2019年高考数学理科二轮复习第三篇方法应用篇 专题3.4分离常数参数法 讲解

分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数2X有y axb ，y ax 2 bxc ，y max n，ymSinx n 等.解题的关键是通过cx d mx 2~nx ~pp a qp sinx q恒等变形从分式函数中分离出常数•1•用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数 f(x)3x 1 (x 1)的值域.x 2解 由已知有f(x)3[(x 2) 2] 13(x 2) 7 37x 2x 2x 2由x 1，得x 2 1 . •110.x 2•••函数f(x)的值域为{y R| 4 y 3}.2•用分离常数法判断分式函数的单调性例2已知函数f(x) 「(a b)，判断函数f(x)的单调性. x b 解由已知有y (x b) a b 1 口，x b .x bx b所以，当a b 0时，函数f (x)在(，b)和(b,)上是减函数；当a b 0时，函数f (x)在(,b)和(b,)上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值2x 7x 10的最小值.x 11，二 x 10.由已知有分离参数法1，求函数f(x) 2f(x)1)2 5(x 1) 41x 19 .当且仅当x 1 —，即x 1时，等号成立.x 17[(x 1) 1] 10 (x x 2j(x 1)丄 5X x 14 [(x 1)] 5x 1•••当x 1时, f (x)取得最小值9.分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决•分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1•用分离参数法解决函数有零点问题例4已知函数g(x) x2ax 4在［2,4］上有零点，求a的取值范围•解•••函数g(x) x2ax 4在［2,4］上有零点，.••方程x2 ax 4 0在［2,4］上有实根，即方程a x 4在［2,4］上有实根•x令f(x) x 4，则a的取值范围等于函数f(x)在［2,4］上的值域•x又f(X)1 $ (x 2)2x 2)0在x ［2,4］上恒成立，••• f(x)在［2,4］上是x x增函数•••• f (2) f (x) f ⑷，即4 f (x) 5. ••• 4 a 5.2•用分离参数法解决函数单调性问题2例5已知f(x)空竺仝在［1,)上是单调递增函数，求a的取值范围•2xf (x)又f(x)在［1,)上是单调递增函数，• f (x) 0・于是可得不等式a x2对于x 1恒成立• • a ( x2)max •由x 1，得x2「• a 1 •3・用分离参数法解决不等式恒成立问题例6已知不等式mx2 2x m 1 0对满足2 m 2的所有m都成立, 求x的取值范围•解原不等式可化为(x2 1)m 2x 1 0，此不等式对2 m 2恒成立•构造函数f(m) (x2 1)m 2x 1 , 2 m 2，其图像是一条线段•根据题意有f( 2) 2(/ 1) 2x 1 0，即2x2 2x 3解得2 72f (2) 2(x 1) 2x 1 0 2x 2x 1 0-1 7 x 1 3.2 24•用分离参数法解决不等式有解问题例7如果关于x的不等式|x 3 |x 4 2a 1 0的解集不是空集，求参数a的取值范围.解原不等式可化为x 3 |x 4 2a 1.•••原不等式的解集不是空集，••• (x 3 x 4)min 2a 1.又x 3 x 4 (x 3) (x 4) 1,当且仅当(x 3)(x 4) 0时，等号成立,••• 2a 11，即a 1 .5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线I : (2 m 1)x (m 1)y 7m 4 0，m R，求证：直线I恒过定点.解直线I的方程可化为x y 4 m(2x y 7) 0.设直线I恒过定点M(x,y).由m R，得x y 4 0M(3,1).2x y 7 0•••直线I恒过定点(3,1).。

方法四 分离（常数）参数法1.练高考1.【2016高考北京文数】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 2.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 3.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析4.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)x xf x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】（1）因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x-⨯+=， 所以2(21)0x-=，于是21x =，解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而0(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln xxg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>，所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=，又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以2x 和log 2a为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x<，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =.于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 5.【2016高考新课标3理数】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．【答案】（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---；（Ⅱ）2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；（Ⅲ）见解析．【解析】（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．（ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==．综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤. 2.练模拟1.【2018届河北省邯郸市高三1月检测】已知关于x 的不等式2cos 2m x x ≥-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. [)3,+∞B. ()3,+∞C. [)2,+∞ D. ()2,+∞ 【答案】C【解析】22cos x m x -≥最大值,因为当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()22'22cos 2sin 2()cos cos x x x x x x x -+--= 令()cos sin ,cos sin cos 000y x x x y x x x x y y '=-=--∴=因此2'2()0cos x x -<,由因为22cos x x -为偶函数,所以22cos x x -最大值为202cos0-=, 2m ≥,选C. 2.设函数3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ<<时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A. 1(,1]2B.1(,1)2C. [1,)+∞D.(,1]-∞【答案】D 【解析】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，又11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--，故选D.3.若函数xa x f 2)(⋅-=与14)(++=a x g x的图象有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．222-≤a 或 222+≥a B ．1-<a C ．2221-≤≤-a D ．222-≤a 【答案】D【解析】由241xxa a -⋅=++，可得4121x x a +-=+，令210x t t =+（＞），则222222t t a t t t-+-==+≥﹣，∴2a ≤﹣D ． 4.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】22(1) 2.x y -+=【解析】由题意得：==当且仅当1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+=5.【2018届高三训练题】已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(－∞，658] 【解析】正实数x y ，满足8x y xy ++=()284x y x y +∴++≤()()840x y x y ∴+-++≥40x y ++≥80x y ∴+-≥8x y ∴+≥（当且仅当4x y ==时，取等号）对任意满足条件的正实数x y ，都有不等式()()210x y a x y +-++≥()1a x y x y∴≤+++对任意满足条件的正实数x y ，恒成立， 令()8t x y t =+≥，则()1f t t t=+在()8+∞，上为单调增函数，()1165888f t t t ∴=+≥+=（当且仅当84t x y ===即时，取等号） 658a ∴≤ ∴实数a 的取值范围是65( 8⎤-∞⎥⎦，故答案为65( 8⎤-∞⎥⎦，3.练原创1.已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[,)2+∞ B.(0,)+∞ C.(0,1) D.1(0,)2【答案】D【解析】分段函数和过定点的直线在如上图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示：计算切线斜率，假设直线与y =()00,x y ，对函数求导可得'y =，那么可以得到如下三个方程：()0001y a x y a ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩)01x =+，即0021x x =+，解得01x =，从而斜率12a ==，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率1(0,)2a ∈，故选D.2．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】根据题意，函数与函数在()0+∞，上有公共点，令2xax e =得：2xe a x=，设()2x e f x x = 则()222x xx e xe f x x -'=，由()0f x '= 得：2x =， 当02x << 时，()0f x '<，函数()2xe f x x =在区间()0,2上是减函数，当2x > 时，()0f x '>，函数()2xe f x x=在区间()2,+∞上是增函数，∴当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+∞，上有最小值()224e f =，∴24e a ≥ ，故选C. 3.已知函数()5f x x =-当19x ≤≤时，()1f x >有解，则实数m 的取值范围为（ ）A.313<m B.5<m C.4<m D.5≤m 【答案】B【解析】令t =则13t ≤≤时，2(t)51g t mt =-+>有解，即4m t t<+在13t ≤≤时成立；而函数4u t t =+在[1,2]是减函数，在[2,3]是增函数，4[4,5]u t t=+∈，所以只需5<m ，故选B.4.方程x a x +=-2)2(log 21有解，则a 的最小值为_________【答案】1.5.已知函数123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x ，则55((22-+-=f f ___． 【答案】8【解析】由于123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x )41312111(4+++++++-=x x x x ，从而)231211211231(4)25(++++-+--=+-x x x x x f=+-++-+--+---=--)231211211231(4)25(x x x x x f )231211211231(4++++-+-+x x x x所以8)25()25(=--++-x f x f ，从而令3=x ，得8)325()325(=--++-f f ．。

分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范圉常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.1分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1.1用分离常数法求分式函数的最值X例1. [2016高考北京文数】函数/（劝=——（兀》2）的最大值为___________ ・x-1【答案】2【解析】兀对=1十厶9十1 = 2,即最犬值为2x-1例2. [2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处较链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽滑动，且DN = ON = \, MN =3.当栓子£＞在滑槽A3内作往复运动时，带动/V绕O转动一周（£＞不• •动吋，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，所在的直线为x轴建立如图2所示的平而直角坐标系.（I ）求曲线C的方程；（II）设动直线/与两定直线/（:x-2y = 0和l2:x+2y = 0分别交于两点.若直线/总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：AOQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.入匚/•/□/ \B O AA//M【答案】(I) —+^-=1; (II)存在最小值&16 4【解析】(I )设点% 0)(］忤,恥％風),"3刀,依题意,丽颔，fiiWWb 所以且賢<1宀即｛；二；］"且/(Z-2^) = 0.由于当点刀不动时，点却也不动，所以『不恒等于0,于是t = g 故兀代入 球+此=1,可得注\1，即所求的曲线C 的方程为LO 4104(ID <D 当直线f 的斜率不存在时，直线/为"4或z = -4,都有^PC =ix4x4 = 8. (2)当直线/的斜率存在时，设直线l:y = kx + m 伙工±*)，由匚- ° ' 消去y,可得(1 + 4/)兀？+8賦丫 + 4加2_i6 = 0.f +4)广=16, 因为直线I 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以△ = 64以加2 一 4(1 + 4疋)(4m 2 -16) = 0,即加?=山疋+ 4 •①由原点0到直线PQ 的距离为d=^L 和|P0=Vi7P|»-%|,可得 y/1 + k 2A1+1 2当仁时，s —EE+EN又由y = kx + m.x-2y = 0, 可得倍代八同理可得Q(-2m m1 + 2门 + 2£ ).^SOPQ = ^\PQ\-d = ^\m\\x p -x Q \=^\m2m ---- + }-2k将①代入②得，S§OPQ =2m 21一42m l + 2k当()"2冷时，S 皿害)訥-1 +匚泊.1 7 200<^<-,贝 1J0V 1 — 4疋51, ^^>2,所以S 、”o=8(—1 + ------------------- )>8,当且仅当 £ = 0时4 1一4疋 叽 1一4疋取等号.所以当k=0时，S^OPQ 的最小值为&综合(1) (2)可知，当直线/与椭圆C 在四个顶点处相切时,1.2用分离常数法求函数的值域分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,尸竺如尸哄二，"竺沁切等，解题的关键是通过恒等变形从分 ivx~ +/ix+ /? p ・a +q 卫• sin x + g 式函数中分离出常数.例3.函数尸上土|匕>1)的最小值是()A. 2^3 + 2 C. 2羽【答案】A 【解析】.\x —1>0.. JT + 2 f —2x+2x+2 f —2x+l+2 x~ 1 + 3 x~ 1 ' + 2 x_ 1 +3 3 ••戸 ~ = --------- i -------- = -------------------- ； -------- = -------------- : -------- =x_ 1 + — +X — 1 X — 1 X — 1 X — 1 X — 1 2刁2詰+21.3用分离常数法判断分式函数的单调性例4.已知函数/(兀)=圧(心仍，判断函数f\x)的单调性.x + b【答案】当d — b>()时，函数/(兀)在(-oo,-b)和(-b,+oo)上是减函数；当G-bvO 时，函数 /(%)在(-oo, -h)和(-Z?, +oo)上是增函数.【解析】由已知有y = (x + b) + d —b = z 口,兀工丁，・・・当a — b> 0时，函数于(兀)在(―oo,—b) x+bx+b 和(―b,+8)上是减函数;当Q -Z?vO 时,函数/(x)在(―°°, —b)和(-b,+8)上是增函数.1 9 1例5.已知函数/⑴二一P+Mr —ln 兀，若于(力在区I'可［-,2］上是增函数，则实数d 的取值3范围 ______ .\OPQ 的面积取得最小值8./7 V 4- 7?主要的分式函数有歹=上「, cx +dB. 2^3-2 D. 2【答案】a>~.3 【解析】*.* fXx)=x+2a-—>0在［丄,2］恒成立，即2a>-x+丄在［丄,2］恒成立,x 3 x 3 I g 84・・・(-兀+古为，“宅，即吟 2分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变 量的变化情况，市此我们可以确定参数的变化范I 韦I .这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而 使问题得以顺利解决•分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、两数有零点、两数 单调性中参数的収值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求 函数的最值或值域问题.2.1用分离参数法解决不等式恒成立问题例6.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知数列｛%｝是以/为首项，以2为公 差的等差数列，数列｛仇｝满足2b”=S + l)%・若对皿2都有b lt >b 4成立，则实数/的取值 范围是 __________ . 【答案】[-18,-14] 【解析】宙题意，得代=片+%刃一1),所以瓯=(” + 1)[『+2<刃一1)],即乞=/ + £”+£_1,所以n 2-16+^r>0(weN #)①恒成立.当” =4时不等式①恒成立；当”二5时，不等式①等价于2/ >[-2(K + 4)]M =—18；当x = 3时，不等式①等价于r<[-2(« + 4)]M =-14,所以实数f 的取值范围是[-18,-14]・例7.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】已知数列｛a n ｝的前/?项和为S”，且(1)求数列｛%｝的通项公式;E = 16+2f+g-l =5t~2+15.若对朋N*都有b n >b 4成立,即卅+ ++ 15恒成立，亦即2 2 2 —2“+】-2.（2）设仇=log2a x + log2a2 +••• + log26f n,求使（〃一8）仇＞nk对任意庇恒成立的实数£的取值范围.【答案】（1）a n=2fl（neN^；（2） kS—10.【解析】（1）因为S,: = 2,,+1 -2 ,所以工」=2"-2,（心2）所以当n＞2时,a n = S” —S n_x = 2n+,-2-（2n-2）= 2n,又/ =&二22-2二2,满足上式，所以数列M的通项公式咳=2" S c 0}n（n + ]}（2）=10引01 + 1隅2勺+・一 + 1°亦裟=1 + 2+3 + ・・・+“= --------由对任意用E N*恒成立、即使S ?（刃+ 1）E JV*恒成立£设4 = £（兀一8）（幵+ 1）＞则当刃=3或4时，。

方法四 分别（常数）参数法总分 _______ 时间 _______班级 _______ 学号 _______得分 _______（一）选择题（ 12*5=60 分）1. 【 2018 届海南省高三二模】已知x 为锐角，a cosx3 ，则 a 的取值范围为（）sinxA.2,2B.1, 3C.1,2 D. 1,2【答案】 C2. 当 x 3时，不等式1a 恒建立，则实数 a 的取值范围是（）x1xA ． ( －∞,3]B ． [3 ,+ ∞)C ． [ 7 ,+ ∞)D ． ( －∞,7]22【答案】 D【分析】由于当x 3时，不等式x1 a 恒建立，所以有a( x1 ) min (x3) ，记1x 1x 1,( x3) ，设 x 1 t ，则 y t1) 上是增函数，所以得 a 21 7f ( x) x1在 (2,1，x1t22应选 D ．3. 已知函数 fxx 3 , xR ，若当 0时， f msinf 1 m 0 恒建立，则实数 m 的取值2范围是（ ） A.0,1 B.,0C.1,D.,1【答案】 D【分析】f x 是奇函数，单一递加，所以 f msin f m 1 ，得 msin m 1，所以 m1，所以 m1，应选D。

11sin4. 若不等式2xlnx － x2＋ ax－3 恒建立，则实数 a 的取值范围是()A． ( －∞， 0) B ．( －∞， 4]C． (0 ，＋∞ ) D ． [4 ，＋∞)【答案】 B.5. 若存在正数x使2x ( x a)1建立，则 a 的取值范围是（）A．( ,)B．(1,) C． (0,)D．( 2,)【答案】 B【分析】由于 2x0 ，故 x a1， a x1，记 f ( x)x1，则 f (x) 单一递加，所以 f ( x)1，2x2x2x若存在正数 x 使2 x ( x a)1建立，则 a 的取值范围是 ( 1,) ．6. 已知等比数列a n的前 n 项和为 S n，且 S n3n 1t，若对随意的 n N *，2S n327 n 5 恒2建立，则实数的取值范围为 ()A. 1 ,B.1,C.1,D. 1 ,81276416【答案】 A【分析】由题意知a1S19t， a2S2S19, a3S3S227, a22a1a3，解得t 3 ，2S n 3n 1 39 n 59 n 5，则 T n 1Tn11 2n2，故3n恒建立，令 T n3n3n 1，当 n 6 时，T n 1T n0当 n 6 时，T n 1T n0 .故当 n 6 时，T n获得最大值为 1 ,1.8181应选 A.7. 【 2018 届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知f x x 3x, x R ，若当 0时，2f msinf 1 m 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A.,1 B.,1 C., 1D.0,12【答案】 B【分析】函数 f xx 3 x ， x R 是奇函数，且在 R 上是增函数；所以不等式 f msinf 1 m0 可化为 f msin f m 1 ，即 msinm 1，即 m 1 sin1对随意 0恒建立；2时，不等式恒建立；2 1时，等价于 m对随意 0恒建立 ,12sin2由于 0时，0 sin 1, 01sin111,2, 所以1 sin所以 m1 恒建立等价于 m1 的最小值，则 m1, 应选 B.11 sinsin8. 【 2018 届高三训练题】若不等式x2log a x 0对x0,1恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()2A.0,1B.1,1 C. 1, D.0,11616【答案】 B【分析】不等式x 2 log a x 0 对 x0, 1 恒建立，即不等式 x 2log a x 对 x0, 1恒建立 , 只要22f 1 xx2在 0,1内的图象在 f 2xlog a x 图象的下方即可， 当 a 1 时，明显不建立； 当 0 a 1时，2121，即在同一坐标系中作出函数f 1 xx 2 和函数 f 2 xlog a x 的图象（以下图） ，则 log a22a11 a 1 ；应选 B.，所以16169. 【 2016 届高三山西省大同市调研】已知函数f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，f ( x)1(| x a 2 || x 2a 2 | 3a 2 ) ，若 ， f ( x 1)f (x) ，则实数 a 的取值范围为（）2A. [1,1] B.[6, 6]C. [ 1,1]D. [3, 3]6 6663 333【答案】 B10. 设函数 f x ax 22x 2 ，对于知足 1 x 4 的全部 x 值都有 f x0 ，则实数 a 的取值范围为（ ）A.a 1 B.1 1 C.a1 a1aD.222【答案】 D【分析】知足 1 x 4 的全部 x 值，都有 f xax 2 2x 2 0 恒建立，可知2 x 1211 1 21 1a0, ，知足 1x 4 的全部 x 值恒建立，1 ， ax 24 x24x20,11 ,21 1 1 ，实数 a 的取值范围是，实数 a 的取值范围为 a1 ，应选 D. 4 x 222211. 定义在R上的函数f x对随意 x1, x2x1x2f x1f x20，且函数 y f x1的图象都有x1x2对于（ 1,0 ）成中心对称，若s, t 知足不等式f s22s f2t t 2，则当 1s 4 时，t2s的取值s t范围是（）A．3, 1B．3,1C．5,1D．5,1 2222【答案】 D【分析】设 x1x2，则 x1x2f ( x1 ) f ( x2 )0，知 f ( x1 ) f ( x2 )0 ，即 f (x1 ) f ( x2 ) ，所0 ．由x1x2以函数 f (x) 为减函数．由于函数y f ( x 1) 的图象对于(1,0)成中心对称，所以y f (x) 为奇函数，所以 f (s22s) f (2t t 2 ) f (t 22t ) ，所以s22s t 22t ，即 (s t)( s t2)0．由于t 2s13s1(s t )(s t2)0下，易求得t[1,1] ，所以 1t[1,2] ，3，而在条件s t s t t 1 s 4s2s 2 1s所以3[3,6] ，所以 13t [ 5,1] ，即t 2s[5,1] ，应选D．1t212s t2s s12.现有两个命题：（ 1）若lg x lg y lg( x y) ，且不等式 y 2 x t 恒建立，则t 的取值范围是会合P ；（ 2）若函数f (x)x， x1,的图像与函数g(x)2x t 的图像没有交点，则t的取值范围是集x 1合 Q ；则以下会合关系正确的选项是（）A．PüQ B. QüP C. P Q D. P Q【答案】 C【分析】对（1）：由lg x lg y lg( x y) 得xy x y 即yx x(x0, y 0) . 1不等式 y2x t 恒建立，等价于 t 2 x y恒建立.这只要 t(2 x y)min即可.2x y 2x x2x( x 1) 12x 112( x 1)1 3 2 2 3 （当x 21时，x1x1x 1x12取等号） . t的取值范围是t2 2 3 .（ 1）填空题（ 4*5=20 分）13. 已知函数1 21上是增函数，则实数的取值范围 ______ .f (x)=x 2ax ln x，若 f ( x)在区间 [2] a23 ，【答案】 a 4.3【分析】∵ f x x 2a0 在 [ 2]2a x在[ 2]11， 恒建立，即11， 恒建立，x3x3∵( x18 ，∴ 2a 8 ，即 a4 .x)max33314. 【 2018 届福建省仙游金石中学高三上学期期中】 当 x0 时，不等式 x 2mx 3 0 恒建立， 则实数 m的取值范围是 __________.【答案】, 2 3【分析】当等价于：当x 0时，不等式 x 2mx 3 0 恒建立 x0 3 恒建立时， m xx3 2 x3 又 x2 3xx∴ m 2 3故答案为：, 2 315. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f ( x)x 2 ，若对随意的 x [t, t2] ，不等式f ( x t)2 f (x) 恒建立，则实数 t 的取值范围是．【答案】 [2, ).【分析】∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当x 0 时， f (x) x 2 ，∴当 x 0 ，有 x0 ， f ( x) ( x)2 ，∴f ( x)x 2 ，即 f (x)x 2 ，x 2 , (x 0) 2 f ( x) f ( 2x) ，∴ f (x)2 , ( x，∴ f ( x) 在 R 上是单一递加函数，且知足x 0)∵不等式 f ( x t ) 2 f ( x)f ( 2x) 在 [t ,t 2] 恒建立，∴ x t 2x 在 [ t,t 2] 恒建立，解得 x (12 )t 在 [t ,t 2] 恒建立，∴ t 2(12 )t ，解得： t2 ，则实数 t 的取值范围是 [ 2,) ．16. 【 2018 届上海市长宁、 嘉定区高三第一次质量调研（一模）】若不等式 x 22 y 2 cx y x 对随意知足x y 0 的实数 x ， y 恒建立，则实数 c 的最大值为 __________ ．【答案】 22 4【分析】∵不等式x 2 - 2y 2 ? cx(y - x) 对随意知足 x>y>0 的实数 x 、 y 恒建立，x22 y 2x 2 2∴ cy ，令 x=t>1 ，,xy x 2x x 2 yy y,t 2 2t24t2t 22 t22∴ ，f t ，f ' tc t t 2t t 22tt 22当 t 2 2 时,f ′(t)>0,函数 f(t) 单一递加 ;当 1 t 2 2 时,f ′(t)<0, 函数 f(t)单一递减。

方法三待定系数法一、待定系数法：待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.二、待定系数法解题的基本步骤：使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，从以下四个方面总结高考中的待定系数法.1．用待定系数法求曲线方程确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等，当已知曲线类型及曲线的几何性质时，往往利用待定系数法，通过设出方程形式，布列方程（组），使问题得到解决. 例1.【2018届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】设圆的标准方程为，其圆心为，半径为∵可化简为∴其圆心为，半径为∵两圆相切于原点，且圆过点∴解得∴圆的标准方程为故答案为例2.【2018届山西省孝义市高三下学期名校最新高考模拟卷（一）】已知椭圆的左、右焦点分别为、，且点到椭圆上任意一点的最大距离为3，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.解析：(1)设，的坐标分别为，，根据椭圆的几何性质可得，解得，，则，故椭圆的方程为.(2)假设存在斜率为的直线，那么可设为，则由(1)知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，，联立得，设，，则，得，，，解得，得.即存在符合条件的直线.2．用待定系数法求函数解析式利用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，在教材中有系统的介绍，通过练习应学会“迁移”，灵活应用于同类问题解答之中.例3.【2018届湖南省长沙市长郡中学高三】已知函数的图象过点，且点是其对称中心，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数f（x）过点（，2），（﹣，0）得：解得：∴f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴g（x）=2sin2x，故答案为：A.例4.【2018届天津市耀华中学高三上学期第三次月考】若幂函数在上为增函数，则实数的值为_________.【答案】2例5.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．（Ⅰ）的表达式；（Ⅱ）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（1）由已知设，由，求出的值，由有两个相等实根有，求出的值，得出的表达式；（2）由题意有，解方程求出的值.试题解析：（1）设，则．由已知，得，．．又方程有两个相等的实数根，，即．故；（2）依题意，得，，整理，得，即，．例6.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）当时，取得最小值.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：且函数表达式为.3．用待定系数法求数列通项式等差数列、等比数列是高中阶段重点研究的两类数列，在高考题中，除设计直接考查等差数列、等比数列的题目外，还常常命制通过转化而成为我们熟悉数列的问题，而利用待定系数法往往可以实现这一转化.利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果．例7.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为（）A． B． C. D．【答案】C【解析】由题意，得，解得，所以，所以…＋＝，故选C．例8.在等比数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）∵，∴，∴．（2）由题意知，∴，∴．4．用待定系数法求解的其它类型例9. 若向量,是不共线的两向量，且，（），则A，B，C三点共线的条件是（）．A． B． C． D．【答案】D例10.【2015高考新课标2】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．【答案】.【解析】因为向量与平行，所以，则所以．【反思提升】综上所述，待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立数量关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数．之后就只需根据题目给出的条件，解题即可．用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在诸如函数、数列、解析几何、平面向量等题目中都可以应用．但是在解题过程中，待定系数法并不是最为简单，最为合适的方法．解题时要根据具体的题目，选择简单又适合的方法．。

方法四 分离（常数）参数法总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一）选择题（12*5=60分）1.【2018届海南省高三二模】已知x 为锐角，cos sin a xx-=a 的取值范围为（ ）A. []2,2- B. ( C. (]1,2 D. ()1,2 【答案】C2.当3x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞,3] B ．[3,+∞) C ．[72,+∞) D ．(－∞, 72]【答案】D【解析】因为当3x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，所以有)3()11(min >-+≤x x x a ，记)3(,11)(>-+=x x x x f ，设1x t -=，则11++=t t y 在),2(+∞上是增函数，所以得271212=++≤a ，故选D ．3. 已知函数()3,f x x x R =∈，若当02πθ≤<时， ()()sin 10f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()0,1B. (),0-∞C. ()1,+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】()f x 是奇函数，单调递增，所以()()sin 1f m f m θ>-，得sin 1m m θ>-，所以111sin m θ<≤-，所以1m <，故选D 。

4.若不等式223xlnx x ax ≥－＋－恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)【答案】B.5.若存在正数x 使1)(2<-a x x 成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)-∞+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(0,)+∞ D ．(2,)-+∞ 【答案】B【解析】因为20x>，故12x x a -<，12x a x >-，记1()2xf x x =-，则()f x 单调递增，所以()1f x >-，若存在正数x 使1)(2<-a x x 成立，则a 的取值范围是(1,)-+∞．6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n t S ++=，若对任意的*n N ∈， ()()23275n S n λ+≥-恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A. 1,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意知21122133221399,27,2ta S a S S a S S a a a +===-==-==，，解得3t =-， 1332n n S +-∴=，故()953n n λ-≥恒成立，令()953n nn T -=，则111123n n n nT T ++--=， 当6n <时， 10n n T T +-> 当6n ≥时， 10n n T T +-<. 故当6n =时， n T 取得最大值为11,8181λ∴≥.故选A.7.【2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知()3,f x x x x R =+∈，若当02πθ≤≤时，()()sin 10f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (),1-∞ C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ()0,1 【答案】B【解析】函数()3f x x x =+， x R ∈ 是奇函数，且在R 上是增函数；所以不等式()()sin 10f m f m θ+->可化为()()sin 1f m f m θ>-， 即sin 1m m θ>-，即()1sin 1m θ-<对任意02πθ≤≤恒成立；2πθ=时，不等式恒成立； 2πθ≠时，等价于11sin m θ<-对任意02πθ≤<恒成立,因为02πθ≤<时， 01sin θ≤< , 011sin θ<-≤,所以111sin θ≥-,所以11sin m θ<-恒成立等价于11sin m θ<-的最小值，则1m <,故选B.8.【2018届高三训练题】若不等式2log 0a x x -<对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. ()0,1 B. 1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ()1,+∞D. 10,16⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】不等式2log 0a x x -<对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，即不等式2log a x x <对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 只需()21f x x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内的图象在()2log a f x x =图象的下方即可，当1a >时，显然不成立；当01a <<时，在同一坐标系中作出函数()21f x x =和函数()2log a f x x =的图象（如图所示），则211log 22a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即116a ≥，所以1116a ≤<；故选B.9.【2016届高三山西省大同市调研】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时， )3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若 ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ） A.]61,61[- B.]66,66[- C. ]31,31[- D. ]33,33[- 【答案】B10. 设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a ≥ B. 112a << C. 12a ≥ D. 12a > 【答案】D 【解析】满足14x <<的一切x 值，都有()2220f x ax x =-+>恒成立，可知()22211110,242x a a x x ⎡⎤-⎛⎫≠∴>=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，满足14x <<的一切x 值恒成立，1114x<<， 2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤∴--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎢⎥⎣⎦，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，实数a 的取值范围为12a >，故选D.11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s ∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 12.现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅【答案】C【解析】对（1）：由lg lg lg()x y x y +=+得xy x y =+即(0,0)1xy x y x =>>-. 不等式2y x t >-+恒成立，等价于2t x y <+恒成立.这只需min (2)t x y <+即可.(1)111222212(1)331111x x x y x x x x x x x x -++=+=+=++=-++≥----（当1x =时，取等号）.t的取值范围是3t <.（1）填空题（4*5=20分）13. 已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间1[2]3，上是增函数，则实数a 的取值范围______. 【答案】43a ≥. 【解析】 ∵120f x x a x'()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x ≥-+在1[2]3，恒成立，∵max18()3x x-+=，∴823a ≥，即43a ≥.14.【2018届福建省仙游金石中学高三上学期期中】 当0x >时，不等式230x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是__________.【答案】(,-∞【解析】当0x >时，不等式230x mx -+>恒成立等价于：当0x >时， 3m x x<+恒成立 又323x x x x+≥=∴m <故答案为： (,-∞15.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【答案】),2[+∞.【解析】∵)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =， ∴当0x <，有0x ->，2)()(x x f -=-，∴2)(x x f =-，即2)(x x f -=，∴⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(22x x x x x f ，∴(x f∵不等式2()(2)(x f x f t x f =≥+),2[+∞．16.【2018届上海市长宁、嘉定区高三第一次质量调研（一模）】若不等式()222x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ， y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．【答案】4【解析】∵不等式x 2−2y 2⩽cx(y −x)对任意满足x>y>0的实数x 、y 恒成立，∴2222222x y x y c xy x x x y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭…，令x y =t>1， ∴()222t c f t t t -=-…， ()()(()222222242't t t t f t t t t t ---+-+==--，当2t >f(t)单调递增;当12t <<+f(t)单调递减。

2019-2020年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.4分离常数参数法测理（一）选择题（12*5=60分）1.【xx届海南省高三二模】已知为锐角，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C2.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．(－∞,3] B．[3,+∞) C．[,+∞)D．(－∞, ]【答案】D【解析】因为当时，不等式恒成立，所以有，记，设，则在上是增函数，所以得，故选D．3. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，所以，所以，故选D。

4.若不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)【答案】B.5.若存在正数使成立，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】因为，故，，记，则单调递增，所以，若存在正数使成立，则的取值范围是． 6. 已知等比数列的前项和为，且，若对任意的， 恒成立，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意知21122133221399,27,2ta S a S S a S S a a a +===-==-==，，解得， ，故恒成立，令，则， 当时， 当时， .故当时， 取得最大值为. 故选A.7.【xx 届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知，若当时， 恒成 立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数， 是奇函数，且在R 上是增函数； 所以不等式可化为， 即，即对任意恒成立； 时，不等式恒成立； 时，等价于对任意恒成立, 因为时， , ,所以,所以恒成立等价于的最小值，则,故选B.8.【xx 届高三训练题】若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B.C. D.【答案】B【解析】不等式对恒成立，即不等式对恒成立, 只需在内的图象在图象的下方即可，当时，显然不成立；当时，在同一坐标系中作出函数和函数的图象（如图所示），则，即，所以；故选B. 9.【xx 届高三山西省大同市调研】已知函数是定义在上的奇函数，当时， )3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若 ，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B10. 设函数，对于满足的一切值都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】满足的一切值，都有恒成立，可知()22211110,242x a a x x ⎡⎤-⎛⎫≠∴>=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，满足的一切值恒成立， ， 2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤∴--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎢⎥⎣⎦，实数的取值范围是，实数的取值范围为，故选D.11.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设，则．由，知，即，所以函数为减函数．因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以，即．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件下，易求得，所以，所以33[,6]21t s ∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即，故选D ． 12.现有两个命题：（1）若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；（2）若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；则以下集合关系正确的是（ ） A ． B. C. D. 【答案】C【解析】对（1）：由得即.不等式恒成立，等价于恒成立.这只需即可.(1)111222212(1)331111x x x y x x x x x x x x -++=+=+=++=-++≥----（当时，取等号）.的取值范围是.（1）填空题（4*5=20分）13. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围______. 【答案】. 【解析】∵在恒成立，即在恒成立， ∵，∴，即.14.【xx 届福建省仙游金石中学高三上学期期中】 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】当时，不等式恒成立 等价于：当时， 恒成立 又 ∴故答案为：15.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】.【解析】∵是定义在上的奇函数，且当 时，， ∴当，有，，∴，即，∴，∴在上是单调递增函数，且满足，∵不等式)2()(2)(x f x f t x f =≥+在恒成立，∴在恒成立， 解得在恒成立，∴，解得：，则实数的取值范围是．16.【xx 届上海市长宁、嘉定区高三第一次质量调研（一模）】若不等式对任意满足的实数， 恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】【解析】∵不等式x 2−2y 2⩽cx(y −x)对任意满足x>y>0的实数x 、y 恒成立，∴2222222x y x y c xy x x x y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭…，令=t>1， ∴， ()()(()222222242't t t t f t t t t t --+-+==--，当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增; 当时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。

2019年高考数学（理）精品资料：
3.4 分离（常数）参数法（练）
1.练高考
1. 【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】［，2］
【解析】
分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，
，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是.
2.【2016高考北京文数】函数的最大值为_________.
【答案】2
【解析】，即最大值为2.
3.【2016高考山东理数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cos C的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1 2
()∏由()I 知2
a b c +=,
所以
，
当且仅当a b =时，等号成立.
故 cos C 的最小值为12. 4.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.
(Ⅰ)设，求证：{}n c 是等差数列；
(Ⅱ)设，求证：
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有
，因此
，所以{}n c 是等差数列.
（II ）证明：。

分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1.1 用分离常数法求分式函数的最值例1. 【2016高考北京文数】函数()(2)1x f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2例2.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++. 由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQ k m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--； 第21题图1 第21题图2当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.1.2 用分离常数法求函数的值域 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例3. 函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( ) A．23＋2 B．23－2 C．2 3D．2【答案】A1.3 用分离常数法判断分式函数的单调性例4.已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 【答案】当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.【解析】由已知有()1x b a b a b y x b x b++--==+++，x b ≠-，∴当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例5.已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间1[2]3，上是增函数，则实数a 的取值范围______.【答案】43a ≥. 【解析】 ∵120f x x a x '()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x≥-+在1[2]3，恒成立， ∵max 18()3x x -+=，∴823a ≥，即43a ≥. 2 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例6.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知数列{}n a 是以t 为首项，以2为公差的等差数列，数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+．若对*n ∈N 都有4n b b ≥成立，则实数t 的取值范围是___________．【答案】[18,14]--例7.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21222l o gl o g l o g n n b a a a =+++ ，求使()8n n b nk -≥对任意n N +∈恒成立的实数k 的取值范围． 【答案】（1）()*2n n a n N =∈；（2）10k ≤-. 【解析】（1）因为122n n S +=-，所以()122,2nn S n -=-≥ 所以当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=， 又211222a S ==-=，满足上式，2.2 求定点的坐标例8. 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.【答案】(3,1).【解析】直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=，设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒，∴直线l 恒过定点(3,1). 【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。

2019届高三二轮精品 第三篇 方法应用篇 测试卷方法四 分离（常数）参数法总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一）选择题（12*5=60分）1. 【北京市朝阳区2019届高三上期末】对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵log a （e x+3）≥1＝log a a ，∴a ＞1且a ≤e x+3对任意实数x 都成立， 又e x+3＞3， ∴1＜a ≤3， 故选：B2.当3x >时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞,3]B ．[3,+∞)C ．[72,+∞) D ．(－∞,72] 【答案】D【解析】因为当3x >时，不等式恒成立，所以有，记，设1x t -=，则11++=tt y 在),2(+∞上是增函数，所以得，故选D ．3. 【2018届海南省高三二模】已知x 为锐角，，则a 的取值范围为（ ）A. []2,2- B. ( C. (]1,2 D. ()1,2 【答案】C【解析】由，可得：又02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴∴a 的取值范围为(]1,2 故选：C 4.若不等式恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)【答案】B.5.若存在正数x 使成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(1,)-+∞C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞ 【答案】B【解析】因为20x>，故12x x a -<，12xa x >-，记，则()f x 单调递增，所以()1f x >-，若存在正数x 使成立，则a 的取值范围是(1,)-+∞．6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，若对任意的*n N ∈，恒成立，则实数λ的取值范围为( )A. 1,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意知，解得3t =-，，故恒成立，令，则，当6n <时， 10n n T T +-> 当6n ≥时， 10n n T T +-<.故当6n =时， n T 取得最大值为.故选A.7.【2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知，若当02πθ≤≤时，恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (),1-∞ C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ()0,1 【答案】B 【解析】函数， x R ∈ 是奇函数，且在R 上是增函数；所以不等式可化为，即，即对任意02πθ≤≤恒成立；2πθ=时，不等式恒成立；2πθ≠时，等价于对任意02πθ≤<恒成立,因为02πθ≤<时， 01sin θ≤< ,,所以111sin θ≥-,所以恒成立等价于的最小值，则1m <,故选B.8.【2018届高三训练题】若不等式对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. ()0,1 B. 1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ()1,+∞D. 10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】不等式对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，即不等式2log a x x <对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 只需()21f x x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内的图象在图象的下方即可，当1a >时，显然不成立；当01a <<时，在同一坐标系中作出函数()21f x x =和函数的图象（如图所示），则，即116a ≥，所以1116a ≤<；故选B. 9. 若函数与的图象有交点，则a 的取值范围是（ ）A ． 或B ．1-<aC ．D ．【答案】D 【解析】由，可得4121x x a +-=+，令，则，∴2a ≤﹣D ． 10. 设函数，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a ≥ B. 112a << C. 12a ≥ D. 12a > 【答案】D 【解析】满足14x <<的一切x 值，都有恒成立，可知，满足14x <<的一切x 值恒成立，1114x<<，，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，实数a 的取值范围为12a >，故选D.11. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，，若 ，，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[- B.]66,66[- C. ]31,31[- D. ]33,33[- 【答案】B【解析】当0≥x 时，，由)(x f 是奇函数，可作出)(x f 的图像，如下图所示.又因为R x ∈∀，)1(-x f )(x f ≤，所以)1(-x f 的图像恒在)(x f 图像的下方，即将)(x f 的图像往右平移一个单位后恒在)(x f 图像的下方，所以，解得.故选B.12.现有两个命题： （1）若，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ；（2）若函数，()1,x ∈+∞的图像与函数的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.PQ =∅【答案】C【解析】对（1）：由得xy x y =+即.不等式2y x t >-+恒成立，等价于2t x y <+恒成立.这只需即可.（当12x =+时，取等号）.t 的取值范围是3t <+.【答案】（1）3n n a =（2）13λ>【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由题意，得解得13{3a q ==所以（2）由（1）得，∴，∴若恒成立，则恒成立，则，所以13λ>. 20.已知函数，，其中0a >且1a ≠，t R ∈．（I ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，的最小值是－2,求实数a 的值； （II ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（I ）15；（II ）[2,)+∞. 【解析】 （I ）∵4t =，∴，………………2分易证在1[,1]4上单调递减，在[1,2]上单调递增，且1()(2)4h h >，∴，，………………3分∴当1a >时，，由，解得14a =（舍去）………………4分 当01a <<时，，由，解得15a =.………………5分综上知实数a 的值是15.………………6分 （II ）∵恒成立，即恒成立，∴.………………7分又∵01a <<，1[,2]4x ∈，∴，………………8分∴恒成立，………………9分∴.………………10分令，∴max 2y =.………………11分故实数t 的取值范围为[2,)+∞.…………………12分21.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】在数列中，，，且对任意的N*，都有.（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅱ）因为.所以.又因为对任意的都有，所以恒成立，即,即当时，.22.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】设函数，R．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-1（Ⅲ）或【解析】（Ⅰ），. 且，所以在处的切线方程为.（Ⅱ）因为对任意的实数，不等式恒成立.所以恒成立.设，则，所以在，单调递增，在，单调递减.所以，因为，是方程的两根.所以. （其中）所以的最大值为.（ⅰ）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.（ⅱ）当时，有两个非负根，，所以在，，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去.（ⅲ）当时，则有两个异号的零点，，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.当时，的取值范围为，当时，的取值范围为，所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有，，得.由，得，即.所以，，.故.所以. 所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.。

分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1.用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.2.用分离常数法判断分式函数的单调性例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x bx b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9.分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知xa ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1af x x'=+. 又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a .3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围.解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围.解 原不等式可化为3421x x a -+-<-. ∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-. 又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥.5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).。

高考数学 考前三个月 解题方法篇 专题三 解题策略 第6讲 分离参数法在解题中的应用 文 新人教版[方法精要] 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决．分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域的问题．题型一 用分离参数法解决函数有零点问题例1 已知函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，求a 的取值范围．破题切入点 函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，等价于方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，把方程x 2－ax ＋4＝0中的变量a 分离，转化为求函数的值域问题即可求出a 的取值范围．解 ∵函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，∴方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，即方程a ＝x ＋4x在[2,4]上有实根． 令f (x )＝x ＋4x， 则a 的取值范围等于函数f (x )在[2,4]上的值域．又f ′(x )＝1－4x 2＝(x ＋2)(x －2)x 2≥0在x ∈[2,4]上恒成立， ∴f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (2)≤f (x )≤f (4)，即4≤f (x )≤5.∴4≤a ≤5.题型二 用分离参数法解决不等式恒成立问题例2 已知函数f (x )＝ln x －a x ，(1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．破题切入点 (1)通过判断导数的符号解决．(2)由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解 (1)由题意：f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x <x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x， 当x ≥1时，h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上是减函数，∴h (x )<h (1)＝－2，即g ′(x )<0，∴g (x )在[1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1.令a ≥－1得a >g (x )，∴当f (x )<x 2在(1，＋∞)恒成立时，a ≥－1.题型三 用分离参数法解决方程中的参数问题例3 若关于x 的方程22x ＋2x ·a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．破题切入点 解决方程中的参数问题，需要把方程等价变形，称为一个含参数的函数，将其转化为函数的最值问题．解 原方程变形为a ＝－22x ＋12x ＋1＝－(2x ＋1)2－2(2x＋1)＋22x ＋1＝－(2x ＋1＋22x ＋1－2)， 因为2x ＋1>1，所以2x ＋1＋22x ＋1-2≥2(2x ＋1)·22x ＋1－2＝22－2， (当且仅当x ＝log 2(2－1)时取等号)，所以a ≤2－2 2.总结提高 分离参数法常用于求参数的取值范围，这是目前新课标高考中常涉及的问题，主要涉及函数、方程、不等式等部分的内容，最终都是转化为函数在给定区间上的最值问题，求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性即可求参数取值范围．1．已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，m ∈R ，则直线l 恒过定点( )A ．(3,0)B ．(1,3)C ．(1,1)D ．(3,1)答案 D解析 直线l 的方程可化为x ＋y －4＋m (2x ＋y －7)＝0.设直线l 恒过定点M (x ，y )．由m ∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0⇒M (3,1)．所以直线l 恒过定点(3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是() A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)答案 D解析 由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立，分离参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，须a ≥(1x 2－2x )max ，令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈(12，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x 3－2，所以当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )<0，即h (x )在x ∈(12，＋∞)上单调递减，所以h (x )<h (12)＝3，故a ≥3.3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值是() A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3答案 C解析 由x 2＋ax ＋1≥0，x ∈(0，12]， 所以ax ≥－1－x 2，所以a ≥－1x－x ， 又因为－1x －x ＝－(1x ＋x )≤－52， 所以a ≥－52. 4．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1) 答案 B解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ， 即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 [－83，＋∞) 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立， 2m ≥－(1x )2＋2x，令g (x )＝－(1x )2＋2x， 则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1， 故2m ≥1，即m ≥12. 7．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围是________________．答案 (－1＋72，1＋32) 解析 原不等式可化为(x 2－1)m －2x ＋1<0，此不等式对－2≤m ≤2恒成立．构造函数f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，－2≤m ≤2，其图象是一条线段．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＝－2(x 2－1)－2x ＋1<0，f (2)＝2(x 2－1)－2x ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0. 解得－1＋72<x <1＋32. 8．已知f (x )＝2x 2＋ax －2a 2x在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )＝x －a x ＋a 2，∴f ′(x )＝1＋a x2. 又f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0.于是可得不等式a ≥－x 2对于x ≥1恒成立．∴a ≥(－x 2)max .由x ≥1，得－x 2≤－1.∴a ≥－1.9．设f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·a 3，其中a ∈R ，如果x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a 的取值范围．解 根据题意1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，设t ＝2x ，则有at 2＋t ＋1>0在t ∈(0,2]上恒成立，分离参数可得a >－1t 2－1t， 即a >(－1t 2－1t)max ，令μ＝1t ，则μ∈[12，＋∞)，易得二次函数f (μ)＝－μ2－μ在μ∈[12，＋∞)上的最大值是f (12)＝－34，所以a 的取值范围是a >－34.10．设0≤θ≤π2，不等式cos 2θ＋2m sin θ－2m －2<0恒成立，求m 的取值范围．解 将已知不等式化为(1－sin θ)2＋2(m －1)(1－sin θ)＋2>0，①当θ＝π2时，不等式显然成立；②当0≤θ<π2，即1－sin θ>0有2(1－m )<1－sin θ＋21－sin θ，设t ＝1－sin θ，则f (t )＝t ＋2t ，其中0<t ≤1，则f (t )＝t ＋2t 在0<t ≤1上是减函数，所以f (t )≥f (1)＝3，即f (t )的最小值是3，所以2(1－m )<3，解得m >－12.综上知，m 的取值范围是m >－12.11．已知函数f (x )＝e x －x 22－ax －1，其中a 为实数．(1)若a ＝－12时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥0恒成立，试求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－12时，f (x )＝e x －x 22＋12x －1，f ′(x )＝e x －x ＋12，从而得f (1)＝e －1，f ′(1)＝e －12，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＋1＝(e －12)(x －1)，即(e －12)x －y －12＝0.(2)由f (x )≥0，得ax ≤e x －12x 2－1， ∵x ≥12，∴a ≤e x －12x 2－1x ，令g (x )＝e x －12x 2－1x， 则g ′(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1x 2， 令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1， 则φ′(x )＝x (e x －1)，∵x ≥12，∴φ′(x )>0， 即φ(x )在[12，＋∞)上单调递增． 所以φ(x )≥φ(12)＝78－e 2>0， 因此g ′(x )>0，故g (x )在[12，＋∞)单调递增． 则g (x )≥g (12)＝e 12－12×(12)2－112＝2e －94， 因此a 的取值范围是a ≤2e －94. 12．已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)． ①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数．②当a <0时，若0<x < －12a， 则f ′(x )>0，故f (x )在(0，－12a ]上是增函数； 若x > －12a，则f ′(x )<0， 故f (x )在[－12a ，＋∞)上是减函数． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a<0时，f(x)在(0, －12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数．(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，等价于ma－a2>f(x)max.因为a∈(－4，－2)，所以24< －12a<12<1.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a，所以ma－a2>2a，即m<a＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0.所以实数m的取值范围为m≤－2.。