(32)180180=-⋅︒=︒，若边数不变，则内角和(42)180360=-⋅︒=︒，若边数增加1，则内角和(52)180540=-⋅︒=︒，所以，所得多边形内角和的度数可能是180︒，360︒，540︒，不可能是270︒．故选：B ．5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 【解答】解：A 、3y x =图象过一、三象限，但y 值随x 值的增大而增大，故A 不符合题意； B 、2y x =图象不经过三象限，对称轴为y 轴，在第一象限内，y 随x 增大而增大，故B 不符合题意；C 、3y x=图象过一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小，故C 符合题意； D 、1y x=-图象经过二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；故选：C ．6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 【解答】解：E 是AC 中点，AE EC ∴=， DE EF =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD DB =，AE EC =，12DE BC ∴=， DF BC ∴=，CA CB =，AC DF ∴=，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= 2m n ．【解答】解：22232m n nm m n -=．故答案为：2m n ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 115x -+=，215x --= ． 【解答】解：去分母得：21x x x x +-=+， 解得：15x -±= 检验：把15x -±=代入得：左边=右边， 则分式方程的解为115x -+=，215x --． 故答案为：115x -+，215x --=． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 21x y =-⎧⎨=-⎩ ． 【解答】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩①②， 由②，得1x y =-③，把③代入①，得22(1)3y y --=，整理，得22y -=，解，得1y =-．把1y =-代入③，得2x =-．所以原方程组的解为21x y =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：21x y =-⎧⎨=-⎩． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是94k >- ． 【解答】解：根据题意得△234()0k =-->，解得94k >-． 故答案为94k >-． 11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 260(1)100x += ．【解答】解：依题意得：260(1)100x +=．故答案为：260(1)100x +=．12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 43 ．【解答】解：四边形ABCD 为菱形，1302ABD ABC ∴∠=∠=︒，12BO BD =，BD AC ⊥． 在Rt ABO ∆中，cos BO ABO AB ∠=， 3cos 4232BO AB ABO ∴=⋅∠=⨯=． 243BD BO ∴==． 故答案为：43．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 25b a - （用向量a 、b 表示）．【解答】解：过点D 作DE BC ⊥于E ．//AD BC ，180A ABC ∴∠+∠=︒，90A ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，DE BC ⊥，90DEB =︒∴四边形ABED 是矩形，2AD BE ∴==，4AB DE ==，5CD =，90CED ∠=︒， 2222543CE CD DE ∴=-=-=，∴2255BE BC b ==， //AB DE ，AB DE =，∴DE a =，25BD BE ED b a =+=-， 故答案为：25b a -．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 14． 【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A 、B ，画树状图如图：共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是14， 故答案为：14． 15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 5.4 米．【解答】解：由题意得：AOC BOD ∠=∠．AC CD ⊥，BD CD ⊥，90ACO BDO ∴∠=∠=︒．~ACO BDO ∴∆∆．∴AC OC BD OD=． 即1.826BD =． 5.4BD ∴=（米)．故答案为：5.4．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 2n （用含n 的式子表示）．【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、⋯，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，⋯，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即212=⨯，623=⨯，1234=⨯，2045=⨯，⋯，∴(1)2n n n x ⨯+=，(1)n ． 所以21(1)(1)2n n n n n n x x n --⨯+⨯++==． 故答案是：2n ．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 545 ．【解答】解：如图，过D '作D E AD '⊥于点E ，过点B 作BF AB ⊥'于点F ，由题意得：10AD AD '==，6D E CD '==，6AB AB ='=，DAD BAB ∠'=∠'．63sin 105D E DAD AD '∠'==='， 3sin 5BAB ∴∠'=． ∴11354662255BAB S AB BF ∆'=⨯'⨯=⨯⨯⨯=． 故答案为：545． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x =的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 2y x =- ．【解答】解：点(6,2)E -在反比例函数k y x =的图象上， 6(2)12k ∴=⨯-=-，∴反比例函数为12y x=-， 如图，OE 顺时针旋转90︒，得到OD ，连接DE ，交OA 于F ，点(6,2)E -，(2,6)D ∴--，45AOE ∠=︒，45AOD ∴∠=︒，OD OE =，OA DE ∴⊥，DF EF =，(2,4)F ∴-，设直线DE 的解析式为y kx b =+，∴2662k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线DE 的解析式为152y x =-， ∴设直线OA 的解析式为y mx =，把F 的坐标代入得，42m -=，解得2m =-，∴直线OA 的解析式为2y x =-，故答案为2y x =-．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2)223134x x x x +>--⎧⎪+⎨-⎪⎩． 【解答】解：解不等式3(5)3(2)x x +>--，得： 2.5x >-，解不等式223134x x +-，得：20x ， ∴不等式组的解集为20x ．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a =23b = 【解答】解：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--2()[]()()()1a b b a b ab a b a b a b b -+=-⋅-+-- 1()1b ab a b a b b =-⋅--- 11b ab a b b -=⋅-- ab a b=-， 当23a =+，23b =-时，原式(23)(23)3(23)(23)232323+-====+--+-+． 21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//CD AB ，10AB =，以AB 为直径的O 经过点C 、D ，且点C 、D 三等分弧AB ．（1）求CD 的长；（2）已知点E 是劣弧DC 的中点，联结OE 交边CD 于点F ，求EF 的长．【解答】解：（1）AB 为直径，点C 、D 三等分弧AB ，∴60AD CD BC ===︒60AOD COD BOC ∴∠=∠=∠=︒．OC OD =，OCD ∴∆为等边三角形．152CD OD AB ∴===． （2）点E 是劣弧DC 的中点，∴DE EC =．AD BC =，∴AE BE =．OF CD ∴⊥．OC OD =，1302DOFDOC∴∠=∠=︒．在Rt ODF∆中，cosOF FODOD∠=．353cos5OF OD FOD∴=⋅∠=⨯=．5OE OD==，535EF OE OF∴=-=-．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：箱号每箱橘子的损耗重量（千克）箱号每箱橘子的损耗重量（千克）10.88110.77根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．【解答】解：（1）从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，因为此时每箱橘子都有被抽到的可能，选取的样本具有代表性，属于简单随机抽样，所以方案②比较合适；（2）(8.578.15)(1020)100%8.36%+÷⨯⨯=．即估计这批橘子的损耗率为8.36%；（3）10000(18.36%)2100005000⨯--⨯=，x解得， 2.73x≈．答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为2.73元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利目标．23．（12分）如图，在ACBABC∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：3【解答】（1）证明：四边形CBDE 是平行四边形， //DE BC ∴，90ABC ∠=︒，90AFD ∴∠=︒，DF AB ∴⊥，又D 为AC 的中点，AD BD ∴=，AF BF ∴=，即EF 垂直平分AB ；（2）证明：延长ED 交AB 于点F ，由（1）知，EF 垂直平分AB ，12DF BC ∴=， 四边形CBDE 是平行四边形，BC DE ∴=，32EF DF DE BC ∴=+=， BE 平分ABC ∠，45FBE ∴∠=︒，45FBE FEB ∴∠=∠=︒，BF EF ∴=， 32BF BC ∴=， 23AB BF BC ∴==．24．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．【解答】解：（1）对于443y x =-+①，令4403y x =-+=，解得3x =，令0x =，则4y =， 故点A 、B 的坐标分别为(0,4)、(3,0)，由点A 、B 的坐标知，4OA =，3OB =，则5AB =， 连接BC ，如下图，点C 在ABO ∠的平分线上，则OC CD =，BC BC =，Rt BCD Rt BCO(HL)∴∆≅∆，故3BD OB ==，则532AD =-=，设OC CD x ==，则4AC x =-，在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：22(4)4x x -=+，解得32x =， 故点C 的坐标为3(0,)2， 则抛物线的表达式为21322y x =+； （2）如上图，过点C 作//CH x 轴交AB 于点H ，则ABO AHC ∠=∠， 由AB 得表达式知，4tan tan 3ABO AHC ∠==∠，则3tan 4ACH ∠=， 故直线CD 的表达式为3342y x =+②， 联立①②并解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D 的坐标为6(5，12)5， 如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则//DE y 轴，且DE CF =， 故125D DE y ==， 则123395210F C y y DE =+=+=， 故点F 的坐标为39(0,)10； （3）点E 是BO 的中点，故点3(2E ，0)， 由（2）知，直线CD 的表达式为34y x m =+③， 联立①③并解得，点D 的坐标为4812(25m -，3616)25m +， 而点E 、C 的坐标分别为3(2，0)、(0,)m ， CEDF 是菱形，则DE CE =， 即22224812336163()()()252252m m m -+-+=+， 即29360m m -=，解得4m =（舍去）或0，故0m=．25．（14分）如图，已知BAC∠，且3cos5BAC∠=，10AB=，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ BP x==，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM．（1）如图1，当点E在射线AC上时，求x的值；（2）如果P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；（3）如果点E在MPB∠的边上，求AQ的长．【解答】解：3cos5A=，则4sin5A=．（1）当点E在AC上时，则90AQP∠=︒，AQ PB x==，则10AP AB PB x=-=-，则3 cos105AQ xAAP x===-，解得154x=；（2）如图1，过点Q作QH AP⊥于点H，P经过D、M两点，则PQ PD PB AQ x====，∴点H是AP的中点，则622cos 5AP AH x A x ===， 则6105AB AP PB x x =+=+=， 解得5011x =， 即正三角形PBM 的边长为5011；（3）①当点E 在PC 边上时，如图2，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，作PQ 的中垂线交QH 于点G ，交PQ 于点N ， 则180180456075QPA MPB QPE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 则907515HQP ∠=︒-︒=︒，则15230HGP ∠=︒⨯=︒， 在Rt PHQ ∆中，设PH t =，则2GQ GP t ==，3GH t =，423sin 5QH t t x A x ∴===，解得5(23)t =+ 则31055(23)AP AH PH PB x x =++==+， 解得100253x +=； ②当点E 在AB 边上时，如图3，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，则3sin5PH QH AQ A x===，3cos5AH x A x==，PH AH∴>，即点P在BA的延长线上，与题意不符；综上，100253 AQ+=．。

2021年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（每题4分）.1．下列实数中，是无理数的是（）A．0.B．3.1415926C．D．2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A．B．C．D．3．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．手可摘星辰B．黄河入海流C．大漠孤烟直D．红豆生南国5．在下列图形中，中心对称图形是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．正五边形6．下列命题中，真命题是（）A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等二、填空题（共12小题）.7．据统计，截至2021年4月14日，全国各地累计报告接种疫苗175 623 000剂次，这个数用科学记数法表示为．8．计算：＝．9．在实数范围内分解因式：x2﹣4＝．10．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是．11．方程＝2的解是．12．将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是．13．在数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，那么这组数据的中位数是．14．如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是．15．已知两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，那么用表示为．16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是．17．将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝4，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为．18．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，DE＝2AE、BF＝2CF，将四边形ABFE沿BF所在直线翻折，点A落在点A'处，点E落在点E'处，如果EF⊥CE'，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：|3﹣|﹣+2﹣2+．20．解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．21．平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，反比例函数y＝（k ≠0）的图象经过点A且与直线y＝x的另一个交点为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在直线y＝﹣1上且横坐标为3，求∠ACB的正切值．22．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼△PCA和△QDB 成轴对称，PC和QD均垂直于地面，双翼边缘的端点A与B在同一水平线上，且它们之间的距离为16cm，双翼边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°．（1）求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离；（2）经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为4200人．①求出9：00～10：00时段的入园游客人数；②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE ⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．25．四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO与对角线AC交于点E．（1）如果AB、CD是⊙O的内接正n边形的边，AD是⊙O的内接正（n+2）边形的边，①求AB的长；②试证明△ABE∽△ACB，并求的值；（2）当△AEO为等腰三角形且点E在BO的延长线上时，求∠ABC的大小．参考答案一、选择题（共6小题）.1．下列实数中，是无理数的是（）A．0.B．3.1415926C．D．解：A、是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；B、3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；C、是无理数，故本选项符合题意；D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：C．2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义判断即可．解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误；B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确；C．x+y的指数为2，所以此选项错误；D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误；故选：B．3．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．解：由题意可得，，故选：D．4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．手可摘星辰B．黄河入海流C．大漠孤烟直D．红豆生南国【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．解：A、手可摘星辰是不可能事件，故选项正确，符合题意；B、黄河入海流是必然事件，故选项错误，不符合题意；C、大漠孤烟直是随机事件，故选项错误，不符合题意；D、红豆生南国是必然事件，故选项错误，不符合题意．故选：A．5．在下列图形中，中心对称图形是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．正五边形【分析】根据中心对称图形的概念求解．解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．6．下列命题中，真命题是（）A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等【分析】全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1：，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等，真命题．故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．据统计，截至2021年4月14日，全国各地累计报告接种疫苗175 623 000剂次，这个数用科学记数法表示为 1.75623×108．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．解：175 623 000＝1.75623×108．故答案为：1.75623×108．8．计算：＝3b．【分析】分子和分母分别相乘，再约分．解：原式＝＝3b，故答案为3b．9．在实数范围内分解因式：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】把4看成22再利用平方差公式进行因式分解．解：原式＝（x+2）（x﹣2）．故答案是：（x+2）（x﹣2）．10．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是．【分析】根据判别式的意义得到△＝32﹣4×（﹣k）＜0，然后解不等式即可．解：根据题意得△＝32﹣4×（﹣k）＜0，解得．故答案为：．11．方程＝2的解是x＝﹣1．【分析】根据算术平方根的性质得x≤3，然后把方程两平方得x的解，检验即可得到答案．解：∵3﹣x≥0，∴x≤3，∵＝2，∴3﹣x＝4，∴x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解，符合题意，故答案为：x＝﹣1．12．将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是（2，2）．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．解：将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，得y＝（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），故答案为（2，2）．13．在数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，那么这组数据的中位数是3．【分析】根据数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，可以得到n的值，然后将数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．解：∵数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，∴n＝2，∴这组数据按照从小到大排列是：1、2、2、3、4、5、6，∴这组数据的中位数是3，故答案为：3．14．如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是1：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．解：∵两个相似三角形的相似比是1：3，又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个三角形面积的比是1：9．故答案为：1：9．15．已知两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，那么用表示为．【分析】根据平面向量的定义，以及已知条件即可解决问题．解：∵两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，∴2＝﹣3，∴．故答案是：．16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是45．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE＝∠A＝45°，∴旋转角n＝45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A＝180°，∴∠ACE＝135°∴旋转角n＝360﹣135＝225，∵0＜n＜180，∴此种情形不合题意，故答案为4517．将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝4，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为2．【分析】根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案．解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，取四边的中点并连接起来，设AC与EH交点M．∴EH是三角形ABD的中位线，∴EH＝BD＝2，EH∥BD，同理，FG＝BD＝2，FG∥BD，EF＝AC＝2，EF∥AC，HG＝AC＝2，HG∥AC，∴EH∥HG∥AC，EF＝FG＝HG＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∵EH＝BD＝2，EH∥BD，∴∠AOB＝60°＝∠AME，∵FE∥AC，∴∠FEH＝∠AME＝60°，∴△HEF为等边三角形，∴HF＝EH＝2，∴较短的“中对线”长度为2．故答案为：2．18．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，DE＝2AE、BF＝2CF，将四边形ABFE沿BF所在直线翻折，点A落在点A'处，点E落在点E'处，如果EF⊥CE'，那么的值为．【分析】作EF⊥CE′交于点H，连接EE′，交BC于点Q，设AB长为y，AD长为x，根据相似三角形的判定与性质可得答案．解：如右图，作EF⊥CE′交于点H，连接EE′，交BC于点Q，由题可知，∠EQC＝∠FHC＝90°，∵∠EFQ＝∠CFH，∴△EFQ∽△CFH，设AB长为y，AD长为x，∵DE＝2AE、BF＝2CF，∴x，QF＝FC＝x，∴，∵∠FHC＝∠QEC＝90°，∠C＝∠C，∴△FHC∽△E′QC，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：|3﹣|﹣+2﹣2+．【分析】直接根据实数的运算法则计算即可．解：原式＝＝．20．解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．【分析】先分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其交集即为不等式组的解集，再根据不等式组的解集来取自然数解．解：，由①得x＞﹣3．由②得，∴原不等式组的解集是．∴原不等式组的自然数解为0，1，2，3，4．21．平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，反比例函数y＝（k ≠0）的图象经过点A且与直线y＝x的另一个交点为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在直线y＝﹣1上且横坐标为3，求∠ACB的正切值．【分析】（1）先根据直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，可计算出点A的坐标，再把点A的坐标代入y＝中即可得出答案；（2）根据题意标出点C如图，则可知点C的坐标，过点B作x轴垂线与直线y＝﹣1交于点D，根据反比例函数与正比例函数交点性质，可得出点B的坐标，即可得出BD与CD的长度，在Rt△BCD中即可得出答案．解：（1）∵直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，∴，解得x＝﹣2，∴点A（﹣2，﹣1），把A（﹣2，﹣1）代入中，解得k＝2，∴反比例函数解析式为y＝；（2）如图，标出点C，连接BC，过点B作x轴垂线与直线y＝﹣1交于点D，∵点A（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）∴点B（2，1），∴CD＝1，BD＝2，∴tan∠ACD＝，∴∠ACB的正切值为2．22．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼△PCA和△QDB 成轴对称，PC和QD均垂直于地面，双翼边缘的端点A与B在同一水平线上，且它们之间的距离为16cm，双翼边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°．（1）求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离；（2）经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为4200人．①求出9：00～10：00时段的入园游客人数；②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．【分析】（1）过A作AE∥CP于点E，过B作BF⊥QD于点F，根据三角函数即可得到答案；（2）平均数为4200人，设9：00﹣10：00人数为x，然后根据平均数概念列出方程求解即可．解：（1）过A作AE∥CP于点E，过B作BF⊥QD于点F，直角三角形ACE中，AE＝sin30°×AC＝27，同理，BF＝27且AB＝16，27×2+16＝70，∴PC与QD间的距离为70cm．（2）①∵平均数为4200人，设9：00﹣10：00人数为x，∴（3000+x+4800+3800+2500+5100）÷6＝4200，∴x＝6000，∴9：00﹣10：00时段的入园游客人数为6000；②9：00﹣10：00和13：00﹣14：00需要限流，9：00﹣10：00限流原因：入园人数是6000，超过5000；13：00﹣14：00限流原因如下：8：00﹣13：00入园总人数为20100人超过20000人；13：00﹣14：00入园人数为：5100人，超过5000人．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE ⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）过O作OF⊥CE于F，由等腰三角形的性质得CF＝EF，再证OF是△ACE 的中位线，得OA＝OC，即可得出结论；（2）证△AOB≌△OCD（ASA），得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝DC，即可得出结论．【解答】证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：∵OC＝OE，∴CF＝EF，∵OF⊥CE，CE⊥CD，∴OF∥CD，∵AB∥DC，OF∥AB，∴OF∥AB，∴OF是△ACE的中位线，∴OA＝OC，∴OE＝AC；（2）∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△OCD中，，∴△AOB≌△OCD（ASA），∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．【分析】（1）由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）圆Q与直线AP相切的临界点，进而求解．解：（1）∵点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），且到点M（﹣3，0）的距离为5，∴点A坐标为（﹣8，0），点B坐标为（2，0），∵点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y）．由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．∵点C在y轴正半轴上，∴点C的坐标为（0，4）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣8，0）、B（2，0）、C（0，4）．∴，解得，∴抛物线的表达式是，∴抛物线的顶点P的坐标为（﹣3，）；（3）过点A作AQ1⊥AP与抛物线的对称轴相交于点Q1．此时以Q1为圆心，Q1A为半径的圆与线段AP相切于点A．∵∠MPA+∠MAP＝90°，∠MAP+∠MAQ1＝90°．∴∠MPA＝∠MAQ1．∴tan∠MPA＝tan∠MAQ1．∴．∵AM＝5，PM＝，∴Q1M＝4．即点Q1坐标为（0，﹣4）；作AP的中垂线与AP相交于点N，与对称轴x＝﹣3相交于点Q2，则PN＝PA．此时以Q2为圆心，Q2A为半径的圆经过点A、点P．∵AQ1⊥AP，NQ2⊥AP，∴∠Q1AP＝∠Q2NP＝90°．∴AQ1∥NQ2．∴．∵点P的坐标为（﹣3，），点Q1的坐标为（﹣3，﹣4），∴PQ1＝，∴PQ2＝．∴Q2M＝PM﹣PQ2＝﹣＝．即点Q2坐标为（0，），∴当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，点Q纵坐标取值范围是．25．四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO与对角线AC交于点E．（1）如果AB、CD是⊙O的内接正n边形的边，AD是⊙O的内接正（n+2）边形的边，①求AB的长；②试证明△ABE∽△ACB，并求的值；（2）当△AEO为等腰三角形且点E在BO的延长线上时，求∠ABC的大小．解：（1）①如图1，连接OC，过点O作OH⊥BC，垂足为点H．∵OB＝OC，OH⊥BC，∴BH＝BC＝，∠BOC＝2∠BOH．在Rt△BOH中，BO＝2，BH＝，∴．∴∠BOH＝60°，∠OBH＝30°．∴∠BOC＝120°，∠OCB＝30°．∵AB、CD是⊙O内接正n边形的边，AD是⊙O内接正（n+2）边形的边，∴∠AOB＝∠DOC＝，∠AOD＝，∴．解得n＝4，n＝（不符合题意，舍去）．经检验n＝4是原方程的解且符合题意．∴∠AOB＝＝90°．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO＝2，∴AB＝．②∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°．∵OA＝OC，∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ACO＝15°，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝15°+30°＝45°，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB．如图2，过点B作BG⊥AC，垂足为点G．在Rt△BGC中，∠BGC＝90°，∠ACB＝45°，BC＝，∴BG＝CG＝．在Rt△ABG中，∠BGA＝90°，BG＝，AB＝，∴AG＝．∴AC＝AG+CG＝，∵△ABE∽△ACB，∴AB2＝AE•AC．即．解得，∴．（2）设∠AEB＝x°，由（1）知∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠ECB＝（x﹣30）°，∠ECO＝∠EAO＝（x﹣60）°．①如图3，如果AO＝AE，那么∠AOE＝∠AEB＝x°．根据题意可得x+x+x﹣60＝180．解得x＝80．∴∠ABO＝40°，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝40°+30°＝70°．②如果AO＝EO，那么∠OAE＝∠OEA．根据题意可得x＝x﹣60．此方程无解．∴此种情况不存在．③如图4，如果AE＝OE，那么∠EAO＝∠EOA＝（x﹣60）°．根据题意可得x+x﹣60+x﹣60＝180．解得x＝100．∴∠ABC＝20°+30°＝50°．综上所述，∠ABC的度数为70°或50°．。

2021年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.−8的倒数是()A. −8B. 8C. −18D. 182.下列运算正确的是()A. (a2)3=a5B. a2⋅a4=a8C. a6÷a3=a2D. (ab)3=a3b33.一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：尺寸(码)3536373839销售量(双)241173这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是()A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差4.下列方程中，有实数解的是()A. x2−x+1=0B. x2+1=0C. 1x−1=2x2−1D. √x−1=1−x5.下列命题中，假命题是()A. 对角线互相垂直的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形6.如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如图1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O在边AC上.如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是()A. 165B. 125C. 85D. 45二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：a(a +1)=______．8. 函数：y =√x −2的定义域是______． 9. 方程组{x +2y =3x 2−y 2=0的解是______ ．10. 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是______ ．11. 如果抛物线y =(m +1)x 2的最高点是坐标轴的原点，那么m 的取值范围是______ ． 12. 观察反比例函数y =2x 的图象，当0<x <1时，y 的取值范围是______ ． 13. 从29,√2，π这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为______ ． 14. 某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中m 的值为______ ．15. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，DC =4，过点作C 作CE//AB 交BD 的延长线于点E ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为______ ．16. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”(注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺)这段话的意思是：有一水池一丈见方，池中央生有一棵芦苇，露出水面一尺.如把它引向岸边，正好与岸边齐.问水有多深？即如图所示的截面图中，AB =1丈，CD 垂直平分AB ，DE =1尺，CD =CB ，那么水的深度CE 是______ 尺.17. 如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，圆心O 1、O 2在公共弦AB 的两侧，AB =O 1O 2=4，sin∠AO 1B =1213，那么O 2A 的长是______ ．18. 如图，已知△ABC 中，∠C =90°，AB =6，CD 是斜边AB 的中线.将△ABC 绕点A 旋转，点B 、点C 分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD 上，边AC′与射线CD 交于点E.如果AEEC′=3，那么线段CE 的长是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 计算：2713+(√2−1)2−(12)−1+2√2−1．20. 解不等式组：{6(23x −2)<x −3①1−x 2≤x②，并求出它的正整数解．21.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，CD=15，BC=16，AB=12，点E是边BC上的一点，联结DE，且DE=CE．(1)求梯形ABCD的面积；(2)求∠DEC的正切值．22.某商店销售一种商品.经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y(万件)与销售单价x(元/件)存在如图所示的一次函数关系.根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求这种商品的每月销售量y(万件)关于销售单价x(元/件)(50≤x≤110)的函数解析式；(2)已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．23.如图，已知四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果OE⊥CD，求证：CE⋅OF=CF⋅OE．x+c经过点A(1,0)、24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−163B(3,0)，且与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如果将抛物线向左平移m(m>0)个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；(3)如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE=∠PEC时，求点P的坐标．25.已知半圆O的直径AB=4，点C、D在半圆O上(点C与点D不重合)，∠COB=∠DBO，弦BD与半径OC相交于点E，CH⊥AB，垂足为点H，CH交弦BD于点F．(1)如图1，当点D是AC⏜的中点时，求∠COB的度数；=y，求y关于x函数解析式，并写出定义域；(2)如图2，设OH=x，CFCE(3)联结OD、OF，如果△DOF是等腰三角形，求线段OH的长．答案和解析1.【答案】C)=1，【解析】解：根据倒数的定义得：−8×(−18．因此−8的倒数是−18故选：C．)=1，即可解答．根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，−8×(−18此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2.【答案】D【解析】解：A、(a2)3=a6，故此选项错误；B、a2⋅a4=a6，故此选项错误；C、a6÷a3=a3，故此选项错误；D、(ab)3=a3b3，故此选项正确；故选：D．直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】B【解析】解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，所以影响鞋店决策的统计量是众数，故选：B．平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．此题主要考查统计的有关知识，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：方程x2−x+1=0的根的判别式△=1−4=−3<0，所以方程A没有实数解；方程x2+1=0的根的判别式△=0−4=−4<0，故方程B没有实数解；方程1x−1=2x2−1可变形为x2−1=2x−2，整理得x2−2x+1=0．解得x=1，当x=1时，分式方程无解．故方程C没有实数解；方程√x−1=1−x的解为x=1，故方程D有实数解．故选：D．解各个方程，根据解的情况得结论．本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，掌握一元二次方程、分式方程及无理方程的解法是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题；B、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；C、对角线互相相等且垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题；故选：C．根据正方形的判定判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6.【答案】B【解析】解：△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，作CD⊥AB于D，以C为圆心，以CD为半径的圆C与直线AB相切于D，∴CD是⊙C半径，∵12AC⋅BC=12AB⋅CD，即12×4×3=12×5⋅CD，∴CD=125，∴⊙C的半径为125，∵4−125=85，4+125=325，∴85<OA <165，故选：B ．根据勾股定理求得AB =5，两个三角形面积公式求得CD ，即可得出⊙C 的半径，根据“内相交”的定义得出85<OA <165，即可得出结论．本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，三角形的面积，求得⊙C 的半径是解题的关键．7.【答案】a 2+a【解析】解：原式=a 2+a ． 故答案为：a 2+a原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.【答案】x ≥2【解析】解：根据题意得：x −2≥0， 解得：x ≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x −2≥0，解得x 的范围． 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9.【答案】{x =−3y =3或{x =−1y =1．【解析】解：∵x 2−y 2=(x +y)(x −y)． ∴x 2−y 2=0可改写成：x +y =0或者x −y =0．∴方程组{x +2y =3x 2−y 2=0可以改写为：{x +2y =3x +y =0或者{x +2y =3x −y =0． 解得：{x =−3y =3或{x =−1y =1．故答案为：{x =−3y =3或{x =−1y =1．将x 2−y 2=0改写成两个等式，再与x +2y =3组成新方程组，即可求解．本题考查的高次方程的解法，关键在于降次，构建我们已经学习过的知识进行求解．10.【答案】18【解析】解：因为外角是20度，360÷20=18，则这个多边形是18边形．故答案为：18根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．11.【答案】m<−1【解析】解：根据题意知点O(0,0)是抛物线y=(m+1)x2的最高点知抛物线的开口向下．∴m+1<0，解得：m<−1．故答案为：m<−1．由点O(0,0)是抛物线y=(m+1)x2的最高点知抛物线的开口向下，即m+1<0，据此可得．本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12.【答案】y>2【解析】解：∵k=2，∴反比例函数y=2的图象在一三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，x当x=1时，y=2，∴当0<x<1时，y的取值范围y>2，故答案为y>2．将x=−1，x=−3代入解析式，根据反比例函数的增减性可求y的取值范围．本题考查了函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，关键是利用反比例函数的增减性解决问题．13.【答案】13【解析】解：∵在29,√2，π这三个数中，有理数有29这1个， ∴选出的这个数是无理数的概率为13， 故答案为：13．由题意可得共有3种等可能的结果，其中有理数有29共1种情况，则可利用概率公式求解．此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】0.140【解析】解：m =(1−0.12−0.2−0.25−0.15)÷2=0.28÷2=0.140， 故答案为：0.140．根据题意和直方图中的数据，可以计算出m 的值，本题得以解决．本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15.【答案】b ⃗ −12a ⃗ 【解析】 解：∵CE//AB ， ∴ADDC =ABCE ，∵AB =AC =12，DC =4， ∴AD =8； ∴CEAB =48=12， ∴AB =2CE ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ ， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −12a ⃗ ．由在△ABC 中，AB =AC =12，DC =4，CE//AB ，可得AB =2CE ，然后由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，即可求得BE ⃗⃗⃗⃗⃗． 本题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．16.【答案】12【解析】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52=(x+1)2，解得：x=12，答：水池里水的深度是12尺．故答案为：12．根据勾股定理列出方程，解方程即可．本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．17.【答案】√5【解析】解：如图，过点A作AE⊥O1B于E，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2垂直平分AB，∴AH=BH=2，∵sin∠AO1B=AEAO1=1213，∴设AE=12x，AO1=13x，∴O1E=√O1A2−AE2=5x，∴BE=8x，∵AE2+BE2=AB2，∴144x2+64x2=16，∴x=√1313，∴AO1=13x=√13，∴O1H=√O1A2−AH2=√13−4=3，∴O2H=1，∴O2A=√AH2+O2H2=√1+4=√5，故答案为√5．过点A作AE⊥O1B于E，由锐角三角函数和勾股定理可求AO1=13x=√13，可求O2H= 1，即可求解．本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相交两圆的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．18.【答案】72【解析】解：根据已知，作出的图形，如图所示：∵△ABC中，∠C=90°，AB=6，CD是斜边AB的中线．∴AD=CD=DB=12AB=3，∴∠DAC=∠ACD，根据旋转性质：∠B′AE=∠B′CA，∴△B′AE∽△B′CA，∴B′AB′C =AEAC=B′EB′A，∴AE=3EC′，∴AEAC′=AEAC=34，∴6B′C =34=B′E6，∴B′C=8，B′E=92，∴EC=B′C−B′E=8−92=72，故答案为：72．根据已知，作出图形，求出AD、CD、AE.利用相似三角形的性质求出B′C，B′E即可．本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．19.【答案】解：原式=3+3−2√2−2√2+1)(√2+1)(√2−1)=3+3−2√2−2+2√2+2=6．【解析】原式利用负整数指数幂，分数指数幂法则，完全平方公式，以及分母有理化计算即可求出值．此题考查了实数的运算，分数指数幂，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：{6(23x −2)<x −3①1−x2≤x②， 由不等式①，得 x <3， 由不等式②，得 x ≥13，故原不等式组的解集是13≤x <3， ∴该不等式组的正整数解是1，2．【解析】根据解不等式组的方法，可以求得该不等式组的解集，然后即可写出该不等式组的整数解．本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．21.【答案】解：(1)过D 作DF ⊥BC 于F ，∵梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B =90°，CD =15，BC =16，AB =12， ∴DF =AB =12，∴CF =√DC 2−DF 2=√152−122=9， ∴AD =BF =BC −CF =16−9=7， ∴梯形ABCD 的面积=AD+BC 2⋅DF =7+162×12=138；(2)∵DE =CE ， ∴EF =DE −9， ∵DE 2=DF 2+EF 2， ∴DE 2=144+(DE −9)2， ∴DE =252，∴EF =72， ∴tan∠DEC =DFEF =247．【解析】(1)过D 作DF ⊥BC 于F ，由勾股定理可求CF 的长，由梯形面积公式可求解； (2)由勾股定理可求DE 的长，即可求解．本题考查了梯形，勾股定理，锐角三角函数，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．22.【答案】解：(1)由题意，设y =kx +b ，图象过点(70、5)，(90、3)， ∴{5=70k +b3=90k +b，解得：{k =−110b =12， ∴函数解析式为：y =−110x +12(50≤x ≤110)； (2)由(1)中解析式知：六月份的销售量为：y =−110×95+12=2.5(万件)， 九月份的销售量为：y =−110×84+12=3.6(万件)， 设每月销售量的增长率为x ，则由题意得： 2.5(1+x)2=3.6， 解得：x =20%，答：每个月的增长率为20%．【解析】(1)利用待定系数法将点(70,5)，(90,3)代入函数解析式求出即可；(2)利用y =−110x +12求出六月份和九月份的销售量，再设增长率为x ，由增长率和每月增长量之间的关系，求出x 即可．此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及配方法求二次函数最值以及一元二次方程的解法等知识，利用二次函数的性质得出x的取值范围是解题关键．23.【答案】证明：(1)∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠CBD，∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB=∠BAC，∠ADB=∠DBC=∠ABD，∴AB=BC，AB=AD，∴AD=BC，又∵AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)如图，过点O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠OCB=∠OCD，又∵OF⊥CD，OH⊥BC，∴OF=OH，∵∠E=∠E，∠EFC=∠EHO=90°，∴△CEF∽△OEH，∴CEOE =CFOH，∴CE⋅OF=CF⋅OE．【解析】(1)由平行线的性质和角平分线的性质可证AB=BC，AB=AD，由菱形的判定可得结论；(2)由菱形的性质和角平分线的性质可得OF=OH，通过证明△CEF∽△OEH，可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．24.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：{a −163+c =09a −16+c =0，解得{a =43c =4， 故抛物线的表达式为y =43x 2−163x +4；(2)当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C(0,4)， 由抛物线的表达式知，其对称轴为x =2， 则平移后抛物线再过点C 时，m =4；(3)设点P 的坐标为(t,43t 2−163t +4)，设直线PA 的表达式为y =kx +b ，则{43t2−163t +4=kt +b0=k +b，解得{k =43t −4b =−43t +4， 故点E 的坐标为(0,−43t +4)， 而点C(0,4)， ∵∠PCE =∠PEC ， 则点P 在CE 的中垂线上，由中点公式得：y P =12(y C +y E )，即43t 2−163t +4=12(4−43t +4)，解得t =1(舍去)或72， 故点P 的坐标为(72,53).【解析】(1)由待定系数法即可求解；(2)当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C(0,4)，即可求解； (3)求出直线PA 的表达式，得到点E 的坐标为(0,−43t +4)，由∠PCE =∠PEC ，则点P 在CE 的中垂线上，进而求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．25.【答案】解：(1)如图1中，连接BC ．∵AD⏜=CD⏜，∴∠ABD=∠DBC，∵∠COB=∠ABD，∴∠OBC=2∠COB，设∠COB=x，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2x，∵∠COB+∠OCB+∠OBC=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠COB=36°．(2)如图2中，过点E作EJ⊥CF于J．∵CH⊥OB，∴∠CHO=∠CHB=90°，∵∠COB+∠C=90°，∠ABD+∠HFB=90°，∴∠C=∠HFB，∵∠HFB=∠CFE，∴∠C=∠CFE，∴EC=EF，∵EJ⊥CF，∴CJ=JF，∵OC =4，OH =x ，∴CH =√42−x 2=√16−x 2， ∵EJ//OH ， ∴EC OC =CJ CH ，∴CJCE =CHOC ， ∴2CJ CE =2CH OC， ∴CF CE=√16−x 22，∴y =√16−x 22(0<x <4)．(3)如图3−1中，当FD =FC 时，∵FD =FO ，OD =OB ， ∴∠D =∠FOD =∠B ， ∵∠EOB =∠B ，∴∠D =∠DOF =∠B =∠EOC ， ∴△FDO≌△EOB(ASA)， ∴FD =FO =EO =EB ，设FD =FO =EO =EB =x ，则EC =EF =4−x ，BF =2x −4，BD =3x −4， ∵△DOB∽△BEO ， ∴BDOB =OBBE ， ∴3x−44=4x ，解得x =2+2√133或2−3√133(舍弃)， ∵OF 2−OH 2=BF 2−BH 2， ∴OF 2−OH 2=BF 2−(4−OH)2， ∴(2+2√133)2=(4+4√133−4)2−16+8OH ，∴OH=√13−1．如图3−2中，当DC=DF时，∵OC=OD，∴DF=OC，∵EC=CF，∴DE=OE，∴∠D=∠DOE，∵OD=OB，∴∠D=∠EBO，∵∠COB=∠B，∴∠D=∠B=∠EOB=∠DOE=45°，∵CH⊥OB，∴△OCH是等腰直角三角形，∴OH=√2OC=2√2，2综上所述，OH的值为√13−1或2√2．【解析】(1)连接BC，想办法证明∠OCB=∠OBC=2∠COB，可得结论．(2)如图2中，过点E作EJ⊥CF于J.首先证明EC=EF，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(3)分两种情形：如图3−1中，当FD=FC时，证明FD=FO=EO=EB，设FD=FO= EO=EB=x，则EC=EF=4−x，BF=2x−4，BD=3x−4，证明△DOB∽△BEO，利用相似三角形的性质求解．如图3−2中，当DC=DF时，证明△OCH是等腰直角三角形即可．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

2021二模25题汇编【1崇明】25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分5分）如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，点F 在边AD 上，EF ⊥BD ，垂足为G ． （1）如图2，当矩形ABCD 为正方形时，求DGGB的值； （2）如果15DG GB =，AF x =，AB y =，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； （3）如果4AB =cm ，以点A 为圆心，3cm 长为半径的⊙A 与以点B 为圆心的⊙B 外切．以点F 为圆心的⊙F 与⊙A 、⊙B 都内切．求DGGB的值．解：（1）如图2，延长FE 交BC 的延长线于M …………………………………（1分）设正方形ABCD 的边长为k ，则AB=BC=CD=AD =k ∵E 为CD 中点∴DE=CE=12k ∵正方形ABCD 中，∠ADC=90°，∠BDC=12ADC ∠ ∴∠BDC=45°………………………………………………………………（1分） ∵EF ⊥BD ∴∠DEF=45° ∴∠DFE ＝45 ∴DF =DE =12k ……………………………………………………………（1分） ∵正方形ABCD 中，AD ‖BC∴1DF DECM EC== ∴CM =DF =12k ……………………………………………………………（1分）E（第25题图2）（第25题备用图）BDE（第25题图1）B CE∵AD ‖BC∴112132kDG DF GB BM k k ===+……………………………………………（1分） （2）如图1，延长FE 交BC 的延长线于M设DF =a ，则CM =a ∵DG DF GB BM =，1=5DG GB∴BM =5a ，BC =4a ， ∴AF =x =3a∴a =13x ∴DF =13x ……………………………………………………………（1分）∵AB =y ，∴DE =12y ∵∠ADC=90°，EF ⊥BD ∴∠ADB=∠DEF ∴tan ∠ADB=tan ∠DEF∴AB DFAD DE=∴134132x y x y = ∴228=9y x∵0x >,0y >∴y 与x的函数关系式=3y x ……………………………………（2分） 函数定义域为：0x > ……………………………………………（1分） （3）如备用图，设⊙F 的半径为rcm ，则根据题意得：⊙B 的半径为1cm ， AF =3r -cm ， BF =1r -cm ∵矩形ABCD 中，∠A=90°∴222AF AB BF +=∴22231r 4(r )--+=（） ∴r=6即⊙F 的半径为6cm …………………………………………………（2分） ∴AF =3cm ， ∵tan ∠ADB=tan ∠DEF ∴432AD AD -=∴2380AD AD --= ∴32AD +=（负值已舍去）…………………………………（2分）∴34182DG DF GB BM --==……………（1分）【2虹口】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan A=34,AC=5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图9，当MC=AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM=x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．25．解：（1）过点M作MH⊥CD，垂足为点H．在Rt△ABC中，易得cos4AB AC A=⋅=．………………………（1分）∵MC=AC ，∠ABC=90°∴AM=2AB=8∴在Rt△AMH中，432cos855AH AM A=⋅=⨯=．………………………（1分）∴75CH AH AC=-=……………………………………………（1分）∴由垂径定理，得1425CD CH==．………………………………………（1分）（2）过点M作MH⊥CD，垂足为点H．在Rt△AMH中，3312sin(4)55xMH AM A x+=⋅=+⋅=……………（1分）4416cos(4)55xAH AM A x+=⋅=+⋅=．∴495xCH AH AC-=-=,8185xCD-=．…………………………（1分）∴2118183*********=225525CDMx x x xS CD MH-++-⋅⋅=⋅⋅=△．…（1分）又13=22 CBMxS BM CB⋅⋅=△．∴231221108=225x x xy+-+，即224117216=50x xy+-．…………（1分）图9CBA备用图定义域为94 x>．………………………………………………（1分）（3）①当点M在AB的延长线上时（如图9），∵△ECD与△EMC相似，∠EDC>∠EMC，∴∠EDC=∠ECM．………………………………………………………（1分）∴∠CDM=∠BCM．而由MC=MD可得，∠MCD=∠CDM，∴∠BCM =∠MCD．可证得△CBM≌△CHM，∴CB=CH．…………………………………（1分）∴4935x-=．解得6x=，即6BM=．…………………………………………………（1分）②当点M在线段AB上时（如下图），同①可得∠BCM =∠MCD，CB=CH，MB=MH．………………………（1分）∴532AH=-=,4AM x=-．在Rt△AMH中，4cos5AHMAHAM∠==，即2445x=-解得32x=．…………………………………（1分）综上所述，线段BM的长为6或32．【3黄浦】25．（本题满分14分）如图9，AD 是△ABC 的角平分线，过点C 作AD 的垂线交边AB 于点E ，垂足为点O ,联结DE .（1）求证：DE =DC ；（2）当∠ACB =90°，且△BDE 与△ABC 的面积比为1∶3时，求CE ∶AD 的值； （3）是否存在△ABC 能使CE 为△ABC 边AB 上的中线，且CE =AD ？如果能，请用∠CAB 的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由.25.解：（1）∵AD 是角平分线， ∴∠CAO =∠EAO . 又∵CE ⊥AD ，∴∠COA =∠EOA =90°. 又AO =AO ，∴△AOC ≌△AOE . -------------------------------------------（2分） ∴AC =AE .在△ACD 与△AED 中，∵AC =AE ，∠CAD =∠OAD ，AD =AD ，∴△ACD ≌△AED ，-------------------------------------------（1分） ∴DE =DC . ----------------------------------------------------（1分）（2）由△BDE 与△ABC 的面积为1∶3，又△ACD ≌△AED ， 得△BDE 、△ACD 与△AED 的面积均相等.于是有BE =AE =AC ，又∠ACB =90°，------------------------------（2分） 所以∠ABC =30°，∠BAC =60°， 则△ACE 为等边三角形，即CE =AC .于是在△ACD 中，∠ACD =90°，∠CAD =12CAB ∠=30°，----------（2分）所以AC AD =CE AD =（1分）（3）存在这样的三角形. -------------------------------------------（1分） 作EF ∥AD 交BC 于点F . ---------------------------------------（1分） 则12OD CO EF CE ==，12EF BE AD BA ==，又AD =CE ， 令AD =CE =8k ，则OE =OC =4k ，OD =2k ，OA =6k . --------------------（1分）在△AOC中，AC =，则AE =.（备用图） （图9） CAEDCBAO作CH ⊥AE 于点H ，易知△CEH ∽△ACO ，得813CH k k ==，813EH k k ==，所以1313AH k k =-=，---------------------（1分） 于是在Rt △ACH 中，12tan 5CH CAB AH ∠==.------------------（1分）【4静安】 25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图，已知半圆O 的直径AB=4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ⊥AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1） 求证：AD ∙AP =OD ∙AC ；（2） 设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3） 当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．25．解：（1）联结PC ，在半圆P 与半圆O 中，∵ PC=PA ，OD=OA ，∴ ∠PCA=∠A=∠D ． ················································· （2分） ∴PC//OD ． ······································································································· （1分） ∴AC AD ADAP AO OD=＝． ······················································································ （1分） ∴AD ∙AP =OD ∙AC ． ····························································································· （1分）（2）在Rt △OPC 中，OP =122OA AP AB AP x -=-=-， 22222(2)44OC =CP OP x x x -=--=-. ····················································· （1分）在Rt △OAC 中，AC=. ······························ （1分）∵PC//OD ，∴CD POAC AO＝， ············································································ （1分）∴2y x =-y =···························································· （1分） 定义域为1< x < 2. ··························································································· （1分）（3）∵CO ⊥AB ，AO =BO =2，∴BC = AC=B（第25题图）∵PC//OD ，∴CE BCOP BP＝，∴24CE x x --＝，∴224x CE x --（＝． ········ （1分）过点P 作PH ⊥CE ，垂足为H ．∴2CE CH ＝，∴BH BC CH =-=＝ ··································· （1分） ∵cos BH OBB BP CB==．∴BH ·CB =OB ·BP ,∴622(4)4x x x x -=--（， ······································································· （1分）226168x x x x -=-+，2780x x -+=，其中不符合题意，所以半圆P 的半径为． ········· （1分）【5宝山】25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）如图9，已知BC AB ⊥，BC CD ⊥，垂足分别为点B 、点C ，AC 与BD 交于点P . （1）如果3=AB ，5=CD ，以点P 为圆心作圆，圆P 与直线BC 相切.① 求圆P 的半径长；② 又8=BC ，以BC 为直径作圆O ，试判断圆O 与圆P 的位置关系，并说明理由； （2）如果分别以AB 、CD 为直径的两圆外切，求证：△ABC 与△BCD 相似.25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分,第（2）（3）小题满分各5分） 解：（1）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ，∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴ AB ∥PH ∥DC .∴CBCHAB PH =, BC BH DC PH =,…………………………………………………1分 ∵ AB =3，DC =5 , ∴153=+PHPH . …………………………………………………………… 1分 ∴815=PH . …………………………………………………………………1分 ∵ 圆P 与直线BC 相切, ∴圆P 的半径长为815. ………………………………………………………… 1分 （2）将BC 中点记为点O ，∵BC =8，∴OB = OC = 4. …………………………………………………………………… 1分 由BCCHAB PH =, （图9）∴CH = 5，1=OH .……………………………………………………………… 1分 ∴817=OP . …………………………………………………………………… 2分 即p o R R OP -=.∴圆O 与圆P 内切. ……………………………………………………………… 1分 （3）将A B 、DC 的中点分别记为点1O 、2O ,联结21O O ，过点1O 作DC E O ⊥1,垂足为点E .设a AB =，b DC =. …………………………………………………1分 根据题意，得221ba O O +=. …………………………………………………1分 在Rt △E O O 21中，ab E O =1.…………………………………………………1分∵BC E O =1，∴2BC DC AB =⋅.…………………………………………………………………1分 ∵∠ABC =∠DCB = 90°，∴△ABC ∽△BCD .…………………………………………………………………1分【6奉贤】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图，已知扇形AOB 的半径OA =4，∠AOB =90°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点 C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC=PD ． （1）当cot ∠ODC 34=，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长； （2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求∠OCD 的度数； （3）如果OC =2，且四边形ODPC 是梯形，求ΔΔPCDOCDS S 的值．25.解：（1）在Rt △ABC 中，∠AOB =90°，∵cot ∠ODC 34=， 设3,4OD k OCk ，∴5CD k ················································································· （1分） ∵以CD 为半径的圆D 与圆O 相切，∴OB CD OC ············································ （1分） 即435k k ，解得12k ······························································································ （1分） ∴52CD························································································································· （1分） （2）联结OP 、AP .∵P 为弧AB 的中点，∴45o AOP BOP ，PA PB ········································· （1分） ∵ OA OP OB ，可得67.5o OAP OPAOBP又∵PC PB ，PA PB ，∴PA PC ，可得67.5o OAPPCA ···················· （1分） ∴45o APC（或22.5o OPC ）············································································· （1分） 可得ΔPCD 是等腰直角三角形∴45o PCB ······························································ （1分）C备用图AB O备用图ABOP第25题图DAB O∴67.5o OCD ·············································································································· （1分） （3）联结OP （i ）当CP ∥OD 时过点P 作PQ ⊥OB ，垂足为Q ． ∵ 2,4CO OP ，∴23PCPD ······································································· （1分）在Rt △PDQ 中，∠PQD =90°，PQ=2，23PD ， ∴22DQ ，2322OD··················································································· （1分）∴ΔΔ23362322PCDOCDS PC S OD ············································································ （1分）（ii ）当CO ∥PD 时过点P 作PK ⊥OA ，垂足为K由题意得四边形OKPD 是矩形，设KO PD x ,则2,KC x PCx在Rt △PCK 中，222KP PC KC ,则44KP OD x 在Rt△OPD 中，222OD PD OP ,则2224x∴解得262x,262PD ················································································· （1分） ∴ΔΔ26261PCD OCDS PD S OC·················································································· （1分）C【7金山】21. （本题满分14分，第(1)题4分，第(2) ①题4分，第(2) ②题6分）已知在ABC ∆中，32==AC AB ，120=∠BAC ，ADE ∆的顶点D 在边BC 上，AE交BC 于点F （点F 在点D 的右侧），30=∠DAE . （1）求证：ABF ∆∽DCA ∆. （2）若ED AD =.①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（BF FC >）时，求FECABFS S ∆∆. ②联结BE ，当1=DF 时，求BE 的长.25. （1）证明：∵AC AB =，∴C B ∠=∠；…………………………………（1分） ∵180=∠+∠+∠C B BAC ，120=∠BAC ，∴30=∠=∠C B ； ∵30=∠DAE ，∴DAE C B ∠=∠=∠；…………………（1分） ∵BAD B ADC ∠+∠=∠，BAD DAE BAF ∠+∠=∠； ∴ADC BAF ∠=∠；…………………（1分） ∵C B ∠=∠；∴ABF ∆∽DCA ∆.…………………（1分）（2）①解：∵ABF ∆∽DCA ∆，∴ACBFAD AF =，即BF AFAC AD =；………………（1分） ∵ED AD =，∴DEA DAE ∠=∠，∴C DEA ∠=∠；又∵B DAE ∠=∠，∴ABC ∆∽DAE ∆;………………（1分） ∴BC AE AB AD =，即BC AE AC AD =；∴BC AE BF AF =，即BF BC AF AE =； ∴BFCF AF EF =，又∵AFB EFC ∠=∠； ∴ECF ∆∽ABF ∆；………………（1分）∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CF BF S S FEC ABF ； ∵点F 是BC 的黄金分割点，且BF FC >；AB第25题图备用图AFE DC B 第25题图A第25题图备用图AB CDFEBA CD F E∴215-=CF BF ，∴25321522-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CF BF S SFECABF .………………（1分） ②解：作BC AH⊥垂足为H ，∵32==AC AB ， 30=∠ABC ；∴BH BC 2=，321==AB AH ，322=-=AH AB BH 得6=BC ；………（1分）∵ABF ∆∽DCA ∆，∴ACBFCD AB =，即AC AB BF CD ⋅=⋅； 设x BD =，那么x CD -=6；∵1=DF ，∴1+=x BF ；可得()()323216⨯=+-x x ，解得3,221==x x 即2=BD 或3；………………（1分）当2=BD 时3=BF 即F 为BC 中点，∵AC AB =； ∴BC AF ⊥，又∵DE AD =，∴FE AF =即BC 垂直平分AE ；∴32==BA BE ；………………（2分）当3=BD 时，D 为BC 中点，∵AC AB =，120=∠BAC ，30=∠DAE ；∴BC AD ⊥， 6021=∠=∠BAC BAD ， 90=∠+∠=∠DAE BAD BAE ； 作AE DG ⊥垂足为G ，∴2330cos =⋅= AD AG ， ∵DE AD =，∴32==AG AE ；∴在ABE Rt ∆中2122=+=AE AB BE .………………（2分）综上所述，当1=DF 时，32=BE 或21.【8普陀】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB BC ⊥， 3AD =，5CD =，3cos 5C =(如图9)．M 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），以点M 为圆心，CM 为半径作圆，M 与射线CD 、射线MA 分别相交于点E 、F ．（1）设185CE =，求证：四边形AMCD 是平行四边形； （2）联结EM ，设FMB EMC ∠=∠，求CE 的长； （3）以点D 为圆心，DA 为半径作圆，D 与M 的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M 的半径长．25．解：（1）过点M 作MH CE ⊥，垂足为点H ． ································· （1分）由垂径定理可得1925CH CE ==． ························································ （1分）在Rt △CMH 中，由cosC 3CM =． ··············· （1分）∵3AD =，∴AD CM =．备用图1M CD AB EF图9CDA BC DAB∵ AD ∥BC ，∴四边形AMCD 是平行四边形． ····································· （1分） （2）设M 的半径长为r ．在Rt △CMH 中，35CH r =． 可得65CE r =． ········································ （1分） 过点E 作EG MC ⊥，垂足为点G ． 在Rt △CEG 中，1825CG r =，2425EG r =． ············································· （1分） 可得725MG r =． ··············································································· （1分） 在梯形ABCD 中，可得4AB =，6BC =． ·············································· （1分） ∵FMB EMC ∠=∠，∴cot cot FMB EMC ∠=∠．得 762524425rr r -=，解得 296r =． ··························································· （1分） 即62955CE r ==． ·············································································· （1分） （3）由于点B 、C 在D 外，所以公共弦不会经过这两个点．①当公共弦经过点A 时，由于点A 在D 上，因此点A 必为公共弦的一个端点，即点A 也在M 上．可得MA MC r ==．在Rt △ABM 中，由222AM AB BM =+，得()22166r r =+-， 解得 133r =．（2分） ②当公共弦经过点D 时，由于点D 是D 的圆心，因此公共弦就是D 的的直径．可得3DP DA ==， MD DP ⊥．过点D 作DQ MC ⊥，垂足为点Q ．由2222MP DP MQ DQ -=+，得()229163r r -=+-，解得 17r =． ·················································································· （2分）所以M 的半径长为．备用图2M C DAB QP【9青浦】25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）已知：在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝m °（0＜m ≤180），点C 是AB 上的一个动点，直线AC 与直线OB 相交于点D ．（1）如图7，当0＜m ＜90，△BCD 是等腰三角形时，求∠D 的大小（用含m 的代数式表示）；（2）如图8，当m ＝90，点C 是AB 的中点时，联结AB 、BC ，求ABCABDS S △△的值；（3）将AC 沿AC 所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB 所在的直线相切于点E ，且OE ＝1时，求线段AD 的长．25．解：（1）联结OC ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＜90°．∴∠CBD 为钝角．∵△BCD 为等腰三角形，∴∠D ＝∠BCD ． ····································· （1分） ∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠D +∠BCD ＝2∠D ． ······································ （1分） ∴∠OCA ＝180°－∠OCD ＝180°－3∠D ．∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝180°－3∠D ． ······························· （1分） 在△OAD 中，∵∠OAC ＋∠D ＋∠AOB ＝180°，∴∠D ＝（21m ）°． ··· （1分） （2）联结OC ，过点C 作CF ⊥OD ，垂足为点F ．∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ． ················ （1分） ∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝45°． ··················································· （1分） 在Rt △COF 中，OC ＝2，∴CF ··········································· （1分）∵CF ⊥OD ，AO ⊥OD ，∴AO ∥CF ．∴22==AO CF AD CD ． ················ （1分） CADOCADB O 备用图图7图8∴222=-AD AC ．…（1分）∴2+2==ACAD S S ABC ABD △△． ················· （1分） （3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E ，O'O ，O'O 交直线AD 于点H ． ∵新圆弧由AC 折叠而得，且与直线OB 相切于点E ，∴O'E ＝2，O'E ⊥OD ．当点E 在线段OB 上时，在Rt △O'OE 中，OE ＝1，O'E ＝2，则O'O ＝5． ∵点O'与点O 关于直线AC 对称，∴直线AC 垂直平分线段O'O ． ∴OH ＝25．∴在Rt △AOH 中，AH ＝211． ································· （1分） 在Rt △DOH 中，tan ∠O'OE ＝2＝OHDH，∴ DH ＝5．∴AD ＝DH ＋AH．························································ （1分）当点E 在线段BO 的延长线上时，同理可得，AH ＝211，DH ＝5．∴AD ＝DH －AH ．························································ （2分）。

2021年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)2021年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）1.下列计算正确的是（）A。

1-1=-1B。

1+1=2C。

(-1)-1=-2D。

(-1)×(-1)=12.如果关于x的方程x²-6x+m=0有实数根，那么m的取值范围是（）A。

m>9B。

m≥9C。

m<9D。

m≤93.一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是（）A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限4.对于等边三角形，下列说法正确的为（）A。

既是中心对称图形，又是轴对称图形B。

是轴对称图形，但不是中心对称图形C。

是中心对称图形，但不是轴对称图形D。

既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5.某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，2，2，3，4，3.那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（）A。

2.5与1.5B。

2与1.5C。

2.5与2D。

2与66.对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离。

下列判断正确的是（）A。

①是真命题，②是假命题B。

①是假命题，②是真命题C。

①、②都是真命题D。

①、②都是假命题二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.化简：|4-7|÷|3-6|=1/3.8.计算：x÷(x²-x)=1/(x-1)。

9.函数f(x)=√(x²-4x+3)的定义域为(-∞,1]∪[3,∞)。

10.如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而减小。

11.方程组2x-3y=7，3x+2y=1的解为x=-5，y=-9.12.从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是1/3.13.为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计。

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数选择与填空一．选择题1．（2021•杨浦区三模）将抛物线y＝x2向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 2．（2021•徐汇区二模）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（﹣3，2）3．（2021•虹口区二模）如果将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1 D．y＝2x2﹣1 4．（2021•松江区二模）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，1）C．（5，1）D．（2，﹣2）5．（2021•黄浦区二模）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数y＝，其图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限6．（2021•浦东新区模拟）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）7．（2021•浦东新区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是28．（2021•上海模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）二．填空题9．（2021•浦东新区模拟）已知二次函数y ＝﹣x 2+4x 图象的最高点是 ． 10．（2021•上海模拟）已知点A （1，y 1）、点B （2，y 2）在抛物线y ＝ax 2﹣2上，且y 1＜y 2，那么a 的取值范围是 ．11．（2021•浦东新区二模）将抛物线y ＝x 2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是 ．12．（2021•浦东新区校级二模）如果一抛物线的对称轴为x ＝1，且经过点A （3，3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为 ．13．（2021•宝山区二模）已知点A （﹣3，y 1）和点B （﹣，y 2）都在二次函数y ＝ax 2﹣2ax +m （a ＞0）的图象上，那么y 1﹣y 2 0（结果用＞，＜，＝表示）．14．（2021•青浦区二模）如果将抛物线y ＝﹣x 2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是 ．15．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 在x 轴上，且OA ＝4，如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 向下平移4个单位后恰好能同时经过O 、A 、B 三点，那么a +b +c ＝ ．16．（2021•长宁区二模）如果抛物线y ＝（m +1）x 2的最高点是坐标轴的原点，那么m 的取值范围是 ．17．（2021•普陀区二模）抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是直线 ．18．（2021•奉贤区二模）如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 在对称轴左侧呈上升趋势，那么a 的取值范围是 ．19．（2021•浦东新区三模）如果将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为．参考答案1．【分析】先得到抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（﹣2，0），然后利用顶点式写出平移后的新的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，0），所以平移后的新的抛物线的表达式为y＝（x+2）2．故选：C．2．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y＝﹣（x ﹣3）2﹣2，∴顶点坐标为（3，﹣2），故选：A．3．【分析】根据“左加右减”的法则即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝2x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+1）2，故选：A．4．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得y＝（x﹣2）2+1+3，即y ＝（x﹣2）2+4，顶点坐标为（2，4），故选：A．5．【分析】根据x的取值，判断y的范围，即可求解．【解答】解：根据题意x≠0，当x＜0时，y＞0；此时点在二象限；当x＞0时，y＞0；此时点在一象限；故选：A．6．【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，∴二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（2，﹣3）故选：B．7．【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+2x ﹣3＝﹣（x ﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、C 不正确；∵抛物线顶点到x 轴的距离是|﹣2|＝2，∴D 正确，故选：D ．8．【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．【解答】解：∵y ＝（x ﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x ＝2，故选：D ．二．填空题（共11小题）9．【分析】利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点的坐标；【解答】解：由题意得，y ＝﹣x 2+4x＝﹣（x 2﹣4x +4）+4＝﹣（x ﹣2）2+4，二次函数图象的最高点的坐标为（2，4），故答案为：（2，4）．10．【分析】利用A 、B 坐标且y 1＜y 2和二次函数的性质即可判断．【解答】解：由已知抛物线为y ＝ax 2﹣2，∴对称轴为x ＝0，∵x 1＜x 2，要使y 1＜y 2，则在x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，故a 的取值范围是：a ＞0．11．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，得y＝（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），故答案为（2，2）．12．【分析】利用对称的性质，根据中点坐标公式求出B坐标即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），∴点A关于对称轴的对称点B的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．13．【分析】将点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）代入二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0），进而可得结果．【解答】解：∵点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象上，∴y1＝9a+6a+m＝15a+m，y2＝a+a+m＝a+m，∴y1﹣y2＝15a+m﹣a﹣m＝a，∵a＞0，∴a＞0，∴y1﹣y2＞0．故答案为：＞．14．【分析】设平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣b，把点（0，﹣2）代入进行求值即可得到b的值．【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣b，把点（0，﹣2）代入，得0﹣b＝﹣2，解得b＝2，则该函数解析式为y＝﹣x2﹣2．故答案是：y＝﹣x2﹣2．15．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c 向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【解答】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c＝﹣2+4＝，故答案为．16．【分析】由点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下，即m+1＜0，据此可得．【解答】解：根据题意知点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下．∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．17．【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，可以得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣．即对称轴是直线x＝﹣．故答案为：x＝﹣．18．【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，∴抛物线开口向下，∴a＜0，故答案为a＜0．19．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2，故答案为：y＝2（x+3）2．。

2 012 -2021学年奉贤区调研测试九年级|数学 202104(总分值150分 ,考试时间100分钟 )一、选择题： (本大题共6题 ,每题4分 ,总分值24分 )[每题只有一个正确选项 ,在答题纸的相应题号的选项上用2 B 铅笔填涂] 1．与无理数3最|接近的整数是 (▲ )A ．1；B ．2 ；C ．3；D ．4；2．以下二次根式中最|简二次根式是 (▲ )A ．12-a ；B ．ba； C ．b a 2； D ．a 9； 3．函数1-=x y 的图像经过的象限是 (▲ )A .第|一、二、三象限；B .第|一、二、四象限；C .第|一、三、四象限；D .第二、三、四象限；4．一个不透明的盒子中装有5个红球和3个白球 ,它们除颜色外都相同．假设从中任意摸出一个球 ,那么以下表达正确的选项是 (▲ )A ．摸到红球是必然事件；B ．摸到白球是不可能事件；C ．摸到红球和摸到白球的可能性相等；D ．摸到红球比摸到白球的可能性大； 5．对角线相等的四边形是 (▲ )A ．菱形；B ．矩形；C ．等腰梯形；D ．不能确定； 6．两圆半径分别为2和3 ,圆心距为d ,假设两圆没有公共点 ,那么以下结论正确的选项是 (▲ )A ．01d <<；B ．5d >；C ．01d <<或5d >；D ．01d <≤或5d >；二、填空题： (本大题共12题 ,每题4分 ,总分值48分 ) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7.计算：26a a ÷ = ▲ ；8．分解因式：1682+-x x = ▲ ； 9．函数3+=x y 的定义域是 ▲ ；10．方程xx 312=-的解是 ▲ ；11．关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根 ,那么实数m 的取值范围是 ▲ ；12．如果点A 、B 在同一个反比例函数的图像上 ,点A 的坐标为 (2 ,3 ) ,点B 横坐标为3 ,那么点B 的纵坐标是 ▲ ；13．正多边形的中|心角为72度 ,那么这个正多边形的内角和等于 ▲ 度；14. 如图 ,直线AB 和CD 相交于点O , OE AB ⊥,128AOD ∠=, 那么COE ∠的度数是▲ 度；15．如图 ,∠E =∠C ,如果再增加一个条件就可以得到DEBCAD AB = ,那么这个条件可以是 ▲ (只要写出一个即可 ).16．梯形ABCD 中 ,AB ∥DC ,E 、F 分别是AD 、BC 中点 ,DC =1 ,AB =3 ,设a AB = ,如果用a 表示向量EF ,那么EF = ▲ ；17．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差 ,梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比 ,如果某一等腰梯形腰长为5 ,底差等于6 ,面积为24 ,那么该等腰梯形的纵横比等于 ▲ ；18．如图 ,在ABC ∆中 ,90C ∠= ,10AB = ,3tan 4B =,点M 是AB 边的中点 ,将ABC ∆绕着点M 旋转 ,使点C 与点A 重合 ,点A 与点D 重合 ,点B 与点E 重合 ,得到DEA ∆ ,且AE 交CB 于点P ,那么线段CP 的长是 ▲ ；三、解答题： (本大题共7题 ,总分值78分 ) 19． (此题总分值10分 ) 计算：︒+--+--30tan 3)31(20132310；20． (此题总分值10分 )第15题第18题CA第14题 O EDC B A E DCBA解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->+x x x x 322121232 ,并把它的解集在数轴上表示；21． (此题总分值10分 ,第 (1 )小题4分 ,第 (2 )小题6分 )如图 ,：在△ABC 中 ,AB =AC ,BD 是AC 边上的中线 ,AB =13 ,BC =10 ,(1 )求△ABC 的面积； (2 )求tan ∠DBC 的值．22． (此题总分值10分 ,第 (1 )小题4分 ,第 (2 ) (3 )小题各3分 )我区开展了 "关爱老人从我做起〞的主题活动 .在活动中随机调查了本区局部老人与子女同住情况 ,根据收集到的数据 ,绘制成如下统计图表 (不完整 )老人与子女同住情况百分比统计表：老人与子女同住人数条形图：据统计图表息 ,答复以下问题：(1 )本次共抽样调查了▲ 位老人 ,老人与统计表中的a = ▲ ； (2 )整； (画在答题纸相对应的图上 ) (3 ) ,试估计我区约15万老人中与子女 "不同住〞的老人总数是▲ 人；2 0第21题ADBC_ 子女在区外_ 子女在本区 与子女同住情况_ 其他 _ 同住 _不同住ADCBFE G第23题23． (此题总分值12分 ,每题总分值各6分 )如图 ,ABC △是等边三角形 ,点D 是BC 延长线上的一个动点 ,以AD 为边作等边ADE △ ,过点E 作BC 的平行线 ,分别交AB AC 、的延长线于点F G 、 ,联结BE ．(1 )求证：AEB ADC △≌△；(2 )如果BC =CD , 判断四边形BCGE 的形状 ,并说明理由．24． (此题总分值12分 ,每题4分 )如图 ,二次函数mx x y 22+-=的图像经过点B (1,2 ) ,与x 轴的另一个交点为A ,点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ,过点B 作直线BM ⊥x 轴垂足为点M ． (1 )求二次函数的解析式； (2 )在直线BM 上有点P (1 ,23) ,联结CP 和CA ,判断直线CP 与直线CA 的位置关系 ,并说明理由；(3 )在 (2 )的条件下 ,在坐标轴上是否存在点E ,使得以A 、C 、P 、E 为顶点的四边形为直角梯形 ,假设存在 ,求出所有满足条件的点E 假设不存在 ,请说明理由 .25． (此题总分值14分 ,第 (1 )小题5分 ,第 (2 )小题5分 ,第 (3 )小题4分 )如图 ,AB 是⊙O 的直径 ,AB =8 , 点C 在半径OA 上 (点C 与点O 、A 不重合 ) ,过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ,联结OD ,过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． (1 )假设 ,求∠F 的度数；(2 )设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式 ,并写出定义域； (3 )设点C 关于直线OD 的对称点为P ,假设△PBE 为等腰三角形 ,求OC 的长．第24题BEED =⌒ ⌒第25题备用图奉贤区初三调研考数学卷参考答案 202104一 、选择题： (本大题共8题 ,总分值24分 )1．B ； 2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．D ； 6．D ； 二、填空题： (本大题共12题 ,总分值48分 )7．4a ； 8．2)4(-x ； 9．3-≥x ； 10．3=x ；11．41->m ； 12．2； 13．540； 14．38； 15．∠B =∠D (等 )； 16．a 32； 17．32； 18．47；三． (本大题共7题 ,总分值78分 ) 19． (此题总分值10分 ) 计算：︒+--+--30tan 3)31(20132310；解：原式 =3333132⨯+++- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (每个值得2分 ,共8分 )6= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2分 ) 20. (此题总分值10分 )解不等式：⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->+)2(322121)1(232x x x x 解：由 (1 )得：2<x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3分 )由 (2 )得：718≤x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3分 )∴不等式组的解集是：2<x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2分 )解集在数轴上正确表示 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2分 )21． (此题总分值10分 ,每题总分值各5分 )(1 )过点A 作AH ⊥BC ,垂足为点H ,交BD 于点E∵ AB =AC =13 , BC =10 ∴ BH =5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1分 )在Rt △ABH 中 ,12=AH - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1分 )∴60121021=⨯⨯=∆ABC S - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1分 )(2) ∵BD 是AC 边上的中线 ∴点E 是△ABC 的重心 ∴EH =AH 31= 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3分 )∴在Rt △EBH 中 ,54tan ==∠HB HE DBC - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3分 )22． (此题总分值10分 ,第 (1 )小题4分 ,第 (2 ) (3 )小题各3分 )(1 )500 , 30% - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(各2分)(2 )作图准确 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3分 )(3 )97500 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3分 ) 23． (此题总分值12分 ,每题总分值各6分 ) (1 )∵等边ABC △和等边ADE △∴AD AE AC AB ==, , ∠CAB =∠EAD =60° - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -(1分)∵∠BAE +∠EAC = 60° ,∠DAC +∠EAC = 60°∴∠BAE =∠CAD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2分 )∴AEB ADC △≌△ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(3分)(2) ∵AEB ADC △≌△ ∴∠ABE =∠ACD , BE =CD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∵∠ABC =∠ACB =60°∴ ∠ABE =∠ACD =∠BCG = 120° ∴∠DBE = 60°∴∠BCG +∠DBE = 180° ∴BE //CG - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - -(2分)∵BC //EG ∴四边形BCGE 是平行四边形 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -(1分)∵BC =CD ∴BE =BC - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∴四边形平行四边形BCGE 是菱形 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分) 24． (此题总分值12分 ,每题各4分 )(1 )∵点B (1,2 )在二次函数mx x y 22+-=的图像上 , ∴ 23=m - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(3分)∴二次函数的解析式为x x y 32+-= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1分 ) (2 )直线CP 与直线CA 的位置关系是垂直 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∵二次函数的解析式为x x y 32+-=∴点A (3,0) C (2,2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∵P (1 ,23 ) ∴4252=PA 452=PC 52=AC - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∴222AC PC PA += ∴∠PCA =90° - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)即CP ⊥CA(3) 假设在坐标轴上存在点E ,使得以A 、C 、P 、E 为顶点的四边形为直角梯形 ,∵∠PCA =90°那么①当点E 在x 轴上 ,PE //CA ∴△CBP ∽△PME ∴ME BP PM CB =∴43=ME ∴)0,47(1E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(2分)②当点E 在y 轴上 , PC //AE ∴△CBP ∽△AOE ∴OE BP AO CB =∴23=OE ∴)23,0(2-E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(2分)即点Q 的坐标)0,47(1E 、)23,0(2-E 时 ,以A 、C 、P 、E 为顶点的四边形为直角梯形 . 25． (此题总分值14分 ,第 (1 )小题5分 ,第 (2 )小题5分 ,第 (3 )小题4分 )(1 )联结OE - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∵⋂ED =⋂BE ∴∠BOE =∠EOD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分) ∵OD //BF ∴∠DOE =∠BEO∵OB =OE ∴∠OBE =∠OEB - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∴∠OBE =∠OEB =∠BOE =60° - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∵∠FCB =90°∴ ∠F =30° - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)(2)作OH ⊥BE ,垂足为H , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∵∠DCO =∠OHB =90° ,OB =OD ,∠OBE =∠COD∴△HBO ≌△COD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分) ∴ ,2,x BE x BH CO === ∵OD //BF ∴BCOCBF OD = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)∴xxy x +=+424 ∴ )40(21642<<-+=x x x x y - - - - - - - - - - - - - --(2分)(3 )∵∠COD =∠OBE ,∠OBE =∠OEB ,∠DOE =∠OEB∴ ∠COD =∠DOE , ∴C 关于直线OD 的对称点为P 在线段OE 上 - - - - - - - - - - -(1分)假设△PBE 为等腰三角形① 当PB =PE ,不合题意舍去； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)② 当EB =EP 34,42=-=x x x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)③ 当BE =BP 作BM ⊥OE ,垂足为M , 易证△BEM ∽△DOC∴OC EM DO BE = ∴xxx2442-= 整理得： 2171,042±-==-+x x x (负数舍去 ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(1分)综上所述：当OC 的长为34或2171+-时 ,△PBE 为等腰三角形 .。

上海市中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．8．用科学记数法表示：3402000= ．9．化简分式：= ．10．不等式组的解集是．11．方程x+=0的解是．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= ．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．解方程组：．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．上海市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】立方根．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考点】根的判别式；无理方程；分式方程的解．【专题】计算题．【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判断；通过解分式方程对C进行判断．【解答】解：A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和无理方程．4．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】三角形的重心．【专题】计算题．【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC的长．【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，∵点G为△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故选B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．5．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【考点】众数；中位数．【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p=（a≠0，p为正整数）【解答】解：2﹣2==，故答案为．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，易于掌握．8．用科学记数法表示：3402000= 3.402×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．9．化简分式：= ．【考点】约分．【专题】计算题．【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．【解答】解：原式==．故答案为．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．不等式组的解集是x≥3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．11．方程x+=0的解是0 ．【考点】无理方程．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．（填“减小”或“增大”）【考点】反比例函数的性质．【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【考点】概率公式．【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价9.9 万元．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= 3 ．【考点】*平面向量．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的长，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【考点】方差．【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，＞S2黄，∵S2红∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是3或27 ．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案．【解答】解：当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△=×6×9=27，ABC当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，=×6×1=3，S△ABC故答案为：3或27．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考点】二次根式的混合运算；分数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数幂．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，则，，，解得，，，，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【考点】勾股定理．【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的长，在Rt△ABE 中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD 即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式y A=2.5x ；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式y B=200+0.9x ；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=2000+0.9×500=2450，因为y A＞y B，所以选择B运输队．【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，∴每公里收费为2.5元，=2.5x．∴yA故答案为：y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．故答案为：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=200+0.9×500=650，＞y B，∴yA∴选择B运输队．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析式．23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF2=AG•DF；（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG•DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG•DF；（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．【点评】本题考查了相似综合题．此题综合性比较强，其中涉及到了菱形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题时，需要弄清楚相似三角形的对应边与对应角，以防弄错．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用．【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB平行，继而得到四边形ABCD 为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG解析式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P 与D重合时，满足题意，确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，，即×2×（2+6）=2××2×AE，若S梯形ABCD=2S△ADE解得：AE=4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），∴=，解得：x=﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y=kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y=7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，直角梯形的判定，直线与二次函数的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD 的长即可求得圆的半径；（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=6，BC=4，∴BH=2．∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，∵∠DBC=∠ACH，∴cos∠DBC=cos∠ACH，∴BD：BC=CH：CA，∴BD：4=2：6，∴BD=．（2）如图1，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，∴BH=2，∴AH=4．∵以AC为直径作⊙P，∴AP=PC，∴PK=2，CK=BC=1，∴BK=3，∴在Rt△PBK中，PB===，∴当0＜x＜﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x=﹣3时，⊙B与⊙P外切，当﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；（3）如图2，点E即为BC边的中点H，∴PE=3．设EF与PB交于点G，BG=m，∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，∴32﹣（﹣m）2=22﹣m2，∴m=．∵EG2﹣BG2=BE2，∴EG2﹣（）2=22，∴EG=，∴EF=．【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还涉及到了勾股定理、两圆的位置关系等知识，知识点较多，难度较大，特别是最后一题中两次运用勾股定理求得EG的长更是解决本题的关键．。

上海市松江区2021年中考二模数学试题（含答案）2021年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，完卷时间100分钟） 2021.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（A）1；（B）8； 22 （C）xy； 2（D）x?y ．2．下列运算正确的是235（A）a?a?a；（B）a?a?2a；（C）a?a?a；（D）(a)?a．223323．在平面直角坐标系中，点A和点B关于原点对称，已知点A 的坐标为（?2，3），那么点B的坐标为（A）（3，?2）；（B）（2，?3）；（C）（?3，2）；（D）（?2，?3）．4．如果正五边形绕着它的中心旋转?角后与它本身重合，那么?角的大小可以是（A）36°；（B）45°；（C）72°；（D）90°． 5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，那么下列各式中，正确的是（A）sinA?BCBCBCBC ；（B）cosA?；（C）tanA?；（D）cotA?． ABABABAB6．下列四个命题中真命题是（Ａ）矩形的对角线平分对角； (Ｃ)梯形的对角线互相垂直；（Ｂ）菱形的对角线互相垂直平分； (Ｄ) 平行四边形的对角线相等．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：2= __▲_．- 1 -?28．如果关于x的一元二次方程x?x?m?0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是▲．9．方程2x?1?3的解是_▲___． 10．用换元法解方程x?2x?的整式方程是_▲_. 11．已知函数f(x)?2222?1时，如设y?x?2x，则将原方程化为关于y2x?2x3，那么f(4)? ▲ ． x?1k（k?0）的图像经过点A（-3，2），那么k=_▲_． x12．已知反比例函数y?13．已知包裹邮资为每千克2元，每件另加手续费3元，若一件包裹重x千克，则该包裹邮资y(元)与重量x(千克)之间的函数关系式为▲ ．14．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和6个白球，除��色不同外其余都相同，从口袋中任意摸一个球摸到的是红球的概率为▲ ．15．已知⊙O1和⊙O2外切，O1O2?8，若⊙O1的半径为3，则⊙O2的半径为▲ ． 16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设AD?a，AB?b，D C AE 那么DO? ▲ ．D F B OA C G B（第17题图）（第16题图）17．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架．已知其中每个菱形的边长为13 cm，cos?ABC?5，那么凉衣架两顶点A、E之间的距离为▲ cm． 1318．将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是▲ （写出2个）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）4?a2?2a?3?a?119．（本题满分10分）计算：?2． ?2??a?3a?aa?1??- 2 -?x2?xy?2y2?020．（本题满分10分）解方程组：?．x?3y?2?21．（本题满分10分）某公园有一圆弧形的拱桥，如图已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶D到水面AB的距离DC=4米．（1）求水面宽度AB的大小；（2）当水面上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为?，若cot??3，求水面上升的高度．- 3 -DEACFB（第21题图）22．（本题满分10分）随着“微博潮”的流行，初中学生也开始忙着“织围脖”，某校在上微博的280名学生中随机抽取了部分学生调查他们平常每天上微博的时间，绘制了扇形统计图和频数分布直方图，请根据图中信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽取了▲ 名学生；将频数分布直方图补充完整；（2）被调查的学生中上微博时间中位数落在▲ 这一小组内；（3）样本中，平均每天上微博的时间为0.5小时这一组的频率是▲ ；（4）请估计该校上微博的学生中，大约有▲ 名学生平均每天上微博的时间不少于1小时.人数23．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=DC，点E在对角线BD上，作D A ∠ECF=90°，连接DF，且满足CF=EC．（1）求证：BD⊥DF．（2）当BC?DE?DB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由．BC （第23题图）2 19 20 0.5小时2小时1小时1.5小时 15% 10 6 4 （第22题图）0.5 1 1.5 2 时间（小时）E F- 4 -24．（本题满分12分）已知直线y?3x?3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y?ax2?2x?c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y?3x?3交于点E，若tan?DPE?求四边形BDEP的面积．- 5 -（第24题图）y 1 O 1 x 3， 7感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年上海中考各区二模数学试题及答案汇总2021年上海各区县中考二模试题及答案2021学年虹口区调研测试九年级数学 2021.04（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．计算(a2)3的结果是（）A．a； B．a； C．a； D．a．56892．下列代数式中，x?1的一个有理化因式是（）A．x?1； B．x?1； C．x?1； D．x?1．2x10的解集是（） 3．不等式组??x?1?0 A．x??111； B．x?1；C．??x?1； D．??x?1．22 2 ） 4．下列事件中，是确定事件的是（A．上海明天会下雨； B．将要过马路时恰好遇到红灯；C．有人把石头孵成了小鸭； D．冬天，盆里的水结成了冰．） 5．下列多边形中，中心角等于内角的是（ A．正三角形； B．正四边形； C．正六边形； D．正八边形．6．下列命题中，真命题是（）A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等； B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等； C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．初三数学基础考试卷―1―2021年上海各区县中考二模试题及答案二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）据报道，截止2021年3月某市网名规模达5180000人.请将数据5180000用科学记数7．法表示为 .8．分解因式：2x2?8x? .9．如果关于x的方程x2?3x?a?0有两个相等的实数根，那么a? .10．方程2?x?x的根是 . 11．函数y?x?1的定义域是 . 12．在反比例函数y?2k?3的图像所在的每个象限中，如果函数值y随自变量x的值的x增大而增大，那么常数k的取值范围是 .13．为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”.由此，估计该校全体学生中约有名学生“步行上学”.14．在Rt?ABC中，?C?90?，点G是Rt?ABC的重心，如果CG?6，那么斜边AB的长等于 .15．如图，在?ABC中，点E、F分别在边AC、BC上，EF∥AB，CE?若AC?a，BC?b，则EF? .（第15题图）（第16题图）1AE，2（第18题图）16．如图，A、B的半径分别为1cm、2cm，圆心距AB为5cm.将A由图示位置沿直线AB向右平移，当该圆与B内切时，A平移的距离是 .17．定义?a,b,c?为函数y?ax2?bx?c的“特征数”.如：函数y?x2?3x?2“特征数”是?1,3,?2?，函数y??x?4“特征数”是?0,?1,4?.如果将“特征数”是?2,0,4?的函数初三数学基础考试卷―2―2021年上海各区县中考二模试题及答案图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是 .18．在Rt?ABC中，?C?90?，AC?BC?2（如图），若将?ABC绕点A顺时针方向旋转60?到?AB'C'的位置，联结C'B，则C'B的长为 . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）x2x?11?)? 先化简，再求值：(2，其中x?3?3． x?9x?3x?320．（本题满分10分）22??x?6xy?9y?1①解方程组：?．②??x?y?3?021．（本题满分10分）如图，等腰?ABC内接于半径为5的求BC的长.1O，AB?AC，tan?ABC?．322．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题5分）初三数学基础考试卷―3―（第21题图）2021年上海各区县中考二模试题及答案某商店试销一种成本为10元的文具．经试销发现，每天销售件数y（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖40件.（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定位多少元？（不考虑其他因素）23．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交边BC于点F，联结BE．（1）求证：AB?AD?BF?ED；（2）若CD?CA，且?DAE?90?，求证：四边形ABEC是菱形.（第23题图）24．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题3分）B(3,0)、C(2,3)如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?c过点A(?1,0)、三点，且与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；初三数学基础考试卷―4―22021年上海各区县中考二模试题及答案（2）分别联结AD、DC、CB，直线y?4x?m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值．（3）设点F为抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．（第24题图）25．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）如图，在Rt?ABC中，?ACB?90?，AB?13，CD∥AB.点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE，交边BC于点F，?BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE?3时，求S?CEF:S?CAF的值；（2）设CE?x，AE?y，当CG?2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC?5时，联结EG，若?AEG为直角三角形，求BG的长．（第25题图）初三数学基础考试卷―5―感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）.1．下列各数中无理数是（）A．B．C．D．2．下列说法中，不一定成立的是（）A．如果a＞b，那么a+c＞b+c B．如果a+c＞b+c，那么a＞bC．如果a＞b，那么ac2＞bc2D．如果ac2＞bc2，那么a＞b3．下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+1＝0B．＝﹣1C．＝﹣x D．＝4．已知A（x1，y1）和点B（x2，y2）是双曲线y＝上的两个点，如果x1＜x2，那么y1和y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法判断5．为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，样本是（）A．400名学生B．被抽取的50名学生C．400名学生的体重D．被抽取的50名学生的体重6．下列命题中，真命题是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：a3•a﹣1＝．8．分解因式：x2﹣4x＝．9．已知函数f（x）＝，那么自变量x的取值范围是．10．不等式组的解集是．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值为．12．一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为．13．在一个布袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色相同的概率是．14．已知G是△ABC的重心，设，，那么＝（用、表示）．15．如果一个正六边形的边心距为厘米，那么它的半径长为厘米．16．如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝．17．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2，过点E的面积等分线与菱形的另一条边交于点F，那么线段EF的长为．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是边BC的中点，点E 是边AB上一点，将△BDE沿直线DE翻折，点B落在B'处，联结AB'，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为．三.解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：﹣﹣（）﹣1÷+（1﹣）2．20．解方程：．21．如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（a，3），点B为x轴正半轴上一点，过点B作BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a、k的值；（2）联结AC，如果BD＝6，求△ACD的面积．22．如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板长CD＝6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动．（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，再将线段BC 绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）23．已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD∥OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．（1）求证：CE＝CD；（2）如果＝3，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD 是菱形．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．25．如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝，点P是射线AB上一点，联结PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各数中无理数是（）A．B．C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A、是无理数，故A正确；B、是有理数，故B错误；C、＝2是有理数，故C错误；D、＝3是有理数，故D错误；故选：A．2．下列说法中，不一定成立的是（）A．如果a＞b，那么a+c＞b+c B．如果a+c＞b+c，那么a＞bC．如果a＞b，那么ac2＞bc2D．如果ac2＞bc2，那么a＞b【分析】根据不等式的性质1，不等式的两边同时加上或减去一个数或整式，不等号的方向不变，可以排除A，B，根据不等式的性质3，不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变即可排除D，即可得到答案．解：根据不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者整式，不等号的方向不变．可知A不符合题意；根据不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者整式，不等号的方向不变．可知B不符合题意；若c＝0则不等式不成立，C符合题意；根据不等式的性质，不等式两边同时乘以或除以一个正数不等号的方向不变，可知D不符合题意．故选：C．3．下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+1＝0B．＝﹣1C．＝﹣x D．＝【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．解：A、x4≥0，x4+1＞0，方程x4+1＝0没有实数解；B、≥0，故无实数解；C、两边平方得x+2＝x2，解得x1＝﹣1，x2＝2，经检验，原方程的解为x＝﹣1；D、去分母得x＝1，经检验原方程没有实数解，故选：C．4．已知A（x1，y1）和点B（x2，y2）是双曲线y＝上的两个点，如果x1＜x2，那么y1和y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法判断【分析】由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）不一定在同一象限，所以无法判断出y1、y2的大小．解：∵k＝2＞0，∴双曲线在一、三象限．①当x1＜x2＜0时，y1＞y2；②当0＜x1＜x2时，y1＞y2；③当x1＜0＜x2时，y1＜y2；故选：D．5．为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，样本是（）A．400名学生B．被抽取的50名学生C．400名学生的体重D．被抽取的50名学生的体重【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义判断即可．解：为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，样本是被抽取的50名学生的体重．故选：D．6．下列命题中，真命题是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：a3•a﹣1＝a2．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．解：原式＝a3+（﹣1）＝a2．故答案为：a2．8．分解因式：x2﹣4x＝x（x﹣4）．【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．9．已知函数f（x）＝，那么自变量x的取值范围是．【分析】根据分式有意义的条件进行计算即可．解：∵2x+3≠0，∴；故答案为．10．不等式组的解集是x＜1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式3x﹣15≤0，得：x≤5，解不等式＞1，得：x＜1，则不等式组的解集为x＜1，故答案为：x＜1．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值为10．【分析】根据一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根得到△＝36﹣4（m﹣1）＝0，求出m的值即可．解：∵一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数，∴△＝36﹣4（m﹣1）＝0，∴m＝10，故答案为10．12．一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为．【分析】先由平均数的公式求得平均数的值，再根据方差的公式计算方差，最后计算标准差．解：由题意知：＝＝8，方差S2＝[（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝2∴标准差是方差的平方根为．故答案为：．13．在一个布袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色相同的概率是．【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色相同的结果有4个，再由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色相同的结果有4个，∴摸到的两个球颜色相同的概率为＝，故答案为：．14．已知G是△ABC的重心，设，，那么＝（用、表示）．【分析】首先根据题意作出图形，然后根据图，即可求得的值，又由G是△ABC的重心，即可求得的值，继而求得的值．解：如图，∵，，∴＝﹣＝﹣，∵D是BC的中点，∴＝＝（﹣），∴＝+＝+（﹣）＝（+），∵G是△ABC的重心，∴＝＝×（+）＝（+）．故答案为：（+）．15．如果一个正六边形的边心距为厘米，那么它的半径长为2厘米．【分析】根据题意画出图形，先求出∠AOB的度数，再根据三角函数求出OA的长即可．解：如图所示，∵图中是正六边形，∴∠AOB＝＝60°．∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形．∵OD⊥AB，OD＝，∴OA＝＝2；故答案为：2．16．如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝3．【分析】如图，取格点E、F，连接AE、AF，通过计算得到等腰三角形△ABE，利用等腰三角形的三线合一得出AF⊥BE，用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，推出∠AOC＝∠ABF．在Rt△ABF中，依据正切值的意义可求解．解：如图，取格点E、F，连接AE、AF，设网格中的小正方形的边长为1，则AB＝，AE＝．∴AB＝AE．∵F是BE的中点，∴AF⊥BE．由题意：∠DCB＝∠CBE＝45°．∵∠AOC＝∠DCB+∠CBO＝45°+∠CBO，∠ABF＝∠CBO+∠CBF＝45°+∠CBO，∴∠AOC＝∠ABF．∴tan∠AOC＝tan∠ABF．∵BF＝，AF＝，∴tan∠ABF＝．∴∠AOC＝3．故答案为：3．17．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2，过点E的面积等分线与菱形的另一条边交于点F，那么线段EF的长为2．【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC ﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案为：2．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是边BC的中点，点E 是边AB上一点，将△BDE沿直线DE翻折，点B落在B'处，联结AB'，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为或2．【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和锐角三角函数可求解．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝AC＝2，∵点D是边BC的中点，∴BD＝CD＝，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴B'D＝BD＝，∴点B'在以点D为圆心，BD为半径的圆上，如图，当点B'与点C不重合时，过点E作EH⊥BC于H，连接AD，在Rt△ACD和Rt△AB'D中，，∴Rt△ACD≌Rt△AB'D（HL），∴∠DAC＝∠DAB'，∵∠BDB'+∠B'DC＝180°＝∠B'AC+∠B'DC，∴∠B'AC＝∠BDB'，∵折叠，∴∠BDE＝∠EDB'，∴∠BDE＝∠DAC，∴tan∠DAC＝tan∠BDE＝＝，∴设EH＝x，DH＝2x，∵∠B＝30°，∴BH＝EH＝3x，BE＝2x∵BH+DH＝BD＝，∴x＝，∴EH＝，BE＝，∴AE＝，当点B'与点C重合时，∠AB'D＝90°，∴DE是BC的垂直平分线，∴DE∥AC，∴，∴AE＝BE＝AB＝2，综上所述：AE＝或2．故答案为：或2．三.解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：﹣﹣（）﹣1÷+（1﹣）2．【分析】先根据负整数指数幂的意义、完全平方公式计算和除法运算化为乘法运算，再分母有理化，然后合并即可．解：原式＝2+﹣3×+1﹣2+2＝2+2+﹣+3﹣2＝5．20．解方程：．【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分）4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），整理得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，经检验：x2＝3是原方程的增根，（1分）所以，原方程的解为x＝1．（1分）21．如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（a，3），点B为x轴正半轴上一点，过点B作BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a、k的值；（2）联结AC，如果BD＝6，求△ACD的面积．【分析】（1）把点A（a，3）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝6，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．解：（1）把点A（a，3）代入反比例函数y＝（x＞0）得，3＝，解得a＝2，∴点A（2，3），代入y＝kx得，k＝；（2）当BD＝6＝y时，代入y＝x得，x＝4，∴OB＝4，当x＝4代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝6﹣＝，∴S△ACD＝××（4﹣2）＝．22．如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板长CD＝6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动．（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，再将线段BC 绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、CF，即可求出点D到直线AB的距离；（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．解：（1）如图2，过D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，垂足为N，过点D作DQ⊥CN交CB于点Q，垂足为F，在Rt△CNB中，∠ABC＝60°，BC＝8cm，∴CN＝CB•sin∠ABC＝8×≈6.92（cm），∵∠BCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝70°，∴∠DCF＝70°﹣30°＝40°，在Rt△DCF中，∠DCF＝40°，CD＝6cm，∴CF＝CD•cos40°≈6×0.77＝4.62（cm），∵∠DMN＝∠MNF＝∠NFD＝90°，∴四边形MNFD是矩形，∴DM＝FN＝CN﹣CF＝6.92﹣4.62＝2.3（cm），即点D到直线AB的距离为2.3cm；（2）把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，∠C′＝70°+20°＝90°，如图，∵BC＝8cm，CD＝6cm，∴tan∠B＝＝0.75，∵tan37°≈0.75，∴∠C′BD′＝37°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBC′＝60°﹣37°＝23°，答：线段BC旋转的角度为23°．23．已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD∥OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．（1）求证：CE＝CD；（2）如果＝3，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD 是菱形．【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，在△DAC和△EAC中，，∴△DAC≌△EAC（SAS），∴CE＝CD；（2）如图2，连接CA，∵＝3，∴∠AOD＝3∠COD，∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，∴5∠ADO＝180°，∴∠ADO＝36°，∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝72°，∴∠ADC＝108°，∵△DAC≌△EAC，∴∠ADC＝∠AEC＝108°，∴∠AOD＝∠AEC，∴OD∥CE，又∵OC∥AD，∴四边形OCFD是平行四边形，又∵OD＝OC，∴平行四边形OCFD是菱形．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．【分析】（1）求出A、B坐标代入y＝ax2+6x+c即可得答案；（2）求出C坐标，设P、Q坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；（3）CD与AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐标，再求CN解析式及D坐标即可得出答案．解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，∴A（5，0），B（0，﹣5），将A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，∴C（1，0），点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，设P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（（n，n﹣5），则BP的中点为（，），CQ的中点为（，），∵四边形BCPQ是平行四边形，∴线段BP的中点，即是CQ的中点，∴，解得或，∴Q（3，﹣2）；（3）设CD与AB交于N，如图：∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），∴CQ＝2，BQ＝3，∵∠QCD＝∠ABC，且∠CQN＝∠BQC，∴△CQN∽△BQC，∴，即＝，∴QN＝，设N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），∴＝，∴t＝或t＝，∵在∠QCB内作射线CD，∴t＝，N（，﹣），设CN解析式为y＝kx+b，将N（，﹣），C（1，0）代入得：，解得，∴CN解析式为y＝﹣5x+5，令x＝3得y＝﹣10，∴Q（3，﹣10），∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．25．如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝，点P是射线AB上一点，联结PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．【分析】（1）解直角三角形求出PA即可．（2）分两种情形：如图2﹣1中，当点O在射线AB的上方时，如图2﹣2中，当点O在射线AB的下方时，分别利用相似三角形的性质求解即可．（3）求出两圆内切时AP的值，条件⊙O与AC相切于时A时，AP的值，即可判断．解：（1）如图1中，∵点O在PA上，PQ是⊙O的切线，∴PQ⊥AP，∵cot∠PAQ＝＝，∴可以假设PA＝3k，PQ＝4k，则AQ＝5k＝15，∴k＝3，∴PA＝9，PQ＝12，∴⊙O的半径为．（2）如图2﹣1中，当点O在射线AB的上方时，过点Q作QK⊥AB于K，过点O作OH⊥AB于H．∵PQ是⊙O的切线，∴∠PHO＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°，∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∴△PHO∽△QKP，∴＝，设PA＝2m，则AH＝PH＝m，PK＝9﹣2m，∴＝，解得，m＝或﹣3，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AP＝3．如图2﹣2中，当点O在射线AB的下方时，同法可得AP＝．综上所述，满足条件的AP的值为3或．（3）如图3﹣1中，当⊙P与⊙O内切时，由△PHO∽△QKP，可得＝＝，∵OH⊥AP，∴AH＝PH，∴AP＝2PH，QK＝2PH，∴PA＝QK＝12，如图3﹣2中，当⊙O与AC相切于点A时，∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，OQ＝OQ，OA＝OP，∴Rt△OAQ≌Rt△OPQ（HL），∴AQ＝PQ，∵OA＝OP，∴OQ垂直平分线段AP，∴AP＝2AH＝18，观察图像可知：当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12．当⊙O与⊙P内切时，AP＝12．当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18．。

上海16区二模汇编专题11二次函数解答题24题1.（2021崇明二模）2.（2021静安二模）3.（2021宝山二模）4.（2021金山二模）5.（2021普陀二模）6.（2021闵行二模）7.（2021虹口二模）8.（2021长宁二模）9.（2021杨浦二模）10.（2021松江二模）11.（2021嘉定二模）12.（2021奉贤二模）13.（2021青浦二模）14（2021黄埔二模）15（2021浦东新区二模）16.（2021松江二模）【2021年崇明二模】24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；＝4S△AOC时，求点D的坐标；（2）当S△BCD（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，根据﹣4a＝﹣4，可得a＝1，由此即可解决问题．＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，构建（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．根据S△BCD方程求出m即可解决问题．（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF＝AE＝1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴．（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，∵S△BCD∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4整理得：m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，∴D（2，﹣6）．（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，∵DF∥AE，D（2，﹣6）∴F（1，﹣6），∴DF＝1，∴AE＝1，∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，∵点D与点F到x轴的距离相等，∴点F的纵坐标为6，当y＝6时，6＝x2﹣3x﹣4，解得x＝﹣2或5，∴F （﹣2，6）或（5，6），设E （n ，0），则有＝或＝，解得n ＝1或8，∴E （1，0）或（8，0），，综上所述，满足条件的点E 的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．【2021年静安区】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（5，0）（如图），经过点A 的抛物线25y x bx =++与y 轴相交于点B ，顶点为点C ．（1）求此抛物线表达式与顶点C 的坐标；（2）求∠ABC 的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D ，且△DCA 与△ABC 相似，求平移后的新抛物线的表达式．24．解：（1）∵抛物线25y x bx =++经过点A （5，0），∴025+55b =+．············（1分）∴=6b -．··············································································（1分）∴抛物线表达式为265y x x =-+，顶点C 的坐标为（34-，）．·········（2分）（2）设抛物线的对称轴与x 轴、AB 分别相交于点E 、F ，点E （3，0）．∵点B （0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB =45°，（第24题图）AOxy∴EF=AE=2，CF=6．·····································································（1分）∴11116362152222ABC ACF BCF S =S +S =OE+CF AE ∆∆∆=⨯⨯+⨯⨯= ．·（2分）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵=111522ABC S =BC AH=AH=∆⨯ ．·（1分）∴．∴sin5AH ABC=AB ∠=．·····························（1分）（3）∵55AE AHAC AB===，∴Rt △AEC ∽Rt △AHB ，∴∠ACE =∠ABC ．∵△DCA 与△ABC 相似，∴CD BA CA BC =或CD BCCA BA=．·························（1分）．∴CD =103或CD =6．·························（1分）∵抛物线和y 轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，∴平移后的抛物线的表达式为22563y x x =-+或2611y x x =-+．······（1分）2021年宝山24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）经过点A （﹣2，0），B （1，0）和点D （﹣3，n ），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求△ODE 的面积；（3）如果点P 在y 轴上，△PCD 与△ABC 相似，求点P 的坐标．【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC＝∠OCD＝45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），＝9﹣﹣＝；∴S△ODE（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），第24题图②如图3，当∠BAC ＝∠DPC 时，△PCD ∽△ABC ，∴，∴，∴PC ＝9，∴P （0，8）．∴点P 的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD 与△ABC 相似．2021年金山21.（本题满分12分，每小题满分4分）已知直线b kx y +=经过点()0,2-A ，()3,1B 两点，抛物线b ax ax y +-=42与已知直线交于C 、D 两点（点C 在点D 的右侧），顶点为P .（1）求直线b kx y +=的表达式.（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a 的取值范围.（3）若直线DP 与直线AB 所成的夹角等于 15，且点P 在直线AB 的上方，求抛物线b ax ax y +-=42的表达式.A MD BP ECO 24.解：（1）∵直线b kx y +=经过点()0,2-A ，()3,1B ；所以：⎩⎨⎧=+=+-302b k b k ，……………（2分）解得：⎩⎨⎧==21b k ；……………（1分）∴直线b kx y +=的表达式为2+=x y .……………（1分）（2）∵2=b ，∴抛物线的表达式为()a x a ax ax y 4222422-+-=+-=；……（1分）∴顶点P 的坐标是()a 42,2-；……………（1分）∵抛物线的顶点不在第一象限，且顶点P 在直线2=x 上；……………（1分）∴顶点P 在x 轴上或者第四象限，∴042≤-a ，即21≥a .……………（1分）（2）∵顶点P 在直线AB 的上方，抛物线242+-=ax ax y 与直线AB 交于C 、D 两点；∴抛物线开口向下；∵抛物线242+-=ax ax y 与直线2+=x y 都经过点()20，，且点C 在点D 的右侧；∴点D 的坐标是()20，；………………（1分）∵2==OD OA ，90=∠AOD ，∴45=∠=∠ODA OAD ；设直线DP 与x 轴交于点M ，∵直线DP 与直线AB 所成的夹角等于15，且点P 在直线AB 的上方；∴15=∠ADM ，60=∠+∠=∠ADM P AO PMO ；在MOD Rt ∆中，OD OMDMO =∠cot ，即332=OM ，∴332=OM ；…………（1分）设对称轴直线2=x 与x 轴交于点E ，可知x PE ⊥轴，90=∠=∠DOM PEO ；∴y PE //轴，PE OD ME OM =即PE 23322332=+，解得232+=PE ；∴23242+=-a ，可得23-=a .………………（1分）∴抛物线b ax ax y +-=42的表达式是232232++-=x x y .………………（1分）2021年普陀区24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （6，0），与y 轴交于点C ，点D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD 与直线BC 交于点E ．（1）求b 、c 的值和直线BC 的表达式；（2）设∠CAD ＝45°，求点E 的坐标；（3）设点D 的横坐标为d ，用含d 的代数式表示△ACE 与△DCE的面积比．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；（3）由相似三角形的性质可得＝，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），∴OB＝OC＝6，OA＝2，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝＝＝2，∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴＝，∴CE＝，∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，∴EH＝HC＝，∴OH＝，∴点E（，﹣）；（3）∵点D的横坐标为d，∴点D（d，d2﹣2d﹣6），（0＜d＜6），如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴△ABE∽△DFE，∴，∵＝，∴＝．∵点F在直线BC上，∴点F（d2﹣2d，d2﹣2d﹣6），∴DF＝3d﹣d2，∴＝＝．2021年闵行区24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，3），∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣6；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（5，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，3），把点E（3，2）和点A（8，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D4坐标为（0，2），连接D5A，∴cot∠D1AO＝＝，综上所述，此时∠DAO的余切值为或．【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．2021年虹口区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线H ：k y x =交于点P (2，92)，直线x m =分别与直线l 和双曲线H 交于点E 、D ．（1）求k 和b 的值；（2）当点E 在线段AB 上时，如果ED=BO ，求m 的值；（3）点C 是y 轴上一点，如果四边形BCDE 是菱形，求点C 的坐标．【答案】24．解：（1）由题意：把点P (2，92)代入k y x=中，得9k =．………（2分）把点P (2，92)代入34y x b =+中，得3b =．………………………（2分）（2）由题意：E 3(3)4m m +，，D 9()m m ，．则39(3)4ED m m =+-．…（1分）P图8∵ED=BO ，且BO=3，∴39(3)34m m+-=．…………………………………………（1分）解得12m m -==．…………………………………………（1分）∵点E 在线段AB 上，∴m <0．∴m 的值为-1分）（3）易得BE =．………………………（1分）①当m <0，点E 在点D 上方时，54BE m -．∵DE BE =，∴395(3)44m m m +--=．解得12332m m -=，=（舍）．∴154BC DE ==，C 3(0)4-，．………………………………………（1分）②当m <0，点D 在点E 上方时，935(3)44m m m -+-=，方程无实根．③当m >0，点E 在点D 上方时，395(3)44m m m +-=，方程无实根．④当m >0，点D 在点E 上方时，935(3)44m m m -+=．解得12332m m -=（舍），=．∴158BC DE ==，C 39(0)8，．……………………………………（1分）∴综上所述C 3(0)4-，或C 39(0)8，.……………………………………（1分）【2021年长宁二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣163x +c 经过点A （1，0）、B （3，0），且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m （m ＞0）个单位长度，联结AC 、BC ，当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，求m 的值；（3）如果点P 是抛物线上一动点，且在点B 的右侧，联结PC ，直线PA 交y 轴于点E ，当∠PCE ＝∠PEC时，求点P的坐标．【答案】（1）2416433y x x =-+；（2）m ＝4；（3）75,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C （0，4），即可求解；（3）求出直线PA 的表达式，得到点E 的坐标为（0，−43t ＋4），由∠PCE ＝∠PEC ，则点P 在CE 的中垂线上，进而求解．【详解】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：16039160a c a c ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得434a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩故抛物线的表达式为2416433y x x =-+；（2）令x =0，y =4∴C （0，4）当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C （0，4）由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝2，则平移后抛物线再过点C 时，m ＝4；（3）设点P 的坐标为（t ，2416433t t -+)，设直线PA 的表达式为y ＝kx +b ，代入A 、P 坐标得25164340t t kt b k b ⎧-+=+⎪⎨⎪=+⎩，解得443443k t b t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴直线PA 的表达式为y ＝（443t -）x 443t -+，令x =0，y =443t -+故点E 的坐标为（0，﹣43t +4），而点C （0，4），∵∠PCE ＝∠PEC ，则点P 在CE 的中垂线上，由中点公式得：y P ＝12（y C +y E ），即2416433t t -+＝12（43t +4），解得t ＝1（舍去）或72，故点P 的坐标为75,23⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．【2021年杨浦二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y ＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ 是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD ＝∠ABC，求线段DQ的长．【答案】（1）y ＝﹣x 2+6x ﹣5；（2）Q （3，﹣2）；（3）8【解析】【分析】（1）求出A 、B 坐标代入y ＝ax 2+6x +c 即可得答案；（2）求出C 坐标，设P 、Q 坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；（3）CD 与AB 交于N ，由∠QCD ＝∠ABC 可得△CQN ∽△BQC ，求出QN 及N 坐标，再求CN 解析式及D 坐标即可得出答案．【详解】解：（1）在y ＝x ﹣5中令x ＝0，得y ＝﹣5，令y ＝0得x ＝5，∴A （5，0），B （0，﹣5），将A （5，0），B （0，﹣5）代入y ＝ax 2+6x +c 得：025305a c c =++⎧⎨-=⎩，解得15a c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+6x ﹣5；（2）在y ＝﹣x 2+6x ﹣5中令y ＝0得x 1＝1，x 2＝5，∴C （1，0），点P 是抛物线上一点，点Q 是直线AB 上一点，设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），Q （n ，n ﹣5），则BP 的中点为（02m +，25652m m --+-），CQ 的中点为（12n +，052n +-），∵四边形BCPQ 是平行四边形，∴线段BP 的中点即是CQ 的中点，∴20156505m n m m n +=+⎧⎨--+-=+-⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩或43m n =⎧⎨=⎩，∴Q （3，﹣2）；（3）设CD 与AB 交于N ，如图：∵B （0，﹣5），C （1，0），Q （3，﹣2），∴CQ ＝2，BQ ＝，∵∠QCD ＝∠ABC ，∠CQN ＝∠BQC ，∴△CQN ∽△BQC ，∴CQ QNBQ CQ =∴QN ＝423，设N （t ，t ﹣5），而Q （3，﹣2），＝3，∴t ＝133或t ＝53，∵在∠QCB 内作射线CD ，∴t ＝53，N （53，﹣103），设CN 解析式为y ＝kx +b ，将N （53，﹣103），C （1，0）代入得：105330k b k b⎧-=+⎪⎨⎪=+⎩，解得55k b =-⎧⎨=⎩，∴CN 解析式为y ＝﹣5x +5，令x ＝3得y ＝﹣10，∴Q （3，﹣10），∴DQ ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．【点睛】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN 的长度．【2021年松江二模】24.在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5a 经过点A ．将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC 的内部，求a的取值范围．【答案】（1）C （5，3）；（2）x =2；（3）﹣13＜a ＜﹣215．【解析】【分析】（1）由y=3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y=ax2+bx-5a可得b=-4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x=2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【详解】解：（1）在y=3x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=-1，∴A（-1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（-1，0），抛物线y=ax2+bx-5a经过点A，∴0=a-b-5a，即b=-4a，∴抛物线y=ax2+bx-5a对称轴为4222b axa a-=-=-=；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴35 k=，∴OC解析式为y＝35x，令x＝2得65y=，即6(2,)5E，由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y=ax2-4ax-5a，∴顶点坐标为（2，-9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴693 5a<-<，∴﹣13＜a＜﹣215．【点睛】本题考查点的平移、二次函数综合．（1）中会求一次函数与坐标轴交点是解题关键；（2）中掌握对称轴公式是解题关键；（3）掌握顶点公式是解题关键．【2021年嘉定二模】24.在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．【答案】（1）P (1,1)-（2）0<a <5（3）19＜14a ≤【解析】【分析】(1)把抛物线代入顶点式为()22=21=(1)1f x ax ax a a x +--﹣﹣，即可求顶点坐标；(2)抛物线与y 轴的交点，横坐标为O ，即A 坐标为(0,1)a -，根据已知条件14a -＜，即可求a 的取值范围为0<a <5；(3)根据已知(1)f -、(0)f 、(3)f 、(4)f 有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为1x =开口向上，可以得出(4)f ＞(3)f =(1)f -＞(0)f ，根据(4)f >0，(3)0f ≤，可以求出a 的范围．即可以写出符合条件的函数解【详解】解：(1)∵抛物线的方程为()22=21=(1)1f x ax ax a a x +--﹣﹣∴抛物线的顶点P 坐标为(1,1)-；(2)∵A 为抛物线与y 轴的交点，∴A 点坐标为(0,1)a -，由线段OA 上的整点个数小于4，则可知a -1<4,a <5，抛物线的开口向上，故a 的取值范围为0<a <5；(3)已知(1)f -、(0)f 、(3)f 、(4)f 有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为1x =，开口方向向上，故有(4)f ＞(3)f =(1)f -＞(0)f ，∴(4)f >0，∴得16810a a a -+-＞，∴19＞a ，∴19＞a ，∴(3)0f ≤；∴9610a a a -+-≤，得14a ≤，取16a =；∴2115()636f x x x =--∴a 的取值范围为19＜14a ≤．【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题关键熟练掌握二次函数由一般式转为顶点式，抛物线的性质解不等式等．【2021年奉贤二模】24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣32），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m 的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．【答案】（1）y＝12x2﹣2x；（2）4；（3）F坐标为（4，52）或（4，﹣1.5）．【解析】【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【详解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A （4，0），∴将A （4，0），C （1，﹣32）代入y ＝ax 2＋bx 得：016432a b a b =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的表达式为y ＝12x 2﹣2x ；（2）设直线AB 的解析式是y ＝mx ＋n ，将A （4，0），B （0，2）代入得：042m n n =+⎧⎨=⎩，解得122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式是y ＝﹣12x ＋2，∵抛物线y ＝12x 2﹣2x 向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C 也向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，而C （1，﹣32），∴C ′（1＋m ，﹣12），∵C ′（1＋m ，﹣12）在直线AB 上，∴﹣12＝﹣12（1＋m ）＋2，∴m ＝4；（3）∵y ＝12x 2﹣2x 对称轴为x ＝2，B （0，2），点B 关于原抛物线对称轴的对称点为B ′，∴B ′（4，2），∵A （4，0），∴直线AB ′为x ＝4，点F 在直线AB ′上，∠ACF ＝∠BAO ，分两种情况：①F 在A 上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH//x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝1 2，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝12，即12AGCG=，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴12 AH GH AGMG MC CG===，∴MC＝GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（2.8，0.9），又C(1, 1.5)-，∴直线GC解析式为：y＝43x﹣176，令x＝4得y＝5 2∴F（4，5 2），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF//x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝12x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF//x轴，∴F(4, 1.5)综上所述，∠ACF ＝∠DAO ，F 坐标为或5(4,)2或(4, 1.5)-．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【2021年青浦二模】24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x ＝1，顶点是点D ．（1）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）点P 为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC 为梯形时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点E 为x 轴正半轴上的一点，当tan （∠PBO +∠PEO）＝时，求OE的长．24．解：（1）∵抛物线经过点A （－1，0），对称轴是直线x ＝1，∴3=01.2a b b a-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，……（2分），解得=12.a b -⎧⎨=⎩，···································（1分）∴抛物线的解析式为223y x x =-++．把x ＝1代入抛物线的解析式，得y ＝4．∴D （1，4）．·····················（1分）（2）∵点P 为抛物线第三象限上的点，且四边形PBDC 为梯形，∴CD ∥BP ．·········································································（1分）延长DC 交x 轴负半轴于点F ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为点G ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ．∵C （0，3），D （1，4），∴GD ＝CG ＝1．∴∠GDC ＝45°．∵GD ∥BF ，∴∠DFB ＝∠GDC ＝45°．∵CD ∥BP ，∴∠PBF ＝∠DFB ＝45°．···············································（1分）∴∠PBF ＝∠HPB ，∴PH ＝BH ．设点P 的坐标为223（，）-++x x x ．由题意可知B （3，0）．得2323x x x -=--++（）．·······················································（1分）解得2x =-，或3x =．（舍）∴P （－2，－5）········································································（1分）（3）∵P （－2，－5），∴在Rt △PHO 中，5tan 2PH POH OH ∠==．·········································（1分）∵5tan 2（）∠+∠=PBO PEO ，∴PBO PEO POH ∠+∠=∠．由（2）可知，45PBO ∠= ，因此45PEO ∠< ，所以点E 在点B 的右侧．又∵PBO BPO POH ∠+∠=∠，∴PEO BPO ∠=∠．·····························（1分）∵POB POB ∠=∠，∴△OPB ∽△OEP ．···········································（1分）∴OB OPOP OE =29=OE ，∴293OE =．······································（1分）25．解：（1）联结OC ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＜90°．∴∠CBD 为钝角．∵△BCD 为等腰三角形，∴∠D ＝∠BCD ．········································（1分）∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠D +∠BCD ＝2∠D ．··········································（1分）∴∠OCA ＝180°－∠OCD ＝180°－3∠D ．∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝180°－3∠D ．··································（1分）在△OAD 中，∵∠OAC ＋∠D ＋∠AOB ＝180°，∴∠D ＝（21m ）°．·······（1分）（2）联结OC ，过点C 作CF ⊥OD ，垂足为点F ．∵点C 是»AB 的中点，∴»AC ＝»BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ．··················（1分）∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝45°．·····················································（1分）在Rt △COF 中，OC ＝2，∴CF ．···············································（1分）∵CF ⊥OD ，AO ⊥OD ，∴AO ∥CF ．∴22==AO CF AD CD ．····················（1分）∴222=-AD AC ．…（1分）∴2+2==ACAD S S ABC ABD △△．··················（1分）（3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E ，O'O ，O'O 交直线AD 于点H ．∵新圆弧由»AC 折叠而得，且与直线OB 相切于点E ，∴O'E ＝2，O'E ⊥OD ．当点E 在线段OB 上时，在Rt △O'OE 中，OE ＝1，O'E ＝2，则O'O ＝5．∵点O'与点O 关于直线AC 对称，∴直线AC 垂直平分线段O'O ．∴OH ＝25．∴在Rt △AOH 中，AH ＝211．····································（1分）在Rt △DOH 中，tan ∠O'OE ＝2＝OHDH ，∴DH ＝5．∴AD ＝DH ＋AH ＝··························································（1分）当点E 在线段BO的延长线上时，同理可得，AH ＝211，DH ＝5．∴AD ＝DH －AH ＝．··························································（2分）【2021年黄浦区二模】24．（12分）如果抛物线C 1：y ＝ax 2+bx +c 与抛物线C 2：y ＝﹣ax 2+dx +e 的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．5+22（1）求抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y＝x2﹣4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c 与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．【分析】（1）先求出抛物线C1的顶点坐标，进而得出抛物线C2的顶点坐标，即可得出结论；（2）设正方形AMBN的对角线长为2k，得出B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），再用点M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，建立方程求出k的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C，C2的顶点相同，得出b，d的关系式，再由两抛物线的顶点在x轴，求出c，e 的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，即y＝﹣x2+4x﹣1；（2）如图，由（1）知，A（2，3），设正方形AMBN的对角线长为2k，则点B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），∵M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，∴3+k＝（2+k﹣2）2+3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面积为；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣，），抛物线C2：y＝﹣ax2+dx+e的顶点为（，），∵抛物线C2是C1的“对顶”抛物线，∴﹣＝，∴b＝﹣d，∵抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，∴＝，∴c＝﹣e，即b＝﹣d，c＝﹣e．【2021年浦东新区二模】24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x ﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．【2021年徐汇区二模】24.如图，已知抛物线y＝12x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣43x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且▱CEDF 是菱形，求m 的值．【答案】（1）21322y x =+；（2）390,10F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）0【解析】【分析】（1）在Rt △ADC 中，设OC =x ，由勾股定理得：（4﹣x ）2＝x 2+4，解得x ＝32，即可求解；（2）求出点D 的坐标为（65，125），如果▱CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则DE ∥y 轴，且DE ＝CF ，进而求解；（3）求出点D 的坐标为（481225m -，361625m +），由DE ＝CE ，即可求解．【详解】解：（1）对于y ＝﹣43x +4①，令y ＝﹣43x +4＝0，解得x ＝3，令x ＝0，则y ＝4，故点A 、B 的坐标分别为（0，4）、（3，0），由点A 、B 的坐标知，OA ＝4，OB ＝3，则AB ＝5，连接BC ，如下图，∵点C 在∠ABO 的平分线上，则OC ＝CD ，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝3 2，故点C的坐标为（0，3 2），则抛物线的表达式为y＝12x2+32；（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC，由AB得表达式知，tan∠ABO＝43＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝34，故直线CD的表达式为y＝34x+32②，联立①②并解得65125xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D的坐标为（65，125），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，故DE＝y D＝12 5，则y F＝y C+DE＝12339= 5210+，故点F的坐标为（0，39 10）；（3）∵点E是BO的中点，故点E（32，0），由（2）知，直线CD的表达式为y＝34x+m③，联立①③并解得，点D的坐标为（481225m-，361625m+），而点E、C的坐标分别为（32，0）、（0，m），∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，即（481225m-﹣32）2+（361625m+）2＝（32）2+m2，即9m2﹣36m＝0，解得m＝4（舍去）或0，故m＝0．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等．。

押上海卷第21-23题押题方向一：解直角三角形5年上海真题考点命题趋势2023年上海卷第21题解直角三角形从近5年上海中考命题来看，解直角三角形五年五考，难度中等。

预计2024年上海卷还将继续考查解直角三角形，为避免丢分，学生应扎实掌握。

2022年上海卷第22题解直角三角形2021年上海卷第21题解直角三角形2020年上海卷第21题解直角三角形2019年上海卷第22题解直角三角形1．（2023.上海）如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且4cos 5ABC ∠=，12OC OB =．（1）求O 的半径；（2）求BAC ∠的正切值．2.（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b 米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度．（用含a ，b ，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度．3.（2021•上海）如图，已知ABD ∆中，AC BD ⊥，8BC =，4CD =，4cos 5ABC ∠=，BF 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长；（2）求tan FBD ∠的值．4.（2020•上海）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =（1）求梯形ABCD 的面积；（2）连接BD，求DBC∠的正切值．5.（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60︒时，箱盖ADE落在AD E''的位置（如图2所示）．已知90EC=厘米．AD=厘米，30DE=厘米，40（1）求点D'到BC的距离；（2）求E、E'两点的距离．理解直角三角形的基本性质是解题的基础。

2021年上海市崇明区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）8-的立方根是( )A ．2B ．2-C ．4-D ．182．（4分）下列方程中，没有实数根的是( )A ．10x +=B ．210x -=C 10=D 0=3．（4分）一次函数21y x =--的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（4分）将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差5．（4分）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是( )A ．这两个图形都是轴对称图形B ．这两个图形都不是轴对称图形C ．这两个图形都是中心对称图形D ．这两个图形都不是中心对称图形6．（4分）已知同一平面内有O 和点A 与点B ，如果O 的半径为3cm ，线段5OA cm =，线段3OB cm =，那么直线AB 与O 的位置关系为( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：342a a ÷= ．8．（4分）化简：22x x x =- ． 9．（4分）不等式组24030x x ->⎧⎨-<⎩的解集是 ．10．（4分）如果1x =是关于x x =的一个实数根，那么k = ．11．（4分）如果一个反比例函数的图象经过点(2,3)，那么它在各自的象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐 ． 12．（4分）某件商品进价为100元，实际售价为110元，那么该件商品的利润率为 ．13．（4分）在一所有1500名学生的中学里，调查人员随机调查了50名学生，其中有40人每天都喝牛奶，那么在这所学校里，随便询问1人，每天都喝牛奶的概率是 ．14．（4分）正五边形的中心角的度数是 ．15．（4分）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为 厘米．16．（4分）在ABC ∆中，点G 为重心，点D 为边BC 的中点，设,AB a BC b ==，那么GD 用,a b 表示为 ．17．（4分）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点P 为射线BC 上的一个动点，过点P 的直线PQ 垂直于AP 与直线CD 相交于点Q ，当5BP =时，CQ = ．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 在x 轴上，且4OA =，如果抛物线2y ax bx c =++向下平移4个单位后恰好能同时经过O 、A 、B 三点，那么a b c ++= ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（1004|23323+-+．20．（10分）解方程组：222230x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②． 21．（10分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，5AB =，8BC =，3sin 5B =． （1）求边AC 的长；（2）求O 的半径长．22．（10分）为配合崇明“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元．（1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？（2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．黄老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种花木，并使总利润不少于18000元．若黄老伯培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，请问黄老伯应该培育甲、乙两种花木各多少株？23．（12分）已知：如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC =，点E 在下底BC 上，AED B ∠=∠．（1）求证：2CE AD DE ⋅=；（2）求证：22CE AB AD AE =．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过点A 和点B ，且其顶点为D ．（1）求抛物线的表达式；（2）求BAD∠的正切值；（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线3y x=-的交点，点P是直线3y x=-上的动点，如果PAC∆与AED∆是相似三角形，求点P的坐标．25．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF BD⊥，垂足为G．（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求DGGB的值；（2）如果15DGGB=，AF x=，AB y=，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）如果4AB cm=，以点A为圆心，3cm长为半径的A与以点B为圆心的B外切．以点F为圆心的F与A、B都内切．求DGGB的值．2021年上海市崇明区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）8-的立方根是( )A ．2B ．2-C ．4-D ．18【解答】解：3(2)8-=-，8∴-的立方根是2-．故选：B ．2．（4分）下列方程中，没有实数根的是( )A ．10x +=B ．210x -=C 10=D 0=【解答】解：方程10x +=的解是1x =-，故选项A 有实数根；方程210x -=的解是1x =±，故选项B 有实数根；10+=1=-，因为算术平方根不能为负，故选项C 没有实数根；0=的解为1x =-，故选项D 有实数根．故选：C ．3．（4分）一次函数21y x =--的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：对于一次函数21y x =--，20k =-<，∴图象经过第二、四象限；又10b =-<，∴一次函数的图象与y 轴的交点在x 轴下方，即函数图象还经过第三象限，∴一次函数21y x =--的图象不经过第一象限．故选：A ．4．（4分）将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【解答】解：将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比波动幅度一致，即两组数据的方差相等，故选：D ．5．（4分）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是( )A ．这两个图形都是轴对称图形B ．这两个图形都不是轴对称图形C ．这两个图形都是中心对称图形D ．这两个图形都不是中心对称图形【解答】解：A ．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A 不符合题意；B ．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B 符合题意；C ．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C 不符合题意；D ．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D 不符合题意； 故选：B ．6．（4分）已知同一平面内有O 和点A 与点B ，如果O 的半径为3cm ，线段5OA cm =，线段3OB cm =，那么直线AB 与O 的位置关系为( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切 【解答】解：O 的半径为3cm ，线段5OA cm =，线段3OB cm =，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径，∴点A 在O 外．点B 在O 上，∴直线AB 与O 的位置关系为相交或相切， 故选：D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：342a a ÷= 22a ．【解答】解：32422a a a ÷=．故答案为：22a ．8．（4分）化简：22x x x =- 12x - ．【解答】解：原式1(2)2x x x x ==--． 故答案为：12x -． 9．（4分）不等式组24030x x ->⎧⎨-<⎩的解集是 23x << ． 【解答】解：解不等式240x ->，得：2x >，解不等式30x -<，得：3x <，则不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10．（4分）如果1x =是关于x x =的一个实数根，那么k = 0 ．【解答】解：把1x =1=，两边平方，得11k +=，解得0k =．经检验，0k =符合题意．故答案为：0．11．（4分）如果一个反比例函数的图象经过点(2,3)，那么它在各自的象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐 减小 ．【解答】解：设反比例函数的解析式为(0)k y k x=≠， 反比例函数图象过点(2,3)，2360k ∴=⨯=>，∴反比例函数的图象在一、三象限，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y 随x 的增大而减小，故答案为：减小．12．（4分）某件商品进价为100元，实际售价为110元，那么该件商品的利润率为 10% ．【解答】解：根据题意得：(110100)100-÷10100=÷10%=，则该件商品的利润率为10%．故答案为：10%．13．（4分）在一所有1500名学生的中学里，调查人员随机调查了50名学生，其中有40人每天都喝牛奶，那么在这所学校里，随便询问1人，每天都喝牛奶的概率是 45 ． 【解答】解：在这所学校里，随便询问1人，每天都喝牛奶的概率是404505=， 故答案为：45． 14．（4分）正五边形的中心角的度数是 72︒ ．【解答】解：正五边形的中心角为：360725︒=︒． 故答案为：72︒． 15．（4分）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为 13 厘米．【解答】解：等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米， ∴两底的和5012226=-⨯=（厘米），∴这个梯形的中位线长为126132⨯=（厘米）， 故答案为：13．16．（4分）在ABC ∆中，点G 为重心，点D 为边BC 的中点，设,AB a BC b ==，那么GD 用,a b 表示为 1136a b + ． 【解答】解：如图，D 是BC 的中点，∴1122BD BC b ==， ∴12AD AB BD a b =+=+，G 是重心，13GD AD ∴=， ∴1136GD a b =+，故答案为：1136a b+．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当5BP=时，CQ=53．【解答】解：如图，5BP=，4BC=，1CP∴=，PQ AP⊥，90APQ ABC∴∠=︒=∠，90APB BAP APB BPQ ∴∠+∠=︒=∠+∠，BAP BPQ∴∠=∠，又90ABP PCQ∠=∠=︒，ABP PCQ∴∆∆∽，∴AB BP CP CQ=，∴351CQ =，53 CQ∴=，故答案为：53．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且4OA=，如果抛物线2y ax bx c=++向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a b c++=52．【解答】解：等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且4OA=，(4,0)A∴，(2,2)B-，抛物线2y ax bx c=++向下平移4个单位后得到24y ax bx c=++-，平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴40164404242ca b ca b c-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=-⎩，解得1224abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，152422a b c∴++=-+=，故答案为52．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（1004|23323+-+．【解答】解：原式223(23)1=+---223231=+--+-1=．20．（10分）解方程组：222230x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②． 【解答】解：由②，得(3)()0x y x y +-=，所以30x y +=③或0x y -=④．由①③、①④可组成新的方程组：230x y x y +=⎧⎨+=⎩，20x y x y +=⎧⎨-=⎩． 解这两个方程组，得31x y =⎧⎨=-⎩，11x y =⎧⎨=⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2211x y =⎧⎨=⎩． 21．（10分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，5AB =，8BC =，3sin 5B =． （1）求边AC 的长；（2）求O 的半径长．【解答】解：（1）如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，3sin 5AH B AB ==，5AB =， 3AH ∴=，222594BH AB AH ∴=-=-=，CH BC BH =-，4CH ∴=，221695AC AH CH ∴=+=+=；（2）如图2，连接OB ，OC ，AO ，AO 交BC 于点E ，5AB AC ==，OC OB =，AO ∴是BC 的垂直平分线，4BE EC ∴==，2225163AE AB BE ∴=-=-，222BO BE OE =+，2216(3)BO OB ∴=+-，256BO ∴=． 22．（10分）为配合崇明“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元．（1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？（2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．黄老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种花木，并使总利润不少于18000元．若黄老伯培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，请问黄老伯应该培育甲、乙两种花木各多少株？【解答】解：（1）设甲种花木每株的培育成本为x 元，乙种花木每株的培育成本为y 元，依题意得：500321200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：200300x y =⎧⎨=⎩． 答：甲种花木每株的培育成本为200元，乙种花木每株的培育成本为300元．（2）设黄老伯应该培育甲种花木m 株，则应该培育乙种花木(310)m -株，依题意得：200300(310)30000(300200)(500300)(310)18000m m m m +-⎧⎨-+--⎩， 解得：200307m ， 由m 为整数，29m ∴=或30，31077m ∴-=或80．答：黄老伯应该培育甲种花木29株、乙种花木77株或甲种花木30株、乙种花木80株．23．（12分）已知：如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC =，点E 在下底BC 上，AED B ∠=∠．（1）求证：2CE AD DE ⋅=；（2）求证：22CE AB AD AE =．【解答】证明：（1）梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC =， B C ∴∠=∠，AB DC =，ADE DEC ∠=∠，AED B ∠=∠，C AED ∴∠=∠，ADE DEC ∴∆∆∽， ∴AD DE DE EC =， 2CE AD DE ∴⋅=；（2）ADE DEC ∆∆∽，∴AD DE AE DE EC CD ==， ∴DE EC CD CD AD DE AE AE⋅=⋅， ∴22CE AB AD AE =． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过点A 和点B ，且其顶点为D ．（1）求抛物线的表达式；（2）求BAD ∠的正切值；（3）设点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点E 为抛物线的对称轴与直线3y x =-的交点，点P 是直线3y x =-上的动点，如果PAC ∆与AED ∆是相似三角形，求点P 的坐标．【解答】解：（1）在3y x =-中，0x =时，3y =-，0y =时，3x =，(3,0)A ∴，(0,3)B -，把(3,0)A ，(0,3)B -代入2y x bx c =++得：3930c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的表达式为223y x x =--；（2）2223(1)4y x x x =--=--，(1,4)D ∴-，又(3,0)A ，(0,3)B -，AD ∴=，BDAB222220AB BD +=+=，2220AD ==，222AB BD AD ∴+=，ABD ∴∆是直角三角形，且90ADB ∠=︒，1tan 3BD BAD AB ∴∠==； （3）3OA OB ==，90AOB ∠=︒，1245∴∠=∠=︒，又//DE OB ，3245∴∠=∠=︒，135AED ∴∠=︒，又PAC ∆与AED ∆相似，145∠=︒，∴点P 在x 轴上方， 且AC AP AE DE =或AC AP DE AE=， 在3y x =-中，1x =时，2y =-，在223y x x =--中，0y =时，11x =-，23x =，(1,2)E ∴-，(1,0)C -，3(1)4AC ∴=--=，(2)(4)2DE =---=，22(31)[0(2)]22AE -+--=， ∴222AP =或4222=， 解得：22AP =42AP =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，又4145∠=∠=︒，PAQ ∴∆是等腰直角三角形， 当22AP =2AQ =，此时(5,2)P ，当42AP =时，4AQ =，此时(7,4)P ，综上所述，P 点坐标为(5,2)或(7,4)．25．（14分）如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，点F 在边AD 上，EF BD ⊥，垂足为G ．（1）如图2，当矩形ABCD 为正方形时，求DG GB 的值； （2）如果15DG GB =，AF x =，AB y =，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； （3）如果4AB cm =，以点A 为圆心，3cm 长为半径的A 与以点B 为圆心的B 外切．以点F 为圆心的F 与A 、B 都内切．求DG GB的值．【解答】解：（1）如图，延长FE 交BC 的延长线于点M ，设正方形ABCD 的边长为k ，则AB BC CD AD k ====，E 为CD 中点，12DE CE k ∴==， 正方形ABCD 中，90ADC ∠=︒，12BDC ADC ∠=∠， 45BDC ∴∠=︒，EF BD ⊥，45DEF ∴∠=︒，45DFE ∴∠=︒， 12DF DE k ∴==，正方形ABCD 中，//AD BC ， ∴1DF DE CM EC==， ∴12CM DF k ==， //AD BC ，∴112132k DG DF GB BM k k ===+； （2）如图，延长FE 交BC 的延长线于M ，设DF a =，则CM a =，DG DF GB BM=，15DG GB =， 5BM a ∴=，4BC a =，3AF x a ∴==，13a x ∴=， 13DF x ∴=， AB y =，12DE y ∴=， 90ADC ∠=︒，EF BD ⊥，ADB DEF ∴∠=∠，tan tan ADB DEF ∴∠=∠，∴AB DF AD DE=，∴134132x x x y =， ∴2289y x =， 0x >，0y >，y ∴与x的函数关系式为3y =， 函数定义域为：0x >；（3）设F 的半径为rcm ，则根据题意得： B 的半径为1cm ，3AF r cm =-，1BF r cm =-，矩形ABCD 中，90A ∠=︒，222AF AB BF ∴+=，222(3)4(1)r r ∴-+=-，6r ∴=，即F 的半径为6cm ，3AF cm ∴=，tan tan ADB DEF ∠=∠， ∴432AD AD -=， 2380AD AD ∴--=，∴ADAD =（舍去），∴34182DG DF GB BM --===．。

2021年上海市普陀区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）.1．下列计算中，正确的是（）A．2a2+3a＝5a3B．2a2•3a＝5a3C．2a2÷3a＝a D．（2a2）3＝8a5 2．下列单项式中，可以与x2y3合并同类项的是（）A．x3y2B．C．3x2y D．2x2y3z3．方程＝x的根是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝24．已知两组数据：x1、x2、x3、x4、x5和x1+2、x2+2、x3+2、x4+2、x5+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是（）A．平均数相等B．中位数相等C．众数相等D．方差相等5．已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B'C'B．∠A＝∠A′C．∠C＝∠C′D．∠B＝∠B′＝90°6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将△ABC 绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′落在反比例函数y＝在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A′的坐标是（）A．（3，2）B ．（，4）C．（2，3）D．（4，）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．因式分解：a3﹣4a ＝．8．已知f（x）＝，则＝．9．不等式组的解集是．10．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是．11．如果关于x的方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．12．抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线．13．为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是吨．567.2每户节水量（单位：吨）节水户户622810数14．小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于．15．如图，两条平行线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝．16．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF ＝DE，设，那么向量用向量、表示是．17．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分19．计算：．20．解方程：＝1．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，一个正比例函数的图象与这直线交于点C，点C的横坐标是1．（1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线y＝﹣x+2于点D，设平移后函数图象的截距为b，如果交点D始终落在线段AB上，求b的取值范围．22．如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．（1）求钩AB的长度（精确到1cm）；（2）现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4）23．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD 是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．求证：（1）四边形ABCD为矩形；（2）BE•DQ＝FQ•PE．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD 与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．25．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cos C＝（如图）．M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．下列计算中，正确的是（）A．2a2+3a＝5a3B．2a2•3a＝5a3C．2a2÷3a＝a D．（2a2）3＝8a5解：A、2a2+3a，无法计算，故此选项错误；B、2a2•3a＝6a3，故此选项错误；C、2a2÷3a＝a，故此选项正确；D、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；故选：C．2．下列单项式中，可以与x2y3合并同类项的是（）A．x3y2B．C．3x2y D．2x2y3z解：A、x3y2与x2y3，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、与x2y3，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，能合并，故本选项符合题意；C、x2y与x2y3，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；D、2x2y3z与x2y3，所含字母不尽相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；故选：B．3．方程＝x的根是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝2解：将方程两边平方得：x+2＝x2．解这个一元二次方程得：x1＝2，x2＝﹣1．检验：把x1＝2，x2＝﹣1分别代入原方程，x＝2是原方程的根，x＝﹣1是原方程的增根．∴原方程的根为：x＝2．故选：D．4．已知两组数据：x1、x2、x3、x4、x5和x1+2、x2+2、x3+2、x4+2、x5+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是（）A．平均数相等B．中位数相等C．众数相等D．方差相等解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2，∴这两组数据的波动幅度不变，故选：D．5．已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B'C'B．∠A＝∠A′C．∠C＝∠C′D．∠B＝∠B′＝90°解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将△ABC 绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′落在反比例函数y＝在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A′的坐标是（）A．（3，2）B．（，4）C．（2，3）D．（4，）解：设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0），设直线A′B的解析式为y＝kx﹣4，把D（2，0）代入得0＝2k﹣4，解得k＝2，∴直线A′B的解析式为y＝2x﹣4，由解得或，∴点A′的坐标是（3，2），故选：A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．因式分解：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．8．已知f（x）＝，则＝+1．解：当x＝时，＝＝＝+1，故答案为：+1．9．不等式组的解集是﹣2＜x＜4．解：解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，解不等式x﹣3＜1，得：x＜4，则不等式组的解集为﹣2＜x＜4，故答案为：﹣2＜x＜4．10．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是k＜0．解：∵对于正比例函数y＝kx（k≠0），y随x的值增大而减小，∴k＜0．故答案为：k＜0．11．如果关于x的方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m 的值等于．解：∵方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4（m﹣1）＝0，解得m＝，故答案为：．12．抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是x＝﹣．即对称轴是x＝﹣．故答案为：x＝﹣．13．为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是 5.5吨．567.2每户节水量（单位：吨）622810节水户户数解：5月份这100户家庭节水量的平均数是＝5.5（吨），故答案为：5.5．14．小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于．解：∵已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，∴设第3根，竹签长为xcm，则第三根可以构成三角形的范围是：3＜x＜7，故只有4cm，符合题意，则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率是：．故答案为：．15．如图，两条平行线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝92°．解：∵正五边形ABCDE的一个内角是108°，∴∠3＝108°﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，∵l1∥l2，∠3＝88°，∴∠2＝180°﹣88°＝92°，故答案为：92°．16．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF ＝DE，设，那么向量用向量、表示是2﹣．解：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC．∵＝，∴＝．又∵EF＝DE，∴＝＝．∵＝，∴＝﹣．∵点E是AC的中点，∴＝2＝2（﹣）＝2（﹣）＝2﹣．故答案是：2﹣．17．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于3．解：∵⊙A的半径为2，⊙B的半径为6，⊙A与⊙B内切，∴AB＝6﹣2＝4，过点A作AD⊥BC于D，则BD＝BC＝3，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ABC的面积＝×6×＝3，故答案为：3．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC＝．解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，AB∥CD，∴∠1＝∠A′．在△ABE和△A′CE中，．∴△ABE≌△A′CE（AAS）．∴AB＝A′C＝4．∵E为边BC的中点，∴BE＝EC＝BC＝2．∴AE＝．∴sin∠1＝．∴sin∠A′＝．∵AE⊥MN，∴∠A′FN＝90°．∴∠A′+∠2＝90°．∴cos∠2＝sin∠A′＝．∵FN＝FC，FH⊥CN，∴NH＝CH＝CN．设NH＝x，则NC＝2x．∴A′N＝A′C+NC＝4+2x．在Rt△FHN中，cos∠2＝＝，∴FN＝x．在Rt△A′FN中，cos∠2＝，∴．∴x＝．∴FC＝FN＝x＝．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分19．计算：．解：原式＝﹣1+3﹣（2﹣）+3＝﹣1+﹣2++3＝5﹣3．20．解方程：＝1．解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣1）得：2x（x﹣1）﹣24＝（x+3）（x﹣1），整理得：2x2﹣2x﹣24＝x2+2x﹣3，则x2﹣4x﹣21＝0，（x﹣7）（x+3）＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣1）＝0，故x＝﹣3是方程的增根，当x＝7时，（x+3）（x﹣1）≠0，故x＝7是原方程的根．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，一个正比例函数的图象与这直线交于点C，点C的横坐标是1．（1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线y＝﹣x+2于点D，设平移后函数图象的截距为b，如果交点D始终落在线段AB上，求b的取值范围．解：（1）把x＝1代入y＝﹣x+2得，y＝，∴C（1，），设正比例函数解析式为y＝kx，把C的坐标代入得k＝，∴正比例函数的解析式为y＝x；（2）直线y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0），B（0，2），设平移后的直线解析式为y＝x+b，把A（4，0）代入得，×4+b＝0，解得b＝﹣6，∴符合题意的b的取值范围是﹣6≤b≤2．22．如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．（1）求钩AB的长度（精确到1cm）；（2）现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4）解：（1）如图2，过点A作AH⊥OF于H，∵sin O＝＝0.6，∴AH＝20×0.6＝12（cm），∴OH＝＝＝16（cm），∴BH＝16﹣7＝9（cm），∴AB＝＝＝15（cm）；（2）∵∠AOB＝45°，AH⊥OF，∴AH＝OH＝10（cm），∴BH＝＝＝5（cm），∴OB＝OH﹣BH＝14﹣5＝9（cm），答：时窗钩端点B与点O之间的距离为9cm．23．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．求证：（1）四边形ABCD为矩形；（2）BE•DQ＝FQ•PE．【解答】证明：（1）∵四边形ADFE是菱形，∴AF⊥DE，∴∠EPF＝90°，∵，∠PFE＝∠AFB，∴△ABF∽△EPF，∴∠ABE＝∠EPF＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝EF，∴EC+CF＝BE+CE，∴BE＝CF，∵∠DPF＝∠QCF＝90°，∠CQF＝∠PQD，∴△DPQ∽△FCQ，∴，∴，∴BE•DQ＝FQ•PE．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD 与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），∴OB＝OC＝6，OA＝2，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝＝＝2，∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴＝，∴CE＝，∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，∴EH＝HC＝，∴OH＝，∴点E（，﹣）；（3）∵点D的横坐标为d，∴点D（d，d2﹣2d﹣6），（0＜d＜6），如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴△ABE∽△DFE，∴，∵＝，∴＝．∵点F在直线BC上，∴点F（d2﹣2d，d2﹣2d﹣6），∴DF＝3d﹣d2，∴＝＝．25．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cos C＝（如图）．M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．【解答】（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝，在Rt△CGM中，CM＝＝＝3，∴AD＝CM，∵AD∥CM，∴四边形AMCD是平行四边形．（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．∵ME＝MC，MT⊥EC，∴CT＝ET，∴cos C＝＝，设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，∴MH＝CM﹣CH＝k，∴tan∠EMH＝，∵∠FMB＝∠EMC，∴tan∠FMB＝＝＝，∴BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝＝5k，∴CE＝6k＝．（3）如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．∴AD＝BP＝3，在Rt△CDP中，cos C＝＝，∵CD＝5，∴PC＝3，AB＝PD＝4，∴BC＝3+3＝6，设CM＝AM＝x，在Rt△ABM中，则有x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，∴⊙M的半径为．如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，∴x＝，综上所述，满足条件的⊙M的半径为或．。