三角函数专项训练(中考23题)

三角函数初三数学练习题
在初三数学中，三角函数是一个重要的概念。

它不仅在初中阶段的数学学习中经常出现，而且在高中以及大学的数学课程中也是必不可少的内容。

为了帮助同学们更好地掌握三角函数的知识，以下是一些初三数学练习题。

1. 计算下列三角函数的值：
(1) sin 30°
(2) cos 45°
(3) tan 60°
2. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=12cm，求BC 的长度。

3. 已知sin θ = 0.6，0°＜θ＜90°，求cos θ的值。

4. 已知tan α = 1/3，0°＜α＜180°，求sin α的值。

5. 计算下列方程的解：
(1) sin x = 1/2
(2) cos 2x = 0
(3) tan x = √3
6. 在单位圆上，点P的坐标为(√3/2, 1/2)，求∠POA的度数。

7. 若sin α = cos β，0°＜α，β＜90°，求α和β的值。

8. 设sin α = 4/5，α＜180°，求cos α的值。

9. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，tan A = 3/4，求sin B的值。

10. 解方程sin x + cos x = 1。

以上是一些关于三角函数的初三数学练习题。

希望同学们通过认真思考与练习，能够在数学学习中对三角函数有更深入的了解与掌握。

祝大家学业进步！。

中考三角函数的应用专题训练1、如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）2、丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度（精确到个位，≈1.7）．3、为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC 与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆C E的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321）4、生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，s in50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）（355、如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A 、B 两地修建一段地铁，点 B 在点 A 的正东方向，由于 A 、B 之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树 C 在点 A 的北偏东 45°方向上，在点 B 的北偏西 60°方向上，BC=400m ，请你求出这段地铁 AB 的长度． 结果精确到 1m ，参考数据： 2 ≈ 1.414，3 ≈ 1.732 ）6、如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以 60 海里/时的速度沿北偏东 60°方向航行，乙船沿北偏西 30° 方 向 航行， 半小 时后甲 船到达 C 点， 乙船正 好到 达甲船 正西 方向的 B 点，求 乙船 的速度．7．某校课外活动小组，在距离湖面7 米高的观测台 A 处，看湖面上空一热气球 P 的仰角为 37°，看 P 在 湖中的倒影 P’的俯角为 53°，（P ’为 P 关于湖面的对称点），请你计算出这个热气球 P 距湖面的高度 PC 约为多少米？3 4 3注：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ;5 5 4 P4 4 Sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈5 3A 37°53°湖面BCP'8、某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m．在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C．在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向．求此时游轮与望梅楼之间的距离BC(3取l.73．结果保留整数)．9、如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个距离MN的方案，要求：(1)指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.A B NM(9题图)10、放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD与水平线的夹角为30°．为了便于观察．小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A、B、C在冋一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，≈1.414，≈1.732．最后结果精确到1米）11、在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为15cm．求旗杆的高度．12、如图，一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行，船在A处时，灯塔S在船的北偏东30°，航行1小时后到B处，此时灯塔S在船的北偏东75°，（运算结果保留根号）（1）求船在B处时与灯塔S的距离；（2）若船从B处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔S的距离最近．13、某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中．如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m，在阳光下某一时刻测得l米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比i=1:3，求树高AB．（结果保留整数，参考数据：3≈1.7）．14、我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破．已知距危房AB水平距离60米（BD＝60米）处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD高15米，在该该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据:2≈1.414，3≈1.732)A30°C15、如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）16、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D 的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:3(即AB：BC=1:3)，且B、C、E三点在同一条盲线上。

三角函数题练习题初三正文：1. 已知一直角三角形，其斜边长为10cm，其中一个锐角的正弦值为0.6，求该锐角的余弦值。

解析：设这个锐角为θ，则根据正弦的定义有sinθ = 对边/斜边，代入已知条件可得对边/10 = 0.6，解得对边长为6cm。

再根据余弦的定义有cosθ = 邻边/斜边，将已知条件代入可得cosθ = 对边/10 = 6/10 = 0.6。

答案：0.62. 已知正弦函数y = sin x 的图像在区间[0, 2π]上有两个最大值点，一个最小值点和一个零点。

求解方程sin x = -0.5 的所有解。

解析：根据正弦函数的图像特点，sin x = -0.5 对应的是函数在负半个周期内的一个最小值点。

根据正弦函数的周期性，在区间[0, 2π]内可以找到一个最小值点，即π + arcsin(-0.5)。

由于正弦函数是一个周期函数，所以在[0, 2π]内，还可以找到一个位于第三象限的解，即2π - arcsin(-0.5)。

所以方程sin x = -0.5 的所有解为x = π + arcsin(-0.5) 和 x = 2π - arcsin(-0.5)。

答案：x = π + arc sin(-0.5) 和x = 2π - arcsin(-0.5)3. 在直角三角形中，已知一条直角边的长度为12cm，另一条直角边的长度为5cm。

求解该三角形斜边与这两条直角边的夹角的正切值。

解析：设斜边与较长直角边的夹角为θ，则根据正切的定义有tanθ = 对边/邻边，代入已知条件可得对边/5 = 12/5，解得对边长为12cm。

所以tanθ = 12/5。

答案：12/54. 已知角A与角B都是锐角，且满足sinA = cosB = 0.8，求解角A 与角B的大小。

解析：根据正弦与余弦的定义可得 sinA = 对边/斜边，cosB = 邻边/斜边。

设三角形的斜边长度为x，根据已知条件可得对边/x = 0.8，邻边/x = 0.8。

三角函数篇1．在学校组织的实践活动中，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量绿博园观光塔的高度．如图，小轩同学先在湖对面的广场A处放置做好的测倾器，测得观光塔的塔尖F的仰角为37°，接下来小轩向前走20m之后到达B处，测得此时观光塔的塔尖F的仰角为45°，已知测倾器的高度为0.8m，点A、B、E在同一直线上，求观光塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414）2．如图，海中有一个小岛A，小岛周围8海里范围内有暗礁，轮船在B点测得小岛A在北偏东45°方向上，轮船由西向东航行20海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，求继续航行轮船是否有触礁危险？（参考数值：≈1.414，≈1.732）．3．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求DE的值；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．4．如图，某政府大楼的顶部竖有一块“民族要复兴，乡村要振兴”的宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．（1）∠BAH＝°；点B距水平面AE的高度BH＝米；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.41，≈1.73．）5．开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）．6．李老师给班级布置了一个实践活动，测量云南某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量．如图，纪念碑AG设在1.2米的石台DG上，他们先在水平地面点B处测得石碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进21米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.7米，求纪念碑AG的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）7．2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）8．如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得桥两端B和C的俯角分别为45°和30°，求桥BC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73）9．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝1：2.4，在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）10．为进一步加强疫情防控工作，长清区某学校决定安装红外线体温检测仪，对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP 上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为61°，探测最小角（∠OAC）为37°．若该校要求测温区域的宽度AB为1.4米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.8，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）11．如图，在小山的东侧A处有一热气球，由于受风力影响，它以20m/min的速度沿着与水平线成75°角的方向飞行，30min后到达C处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P及小山西侧的B处在一条直线上，同时测得B处的俯角为30°．在A处测得山顶P的仰角为45°，求A与B间的距离及山高（结果保留根号）．12．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度，AB＝16米，AE＝24米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，）13．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB．测量人员从C点处测得吊灯顶端A的仰角为37°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°，求吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）14．如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为3m的宣传牌，即CD＝3m．数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是AE＝BF＝1.5m，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为31°，站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为45°，AB＝6m．依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点D 到地面的距离DH的长？若能，请求出；若不能，请说明理由．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）15．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是40m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是37°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为60°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为30°，求乙楼的高度DG．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）16．为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的（参考数据：sin50°坡度i＝1：，坡长CD＝20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米）≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41，≈1.73）17．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．。

三角函数练习题目初三1.已知直角三角形中一条直角边的长度为3cm，另一条直角边的长度为4cm。

求其两条直角边上的正弦、余弦和正切值。

解析：已知直角边 a = 3cm、直角边 b = 4cm。

根据三角函数的定义可知：正弦(sin) = 直角边a / 斜边c余弦(cos) = 直角边b / 斜边c正切(tan) = 直角边a / 直角边b其中，斜边c可以通过勾股定理求得：斜边c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5代入计算得：正弦(sin) = 3 / 5 = 0.6余弦(cos) = 4 / 5 = 0.8正切(tan) = 3 / 4 = 0.75所以，该直角三角形的正弦值为0.6，余弦值为0.8，正切值为0.75。

2.已知角度θ的正弦值为0.5，求角度θ的余弦值和正切值。

解析：已知正弦(sin) = 0.5，要求余弦(cos)和正切(tan)。

根据正弦函数的定义可得：正弦(sin) = 直角边a / 斜边c已知正弦(sin) = 0.5，令直角边a = 0.5，斜边c = 1。

根据勾股定理可得：直角边b = √(c² - a²) = √(1² - 0.5²) = √(1 - 0.25) = √0.75 ≈ 0.866所以，余弦(cos) = 直角边b / 斜边c = 0.866 / 1 = 0.866正切(tan) = 直角边a / 直角边b = 0.5 / 0.866 ≈ 0.577所以，角度θ的余弦值为0.866，正切值为0.577。

3.已知角度α的正切值为2，求角度α的正弦值和余弦值。

解析：已知正切(tan) = 2，要求正弦(sin)和余弦(cos)。

根据正切函数的定义可得：正切(tan) = 直角边a / 直角边b已知正切(tan) = 2，令直角边a = 2，直角边b = 1。

9． 三角函数中考真题（ 2017）一．选择题（共 18 小题）1．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向距离灯塔 30 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 的值为（ ）C ． 30（ +1）海里 B ． 30（ + ）海里D ． 60 海里2．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度） ，把一根长 5m 的竹竿 AC 斜靠在石坝旁，量出杆长 1m 处的 D 点离地面的高度 DE ＝0.6m ，又量得杆底与坝脚的距离 AB ＝ 3m ，则石坝的坡 度为（ ）3．如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上，轮船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后，此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向上，此时轮船与灯塔 P 的距离是（ ）A ．15 海里B ．30 海里C ． 45 海里D ． 30 海里4．某楼梯的侧面如图所示，已测得 BC 的长约为 3.5 米，∠ BCA 约为 29°，则该楼梯的高度 AB 可表示为（ ）A ．3.5sin29°米B ． 3.5cos29°米C ．3.5tan29°米D ． 米如图，在距离铁轨 200 米的 B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 A处时，恰B ．3C ．D ．4 5． 6．7． 8．A ． 在 A ． sin α＝cos α Rt △ABC 中，∠B ．tanC ＝2 C ＝ 90°， AB ＝4， B ． 如图，一艘海轮位于灯塔 达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 A ．60 nmileB ．60 如图，在平面直角坐标系中，点 A ． B ．C ． sin β＝ cos β AC ＝1，则 cosB 的值为D ．）D ． 45°方向，距离灯塔 60nmile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到 B 处，这时， B 处与灯塔 P 的距离为（ nmile C ．30 nmile D ． 30 A 的坐标为（ 3， 4），那么 sin α的值是（ )nmile ) C ． D ．A ． 30（ +1 ）海里 T8好位于处的北偏东 60°方向上； 10 秒钟后，动车车头到达 C 处，恰好位于 B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米 /秒．A ．20（ +1）B．20（﹣ 1）C．200 D．300△ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1），AD⊥BC 于D，下列四个选项中，错误的是（10．如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B的仰角为60°，然后在坡顶 D测得树顶 B的仰角为 30°，已知斜坡 CD 的长度为 20m，DE的长为 10m，则树 AB的高度是（）9．同一条直线上） （ ）14．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A ′处，测得点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房A ．34.14 米B ．34.1 米C ．35.7 米D ．35.74 米15．如图，已知点 C 与某建筑物底端 B 相距 306 米（点 C 与点 B 在同一水平面上） ，某同学从点 C 出发，沿同一剖 面的斜坡 CD 行走 195 米至坡顶 D 处，斜坡 CD 的坡度（或坡比） i ＝ 1： 2.4，在D 处测得该建筑物顶端 A 的俯角为 20°，则建筑物 AB 的高度约为（精确到 0.1 米，参考数据： sin20°≈ 0.342，cos20°≈ 0.940 ，tan20°≈ 0.364 ） （ ） A ．29.1 米 B ．31.9 米 C ．45.9 米 D ．95.9 米16．如图，小王在长江边某瞭望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°，若 DE ＝3 米， CE ＝2 米， CE 平行 于江面 AB ，迎水坡 BC 的坡度 i ＝ 1：0.75，坡长 BC ＝ 10 米，则此时 AB 的长约为（ ）（参考数据： sin40° ≈0.64，cos40°≈ 0.77， tan40°≈ 0.84）．A ．5.1 米B ．6.3 米C ．7.1 米D ．9.2 米17．如图，在△ ABC 中， AC ⊥ BC ，∠ ABC ＝ 30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD ＝BA ，则 tan ∠ DAC 的值为 （）A ．2+B ．2C ． 3+D ． 318．如图，在 Rt △ ABC 中，斜边 AB 的长为 m ，∠ A ＝ 35°，则直角边 BC 的长是（ ）二．填空题（共 20 小题） 19．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长 100 米（假设拉线是直的） ，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是 米（结果保留根号） ．20．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°，点 D 是 AB 的中点， ED ⊥AB 交 AC 于点 E ．设∠ A ＝α，且m ．A ．5 米B ．6 米C ． 6.5 米D ． 12 米13．如图，电线杆 CD 的高度为 h ，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直，∠ CAB ＝ α，则拉线 BC 的长度为（ A 、D 、B 在 A ．B ．C ．D ．h?cos αA ． msin35°B ．mcos35°C ．D ． A ．20 B ．30 C ． 30 D ． 4011．如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝ 12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点D ．设 BD ＝x ， tan ∠ ACB ＝ y ，则（ ）12．如图，一辆小车沿倾斜角为 α的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos α＝ ，则小车上升的高度是（ ）CD 的高度约为（结果精确到 0.1 米， ≈ 1.414）（）tanα＝，则tan2α＝21．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD ，AE 、DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α＝4522．如图，从楼 AB 的 A 处测得对面楼 CD 的顶部 C 的仰角为 37°，底部 D 的俯角为 45°，两楼的水平距离 BD 为 24m ，那么楼 CD 的高度约为 m ．（结果精确到 1m ，参考数据： sin37°≈ 0.6；cos37°≈0.8； tan37°≈0.75）23．如图，某城市的电视塔 AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔 AB 的高度，在点 M 处测得塔尖点 A 的仰角∠ AMB 为 22.5°，沿射线 MB 方向前进 200 米到达湖边点 N 处，测得塔尖点 A 在湖中的倒影 A ′的俯 角∠ A ′NB 为 45°，则电视塔 AB 的高度为 米（结果保留根号） ． A 处测得灯塔 P 在它的北偏东 60 °方向，继续航行到达 B 处，测得灯塔 P 在它的C 处是港口，点 A ，B ， C 在一条直线上，则这艘货轮由 A 到 B 航行的路25．△ ABC 中， AB ＝12，AC ＝ ，∠ B ＝ 30°，则△ ABC 的面积是 26．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A ．如图，在△ ABC 中，BD 和CE 是△ ABC 的两条角平分线．若∠ A ＝52°，则∠ 1+∠ 2的度数为B. tan38°15′≈ ．（结果精确到 0.01）27．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，距离灯塔 86n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，此时， B 处与灯塔 P 的距离约为 n mile ．（结果取整数，参 考数据： ≈1.7， ≈ 1.4）28．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点 A ，小明在岸边点 B 处测得点 A 在点 B 的北偏东 30°方向上，小明沿河岸向东走 80m 后到达点 C ，测得点 A 在点 C 的北偏西 60°方向上，则点 A 到河岸 BC 的距离 为．29．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形 ABCD．已知迎水坡，坡长 AB ＝ 米，背水坡 CD 的坡度 i ＝1： （i 为 DF 与FC 的比值），则背水坡 CD 的坡长为 米． T21 T22 T2324．一艘货轮由西向东航行，在 东北方向，若灯塔 P 正南方向 4 海里的 程为 海里（结果保留根号） ．面 AB＝12 米，背水坡面 CD＝12 米，∠ B＝ 60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE ＝，则 CE 的长为米．30．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在 A 处测得塔顶的仰角为 α，在 B 处测得塔顶的仰角为 β，又测量出 A 、B 两点的距离为 s 米，则塔高为 米．31．如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物 AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近 C 处，测得建筑物顶端 A 处的仰角大小为 45°，随后沿直线 BC 向前走了 100 米后到达 D 处，在 D 处测得 A 处的仰角大小为32．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB ，其中一名小组成员站在距离树 10 米的点 E 处，测得树顶 A 的仰角为 54°．已知测角仪的架高 CE ＝ 1.5 米，则这棵树的高度为sin54°＝ 0.8090， cos54°＝ 0.5878， tan54°＝ 1.3764)33．在如图的正方形方格纸中， 每个小的四边形都是相同的正方形， A ，B ，C ，D 都在格点处， AB 与 CD 相交于 O ， 则 tan ∠ BOD 的值等于 ．34．如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A 、 B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60°的方向，在码头 B北偏西 45°的方向， AC ＝4km ．游客小张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B ，设开往码头 A 、 B 的游船速度分别为 v 1、v 2，若回到 A 、B 所用时间相等，则 ＝ 米．（结果保留一位小数．参考数据：T32结果保留根号）35．如图， Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， BC ＝15，t anA ＝ ，则 AB ＝ T36 T3730°，则建筑物 AB 的高度约为米T38 36．如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是40km ，仰角是 30°． n 秒后，火箭到达 B 点，此时仰角是 45°，则火箭在这 n 秒中上升的高度是37．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从 A 滑行至 B，已知 AB＝ 500 米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据： sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈ 0.67）38．如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan∠BA1C＝1， tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算 tan∠ BA4C＝，⋯按此规律，写出 tan∠ BA n C＝（用含 n 的代数式表示）．三．解答题（共 2 小题）39．如图 1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图 2 位置，刀片部分是四边形ABCD ，其中 AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C＝53°，刀鞘的边缘 MN∥PQ，刀刃 BC与刀鞘边缘 PQ 相交于点O，点 A 恰好落在刀鞘另一边缘 MN 上时，∠ COP＝ 37°， OC＝50mm，（ 1）求刀片宽度 h．（ 2）若刀鞘宽度为 14mm，求刀刃 BC 的长度．（结果精确到 0.1mm）（参考数据： sin37°≈ ，cos37°≈ ，40．如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB 的宣传牌，点 E和点 D 分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距 E点9米的 C处测得宣传牌底部点 B的仰角为 67°，同时测得教学楼外墙外点 D的仰角为 30°，从点 C沿坡度为 1：的斜坡向上走到点 F时，DF 正好与水平线CE平行．（1）求点 F到直线 CE 的距离（结果保留根号）；（ 2）若在点 F 处测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求出宣传牌 AB 的高度（结果精确到0.01）．（注： sin67°≈ 0.92，tan67°≈ 2.36，≈ 1.41，≈1.73）三角函数中考真题（ 2017）参考答案与试题解析一．选择题（共 18 小题）1．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向距离灯塔 30 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 的值为（ ）∵∠ B ＝30°， PC ＝AC ＝40，tanB ＝ ，∴BC ＝ ＝ 30 ，∴AB ＝ AC+BC ＝30+30 ＝30（1+ ）（海里） 故选： C ．2．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度） ，把一根长 5m 的竹竿 AC 斜靠在石坝旁，量出杆长 1m 处的 D 点离地面的高度 DE ＝0.6m ，又量得杆底与坝脚的距离 AB ＝ 3m ，则石坝的坡 度为（ ）解答】 解：如图，过 C 作CF ⊥AB 于F ，则 DE ∥CF，A ． 30（ +1 ）海里 C ． 30（ +1）海里 【解答】 解：由题意得，∠ APC ＝ 45B ． 30（ + ）海里 D ． 60 海里 PA ＝ 30 ，∵sin ∠ APC ＝ ，A ．B ．3C ．D ．4∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 CF ＝ 3， ∴Rt △ACF 中， AF ＝ ＝4，又∵ AB ＝ 3， ∴BF ＝ 4﹣3＝1，∴石坝的坡度为 ＝ ＝ 3， 故选： B ．3．如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上，轮船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后，此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向上，此时轮船与灯塔 P 的距离是（ ）A ．15 海里B ．30 海里C ． 45 海里D ． 30 海里【解答】 解：作 BD ⊥AP ，垂足为 D根据题意，得∠ BAD ＝30°， BD ＝15 海里， ∴∠ PBD ＝ 60°，则∠ DPB ＝ 30°， BP ＝15×2＝ 30（海里）， 故选： B ．4．某楼梯的侧面如图所示，已测得 BC 的长约为 3.5米，∠ BCA 约为 29°，则该楼梯的高度 AB 可表示为（ ）A ．3.5sin29 °米 C ．3.5tan29°米B ．3.5cos29°米 D ．【解答】 解：在 Rt △ABC 中，∵ sin ∠ ACB ＝ ，∴AB ＝ BCsin ∠ ACB ＝3.5sin29°， 故选： A ．5．如图，在距离铁轨 200 米的 B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 A 处时，恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上； 10 秒钟后，动车车头到达 C 处，恰好位于 B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速A ．20（ +1）B ．20（ ﹣ 1）C ．200D ．300 【解答】 解：作 BD ⊥AC 于点 D ．∵在 Rt △ABD 中，∠ ABD ＝60°， ∴AD ＝BD?tan ∠ABD ＝200 （米）， 同理， CD ＝BD ＝200（米）．则 AC ＝ 200+200 （米）． 则平均速度是 ＝ 20（ +1）米 /秒．6．△ ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1），AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是（ ）A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ． sin β＝ cos βD ．tan α＝ 1【解答】 解：观察图象可知，△ ADB 是等腰直角三角形， BD ＝AD ＝2，AB ＝2 ，AD ＝2，CD ＝1， AC ＝ ，tan α＝ 1，故 D 正确， ∵ sin β＝ ＝ ， cos β＝ ，∴ sin β≠ cos β，故 C 错误． 故选： C．sin α＝ cos α＝故 A 正确，tanC ＝ ＝ 2，故 B 正确，故选：7．在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°， AB＝ 4，AC＝1，则 cosB的值为（A．B．C．解答】解：∵在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，AB＝4，AC＝1，∴ BC＝＝，则 cosB ＝＝，故选： A ．8．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 45°方向，距离灯塔 60nmile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P的北偏东 30°方向上的 B处，这时， B 处与灯塔 P的距离为（）A ． 60 nmileB ． 60 nmile C．30 nmile D ． 30 nmile【解答】解：如图作 PE⊥ AB 于 E．在 Rt△PAE 中，∵∠ PAE＝ 45°，PA＝60nmile，∴PE＝ AE＝×60＝30 nmile ，在 Rt△ PBE 中，∵∠ B＝ 30°，∴PB＝ 2PE＝60 nmile ，故选： B ．9．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 3， 4），那么 sinα的值是（）解答】 解：作 AB ⊥x 轴于 B ，如图， ∵点 A 的坐标为（ 3， 4）， ∴ OB ＝ 3，AB ＝ 4， ∴OA ＝＝ 5，在 Rt △AOB 中， sin α＝ ＝ ． 故选： C ．10．如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60° 在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°，已知斜坡 CD 的长度为 20m ，DE 的长为 10m ，则树 AB 的高度是（ m ．∠ DCE ＝ 30°∠ BDF ＝ 30° ∠ DBF ＝ 60° ∠ DBC ＝ 30°∴AB ＝BC?sin60°＝ 20 × ＝30m ．故选： B ．方法二：可以证明△ DGC ≌△ BGF ，所BC ＝＝ ＝ 20 m ，A ．B ．C ．D ．，然后 ）A ．20B ．30 【解答】 解：在 Rt △ CDE 中， ∵ CD ＝ 20m ，DE ＝ 10m ，∴ sin ∠ DCE ＝ ＝ ， C ． 30 D ． 40∠ ACB ＝ 60°DF ∥ AE ， ∠ ABC ＝ 30° ∠ DCB ＝90° BF ＝DC ＝ 20，所以 AB ＝ 20+10＝30，以故选： B ．tan ∠ ACB ＝ y ，则（ ）过A 作AQ ⊥BC 于Q ，过E 作EM ⊥BC 于M ，连接 DE ， ∵BE 的垂直平分线交 BC 于 D ，BD ＝x ， ∴ BD ＝ DE ＝ x ，∵AB ＝ AC ，BC ＝12，tan ∠ ACB ＝y ，＝ ＝y ，BQ ＝CQ ＝ 6， ∴ AQ ＝ 6y ， ∵AQ ⊥BC ，EM ⊥BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为 AC 中点， ∴ CM ＝ QM ＝ CQ ＝ 3， ∴ EM ＝ 3y ，∴ DM ＝ 12﹣ 3﹣ x ＝ 9﹣ x ， 在 Rt△ EDM 中，由勾股定理得： 2即 2x ﹣ y 2＝ 9， 故选：B ．A ．5 米B ．6 米 【解答】 解：如图 AC ＝ 13，作 CB ⊥ AB ，11．如图，在△ ABC 中， AB ＝AC ，BC ＝ 12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D ．设 BD ＝x ，12．如图，一辆小车沿倾斜角为 α的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos α＝ ，则小车上升的高度是（B ．2x ﹣y 2＝92C ．3x ﹣ y ＝D ．4x ﹣ y 2＝ 21解答】 解：2 2 2x 2＝（ 3y ）2+（9﹣ x ）C ． 6.5 米 D ． 12 米∵ cosα＝＝，∴AB＝12，∴ BC＝＝＝ 5，∴小车上升的高度5m．故选： A ．13．如图，电线杆CD的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直，∠CAB＝α，则拉线 BC 的长度为（ A、D、B 在同一条直线上））解答】解：∵∠ CAD+∠ACD＝ 90°，∠ ACD+∠BCD＝90°，∴∠ CAD＝∠ BCD ，在 Rt△BCD 中，∵ cos∠ BCD ＝，BC＝故选： B ．14．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为（结果精确到 0.1 米，≈ 1.414）（）A ．34.14 米B ．34.1 米C． 35.7 米【解答】解：过 B 作 BF⊥CD 于 F，作 B′ E⊥BD，∵∠BDB'＝∠ B'DC＝ 22.5°，∴EB'＝B'F，∵∠ BEB′＝ 90°，∴EB′＝ B′ F＝10 ，∴DF ＝ 20+10 ，∴DC ＝DF+FC＝20+10 +1.6≈35.74＝35.7．故选： C ．C．D．h?cosαD．35.74米A．B．15．如图，已知点 C与某建筑物底端 B相距 306米（点 C与点 B在同一水平面上），某同学从点 C出发，沿同一剖面的斜坡 CD 行走 195米至坡顶 D 处，斜坡 CD 的坡度（或坡比） i ＝ 1： 2.4，在 D 处测得该建筑物顶端 A的俯角为 20°，则建筑物 AB 的高度约为（精确到 0.1 米，参考数据：sin20°≈ 0.342，cos20°≈ 0.940 ，tan20°≈ 0.364 ）（）A ．29.1 米B ．31.9 米C． 45.9 米D． 95.9 米【解答】解：作 DE⊥AB于E点，作 AF⊥DE于F 点，如图，设 DE ＝ xm， CE＝2.4xm，由勾股定理，得2 2 2x 2+（2.4x）2＝ 1952，解得 x≈ 75m，DE＝ 75m， CE＝2.4x＝180m，（方法二：由 i＝ 1：2.4＝5：12，设 DE＝5xm，CE＝ 12xm，由勾股定理，得 CD ＝13x，∴ 13x＝ 195 ，∴ x＝ 15，∴ DE ＝ 75m，CE＝ 180m） EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．∵AF∥ DG，∴∠ 1＝∠ ADG＝ 20°，tan∠1＝ tan∠ADG＝＝0.364．AF＝EB＝126m，tan∠1＝＝ 0.364，DF＝ 0.364AF＝0.364×126＝45.9， AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣ 45.9≈ 29.1m，故选： A ．16．如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°，若 DE＝3米， CE＝2米，CE平行于江面 AB，迎水坡 BC 的坡度 i＝ 1：0.75，坡长 BC＝ 10 米，则此时 AB 的长约为（）（参考数据： sin40° ≈0.64，cos40°≈ 0.77， tan40°≈ 0.84）．B ．6.3 米C ．7.1 米D ．9.2 米 交 AB 延长线于点 P ，作 CQ ⊥AP 于点 Q ，∵CE ∥AP ， ∴DP ⊥AP ，∴四边形 CEPQ 为矩形， ∴CE ＝PQ ＝2，CQ ＝PE ， ∵ i ＝ ＝ ＝ ， ∵ i ＝＝ ＝ ，∴设 CQ ＝ 4x 、 BQ ＝3x ，由 BQ 2+CQ 2＝BC 2 可得（ 4x ）2+（3x ）2＝102， 解得： x ＝2 或 x ＝﹣ 2（舍）， 则 CQ ＝PE ＝ 8，BQ ＝6， ∴DP ＝DE+PE ＝11，∴AB ＝ AP ﹣BQ ﹣PQ ＝13.1﹣6﹣2＝5.1， 故选： A ．17．如图，在△ ABC 中， AC ⊥ BC ，∠ ABC ＝ 30°，点 D 是CB 延长线上的一点，且 BD ＝BA ，则 tan ∠ DAC 的值为 （）A ．2+B ．2C ． 3+D ． 3 【解答】 解：如图，∵在△ ABC 中， AC ⊥BC ，∠ ABC ＝30°， ∴AB ＝ 2AC ，BC ＝＝ AC ．∵BD ＝BA ，∴DC ＝BD+BC ＝（ 2+ ）AC ， ∴tan ∠ DAC ＝ ＝ ＝2+ ． 故选： A ．A ． 5.1 米【解答】 解：如图，延长在 Rt △ ADP 中，∵ AP ＝≈ 13.1，m，∠ A＝ 35°，则直角边 BC 的长是（C．D．【解答】解： sin∠ A＝，∵ AB＝ m，∠ A＝ 35°，∴BC＝ msin35°，故选： A ．二．填空题（共20 小题）19．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100 米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为50 米（结果保留根号）60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是【解答】解：如图，作 AC⊥ OB 于点 C，∵AO＝ 100米，∠ AOC ＝ 60°，∴AC＝OA?sin60°＝ 100× ＝米．20．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，点 D 是 AB 的中点， ED⊥AB 交 AC 于点 E．设∠ A＝α，且tanα＝，则tan2α＝∵点 D 是 AB 的中点， ED ⊥AB ，∠ A ＝α， ∴ ED 是 AB 的垂直平分线， ∴EB ＝ EA ，∴∠ EBA ＝∠ A ＝ α， ∴∠ BEC ＝ 2α，∵ tan α＝ ，设 DE ＝ a ， ∴ AD ＝ 3a ， AE ＝ ， ∴ AB ＝ 6a ， BC ＝，AC ＝∴ tan2α＝故答案为： ．21．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD ，AE 、DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α＝45°，坡长AB ＝ 米，背水坡 CD 的坡度 i ＝1： （i 为 DF 与 FC 的比值），则背水坡 CD 的坡长为 12 米．【解答】 解：∵迎水坡 AB 的坡角 α＝45°，坡长 AB ＝ 米， ∴AE ＝ 6 × sin45°＝ 6（m ），∴∠ C ＝ 30°， 则 DC ＝2DF ＝2AE ＝12m ， 故答案为： 12．22．如图，从楼 AB 的 A 处测得对面楼 CD 的顶部 C 的仰角为 37°，底部 D 的俯角为 45°，两楼的水∴CE ＝ AC ﹣AE ＝∵背水坡 CD 的坡度 i ＝1： （ i 为 DF 与 FC 的比值）， ∴ tan ∠ C ＝ ＝，＝，平距离 BD 为 24m，那么楼 CD 的高度约为 42 m．（结果精确到 1m，参考数据： sin37°≈ 0.6；cos37°≈ 0.8； tan37°≈0.75)【解答】解：在 Rt△ ACE 中，∵ AE＝ 24，∠ CAE＝37°，∴CE＝AE?tan37°≈ 24×0.75＝18，在 Rt△ AED 中，∵∠ EAD＝ 45°，∴AE＝ ED＝24，∴DC＝CE+DE＝18+24≈42．故楼 DC 的高度大约为 42m．23．如图，某城市的电视塔 AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔A 的仰角∠ AMB 为 22.5°，沿射线 MB 方向前进 200 米到达湖边AB 的高度，在点 M 处测得塔尖点测得塔尖点 A 在湖中的倒影A′的俯连接 AN，由题意知， BM⊥ AA'，BA＝BA' ∴AN＝A'N，∴∠ ANB＝∠ A'NB ＝45°，∵∠ AMB ＝ 22.5°，∴∠ MAN ＝∠ ANB﹣∠ AMB ＝22.5°＝∠ AMN，∴ AN＝ MN＝ 200 米，在 Rt△ABN 中，∠ ANB ＝45°，故答案为 100 ．24．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔 P 在它的北偏东 60°方向，继续航行到达 B处，测得灯塔 P 在它的东北方向，若灯塔 P正南方向 4海里的 C 处是港口，点 A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由 A到B 航行的路程为（4 ﹣ 4）海里（结果保留根号）．【解答】解：根据题意得： PC＝4海里，∠ PBC＝90°﹣45°＝45°，∠ PAC＝90°﹣60°＝30°，在直角三角形 APC 中，∵∠ PAC＝ 30°，∠ C＝ 90°，∴ AC＝ PC＝ 4 （海里），在直角三角形 BPC 中，∵∠ PBC＝ 45°，∠ C＝ 90°，∴BC＝PC＝4 海里，∴ AB＝ AC＝ BC＝（ 4 ﹣4）海里；故答案为：（4 ﹣ 4）．25．△ ABC中， AB＝12，AC＝，∠ B＝ 30°，则△ ABC的面积是 21 或 15 ．【解答】解：① 如图 1，作 AD⊥ BC，垂足为点 D，在 Rt△ABD 中，∵ AB＝12、∠ B＝30°，在 Rt △ACD 中， CD ＝ ＝ ＝ ，∴BC ＝ BD+CD ＝ 6 + ＝7 ，则 S △ABC ＝ × BC ×AD ＝ ×7 × 6＝21 ；【解答】 解： A 、∵∠ A ＝ 52°，∴∠ ABC+∠ ACB ＝ 180°﹣∠ A ＝128°， ∵BD 平分∠ ABC 、 CE 平分∠ ACB ， ∴∠ 1＝ ∠ABC 、∠ 2＝ ∠ ACB ，则∠ 1+∠2＝ ∠ABC+ ∠ACB ＝ (∠ ABC+∠ACB)＝ 64 故答案为： 64°； B 、tan38°15′≈ 2.5713× 0.7883≈ 2.03，故答案为： 2.03．27．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，距离灯塔 86n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，此时， B 处与灯塔 P 的距离约为 102 n mile ．（结果取整数，参 考数据： ≈1.7， ≈ 1.4）∴AD ＝ AB ＝6， BD ＝ ABcosB ＝ 12 × ＝6 ，由① 知， AD ＝6、BD ＝6 、CD ＝ ，则 BC ＝BD ﹣ CD ＝5 ，∴ S △ABC ＝ × BC ×AD ＝ × 5 × 6＝15 ，故答案为： 21 或 15 ．26．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A ．如图，在△ ABC 中，BD 和 CE 是△ ABC 的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠ 1+∠2 的度数为 64°② 如图 2，作 AD ⊥BC ，交 BC 延长线于点 D ，解答】解：过 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，∵一艘海轮位于灯塔 P的北偏东 60°方向，距离灯塔 86nmile 的 A处，∴∠ MPA＝∠ PAD ＝60°，∴PD ＝ AP?sin∠ PAD＝86×＝ 43 ，∵∠ BPD＝ 45°，∴∠ B＝ 45°．在 Rt△ BDP 中，由勾股定理，得BP＝＝＝43 × ≈ 102（ nmile ）．故答案为： 102．28．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点 B 处测得点 A 在点 B 的北偏东 30°方向上，小明沿河岸向东走 80m后到达点 C，测得点 A在点 C的北偏西 60°方向上，则点 A到河岸 BC 的距离为20 米．【解答】解：方法 1、过点 A 作 AD⊥BC 于点 D．根据题意，∠ ABC＝90°﹣ 30°＝ 60°，∠ ACD ＝30°，设 AD＝x 米，在 Rt△ ACD 中，tan∠ACD ＝，DG ＝ 6 米，∴CD ＝ ＝ ＝ x ，在 Rt △ABD 中， tan ∠ABC ＝ ， ∴BD ＝＝＝ x ，∴BC ＝ CD+BD ＝ x+ x ＝80∴ x ＝ 20 答：该河段的宽度为 20 米． 故答案是： 20 米．方法 2、过点 A 作AD ⊥BC 于点 D ．根据题意，∠ ABC ＝90°﹣ 30°＝ 60°，∠ ACD ＝30°， ∴∠ BAC ＝180°﹣∠ ABC ﹣∠ ACB ＝ 90 °， 在 Rt △ABC 中， BC ＝80m ，∠ACB ＝30°， ∴AB ＝ 40m ，AC ＝40 m ，∴ S △ABC＝ AB × AC ＝ × 40×40 ＝800 ，∵ S △ABC ＝ BC ×AD ＝ × 80× AD ＝ 40AD ＝ 800 ， ∴AD ＝ 20 米答：该河段的宽度为 20 米． 故答案是： 20 米．29．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形 ＝12 米，背水坡面 CD ＝12 米，∠ B ＝ 60°，加固后拦水坝的横断面为梯形【解答】 解：分别过 A 、D 作 AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂点分别为 F 、G ，如图所示． ∵在 Rt △ABF 中，AB ＝12米，∠ B ＝60°， ∴sin ∠ B ＝ ， ∴AF ＝ 12× ＝6 ，∴DG ＝6 ．∵在 Rt △ DGC 中， CD ＝ 12，ABCD ．已知迎水坡面 AB ABED ，tanE ＝ ，则 CE 的长为 8 米．∴CE ＝GE ﹣CG ＝26﹣18＝ 8． 即 CE 的长为 8 米． 故答案为 8．解答】 解：在 Rt △ BCD 中，∵ tan ∠ CBD ＝ ， ∴BD ＝在 Rt △ ACD 中，∵ tan ∠ A ＝ ＝ ∴ tan α＝解得： CD ＝ 故答案为：．筑物顶端 A 处的仰角大小为 45°，随后沿直线 BC 向前走了 100 米后到达 D 处，在 D处测得 A 处的仰角大小为注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：30．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在 A 处测得塔顶的仰角为仰角为 β，又测量出 A 、B 两点的距离为 s 米，则塔高为 米．α，在 B 处测得塔顶的31．如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物 AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近 C 处，测得建 30°，则建筑物 AB 的高度约为 137 米． ≈1.41， ≈ 1.73)【解答】解：设 AB＝x 米，在 Rt△ABC 中，∵∠ ACB＝ 45°，∴BC＝ AB＝ x 米，则 BD ＝BC+CD ＝x+100 （米），在 Rt△ABD 中，∵∠ ADB ＝30°，∴tan∠ ADB＝＝，即＝，解得： x＝ 50+50 ≈137，即建筑物 AB的高度约为 137 米故答案为： 137．32．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 米的点 E处，测得树顶 A 的仰角为 54°．已知测角仪的架高 CE＝1.5 米，则这棵树的高度为15.3 米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝ 0.8090， cos54°＝ 0.5878， tan54°＝ 1.3764）【解答】解：如图，过点 C 作 CD ⊥AB，垂足为 D．则四边形 CEBD 是矩形， BD＝CE＝1.5m，在Rt△ACD 中，CD＝EB＝10m，∠ ACD＝54°，∵tan∠ ACE＝，∴AD＝CD?tan∠ACD ≈10×1.38＝13.8m．∴AB＝ AD+BD＝13.8+1.5 ＝15.3m．答：树的高度 AB 约为 15.3m．故答案为 15.333．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处， AB 与 CD 相交于 O，则 tan∠ BOD 的值等于 3 ．∴ tan ∠ BOD ＝ 3 ， 故答案为： 3． 方法二：连接 AM 、 NL ， 在△ CAH 中， AC ＝ AH ， 则 AM ⊥CH ，同理，在△ MNH 中， NM ＝ NH ， 则 NL ⊥MH ， ∴∠ AMO ＝∠ NLO ＝90°， ∵∠ AOM ＝∠ NOL ， ∴△ AOM ∽△ NOL ， ∴， ∴，设图中每个小正方形的边长为则 AM ＝2 a ，NL ＝ a ， ∴ ＝ 2， ∴＝ 2，∵NL ＝ LM ， ∴， ∴，∴tan ∠ BOD ＝tan ∠ NOL ＝ ＝3， 故答案为： 3．方法三：连接 AE 、 EF ，如右图所示，【解答】 解：方法一：平移 CD 到C ′D ′交 AB 于 O ′，如右图所示， 则∠ BO ′D ′＝∠ BOD ，∴tan ∠ BOD ＝ tan ∠ BO ′D ′， 设每个小正方形的边长为 a ， 则 O ′ B ＝，O ′D ′＝， BD ′＝ 3a ，作 BE ⊥ O ′ D ′于点 E ， 则 BE ＝ ，∴O ′E ＝＝ ，∴ tanBOE ＝ ，a ，则 AE∥ CD，∴∠ FAE＝∠ BOD，设每个小正方形的边长为 a，则 AE＝，AF＝，EF ＝a，∵，∴△ FAE 是直角三角形，∠ FEA＝ 90°，∴tan∠FAE＝，34．如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A、 B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60°的方向，在码头 B 北偏西 45°的方向， AC＝4km．游客小张准备从观光岛屿 C乘船沿 CA回到码头 A或沿CB回到码头 B，设开往码头 A、B 的游船速度分别为 v1、v2，若回到 A、B 所用时间相等，则＝（结果保留根号）【解答】解：作 CD⊥AB 于点 B．∵在 Rt△ACD 中，∠ CAD＝90°﹣ 60°＝ 30°，∴CD ＝AC?sin∠CAD ＝4× ＝2（km），∵Rt △BCD 中，∠ CDB ＝90∴BC ＝ CD ＝2 （km ），∴ ＝ ＝ ＝故答案是： ．【解答】 解：∵ Rt △ABC 中，∠ C ＝90°， tanA ＝ ， BC ＝ 15，∴＝，∴＝，解得 AC ＝ 8，根据勾股定理得， AB ＝ ＝ ＝17 ．故答案为： 17．36．如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得40km ，仰角是 30°．n 秒后， 火箭到达 B 点， 此时仰角是 45 °，则火箭在这 n 秒中上升的高度是km ．【解答】 解：在 Rt △ ARL 中，∵LR ＝ AR?cos30°＝ 40× ＝20 35．如图， Rt △ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝15，tanA ＝ ，则 AB ＝17AR 的距离是 20 ﹣ 20）km ），AL ＝AR?sin30°＝ 20（ km ），在 Rt△BLR 中，∵∠ BRL＝ 45°，∴RL＝ LB＝20 ，∴AB＝LB﹣AL＝（ 20 ﹣ 20）km，故答案为（ 20 ﹣ 20）km．37．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34°的斜坡，从 A 滑行至 B ，已知 AB ＝ 500 米，则这名滑雪运动员的高度下降了 280 米．（参考数据： sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈ 0.67）【解答】 解：如图在 Rt △ABC 中，AC ＝ AB?sin34°＝ 500×0.56≈280m ， ∴这名滑雪运动员的高度下降了 280m ．【解答】 解：作 CH ⊥ BA 4于 H ，由勾股定理得， BA 4＝ ＝ ，A 4C ＝ ，△ BA 4C 的面积＝ 4﹣ 2 ﹣∴ × ×CH ＝ ，解得， CH ＝ ，则 A 4H ＝ ＝ ，∴tan ∠ BA 4C ＝ ＝ ，4C ＝ ＝ ，21＝ 12﹣1+1，3＝ 22﹣2+1，38．如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan ∠BA 1C ＝1， tan ∠BA 2C ＝ ，tan ∠BA 3C ＝，计算 tan ∠ BA 4C ＝ ⋯按此规律，写出 tan ∠BA n C ＝ （用含 n 的代数式表示） ．27＝ 3 ﹣3+1，∴tan∠ BA n C＝故答案为：；三．解答题（共 2 小题）39．如图 1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图 2 位置，刀片部分是四边形ABCD ，其中 AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C＝53°，刀鞘的边缘 MN∥PQ，刀刃 BC 与刀鞘边缘 PQ 相交于点O，点 A 恰好落在刀鞘另一边缘 MN 上时，∠ COP＝ 37°， OC＝50mm，（ 1）求刀片宽度 h．（ 2）若刀鞘宽度为 14mm，求刀刃 BC 的长度．（结果精确到 0.1mm）（参考数据： sin37°≈ ，cos37°≈ ，【解答】解：（ 1）作 DE⊥BC 于 E，在 Rt△DEC 中，∠ CDE ＝90°﹣ 53°＝ 37°，∴DE＝DC?cos37°＝ 15× ＝12，即：刀片的宽度 h 为 12mm；2）作 AF⊥PQ 于 F，延长 AB 交 PQ于 G，∵∠ COP＝ 37°，∴∠ BOG＝∠ FAG＝37°，在 Rt△AFG 中， AF＝14，∴∠ OBG＝ 90°，在 Rt△BOG 中， BO＝∴ AG ＝，BG＝AG﹣AB＝， AB⊥ BC ，∴BC＝ OC+OB＝ 50+ ≈57.3．40．如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌，点 E和点 D 分别是教学楼底部和外墙上的一点（ A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距 E点9米的 C处测得宣传牌底部点 B的仰角为 67°，同时测得教学楼外墙外点 D的仰角为 30°，从点 C沿坡度为 1：的斜坡向上走到点 F时，DF 正好与水平线CE平行．（1）求点 F到直线 CE 的距离（结果保留根号）；（ 2）若在点 F 处测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求出宣传牌 AB 的高度（结果精确到0.01）．（注： sin67°≈ 0.92，tan67°≈ 2.36，≈ 1.41，≈1.73）【解答】解：（1）过点 F作 FH⊥CE 于H．∵FD ∥CE，∵ FH ∥ DE，DF ∥ HE ，∠ FHE＝90°，∴四边形 FHED 是矩形，则 FH ＝DE，在 Rt△CDE 中， DE ＝ CE ?tan∠ DCE ＝ 9× tan30°＝ 3 （米），∴FH ＝DE＝3 （米）．答：点 F 到 CE 的距离为 3 米．（2）∵ CF 的坡度为 1：，∴在 Rt△FCH 中， CH＝ FH ＝ 9（米），∴EH＝DF＝18（米），在 Rt△BCE 中， BE＝CE?tan∠BCE＝9×tan67°≈21.24（米），∴AB＝ AD+DE﹣BE＝18+3 ﹣21.24≈1.95（米），答：宣传牌 AB 的高度约为 1.95 米．。

三角函数试题及答案初中一、选择题（每题3分，共30分）1. 若sinα=1/2，则α的度数是（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°2. cos30°的值是（）A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 13. 已知tan45°=1，则sin45°的值是（）A. 1/√2B. √2/2C. √2D. 14. 如果sinβ=3/5，且β为锐角，则cosβ的值是（）A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/55. 根据三角函数的定义，下列哪个选项是错误的（）A. sin0°=0B. cos90°=0C. tan60°=√3D. sin180°=-16. 已知sinA=1/2，那么cos2A的值是（）A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 07. 在直角三角形中，如果一个锐角的正弦值是1/3，那么它的余弦值是（）A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. 3√2/38. 根据三角函数的周期性，sin(360°+α)等于（）A. sinαB. -sinαC. co sαD. -cosα9. 一个角的正切值是-√3，那么这个角的度数是（）A. 60°B. 120°C. 240°D. 300°10. 根据三角函数的和角公式，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，那么cos(α+β)的值是（）A. cosαcosβ-sinαsinβB. cosαcosβ+sinαsinβC. sinαcosβ-cosαsinβD. -cosαcosβ-sinαsinβ二、填空题（每题4分，共20分）1. sin60°的值是______。

2. 一个角的余弦值是-1/2，那么这个角的正弦值是______。

3. 已知tanA=2，则sinA的值是______。

中考数学专题复习之锐角三角函数（共20题）一．选择题（共10小题）1．如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（）m．A．+2sinαB．2cosα+sinαC．cosα+2sinαD．tanα+2sinα2．为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M 的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长（）A．米B．米C．5米D．6米3．某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．86.2米B．114.2米C．126.9米D．142.2米4．如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（）米．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．12.9B．22.2C．24.9D．63.15．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（）（图中所有点在同一平面内≈1.41，≈1.73）A．60分钟B．70分钟C．80分钟D．90分钟6．李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境．聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图，半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为，AB＝20，线段PQ在边AB上（AP＜AQ），PQ＝6，以PQ中点C为顶点向上作Rt△CDE，其中∠D＝90°，CD＝3，sin∠DCE＝sin∠DCQ＝，设AP＝m，当边DE与⊙O有交点时，m的取值范围是（）A．B．C．D．7．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB （图2）．若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A．B．18C．16D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A．B．C．D．9．已知α，β均为锐角，若tanα＝，tanβ＝，则α+β＝（）A．45°B．30°C．60°D．90°10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为分米．（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为分米．12．如图1为温州乐园的游乐设施一摩天轮与飞天梭．当摩天轮一座舱A与飞天梭高度相同时（如图2），另一座舱B恰好位于摩天轮最低点；当座舱A顺时针旋转至与飞天梭相同高度的A′点时，座舱B旋转至点B'．此时地面某观测点P与点A'，圆心O恰好在同一条直线上，且sin∠A'PC＝，已知摩天轮的半径为32米，则点B，B'间的距离为米；现又测得∠APC＝∠B'PC，则点B'距离地面的高度为米．13．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD＝．14．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB与支架AD，砝码杆AC均成120°角，且AB＝40cm，AC＝18cm，AD＝6cm，底座是半径为2cm的圆柱体，点P是杠杆的支点．如图1，若砝码E在端点C时，当杠杆平衡时，支架AD垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M到支点P的距离PM为cm．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B，砝码杆重力集中在砝码E上，支架AD的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且G1•h2＝G2•h1，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码E到离A点的距离为cm．15．小君家购入如图1的划船机一台，如图2是划船机的部分示意图．阻尼轮⊙O由支架AD和AC支撑，点A处于点O的正下方，AD与⊙O相切，脚踏板点E和圆心O在连杆CE上，CD部分隐藏在阻尼轮内部，测量发现点E到地面的高度EF为35cm，E、A两点间的水平距离AF为72cm，tan∠DAC＝，则CD的长为cm．三．解答题（共5小题）16．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？17．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．18．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E 点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）（1）求屋顶到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．19．【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个觇标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山顶觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．（1）数据6400000用科学记数法表示为；（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）20．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）。

专题23锐角三角函数（共65题）一、单选题1．（2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．B ．CD ．0(3)1π-=1tan 302=︒2=±236a a a ⋅=2．（2021·福建中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=等于（ ）ABA ．B ．C ．D ．2km 3km 4km3．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC 与地面BC 的夹角为2AB AC ==α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米4cos α4sin α4tan α4cos α4．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子αA B 与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）β3sin cos 5αβ==A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为AB ，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（37︒BC AB ）（ ）．sin 370.6,cos370.8,tan 370.75︒≈︒≈︒≈A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米6．（2021·天津中考真题）的值等于（）tan 30︒ABC ．1D ．27．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线AB 1l A BE 2l 的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），()090αα︒≤≤︒12////EF l l 1.4AB =2BE =h 不考虑闸口与车辆的宽度．①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；90α=︒h ②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；45α=︒h ③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．60α=︒h 则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为，坡顶D 到BC 的垂直距离米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面1:2.4i =50DE =内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：；sin 500.77︒≈；）cos500.64︒≈tan 50 1.19︒≈A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米9．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动ABCD 1,AB BC ==P AD 点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动BP C BP 1C P 1C P A 到点，则线段扫过的区域的面积是（）D 1CCA ．B ．CD ．ππ2π10．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，是的直径，弦于点E ，连结．若AB O A CD OA ⊥,OC OD 的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）O A ,m AOD α∠=∠A ．B ．C ．D ．tan OE m α=⋅2sin CD m α=⋅cos AE m α=⋅2sin CODS m α=⋅A 11．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在中，于点D ，ABC A 45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥．若E ，F 分别为，的中点，则的长为（）BD =AB BCEF ABC ．1D12．（2021·云南中考真题）在中，，若，则的长是ABC A 90ABC ∠=︒s n 3100,5i A A C ==AB （ ）A ．B ．C ．60D ．805003503513．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与BC 建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继AD 续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，计算出建筑物的AD 1:2.4i =BC 高度约为（ ））1.732≈A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米14．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，中，，、相交于点D ，ABC A BD AB ⊥BD AC ，，，则的面积是（ ）47AD AC =2AB =150ABC ∠=︒DBC△ABCD15．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，中，，，点D 是边BC 的中Rt ABC A 90BAC∠=︒1cos 4B =点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使，连结CE，则的值为（ ）ADE B ∠=∠CEAD A ．B C D ．32216．（2021·重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）58ND DE =）1.73≈≈A ．9.0m B ．12.8m C ．13.1m D ．22.7m17．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，，，把边AB 沿对角线BD 15AB =20BC =平移，点，分别对应点A ，B ．给出下列结论：①顺次连接点，，C ，D 的图形是平行四边'A 'B 'A 'B 形；②点C 到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最'AA ''A C B C -''A C B C +小值为）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．OABC 1AB BC ==AOB α∠=，则的值为（ ）2OCA ．B ．C ．D ．211sin α+2sin 1α+211cos α+2cos 1α+19．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，，点E ，F 分別在边AB ，BC 上，60A ∠=︒，的周长为，则AD 的长为（）2AE BF ==DEFA A B．CD．11-20．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长ABCD 60D ∠=︒2AB=B BC 为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部AAC P PA PBPC BPC △分的面积为（ ）A ．B ．C ．D．23π-23π2π2π21．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A 、B 两点间的距离为30米，，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）A α∠=A ．米B ．米C ．米D ．米30sin α30sin α30cos α30cos α22．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，为矩形的对角线，已知，．点P 沿AC ABCD 3AD =4CD =折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D 点停止），过点P 作于点E ，则C A D --PE BC ⊥的面积y 与点P 运动的路程x 间的函数图象大致是（ ）CPE △A ．B ．C ．D ．23．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每AOB ∆A ()1,0一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，AOB ∆О60︒11A OB ∆第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）22A OB ∆2021AA ．B ．()202020202,2-()202120212,2-C ．D．()202020202,2()201120212,2-24．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他30°与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是BC 15m AB 1.5m （）A ．B ．C ．D．3m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭3m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭25．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A ．（36）cm 2B ．（36）cm 2C ．24 cm 2D ．36 cm2--26．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC 、BD 交于原点O ，于E 点，交BD 于M 点，反比例函数的图象经过线段DC 的中点N ，若AE BC⊥0)y x =>，则ME 的长为（ ）4BD =A ．B ．53ME =43=ME C ．D ．1ME =23ME =27．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，内接于是的直ABC A ,120,,O BAC AB AC BD ∠=︒=A O A 径，若，则（ ）3AD =BC=A ．B ．C ．3D ．4二、填空题28．（2021·江苏无锡市·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．29．（2021·广东中考真题）如图，在中，．过点D 作，垂ABCD A 45,12,sin 5AD AB A ===DE AB ⊥足为E ，则______．sin BCE ∠=30．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，内接于圆O ．若，，则ABC A 60A ∠=︒75B ∠=︒______．AB =31．（2021·海南中考真题）如图，的顶点的坐标分别是，且ABC A B C 、(1,0)、，则顶点A 的坐标是_____．90,30ABC A ∠=︒∠=︒32．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，ABCD E BC 是边的中点，，则________．90,30,AED EAD F ∠=︒∠=︒AD 4cm EF =BE =cm33．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点44⨯上，其中A 、B 、D 又在上，点E 是线段与的交点．则的正切值为________．O A CD O A BAE ∠34．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，，，交于点ABC A 5AB =4AC =4sin 5A =BD AC ⊥AC ．点为线段上的动点，则的最小值为________．D P BD 35PC PB +35．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛A B 在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．小岛到航线A 60︒12n mile C A 30°A的距离是__________，结果用四舍五入法精确到0.1）．BC n mile 1.73≈36．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑C 顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度A 30°D A 60︒的长________米．（结果保留根号）AB =37．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，(4,3)A B 2y =-()0,C n ，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值23n -<<AC BC ⊥C AB AB x αsin α最大时，的值为________．n38．（2021·浙江衢州市·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且，椅面底部有一根可以绕点H 转动的OA OB =连杆HD ，点H 是CD 的中点，FA ，EB 均与地面垂直，测得，，．54cm FA =45cm EB =48cm AB =（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：30°，，）sin150.26︒≈cos150.97︒≈tan150.27︒≈39．（2021·浙江中考真题）如图，已知在中，，则的值是Rt ABC A 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==sin B ______．40．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在矩形中，点E 在边上，与关于直ABCD AB BEC △FEC A 线对称，点B 的对称点F 在边上，G 为中点，连结分别与交于M ，N 两点，若EC AD CD BG ,CE CF ，，则的长为________，的值为__________．BM BE =1MG =BN sin AFE ∠41．（2021·四川乐山市·中考真题）在中，．有一个锐角为，．若点在Rt ABC A 90C ∠=︒60︒4AB =P 直线上（不与点、重合），且，则的长为________．AB A B 30PCB ∠=︒CP 42．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点AB BC ，转动，测量知，．当，转动到，时，点A B 8cm BC =16cm AB =AB BC 60=︒∠BAE 50ABC ∠=︒到的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：C AE sin 700.94︒≈ 1.73≈）43．（2021·山西中考真题）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯的坡度（为铅直高度与水平宽度的比）．王老师AB 5:12i =i 乘扶梯从扶梯底端以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端，则王老师上升的铅直高度为A B BC __________米．44．（2021·湖北宜昌市·中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛ABC 三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用表示）π45．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D 处观测旗杆顶部A BC 8m AB 的仰角为，观测旗杆底部B 的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一53︒45︒BC m 位）．（参考数据，，）sin 530.80︒≈cos530.60︒≈tan 53 1.33︒≈46．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点ABCD 10AB AC ==AC BD ，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是O M AC 3AM =P BD 12MP PB +______．47．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上OM ON 8OA =B OM 方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应OA l AB 5AB =AB O 线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______．A B ''B 'ON A 'ON d ≈48．（2021·新疆中考真题）如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF ，分別交BD ，CD 于点M ，N ．若，则DAE △DCF A 25AE DN =__________．sin EDM ∠=49．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上ABC ∆E F AC BC 的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．AE CF =BE AF P CP CP三、解答题50．（2021·广东中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D ，延长Rt ABC A 90A ∠=︒BC AC 至点E ，使．AC CE AB =（1）若，求的周长；1AE =ABD △（2）若，求的值．13AD BD =tan ABC ∠51．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）计算；101(3)2cos30|3|2π-⎛⎫+--︒+ ⎪⎝⎭52．（2021·湖南中考真题）“2021湖南红色文化旅游节——重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行．该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A 点测得塔底B 的仰角，塔顶D 的仰角13BAC ∠=︒，斜坡米，求宝塔的高（精确到1米）（参考数据：38DAC ∠=︒50AB =BD ）sin130.22,cos130.97,tan130.23,sin 380.62,cos380.79,tan 380.78︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈53．（2021·湖南中考真题）已知锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系ABC A 式：．sin sin sin a b c A B C==（1）如图1，若，求b 的值；6,45,75a B C =∠=∠=︒︒（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若ABC CD 米，米，，求景观桥的长度．,14CD AB AC ⊥=10AB=sin ACB ∠=CD54．（2021·湖南张家界市·中考真题）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A ，观测到桥面，的仰角分别为，测得长为320米，求观测点到桥面的距离．（结B C 30,60︒︒BC A BC）1.73≈55．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点在同一条直线上，测得ABC A B C D 、、，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆90,60,32cm ACB ABC AB ∠=︒∠=︒=75BDE ∠=︒84cm CD =，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据70cm DE =E EF）sin150.26,cos150.97,tan15 1.732︒≈︒≈︒≈≈56．（2021·浙江宁波市·中考真题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D 能沿着伞柄滑动．如AP BAC ∠AB AC =图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D 已滑动到点的位置，且A ，B ，三点共线，D ¢D ¢，B 为中点，当时，伞完全张开．40cm AD '=AD '140BAC ∠=︒（1）求的长．AB （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）sin 70094,cos700.34,tan 70 2.75︒≈︒≈︒≈57．（2021·江西中考真题）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，BC MC BA 28cm MN =，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身42cm MB =M A 25.3cm MP 8.5cm BA =．图1（1）求的度数；ABC ∠（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测A 3~5cm 68.6BMN ∠=°温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留50cm A 小数点后一位）（参考数据：，，）sin 66.40.92︒≈cos 66.40.40=°sin 23.60.40︒≈ 1.414≈58．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（CD ,A B CAD ∠CBD ∠在同一条直线上）．,,A D B 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为．,A B 58m,42,58CAD CBD ∠=︒∠=︒问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）．CD 参考数据：，sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90︒≈︒=︒≈sin 580.85,cos580.53,tan 58 1.60︒=︒=︒=．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．59．（2021·青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小2AD =相同（即），将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴AB CD =11ABB A 1AA 35︒11CDD C 1DD 向外面旋转，其示意图如图2，求此时与之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据45︒B C，）．sin 350.6︒≈cos 350.8︒≈ 1.4≈60．（2021·四川成都市·中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角，在与点A 相距3.5米的测点33MBC ∠=︒D 处安置测倾器，测得点M 的仰角 （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高45MEC ∠=︒度的长．（结果精确到1米；参考数据：）MN sin 330.54,cos330.84,tan 330.65︒≈︒≈︒≈61．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）62．（2021·四川广元市·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为，测得小区楼房顶端点C 处的俯角为．已知操控75︒BC 45︒者A 和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．BCBC（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞AB 行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D 都在同一平面内．参考数据：．计算结果保留根号）tan 752︒=tan152︒=63．（2021·四川资阳市·中考真题）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G 基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C 测得塔顶A 的仰角为1:2.4i =CB AB ，然后她沿坡面行走13米到达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为（点A 、B 、C 、D 均在同45︒CB 53︒一平面内）（参考数据：）434sin 53,cos53,tan 53553︒≈︒≈︒≈（1）求D 处的竖直高度；（2）求基站塔的高．AB 64．（2021·江苏连云港市·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A 离岸边，即．海面与AB 4.8m AB =0.4m 0.4m AD =地面平行且相距，即．AD 1.2m 1.2m DH =（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线BC HC 37BCH ∠=︒CO 与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O 到岸边的距离；HC AB AD 22BAD ∠=︒DH （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，53BAD ∠=︒ 5.46m BO =点O 恰好位于海面．求点O 到岸边的距离．（参考数据：，DH 3sin 37cos535︒=︒≈，，，，）4cos37sin 535=︒︒≈3tan 374︒≈3sin 228︒≈15cos 2216︒≈2tan 225︒≈65．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为，再从C 点出发沿斜坡走45︒米到达斜坡上D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为，若斜坡CF 的坡比为（点30︒1:3i =在同一水平线上）．E C H ，，（1）求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；（2）求大树AB 的高度（结果保留根号）．。

三角函数中考题目集锦一．选择题（共11小题）1．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米2．（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）D．米A．50米B．100米C．米3．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m 4．（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米5．（2012•黔西南州）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．6．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m 7．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F8．（2011•孝感）如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A．B．C．D．9．（2011•绵阳）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A．36.21米B．37.71米C．40.98米D．42.48米10．（2010•温州）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（）A．B．C．D．11．（2010•通化）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m二．填空题（共10小题）12．（2012•株洲）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是_________米．13．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为_________cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14．（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9cm的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为_________m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．15．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________ m．16．（2011•衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．17．（2011•潼南县）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=_________米．（结果精确到1米）（参考数据：，）18．（2011•南通）如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），测得∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=60m，则河宽AB为_________m（结果保留根号）．19．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是_________米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）20．（2010•宁波）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是_________米（精确到0.1米）．21．（2010•佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是_________米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）三．解答题（共9小题）22．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）23．（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）24．（2012•漳州）极具特色的“八卦楼”（又称“威镇阁”）是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22°；再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39°（如图是他设计的平面示意图）．已知平台的高度BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米？（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin39°≈，tan39°≈）25．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）26．（2012•扬州）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）27．（2012•盐城）如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°．若小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）28．（2012•梧州）如图，某校为搞好新校区的绿化，需要移植树木．该校九年级数学兴趣小组对某棵树木进行测量，此树木在移植时需要留出根部（即CD）1.3米．他们在距离树木5米的E点观测（即CE=5米），测量仪的高度EF=1.2米，测得树顶A的仰角∠BFA=40°，求此树的整体高度AD．（精确到0.1米）（参考数据：sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391）29．如图，一个氢气球升在广场上空，已知氢气球的直径为4m，在地面上点A测得气球中心的仰角∠OAD=60°，测得气球的视角（两条视线AB，AC的夹角）∠BAC=60°，AC与圆相切于C，且OC⊥AC，则气球中心O离地面的高度OD为多少米？（≈1.73）30．如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，测得港口C在B 处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．（1）试判断此时哪个港口离B处最近，说明理由，并求出最近距离．（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？2013年1月zhjh的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米考点：解直角三角形的应用．专题：探究型．分析：直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC•tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．2．（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A．50米B．100米C．D．米米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC﹣BD=100的关系，进而可解即可求出答案．解答：解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴=tan30°=，∴BC=AB．设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100．∴x+100=x∴x=米．故选D．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．3．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m考点：解直角三角形的应用．分析：根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长．解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°==，解得CK=4（米），即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米．故选：A．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键．4．（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；相似三角形的性质．分析：延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解答：解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2，EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）．故选：A．点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．5．（2012•黔西南州）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m即为这幢教学楼的高度AB．解答：解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，∴FG==，在Rt△ACG中，tan∠ACG=，∴CG==AG．又∵CG﹣FG=30，即AG﹣=30，∴AG=15，∴AB=15+2．答：这幢教学楼的高度AB为（15+2）m．故选D．点评：考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．6．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据题意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．解答：解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，∴=，∵BC=50m，∴AC=50m，∴AB==100m，故选：A．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．7．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．分析：根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据=即可解答．解答：解：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．点评：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．8．（2011•孝感）如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用；切线的性质；弧长的计算．分析：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数解得．解答：解：由题意，从A处观测到地球上的最远点Q，∴AQ是⊙O的切线，切点为Q，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图则在直角△OAQ中有，即AP=．在直角△OAQ中则∠O为：90°﹣α，由弧长公式得PQ为．故选B．点评：本题考查了直角三角形的应用，由题意在直角三角形OAQ中，利用三角函数从而解得．9．（2011•绵阳）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A．36.21米B．37.71米C．40.98米D．42.48米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由已知设塔高为x米，则由已知可得到如下关系，=tan30°，从而求出塔高．解答：解：已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，所以设塔高为x米则得：=tan30°=，解得：x≈42.48，故选：D．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得等腰直角三角形，根据直角三角函数列出方程求解．10．（2010•温州）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值．解答：解：如图；在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；根据勾股定理，得：AB==8米；∴tanθ==；故选A．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力．11．（2010•通化）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．解答：解：∵AB=10米，tanA==．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况．二．填空题（共10小题）12．（2012•株洲）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．解答：解：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=AC•tan∠ACB=10×tan60°=10×=10（米）．故答案为：10．点评：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．13．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 2.7cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用．分析：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度．解答：解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm，∴CE=BD=2cm．在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵tan37°=≈0.75，∴OE≈2.7cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．故答案为2.7．点评：本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm是解题的关键．14．（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9cm的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为8.1m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．解答：解：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CE•tan36°=BD•tan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．点评：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．15．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是5m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何综合题．分析：此题乘电梯从点B到点C上升的高度h，即为过点C到AB延长线的垂线段CE的长，则由已知求得CE的长．解答：解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°，∴CE=BC•sin∠CBE=5•sin45°=5•=5．所以h=5，故答案为：5．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是把实际问题转化为解直角三角形问题．16．（2011•衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距200m．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，再由三角形内角和定理得∠ACB=30°，从而求出B、C两地的距离．解答：解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=200．故答案为：200．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是实际问题转化为直角三角形问题，此题还运用了三角形内角和定理．17．（2011•潼南县）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=260米．（结果精确到1米）（参考数据：，）考点：解直角三角形的应用．分析：根据假设CD=x，AC=2x，得出AD=x，再利用解直角三角形求出x的值，进而得出AD的长度．解答：解：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，∴假设CD=x，AC=2x，∴AD=x，tanB==，∴=，解得：x=150，∴AD=x=×150≈260米．故答案为：260米．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知假设出CD=x，AC=2x，从而表示出AD，进而利用解直角三角形的知识解决是解决问题的关键．18．（2011•南通）如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），测得∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=60m，则河宽AB为30m（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．解答：解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD•sin∠ADB=60×=30（m）．故答案为：30．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．19．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是13.9米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）考点：解直角三角形的应用．分析：在Rt△ABC中，已知了直角边BC的长以及∠ACB的度数，可根据∠ACB的正切函数求出AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=24米，∠ACB=30°，∴AB=BC•tan30°=24×=8≈13.9（米）．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系式是解答此类题的关键．20．（2010•宁波）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是11.1米（精确到0.1米）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在Rt△ABC中，已知了铅直高度AC的长以及坡角∠ABC的度数，即可求得水平宽度BC的长．解答：解：Rt△ABC中，∠ABC=15°，AC=3，∴BC=AC÷tan15°≈11.1（米）．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．21．（2010•佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）考点：解直角三角形的应用．分析：当阳光正好射到D处时，阳光刚好不能射入窗户．则在直角△ABD中，已知AD=3米，∠ABD=60°，根据三角函数求解．解答：解：直角△ABD中，已知AD=3米，∠ABD=60°．∵tan∠ABD=，∴AB===（米）．点评：考查把实际问题转化为数学题的能力，正确理解正午时刻阳光刚好不能射入窗户的条件，是解决本题的关键．三．解答题（共9小题）22．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）考点：解直角三角形的应用．分析：首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△ACD 中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．解答：解：过点C作CD⊥AB于D，∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC•cos30°=200×=100≈173（m），∵∠CAB=54°，在Rt△ACD中，AD=≈≈72（m），∴AB=AD+BD=173+72=245（m）．答：隧道AB的长为245m．点评：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．23．（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：探究型．分析：设OC=x，在Rt△AOC中，由于∠ACO=45°，故OA=x，在Rt△BOC中，由于∠BCO=30°，故OB=OC•tan30°=x，再根据AB=OA﹣OB=2即可得出结论．解答：解：设OC=x，在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x，在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴OB=OC•tan30°=x，∵AB=OA﹣OB=x﹣x=2，解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米，∴OC=5米．答：C处到树干DO的距离CO为5米．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先设出OC的长，利用锐角三角函数的定义及直角三。

初中三角函数基础检测题得分（一）精心选一选（共３６分）1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定2、在Rt △ABC 中，∠C=90，BC=4,sinA=54,则AC=( ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则（ ）A 、00〈∠A<300B 、300〈∠A 〈450C 、450〈∠A 〈600D 、600<∠A 〈9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中,∠A ：∠B ：∠C=1：1：2,则a ：b ：c=( ）A 、1：1:2B 、1：1：2C 、1：1:3D 、1：1:226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中,正确的是( ）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（-sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是（ )A ．(3，12）B ．（-3，12）C ．（—3，-12）D ．(—12，—32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1。

6米，则旗杆的高度约为( )A ．6。

9米B ．8。

5米C ．10。

3米D ．12.0米 10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A 地 （ ） （A)350m (B)100 m（C)150m(D ）3100m11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒， 向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ） A 。

九年级数学三角函数50道练习题（以上为标题，不计入800字）1. 已知一个角的补角是60度，求该角的大小。

2. 求解sin45°的值。

3. 已知tanθ = 1/√3，求θ的度数。

4. 求解cos30°的值。

5. 若sinθ = cos(180° - θ)，求θ的度数。

6. 求解tan60°的值。

7. 若secθ = 2，求cosθ的值。

8. 若tanθ = 2，求cotθ的值。

9. 求解sin60°的值。

10. 若sinθ = cos90° - θ，求θ的度数。

11. 已知sinθ = 1/2，求θ的度数。

12. 求解tan30°的值。

13. 若cscθ = 4/3，求sinθ的值。

14. 已知cosθ = 1/√2，求θ的度数。

15. 求解cos45°的值。

16. 若secθ = -2，求cosθ的值。

17. 如果tanθ = 4/3，求cotθ的值。

18. 求解sin30°的值。

19. 若sinθ = cos(90° - θ)，求θ的度数。

20. 已知cosθ = 1/2，求θ的度数。

21. 求解tan45°的值。

22. 若secθ = -1/2，求cosθ的值。

23. 如果tanθ = 3/4，求cotθ的值。

24. 求解sin120°的值。

25. 若sinθ - cosθ = 0，求θ的度数。

26. 已知tanθ = √3，求θ的度数。

27. 求解cos60°的值。

28. 若secθ = -√2，求cosθ的值。

29. 如果tanθ = -2/3，求cotθ的值。

30. 求解sin150°的值。

31. 若sinθ + cosθ = 1，求θ的度数。

32. 已知cotθ = 4/3，求θ的度数。

33. 求解cos75°的值。

34. 若secθ = -1/√3，求cosθ的值。

三角函数基本练习题初三三角函数是数学中的重要概念之一，对于初中学生来说，掌握三角函数的基本知识和解题技巧是非常重要的。

本文将针对初三学生，提供一些三角函数的基本练习题，帮助学生进一步巩固和应用所学的知识。

一、填空题1. sin(30°) = ____2. cos(45°) = ____3. tan(60°) = ____4. csc(45°) = ____5. sec(60°) = ____6. cot(30°) = ____思考：这些角度的特殊值都是多少呢？你能利用特殊角的定义来解答吗？二、简单计算题1. 计算 sin(60°) + cos(30°) 的值2. 计算 2tan(45°) - 3cot(60°) 的值3. 计算 csc(30°) × sec(60°) 的值思考：在计算过程中，你是如何应用三角函数的性质和定义的？三、综合应用题1. 一个直角三角形的两个锐角大小分别为α 和β，已知sin(α) = 3/5，cos(β) = 4/5，求sin(α + β) 的值。

2. 在一个直角三角形中，已知斜边长为 10cm，一个锐角的大小为30°，求与该锐角相对的直角边的长度。

3. 已知三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 5cm，tan(∠BAC) =4/3，求 AB 和 AC 的长度。

思考：在解决这些综合问题时，你是如何运用三角函数的基本理论和计算方法的？四、证明题对于初三学生来说，证明题可以帮助学生更深入地理解三角函数的相关属性和性质。

以下是两个简单的证明题，希望能够帮助你进一步掌握三角函数的知识。

1. 证明：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 已知角 x 的终边在第二象限，tan(x) = -3/4，求 sin(x) 和 cos(x) 的值。

九年级数学下册《三角函数》专项训练试题时间：90分 满分：100分学校： 班级： 姓名：一、选择题(每题3分，共30分)1．已知cos A ＝32，则锐角A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，t a n B ＝32，BC ＝23，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．4 3D ．6 3．在锐角三角形ABC 中，若⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －322＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－c os B ＝0，则∠C 等于( ) A ．60° B ．45° C ．75° D ．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则t a n ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105 D ．15．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则t a n B 的值为( )A.45B.35C.34D.436．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有()A．1组B．2组C．3组D．4组7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB ＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A.34 B.43 C.35 D.458．如图所示，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是()A．200 m B．200 3 m C．220 3 m D．100(3＋1)m9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118 C.3＋36 D.3＋16二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan 30°·sin 60°＝________。