安徽省马鞍山市2017-2018学年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试卷(扫描版)

高三文科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑． （1）已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≤，{}|22B x x =-<≤，则A B =（ ▲ ）（A ）[2,1]-- （B ）[1,2]- （C ）[1,1]- （D ）[1,2] 【答案】B【命题意图】考查集合运算，简单题． （2）设i 为虚数单位，则复数11i z i-=+的模为（ ▲ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）2【答案】A【命题意图】考查复数运算，简单题．（3）“2)4k k Z παπ=-∈（”是“2cos 2α=”的（ ▲ ）（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【命题意图】考查三角函数、逻辑，简单题．（4）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ▲ ）（A ）0x y ±= （B ）30x y ±= （C ）30x y ±= （D ）20x y ±=【答案】C【命题意图】考查双曲线的性质，简单题． （5）《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步? ” 请问乙．走的步数是（ ▲ ）（A ）92（B ）152（C ）212（D ）492【答案】C【命题意图】考查数学文化及解三角形，中等题． （6）执行如图所示的程序框图，若输出的值为3132，则输入的整数p =（ ▲ ）（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】B【命题意图】考查程序框图，中等题．（7）已知函数()cos(2)sin 26f x x π=-+，则()f x 的一个单调递减区间是（ ▲ ）（A ）[,]36- （B ）[,]33π- （C ）5[,]66ππ- （D）2[,]63ππ 【答案】D【命题意图】考查三角函数的性质，中等题．（8）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则(5)f =（ ▲ ）（C ）1 （D ）5 【答案】B【命题意图】考查函数性质，中等题．（9）已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>(3,0)F ，过点F 的直线交E 于A B 、两E 的方程为（ ▲ ） （A ）2214536x y += （B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y += 【答案】D【命题意图】本题考查中点弦问题，中等题．（10）已知实数,x y 满足约束条件10220x y mx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，若3z x y =-的最大值为1，则实数m 的值为（ ▲ ）（A ）23（B ）1 （C ）83（D ）3【答案】C【命题意图】 考查线性规划，中等题．（11）已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距开始n =0,S =012nS S =+输入p结束n<p? 是否输出S 1n n =+离为32R ，3AB BC AC ===，则球O 的体积是（ ▲ ） （A ）163π （B ）16π （C ）323π（D ）32π【答案】C【命题意图】考查空间想象能力、运算能力，中等题．（12）已知函数ln ,0(),0x x f x m x x>⎧⎪=⎨<⎪⎩，若()()0f x f x --=有四个不同的根，则m 的取值范围是（▲）（A ）(0,2)e（B ）(0,)e（C ）(0,1)（D ）1(0,)e【答案】D【命题意图】考查分段函数的图象和性质，与方程的根，导数的几何意义，较难题．第II 卷（非选择题，共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题．（13）已知向量(2,1)a =，(,1)b x =-，若a ∥()a b -，则a b ⋅= ▲ ． 【答案】5-【命题意图】考查平面向量基本运算，简单题．（14）如图，扇形AOB 的圆心角为90︒，点P 在弦AB 上，且2OP AP =，延长OP 交弧AB 于点C ，现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC 内的 概率为 ▲ ． 【答案】13【命题意图】考查几何概型、正弦定理，中等题．（提示：正弦定理sin 451sin 2AP AOC OP ⋅︒∠==）（15）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ ． 【答案】103【命题意图】考查三视图，中等题．（16）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )(sin sin )c b C B a A B +-=-．若23c =，则22a b +的取值 范围是 ▲ ． 【答案】(]20,24【命题意图】考查解三角形及三角函数相关知识，较难题． （提示：由正弦定理2221()()()cos 601202c b c b a a b c a b ab C C A B +-=-⇒=+-⇒=⇒=︒⇒+=︒. 由正弦定理：23244sin ,4sin sin sin sin sin 60a b c R a A b B A B C =====⇒==︒, 令60,60,(030)A B ααα=︒+=︒-︒≤<︒22222216(sin sin )16[sin (60)sin (60)]16(1cos 2)a b A B ααα+=+=︒++︒-=+∵0260α︒≤<︒，∴1cos 212α<≤，从而有222024a b <+≤.）三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请11俯视图正视图 侧视图2222215第题图14第题图P OCB在答题卡上答题． （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为.n S ，且241n n S a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12n n n b a a +=⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】考查数列的概念，等比数列的基本运算，数列的求和，考查运算能力，简单题．【解析】（Ⅰ）∵ 241n n S a =- ∴1n =时，11241S a =-，即11241a a =-，解得112a =； 2n ≥时，241n n S a =- ……………………①11241n n S a --=- …………………②由①-②得，所以12n n a a -=∴数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列，即121222n n n a --=⨯=…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知231222n n n n b a a -+=⋅-=- ………………………………………8分∴113231222222n n n T b b b n --=+++=++++- 12(14)214n n -⨯-=--=1(41)26n n -- ……………………………12分（18）（本小题满分12分）2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2017届高三学喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 10 女生 20 合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35． （Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20()p K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【命题意图】考查独立性检验，考查学生的运算求解能力，简单题．【解析】（Ⅰ）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，所以喜欢游泳的学生人数为3100605⨯=人．其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 (5)分（Ⅱ）因为()221004030201016.6710.82860405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关． …………………12分19. 已知几何体ABCDEF 中， AB ∥CD ，AD DC ⊥，EA ⊥平面ABCD ，FC ∥EA ，1AB AD EA ===，2CD CF ==. （Ⅰ）求证：平面EBD ⊥平面BCF ； （Ⅱ）求点B 到平面ECD 的距离.【命题意图】考查空间线面关系、几何体体积的计算，空间想象能力，中等题．()()2222246,BC CD BD BC EA ABCD BD ABCDEA BDEA FCFC BDBD BC FC BD BDBC B BD BCF BD EBD EBD BCFEA ABCD EA CD EA ADAD CDCD EA I ∴+=∴⊥⊥⊂∴⊥∴⊥⊥⊥=⊥⊂∴⊥II ⊥∴⊥⊥⊥∴⊥解：由题意可知：BD=BC=CD=2BD 分平面平面分由，及得平面，面，平面平面分平面又平面1,1222119211123322212.CDE BCD BCD B CDE E BCD CDE BCD CDE DCD ED EAD EA AD EA AD ED S CD ED S CD AD B CDE d S EA V V S d S EA d S B CDE ∆∆∆--∆∆∆∴⊥∆⊥==∴=∴=⋅⋅==⋅=⋅⋅=⋅=⋅∴===中，分设到平面的距离为由得：即点到平面分（或由AB ∥CD 得点B 到平面CDE 的距离等于点A 到平面CDE 的距离，过点A 作AO ⊥DE 于点O,易知AO 的长度即为所求. ）（20）（本小题满分12分）已知曲线2:4C y x =，22:(1)4(1)M x y x -+=≥，直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若4OA OB ⋅=-，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l 与曲线M 相切，求MA MB ⋅的取值范围. 【命题意图】考查抛物线、圆的方程、直线和圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，中等题． 【解析】（Ⅰ）由已知，可设:,l x my n =+1122(,(,A x y B x y )、)ABCDEF由24x my n y x=+⎧⎨=⎩ 得：2440,y my n --= 12124,4.y y m y y n ∴+=⋅=-22121242,.x x m n x x n ∴+=+⋅=∴由4OA OB ⋅=-可得：212124 4.x x y y n n ⋅+⋅=-=-解得： 2.n =:2,l x my ∴=+∴直线l 恒过定点(2,0). …………………………（5分）（Ⅱ）直线l 与曲线M 相切，M (1,0),显然3n ≥ ∴2121nm -=+,整理得：2242 3.m n n =--①由（Ⅰ）及①可得：112212*********222(1,)(1,)(1)(1)()1421446144MA MB x y x y x x y y x x x x y y n m n n n m n n⋅=-⋅-=-⋅-+⋅=⋅-+++⋅=--+-=--+=-8MA MB ∴⋅≤-，即MA MB ⋅的取值范围是(,8].-∞- …………………………（12分）（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln ()()f x x x x a a R =---∈．（Ⅰ）若()f x 在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>．【命题意图】本题考查导数的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，较难题．【解析】（Ⅰ）由已知，11()ln 2()ln 2120x f x x x a x x a x x-'=+--=--++≤恒成立令1()ln 212g x x x a x=--++，则22221121(21)(1)()2(0)x x x x g x x x x x x -++-+-'=+-==>01x ∴<<当时，()0g x '<，()0,1g x 在（）上单调递减， 1x >当时，()0g x '>，()1,g x +∞在（）上单调递增， min ()(1)22g x g a ∴==-∴由()0f x '≤恒成立可得 1.a ≤即当()f x 在(0,)+∞上单调递减时，a 的取值范围是(,1].-∞ …………………………（5分）（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，不妨设120x x <<. 由（Ⅰ）可知 1.a >且11111()ln 2120.................f x x x a x '=--++=①22221()ln 2120.................f x x x a x '=--++=②由①-②得：11212212ln2()0x x x x x x x x -+--= 1121221()(2)ln 0x x x x x x ∴--=->1212x x ∴< 即 12112x x e>> 由①+②得：12121212ln()22()40x xx x x x a x x ++--++=121212ln()241245.12242x x a x x x x ++-++∴+=>=++ …………………………（12分）请考生在第（22）和第（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：22123sin ρθ=+.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于A B 、两点，设点(1,0)F ，求11||||FA FB +的值. 【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化方法，直线与椭圆的位置关系，中等题．【解】（I ）1123,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）⇒2223t x t =-⎧⎪⎨=⎪⎩⇒330x y -，所以曲线1C 的普通方程为3(1)y x -. ………………………………………2分2222222222123sin 123()1234123sin x y y x y ρρρθθ=⇒+=⇒++=⇒+=+， 所以2C 的直角坐标方程为22143x y +=. ………………………………………5分（Ⅱ）由题意可设，与A B 、两点对应的参数分别为12,t t ， 将1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程22143x y +=， 化简整理得，254120t t +-=，所以121245125t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， ………………………………………7分 所以121211FA FB t t FA FB FA FB t t +++==⋅⋅， 因为121205t t ⋅=-<，所以()22121212124121644555t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+=-+-⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1611451235FA FB +== ……………………………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()225f x x a x =-++-（a R ∈）. （Ⅰ）试比较(1)f -与()f a 的大小；（Ⅱ）当5a =-时，求函数()f x 的图象和x 轴围成的图形面积.【命题意图】本题考查含绝对值代数式大小比较，绝对值函数图象特征等基础知识，以及分类讨论思想和运算求解能力，中等题．【解】（I ）因为()()(1)2251510f a f a a a --=+--+-=+≥，于是()(1)f a f ≥-. 当且仅当1a =-时等号成立 ………………………………………5分（Ⅱ）当5a =-时， 32,1,()52252,51,312,5,x x f x x x x x x x +≥-⎧⎪=+++-=---≤<-⎨⎪--<-⎩可知函数()f x 的图象和x 轴围成的图形是一个三角形，其中与x 轴的两个交点分别为(2,0)A -，2(,0)3B -，三角形另一顶点坐标为(1,1)C --，从而ABC ∆面积为122(2)1233S =⨯-⨯=.………10分。

2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测高三文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则有：则该复数在复平面内对应的点位于第三象限.本题选择C选项.2. ( )C.【答案】B本题选择B选项.3. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A. 30B. 31C. 32D. 33【答案】B结合题意可知：甲组的平均数为33，本题选择B选项.4. ( )A. 0B. 2C. 0或1D. 0或2【答案】D的距离为D.5. 6，则的最小值为( )C. 1D. 2【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域,,,此时最大为即, ,此时最小.即.此时最小值为故选A.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.6. 如图，是正三角形，中点，则下列叙述正确的是( )【答案】DA错误；则△ABC是正三角形，∠CAB=60°，据此可知不成立，说法B误；C错误；△ABC是正三角形，则AE⊥BC，又AE⊥CC1D正确；本题选择D选项.7. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”中最重要的一种。

在其第七章中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是植物蒲发芽的第一天长高三尺，植物莞发芽的第一天长高一尺。

蒲从第二天开始每天生长速度是前一天的一半，莞从第二天开始每天生长速度为前一天的两倍。

问这两种植物在何时高度相同？在此问题中，蒲和莞高度相同的时刻在( )A. 第二天B. 第三天C. 第四天D. 第五天【答案】B【解析】由题意可得：蒲发芽的第一天长高3莞发芽的第一天长高1尺；综上可得：蒲和莞高度相同的时刻在第三天.本题选择B选项.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的A. 115B. 116C. 357D. 358【答案】D【解析】结合题意，程序运行如下：，执行，跳出循环，输出本题选择D选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．9. ( )A. B.C. D.【答案】ABD错误；C错误；本题选择A选项.10. 已知函数A. 44B. 45C. 1009D. 2018【答案】A本题选择A选项.11. ( )C.【答案】C.据此可得△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，则：据此有：，△ABC的周长：周长的取值范围是本题选择C选项.12. 已知椭圆与双曲线是与在第一象限内的交点，，设与的离心率分别为( )C.【答案】D可得：，结合二次函数的性质可得：的取值范围是本题选择D选项.点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，则：14.的单调递减区间为________.【解析】函数的解析式：，据此可得，函数的单调递减区间满足：.15. ，则数列____________.是首项为，公比为n点睛：数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．16. 2的菱形，积的最大值为________.【解析】四棱锥的体积最大，则使得底面积和高均取得最大值即可，底面积最大时，ABCD在平面内的轨迹是以综上可得：体积的最大值为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(1)(2).【答案】【解析】试题分析：(1)(2)由(1)，又，故，，利用面积相等可得试题解析：(1)(2)由(1)，设边上的高为，则.18. 如图，在四棱锥.(1)(2)求四棱锥.【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：(1)由题意可知四边形是菱形，，结合面面垂直的判断定理可得平面(2)，由几何关系可得结合图形的对称性可得四棱锥的侧面积为.试题解析：(1)，，又∵，19. 某中学为了解高一学生的视力健康状况，在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表，按照《中国学生体质健康监测工作手册》的方法对1039名学生进行了视力检测，判断标准为：为视力正常，为轻度，.统计检测结果后得到如图所示的柱状图.(1)求该校高一年级轻度近视患病率；(2)根据保护视力的需要，需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊，并开展相应的矫治，则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人？(3)若某班级6名学生中有2人为视力正常，则从这6名学生中任选2人，恰有1人视力正常的概率是多少？【答案】(2)135人；【解析】试题分析：(1)(2).(3)记6，视力低下的学生为可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得恰有1试题解析：(1)由柱状图可得：(2)人)即该校高一年级需通知的家长人数约为135人.(3)记6，视力低下的学生为则从中任选2人所有可能为：，，，，，，，，，，即从这6名学生中任选2人恰有120. 的距离为(1)求抛物线的标准方程；(2)是抛物线上的动点，若以点4过定点.【答案】(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)p的方程，解.(2)，则圆过一定点为.试题解析：(1)由题意，，得所以抛物线的标准方程是.(2)的标准方程：，①对于任意的，方程①均成立，，所以，圆过一定点为点睛：求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．21. 已知函数(1)讨论函数(2).【答案】(1)答案见解析；【解析】试题分析：(1)由函数的解析式有上单调递增；.(2)由(1)，满足题意时需，即在，结合函数的性质可得的取值范围是.试题解析：(1)上恒成立，函数在∴令得.(2)由(1)可知，当在上单调递增，在，在所以的取值范围是.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22. 为参数)原点为极点，曲线的极坐标方程是，.(1)时，求点(2)在线段上，且满足，求点.【答案】【解析】试题分析：(1)(2) ，由题意可得，，进而即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)(2)在极坐标系中，设点，，由题意可得，23. 已知函数(1)(2).【答案】(3)........................试题解析：(1)时，解不等式，，所以，(2)，此时恒成立，所以。

2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测高三文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则有：则该复数在复平面内对应的点位于第三象限.本题选择C选项.2. ( )A. B. C. D.【答案】B本题选择B选项.3. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A. 30B. 31C. 32D. 33【答案】B结合题意可知：甲组的平均数为33，本题选择B选项.4. ( )A. 0B. 2C. 0或1D. 0或2【答案】D的距离为D.5. 6，则的最小值为( )C. 1D. 2【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域,,,此时最大为即经过点时, 直线的截距最小,此时最小.由,得,即此时最小值为故选A.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.6. 如图，是正三角形，中点，则下列叙述正确的是( )【答案】DA错误；则△ABC是正三角形，∠CAB=60°，据此可知不成立，说法B误；C错误；△ABC是正三角形，则AE⊥BC，又AE⊥CC1D正确；本题选择D选项.7. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”中最重要的一种。

在其第七章中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是植物蒲发芽的第一天长高三尺，植物莞发芽的第一天长高一尺。

蒲从第二天开始每天生长速度是前一天的一半，莞从第二天开始每天生长速度为前一天的两倍。

问这两种植物在何时高度相同？在此问题中，蒲和莞高度相同的时刻在( )A. 第二天B. 第三天C. 第四天D. 第五天【答案】B【解析】由题意可得：蒲发芽的第一天长高3莞发芽的第一天长高1尺；综上可得：蒲和莞高度相同的时刻在第三天.本题选择B选项.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的A. 115B. 116C. 357D. 358【答案】D【解析】结合题意，程序运行如下：第一次循环，，此时不满足，执行；第二次循环，，此时不满足，执行；，执行，跳出循环，输出本题选择D选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．9. ( )A. B.C. D.【答案】ABD错误；C错误；本题选择A选项.10. 已知函数A. 44B. 45C. 1009D. 2018【答案】A本题选择A选项.11. ( )C.【答案】C.据此可得△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，则：据此有：，△ABC的周长：周长的取值范围是本题选择C选项.12. 已知椭圆与双曲线是与在第一象限内的交点，，设与的离心率分别为( )C.【答案】D可得：，结合二次函数的性质可得：的取值范围是本题选择D选项.点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，则：14.的单调递减区间为________.【解析】函数的解析式：，据此可得，函数的单调递减区间满足：.15. ，则数列____________.是首项为，公比为n点睛：数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．16. 2的菱形，积的最大值为________.【解析】四棱锥的体积最大，则使得底面积和高均取得最大值即可，底面积最大时，ABCD在平面内的轨迹是以综上可得：体积的最大值为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(1)(2).【答案】【解析】试题分析：(1)(2)由(1)知，结合数量积的定义可得，又，故，，由余弦定试题解析：(1)(2)由(1)，设边上的高为，则.18. 如图，在四棱锥.(1)(2)求四棱锥.【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：(1)由题意可知四边形是菱形，，结合面面垂直的判断定理可得平面(2)，由几何关系可得结合图形的对称性可得四棱锥的侧面积为.试题解析：(1)，，又∵，19. 某中学为了解高一学生的视力健康状况，在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表，按照《中国学生体质健康监测工作手册》的方法对1039名学生进行了视力检测，判断标准为：双眼裸眼视力为视力正常，为视力低下，其中为轻度，.统计检测结果后得到如图所示的柱状图.(1)求该校高一年级轻度近视患病率；(2)根据保护视力的需要，需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊，并开展相应的矫治，则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人？(3)若某班级6名学生中有2人为视力正常，则从这6名学生中任选2人，恰有1人视力正常的概率是多少？【答案】(2)135人；【解析】试题分析：(1)(2).(3)记6，视力低下的学生为可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得恰有1试题解析：(1)由柱状图可得：(2)人)即该校高一年级需通知的家长人数约为135人.(3)记6，视力低下的学生为则从中任选2人所有可能为：，，，，，，，，，，即从这6名学生中任选2人恰有120. 的距离为(1)求抛物线的标准方程；(2)是抛物线上的动点，若以点4过定点.【答案】(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)p的方程，解.(2)，则圆过一定点为.试题解析：(1)由题意，，得所以抛物线的标准方程是.(2)圆的标准方程：，①对于任意的，方程①均成立，，所以，圆过一定点为点睛：求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．21. 已知函数(1)讨论函数(2).【答案】(1)答案见解析；【解析】试题分析：(1)由函数的解析式有上单调递增；.(2)由(1)，满足题意时需，即在，结合函数的性质可得的取值范围是.试题解析：(1)上恒成立，函数在∴令得.(2)由(1)可知，当在上单调递增，在，在所以的取值范围是.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22. 为参数)原点为极点，曲线的极坐标方程是，.(1)时，求点(2)在线段上，且满足，求点.【答案】【解析】试题分析：(1)(2) ，由题意可得，，进而即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)(2)在极坐标系中，设点，23. 已知函数(1)(2).【答案】(3)........................试题解析：(1)时，，，所以，(2)，此时恒成立，所以。

2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,2A =，121B x x 禳镲=<睚-镲铪，则下列结论正确的是( ) A.A B Í B.A B =? C.B A Í D.A B R =2.已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量()2,1a =，(),2b m =-，且a b ^，则a b -=( )B.5D.104.设sin2cos a a =，0,2pa 骣琪Î琪桫，则tan 2a 的值是( )B.- D.-5.已知圆()22:1C x a y -+=与抛物线24y x =-的准线相切，则a 的值是( ) A.0B.2C.0或1D.0或26.执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为( )A.7i >B.7i ³C.9i >D.9i ³7.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.30.11≈lg20.30≈)A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年8.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A p w jw j 骣琪=+>><琪桫的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向左平移3p个单位后，得到的图象对应的函数式为( )A.cos 2y x =-B.cos2y x =C.5sin 26y x p骣琪=+琪桫D.sin 26y x p骣琪=-琪桫9.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( ) A.43pB.4pC.163pD.16p10.函数()1ln1xf x x+=-的大致图象是( )ABCD11.如图，网格纸上的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )A.B.C.D.12.若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体()1,2,3,4k k k k A B C D k =，记k k k A B C △的三个内角分别为k A ，k B ，k C ，其中一定不是“完美四面体”的为( ) A.111::3:5:7A B C =B.222sin :sin :sin 3:5:7A B C =C.333cos :cos :cos 3:5:7A B C =D.444tan :tan :tan 3:5:7A B C =二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余1n -个小矩形面积和的13，则该组的频数为.14.若二项式nx 骣琪琪桫展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为 .15.若直线1y kx =-上存在点(),x y 满足约束条件210280320x y x y x y ì--?ïï+-?íï-+?ïî，则实数k 的取值范围是.16.已知双曲线22:145x y C -=的焦点为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点且12F PF △的内切圆半径为1，则12F PF △的面积为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的首项为11a =，且()11n n n a a a ++?，*n N Î.(1)求证：数列1n a 禳镲睚镲铪是等差数列；(2)设n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.某种产品的质量以其“无故障使用时间t (单位：小时)”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率.(1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；(2)若该企业生产的这种产品每件销售利润y (单位：元)与其无故障使用时间t 的关系式为 0,0110,1320,3t y tt ì<?ïï=<?íï>ïî 从该企业任取两件这种产品，其利润记为X (单位：元)，求X 的分布列与数学期望. 19.如图，正三棱柱111ABC A B C -中， 2AB =，13AA =，F 为棱AC 上靠近A 的三等分点，点E 在棱1BB 上且BF ∥面1ACE .(1)求BE 的长；(2)求二面角11A CE B --的余弦值.20.已知椭圆()222210y x a b a b+=>>经过点(，，过原点O 作两条直线12,l l ，直线1l 交椭圆于,A C ，直线2l 交椭圆于,B D ，且222224AB BC CD DA +++=. (1)求椭圆的方程；(2)若直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ×为定值. 21.已知函数()()ln 1f x x x ax =--有两个极值点12,x x . (1)求实数a 的取值范围； (2)求证：12114ln ln ae x x +>，其中 2.71828e =…为自然对数的底数. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t aa ì=ïí=ïî(t 为参数)，其中0a p <<，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 5r q =，P 为曲线1C 与2C 的交点. (1)当3pa =时，求点P 的极径； (2)点Q 在线段OP 上，且满足20OP OQ?，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.23.已知函数()1f x x a x =-++，其中0a >. (1)当1a =时，求不等式()4f x £的解集；(2)设函数()1g x x =-，当x R Î时，()()0f x g x +?，求a 的取值范围.2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题参考答案一、选择题1-5:ADCAD 6-10:BBCCD 11、12：BB二、填空题13.50 14.15 15.3,24轾犏犏臌16.152三、解答题17.解：(1)11111111111n n n n n n n n na a a a a a a a a ++++=?=+?=+， 数列1n a 禳镲睚镲铪是以11a =为首项，以1为公差的等差数列；(2)由(1)可知，1n n a =，1n a n=，n b ，123n n T b b bb =++++…11骣骣骣骣琪=-++++-=-琪桫…18.解：(1)由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是0.4，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率为210.60.64-=； (2)由题意知，X 的分布列为所以X 的数学期望()00.04100.16200.32300.32400.1624E X =?????(元). 19.解：(1)如图，作1FG CC ∥与1A C 交于点G ， ∵1BE CC ∥，∴BE FG ∥，面BEGF 面1ACE EG =， ∵BF ∥面1ACE ，∴BF EG ∥，于是在平行四边形BEGF 中，1322BE FG AA ===.(2)取11B C 的中点H ，∵111ABC A B C -是正三棱柱， ∴111A H B C ^，1A H ^面11BB C C ，连结HE ， 由(1)知145CEB HEB ==∠∠，∴HE CE ^，又1A H ^面11BB C C ，∴1A H CE ^，从而CE ^面1A EH ， 于是二面角11A CE B --的平面角为1A EH ∠，由题，1A HHE1A E ， 故二面角11A CE B --的余弦值为11cos EH A EH A E =∠20.解：(1)由题意知，22211a b +=且2c a =， 解得24a =，22b =，椭圆的方程为22142y x +=；(2)由对称性可知，四边形ABCD 是平行四边形， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,C x y --，()22,D x y --，由22142x y +=，得2242y x =-， ()()()()()22222222221212121222AB BC CD DA AB DAx x y y x x y y 轾+++=+=-+-++++犏臌()()()22222222221212121212444244824x x y y x x x x x x =+++=++-+-=--=，所以22122x x +=，1212122y yk kx x?，故12k k×为定值2.21.解：(1)由()'ln20f x x ax=-=得ln2xax=，记()ln2xxxj=，则()21ln'2xxxj-=，当0x e<<时，()'0xj>，当x e>时，()'0xj<，∴()xj在()0,e上递增，在(),e+?上递减，又()12eej=，0x→时，()xj-?→，x+?→时，()0xj→，由题，()f x有两个极值点12,x x，即方程ln2xax=有两解，即()xj的图象与直线y a=有两个公共点，故10,2ae骣琪Î琪桫.(2)∵12ae<<，∴42ae<，故只需证明：12112ln lnx x+>，由1122ln2ln2x axx axì=ïí=ïî，作差得：1212ln ln2x xax x-=-，因此，1212121212ln ln1111112242ln ln22x xax x ax ax x x x x-+>?>?>=?-()221212112122122ln ln2lnx x x x xx xx x x x x-?-?<，不妨设120x x<<，并令()12lng t t tt=-+，()120,1xtx=?，则()22211'110g tt t t骣琪=--=--<琪桫，∴()g t在()0,1tÎ上单调递减，()()10g t g>=，即12lnt tt-<，即1212122lnx x xx x x-<成立，于是原命题得证.22.解：(1)由题意可知，曲线1C的极坐标方程是q a=，当3pa=时，联立方程组3sin5pqr qì=ïíï=î，解得r，故点P.(2)在极坐标系中，设点(),Q r q ，()1,P r q ，由题意可得，1120sin 5r r r q é=êê=ë，进而可得4sin r q =，从而点Q 的轨迹的直角坐标方程为()()22240x y y +-=?. 23.解：(1)当1a =时，()11f x x x =-++， 解不等式114x x -++?，得22x -＃， 所以，()4f x £的解集为{}22x x -＃.(2)当x R Î时，()()110f x g x x a x x +=-+++-?，所以①当1x ?时，()()0f x g x +?等价于2a x ?恒成立，所以1a ³； ②当1x a -<<时，()()0f x g x +?等价于a x ?恒成立，所以1a ³； ③当x a ³时，()()0f x g x +?等价于3a x £，此时恒成立，所以0a >； 综上可得，[)1,a ki ?.。

2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测文科综合能力测试第I卷一、单选题:本题共35小题,每小题4分,共140分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的云南省东南部红河州北靠昆明,南接越南,是我国著名的旅游胜地,碧色车站是红河州景点之一,也是电影《芳华》取景地之一,下图为该车站星辰运动轨迹图完成下面小题1. 图示站台面朝A. 东B. 南C. 西D. 北2. 下列为红河州主要特色产品的是①丝绸②茶叶③枸杞④米线⑤大枣⑥锡制品A. ①②③B. ④⑤⑥C. ①③⑤D. ②④⑥【答案】1. C 2. D【解析】1. 北极星指示正北方向，而相机对准北极星，附近星辰轨迹则是以北极星为中心的同心圆，读图分析可知，图中星辰运动轨迹中心应该为正北方向，站台的朝向与正北方向垂直，由此推断站台面朝正西，故答案选C项。

2. 云南属于热带、亚热带季风气候，水热充足，适合茶叶的生长，该地主要发展的是水稻种植业，生产大米，因此利用大米作为原料的米线是当地的特产，云南个旧的锡矿资源丰富，因此锡制品较为丰富，因此②④⑥正确，故答案选D项。

下表为我国部分城市2000-2015年年均人口增减量变化情况,完成下面小题3. 对表格中各城市的分析正确的是A. 重庆人口数量不断增加B. 长沙人口数量先减后增C. 上海人口数量先增后减D. 苏州人口数量增速减慢4. 上海和武汉城市人口增量变化的原因最有可能是A. 人口自然增长率增大B. 产业升級和转移C. 城市居住用地紧张D. 城市环境质量变差5. 根据图表中所呈现出的规律,甲城市最有可能是A. 杭州B. 株洲C. 拉萨D. 雄安新区【答案】3. D 4. B 5. A【解析】4. 上海和武汉属于经济发达的城市，随着传统制造的生产成本提高，该地逐渐产业升级和转移，导致劳动密集型产业减少，就业机会减少，人口迁入数量减少，从而导致两个城市的人口数量增速减少，故答案选B项。

5. 读图分析可知，甲类城市属于经济发达的城市，多是由于产业的升级改造导致人口增加速度较小，杭州属于该类城市，故答案选A。

2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ( )C.【答案】AA.2. ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3.C. D. 10【答案】CC.4. ( )C.【答案】AA.5. ( )1 D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D................6. 执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为( )【答案】B此时，需要输出结果，此时的满足判断框中的条件，故选B．考点：程序框图．7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长经费开始超过2000万元的年份是( )(A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年【答案】B年是第一年，则第年科研费为故选B.8. 已知函数个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )D.【答案】C由图知，，向左平移，故选C.9. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则底面周长等于半圆周，正三角形，圆锥外接球球心是正三角形中心，外接球半径是正三角形外接圆半径C.10. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】D；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、项一一排除.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )【答案】B【解析】的正方形，一条长为，四条侧棱分别为 B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给一定不是“完美四面体”的为( )【答案】B，由正弦定理可得，以上方程组无解，即这样的四面体不存在，一定不是完美的四面体，故选B.【方法点睛】本题考查四面体的性质以及长方体的性质、新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“完美四面体”达到考查四面体的性质以及长方体的性质的目的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有________.【答案】50根据直方图的性质可得中间一个小矩形的面积等于，故答案为.14. 若二项式64，则该展开式中常数项为____________. 【答案】15【解析】64，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 上存在点，则实数________.【解析】上存在点表示的可行域，如图，由，得，直线，线可行域有交点，则的取值范围是，故答案为16. 的焦点为，上的一点且的内切圆半径为1的面积为________.【解析】，故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的首项为(1)(2)【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由(2) 由(1)可知试题解析：为首项，以1为公差的等差数列；(2)由(1)【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破（3；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某种产品的质量以其“无故障使用时间 (单位：小时)”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率.(1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；(2)单位：元)与其无故障使用时间的关系式为从该企业任取两件这种产品，其利润记为单位：元).【答案】元)【解析】试题分析：(1) 由古典概型概率公式可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的少有一件是优质产品的概率；(2).试题解析：(1)(2)的数学期望元).19. ，，(1)(2)求二面角.【答案】【解析】试题分析：(1) 作根据线面平行的性质定理可得，(2) (1)知，从而面试题解析：(1)如图，作(2)由(1)的余弦值为20. 已知椭圆经过点，离心率为，直线交椭圆于(1)求椭圆的方程；(2)为定值.【答案】见解析【解析】试题分析：(1)根据椭圆，离心率为、的方程组，求出、即可得椭圆的方程；(2) 由对称性可知，是平行四边形，设试题解析：(1)由题意知，且(2)是平行四边形，故为定值2.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数(1)求实数的取值范围；(2).【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1) ，有两个公共点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可求得实数的取值范围；(2) ，故只需证明：，利用导数可证明，从而可得结果.试题解析：(1)上递增，在由题，有两个极值点有两个公共点，(2)∵，故只需证明：，作差得：，不妨设，并令上单调递减，.22. 在直角坐标系中，曲线为参数)点为极点，曲线的极坐标方程是，的交点.(1)时，求点(2)在线段上，且满足，求点.【答案】【解析】试题分析：(1) 先求得曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，从而可得点的极径；(2) 点，，由题意可得，，进而可得，两边同乘以，利用即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)(2)在极坐标系中，设点，，由题意可得，23. 已知函数(1)(2).【答案】【解析】试题分析：(1)解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 时，时，时，种情况求解，再求并集即可得的取值范围.试题解析：(1)时，解不等式，，所以，(2)，此时恒成立，所以。

2017-2018学年安徽省马鞍山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 2．（5分）倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（）A．x﹣y+1＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x+y﹣1＝0D．x+y+1＝03．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面5．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），若满足a＝2b，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（）A．B．1C．2D．7．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y＝f（x）的图象如图，那么导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B 两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．710．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（）A．2 f（1）＞f（2）B．2 f（1）＜f（2）C．2 f（1）＝f（2）D．f（1）＝f（2）12．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1＝F1F2，则C的离心率是（）A．﹣1B．C．+1D．﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷的相应位置．13．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为．14．（5分）设L为曲线C：y＝在点（1，0）处的切线，则L的方程为．15．（5分）椭圆+＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是．16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a＝0”，若命题“p ∧q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为，圆心C 在第一象限．（1）求圆C的方程；（2）若点P是直线l：3x+4y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线，切点为B，求△PBC 面积的最小值．19．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点．（1）求证：EF∥平面BB1D1D；（2）求三棱锥D﹣BEF的体积．20．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．21．（12分）设f（x）＝a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x﹣y+6＝0．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．22．（12分）设A，B为抛物线y2＝x上相异两点，其纵坐标分别为﹣1，2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）M为A，B间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值，如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．2017-2018学年安徽省马鞍山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．2．【解答】解：∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于﹣1，∵在y轴上的截距是﹣1，由直线方程的斜截式得：y＝﹣1×x﹣1，即y＝﹣x﹣1，故选：D．3．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．4．【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．故选：C．5．【解答】解：∵a＝2b∴e＝＝＝＝＝＝，故选：C．6．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a＝＝2．故选：C．7．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y＝0，可得x＝﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c＝5，∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，∴＝2，∵c2＝a2+b2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为＝1．故选：D．8．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选：A．9．【解答】解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣．则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12故选：C．10．【解答】解：∵AB1∥DC1，∴∠DC1B是直线AB1与BC1所成角，∵△BDC1是等边三角形，∴直线AB1与BC1所成角60°．故选：C．11．【解答】解：构造函数：g（x）＝（x≠0），∵函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），∴g′（x）＝＞0，∴x＞0时，函数g（x）单调递增，∴g（1）＜g（2），即＜，即2f（1）＜f（2），故选：B．12．【解答】解：可设F1F2＝2c，则PF1＝2c，在直角三角形PF1F2中，PF2＝＝2c，由双曲线的定义可得，PF2﹣PF1＝2a，即2（﹣1）c＝2a，则e＝＝＝1+．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷的相应位置．13．【解答】解：将抛物线化为标准方程：x2＝y，因为其准线为y＝1，所以a＜0，从而其准线方程为y＝﹣＝1，解得a＝﹣．故答案为：﹣14．【解答】解：由y＝，得，∴，即曲线C：y＝在点（1，0）处的切线的斜率为1，∴曲线C：y＝在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．15．【解答】解：椭圆+＝1的长半轴的长为：5，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长为：4a＝20．故答案为：20．16．【解答】解：对f（x）求导后：f'（x）＝2x﹣；函数f（x）＝x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；∴2x﹣≥0⇒2x2≥m；故u＝2x2在[2，+∞）上的最小值为u（2）＝8；所以，m的取值范围为（﹣∞，8]；故答案为：（﹣∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：对于命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，∴a≥（e x）max，x∈[0，1]，∵e x在x∈[0，1]上单调递增，∴当x＝1时，e x取得最大值e，∴a≥e．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a＝0，∴△＝42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴e≤a≤4．18．【解答】解：（1）∵圆C与y轴相切于点A（0，1），圆心C在第一象限∴可设圆心坐标为C（R，1），半径为R…（1分）∵圆C被x轴所截得的弦长为∴，得R＝2，…（3分）∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4…（5分）（2）∵点P是直线l：3x+4y+5＝0上的动点圆心C到直线l：3x+4y+5＝0的距离为…（7分）即|PC|的最小值为3…（8分）过点P作圆C的切线，切点为B，连接BC，有BC⊥PC…（9分）∴△PBC的面积等于而在RT△PBC中有|PB|2＝|PC|2﹣|BC|2，又|BC|＝R＝2∴…（11分）∴△PBC面积的最小值为…（12分）19．【解答】（1）证明：取DC中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为BC，DC的中点，∴EG∥BD，∵BD⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D；∵F，G分别为D1C1，DC的中点，∴D1F∥DG，D1F＝DG，则四边形DD1FG为平行四边形，∴FG∥D1D，∵D1D⊂平面BB1D1D，FG⊄平面BB1D1D，∴FG∥平面BB1D1D，∵EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BB1D1D，则EF∥平面BB1D1D；（2）解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，∴＝．20．【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1，故曲线C的方程为x2+＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3＝0，故x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，若⊥，即x1x2+y1y2＝0．而y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2＝﹣﹣﹣+1＝0，化简得﹣4k2+1＝0，所以k＝±．21．【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝a（x﹣5）2+6lnx，则有x＞0，f′（x）＝2a（x﹣5）+，则f′（1）＝﹣8a+6，又由f（x）＝a（x﹣5）2+6lnx，则f（1）＝16a，故切线方程是：y﹣16a＝（﹣8a+6）（x﹣1），即（﹣8a+6）x﹣y+24a﹣6＝0，即2x﹣y+6＝0，则，解可得a＝；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝（x﹣5）2+6lnx，则f′（x）＝（x﹣5）+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜2，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜3，则f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，故f（x）的极大值为f（2）＝+6ln2，极小值为f（3）＝2+6ln3．22．【解答】解：（I）A（1，﹣1），B（4，2），设l1的方程为y+1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k﹣1，联立方程组，消元得：ky2﹣y﹣k﹣1＝0，∴△＝1+4k（k+1）＝0，解得k ＝﹣．∴l1方程为：y ＝﹣x ﹣．同理可得l2方程为：y ＝x+1．联立方程组，解得．∴P点坐标为（﹣2，）．（II）设M（y02，y0）（﹣1≤y0≤2），则＝（y02+2，y0﹣）.＝（3，﹣），＝（6，）．∵，∴．解得λ＝，μ＝．∴＝+＝1．第11页（共11页）。

2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测高三文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则有：，则该复数在复平面内对应的点位于第三象限.本题选择C选项.2. 若全集，集合，，则为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】求解二次不等式可得：或，则，结合交集的定义有：.本题选择B选项.3. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A. 30B. 31C. 32D. 33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的平均数为：，结合题意可知：甲组的平均数为33，即，则甲组数据的平均数为：.本题选择B选项.4. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为( )A. 0B. 2C. 0或1D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D.5. 设，其中变量满足，若的最大值为6，则的最小值为( )A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域,由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,此时最大为.即,经过点时, 直线的截距最小,此时最小.由,得,即,因为直线过,.由,解得,即.此时最小值为,故选A.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.6. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是( )A. 与是异面直线B. 平面C. 平面D. 与为异面直线，且【答案】D【解析】与均在平面内，两直线不是异面直线，说法A错误；底面三角形是正三角形，则△ABC是正三角形，∠CAB=60°，据此可知平面不成立，说法B误；，而平面不成立，据此可知平面不成立，说法C错误；△ABC是正三角形，则AE⊥BC，又AE⊥CC1，据此可得平面，则与为异面直线，且，说法D正确；本题选择D选项.7. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”中最重要的一种。

安徽省马鞍山市2016-2017学年高三上学期期末考试数学（文）试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。

2.用2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卷的整洁。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}|04,|13A x x B x N x =≤<=∈≤≤，则A B = A. {}|04x x ≤≤ B. {}|13x x ≤≤ C. {}1,2,3 D.{}0,1,2,32.关于x 的方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于A. 22i -B.22i +C. 22i -+D.22i -- 3.已知等比数列，则1"0"a >是2017"0"a >的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 4.下列说法正确的是A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B. 在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”必要不充分条件C. “若tan α≠3πα≠”是真命题D.()0,0x ∃∈-∞使得0034xx<成立5.在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为 A. 30B. 45C. 60D.906.已知实数0.30.120.31.7,0.9,log 5,log 1.8a b c d ====，那么它们的大小关系是 A. c a b d >>> B. a b c d >>> C. c b a d >>> D. c a d b >>>7.函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则()20f x ->的解集为 A. {}|04x x x <>或 B. {}|04x x << C. {}|22x x x <->或 D. {}|22x x -<< 8.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：()12100,3sin 1004y t y t πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则这两个声波合成后（即12y y y =+）的声波的振幅为A. 3+9.下列四个图中，可能是函数ln 11x y x +=+的图象是是10.已知()()cos 23,cos67,2cos68,2cos 22AB BC ==，则ABC ∆的面积为211.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S 为()S R r l π=+（注：圆台侧面积公式为）A. 17π+B. 20π+C.22πD. 17π+ 12.已知a R ∈，若()xa f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,1上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是A. 0a >B. 1a ≤C. 1a >D. 0a ≤第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3339,22a S ==，则公比q = ▲ .（14）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ▲ .（15）已知tan α，tan β分别是2lg(652)0x x -+=的两个实数根，则tan()αβ+= ▲ . （16）若定义域为R 的偶函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，且当[]0,2x ∈时，()22f x x =-，则方程()sin f x x =在[]10,10-内的根的个数是 ▲ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC △，求ABC △的周长．（18）（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且12n n S a =-+. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）若21log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求12111nT T T +++ .（20）（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2PB PD ==，PA =AC BD O = .（Ⅰ）设平面ABP 平面DCP l =，证明：//l AB ； （Ⅱ）若E 是PA 的中点，求三棱锥P BCE - 的体积P BCE V -.已知函数()2()1x f x x e ax =-+，R a ∈. （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.（Ⅰ）直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程； （Ⅱ）点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()|||1|f x x a x =-+-.（Ⅰ）当2a =，求不等式()4f x <的解集；（Ⅱ）若对任意的x ，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.安徽省马鞍山市2016-2017学年高三上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题13．1或12-（答1个得3分，答2个得5分） 14． 5815．1 16．10三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知以及正弦定理，得()()()a a b c b c b -=-+， （2分） 即222a b c ab +-=. （3分）所以2221cos 22a b c C ab +-==， （5分） 又()0πC ∈，，所以π3C =. （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b c ab +-=，所以()2237a b ab c +-==， （8分）又1sin 2S ab C =⋅==，所以6ab =， （9分） 所以2()7325a b ab +=+=，即5a b +=. （11分）所以ABC △周长为5a b c ++=（12分）（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，有12n n S a =-+ ①，当1n =时，1112a a =-+，即11a =. （1分） 当2n ≥时，1112n n S a --=-+ ②，①-②得1122n n n n n a S S a a --=-=- ，即()122n n a a n -=≥. （3分） 所以{}n a 是2为公比，1为首项的等比数列，即12n n a -=. （5分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得21log ln 2n n n b a n +===， （6分） 所以(1)122n n n T n +=+++= . （8分） 所以12111n T T T +++()22221223341n n =++++⨯⨯⨯+ （9分） =111111121223341n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪+⎝⎭（10分）=1211n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ （11分） =21nn + （12分）（19）（本小题满分12分）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为//,,AB DC AB PDC DC PDC ⊄⊂平面平面， 所以AB PDC //平面. （2分） 又平面ABP 平面DCP l =，且AB ABP ⊂面，所以//l AB . （4分） （Ⅱ）解：因为底面是菱形，所以BD AC ⊥. （5分） 因为PB PD =，且O 是BD 中点，所以BD PO ⊥. （6分）又PO AC O = ，所以BD PAC ⊥面.所以BO 是三棱锥B PCE -的高. （7分）因为AO 为边长为2的等边△ABD 的中线，所以AO =.因为PO 为边长为2的等边△PBD 的中线，所以PO =.在△POA 中，PA =AO =PO =，所以222AO PO PA +=，所以PO AO ⊥. （8分） 所以132PAC S AC PO ∆== ， （9分） 因为E 是线段PA 的中点，所以1322PCE PAC S S ∆∆==. （10分） 所以1132P BCE B PCE PCE V V S BO --∆==⨯⨯=. （12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()(1)2(2)x x x f x e x e ax x e a '=+-+=+. （1分） （i ）若0a ≥，则当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<；故函数()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增． （2分） （ii ）当0a <时，由()0f x '=，解得：0x =或ln(2)x a =-. （3分）①若ln(2)0a -=，即12a =-，则x R ∀∈，()(1)0x f x x e '=-≥，故()f x 在(,)-∞+∞单调递增． （4分）②若ln(2)0a -<，即102a -<<，则当(,ln(2))(0,)x a ∈-∞-+∞ 时，()0f x '>；当(l n (2),0)x a∈-时，()0f x '<；故函数在(,ln(2))a -∞-，(0,)+∞单调递增，在(ln(2),0)a -单调递减． （5分）③若ln(2)0a ->，即12a <-，则当(,0)(ln(2),)x a ∈-∞-+∞ 时，()0f x '>；当(0,l n (2)x a ∈-时，()0f x '<；故函数在(,0)-∞，(ln(2),)a -+∞单调递增，在(0,ln(2))a -单调递减． （6分）（Ⅱ）（i ）当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增． ∵2(0)10,(2)40f f e a =-<=+>，取实数b 满足2b <-且ln b a <，则()()22()(1)14210f b a b ab a b b a >-+=+->-->， （7分） 所以()f x 有两个零点． （8分） （ii ）若0a =，则()(1)x f x x e =-，故()f x 只有一个零点． （9分） （iii ）若0a <，由（I ）知，当12a ≥-，则()f x 在(0,)+∞单调递增，又当0x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点；（10分）当12a <-，则函数在(ln(2),)a -+∞单调递增；在(0,ln(2))a -单调递减．又当1x ≤时，()0f x <，故不存在两个零点． （11分）综上所述，a 的取值范围是()0,+∞． （12分）（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）1C 的普通方程是()2224x y ++= ， （2分）1C 的极坐标方程4cos ρθ=- ， （4分） 2C 的普通方程40x y +-=. （6分） （Ⅱ）方法一：1C 是以点()2,0-为圆心，半径为2的圆；2C 是直线. （7分）圆心到直线2C 2=>，直线和圆相离. （8分）所以AB 的最小值为2. （10分） 方法二：设()22cos ,2sin A θθ-+，因为2C 是直线， （7分）所以AB的最小值即点A到直线的距离d的最小值，d==，（9分）2=. （10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当2a=时，不等式()4f x<，即|2||1|4x x-+-<.可得2214xx x≥⎧⎨-+-<⎩，或12214xx x<<⎧⎨-+-<⎩或1214xx x≤⎧⎨-+-<⎩（3分）解得1722x-<<，所以不等式的解集为17|22x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （6分）（Ⅱ）|||1|1x a x a-+-≥-，当且仅当()()10x a x--≤时等号成立. （8分）由12a-≥，得1a≤-或3a≥，即a的取值范围为(][),13,-∞-+∞（10分）。

32A4B5C6D716．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin -sin )(sin -sin )c b C B a A B +=．若23c =，则22a b +的取值范围是________．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡上答题． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且241n S a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）设12n n n b a a +=-g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计男生 10 女生 20 合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35． （Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20()p K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（本小题满分12分）已知几何体ABCDEF 中，AB CD ∥，AD CD ⊥，D A BC E A ⊥平面，FC EA ∥，1AB AD EA ===，2CD CF ==． （Ⅰ）求证：平面EBD ⊥平面BCF ；（Ⅱ）求点B 到平面ECD 的距离． 20．（本小题满分12分）已知曲线2:4C y x =，22:(1)4(1)M x y x -+=≥，直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若4OA OB =-u u u r u u u rg ，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅰ）若直线l 与曲线M 相切，求MA MB u u u r u u u rg 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln ()()f x x x x a a =---∈R ．。

安徽省马鞍山含山2020-2021学年度高三联考数学（联考）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合2{|lg 1},{|35120}M x x N x x x =<=-++<，则（ ） A ．N M ⊆ B ．R C N M ⊆C ．4(3,10)(,)3M N ⋂=⋃-∞-D ．()(0,3]R M C N ⋂=2．已知(3,2),(1,)a b m ==-，且//()a ma b +，则m =（ ） A ．15-B ．15C ．23-D ．233．cos80∘cos200∘+sin80∘sin200∘=（ ） A ．−12 B ．−√32C ．12D ．√324．已知||1,||2a b ==，且(2)b a b -⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( ) A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题6．已知tan()4cos(2),22ππθπθθ-=-<，则tan 2θ=（ ）A ．B ．7C ．D 7．设()f x 是定义在R 上的函数，它的图象关于点(1,0)对称，当1x ≤时，()2xf x xe-=（e 为自然对数的底数），则(23ln 2)f +的值为（ ）A ．24ln2B ．32ln 2C ．40ln 2D ．10-8．已知函数()421x f x x -=-+的零点为a ，设,ln a b c a π==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<9．函数2222(1)ln 2(1)x y x x +=-⋅+的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()log (|1|)a f x x a =--（0a >且1a ≠），则“()f x 在[3,)+∞上是单调函数”是“12a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则(12)3f =；21的因数有1,3,7,21，则(21)21f =，那么10051()i f i =∑的值为（ ）A ．2488B ．2495C ．2498D ．250012．已知0λ>，若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的最大值为（ ） A ．3 B ．2e C ．3eD ．e二、填空题13．若向量a 与b 满足(23)a b b +⊥，且22b =，则向量a 在b 方向上的投影为__________． 14．将函数2111()cos cos sin 2sin cos ()2442f x x x πθθθθ=--<的图象向右平移512π个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线9x π=对称，则7()9g π=__________.15．在ABC ∆中，3,4AC CB ==，边AB 的中点为D ，则sin sin ACDDCB∠=∠__________.三、解答题16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为{},22,n n n n S S a b =-为等差数列，3226,10b a b b =+=.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）求数列{}(23)n n a b -的前n 项和n T .17．设函数()sin()(0,0,)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）当[,]3x ππ∈-时，求()f x 的取值范围.18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 2sin 0c A b C -=，2225a b c ac --=. （1）求cos A 的值；（2）若b =ABC ∆的面积.19．已知函数()2(1)x f x x e =-.（1）若函数()f x 在区间(,)a +∞上单调递增，求()f a 的取值范围；（2）设函数()xg x e x p =-+，若存在0[1,]x e ∈，使不等式000()()g x f x x ≥-成立，求实数p 的取值范围.20．在ABC 中的内角A 、B 、C ，sin()sin sin A B C B -=-，D 是边BC 的三等分点（靠近点B ），sin sin ABDt BAD∠=∠．（1）求A 的大小．（2）当t 取最大值时，求tan ACD ∠的值．21．已知函数2()2ln ax bf x x x-=-的图象在1x =处的切线过点(0,22),,a a b R -∈.（1）若85a b +=，求函数()f x 的极值点； （2）设1212,()x x x x ≠是函数()f x 的两个极值点，若111x e<<，证明：21()()1f x f x -<.（提示27.40e ≈）参考答案1．D 【解析】求解对数不等式可得：{}|010M x x =<<，求解一元二次不等式可得：433N x x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭或，则：4|33R C N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|310M N x x ⋂=<<，()(]0,3R M C N ⋂=. 本题选择D 选项.2．C 【解析】由题意可得：()()()3,21,31,3ma b m m m m m +=+-=-， 结合向量平行的充要条件有：31332m m-=, 求解关于实数m 的方程可得：23m =-.本题选择C 选项.3．A【解析】由题意可得：cos 80∘cos 200∘+sin 80∘sin 200∘=−cos80∘cos20∘−sin80∘sin20∘=−cos (80∘−20∘)=−cos60∘=−12.本题选择A 选项.4．B 【解析】由向量垂直的充要条件有：()2220b b a b a b ⋅-=-⋅=， 则：222,1a b b a b ⋅==∴⋅=， 结合向量的夹角公式有：12cos ,12a b a b a b ⋅===⨯⨯据此可得：向量a 与b 的夹角为4π. 本题选择B 选项. 5．D 【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+,且导函数()10ln 3xf x e x '+=>， 则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=， 可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题. 6．B 【解析】由题意结合诱导公式可得：1cos 4cos ,4cos tan sin θθθθθ=∴=， 据此可得：1sin ,0,42πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，结合同角三角函数基本关系可得：cos θ==，sin tancos θθθ==利用二倍角公式可得：22tan tan 21tan 7θθθ==-. 本题选择B 选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式sin tan cos xx x=化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2 θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2 θ)7．D 【解析】函数图象关于点()1,0对称，则对于任意的实数x R ∈，有：()()2f x f x =--.据此可得：()()()3ln223ln23ln223ln26ln 2848ln2f f e +=--=-⨯-⨯=⨯=.本题选择D 选项.8．C 【解析】指数函数4x y -=和一次函数21y x =-+都是定义在R 上的单调递减函数， 则函数()f x 是定义在R 上的单调递减函数，且：()()013040120,121044f f =-+=>=-+=-<， 结合函数零点存在定理可得：01a <<， 据此可得：1,ln 0a b c a π=>=<， 则：c a b <<. 本题选择C 选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9．C 【详解】函数()()22221ln 21x y x x +=-⋅+是偶函数，排除AD ;且222222(1)2,02(1)x x x x ++≥+∴≤+ 当01,0,10.x y x y <<>==时当时， 排除B ,选C.点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图象；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值． 10．B 【解析】很明显函数1y x a =--和函数1y x =-在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.函数()f x 有意义，则：10x a -->恒成立，即：()min 1312a x <-=-=. 结合复合函数的单调性可得当01a <<时，函数()f x 在定义域内单调递减； 当12a <<时，函数()f x 在定义域内单调递增，即若()f x 在[)3,+∞上是单调函数，则01a <<或12a <<， “()f x 在[)3,+∞上是单调函数”是“12a <<”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．11．D 【解析】由f n （） 的定义知2f n f n =（）（） ，且若n 为奇数则f n n =（）则()()()()100112...100i f i f f f ==+++∑()()()135..+99+24...100f f f =++++++()()()()()501501+99+12...50=2500+2i f f f f i =⨯=+++∑()()()100100505111=-=2500i i i f i f i f i ===∴∑∑∑选D 12．D 【解析】令(),()ln xf x eg x x λλ== ，易得()f x 与()g x 互为反函数⇒ ()f x 与()g x 关于直线y x = 对称⇒原命题等价于ln xe x x λλ≥≥ 在()0,+∞上恒成立.记()xh x e x λ=-⇒'()h x =110ln (0,ln ),'()0;(ln ,),'()0xe x x h x x h x λλλλλλλλ-=⇒=⇒∈∈+∞ln min ()(ln )ln ln 0h x h e e λλλλλλλλλ⇒==-=-≥⇒≤ ，记()ln x x x ϕλ=- ，同理可得e λ≤，综上λ的最大值为e ，故选A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现()f x 与()g x 互为反函数；将原命题等价转化为ln xe x x λλ≥≥ 在()0,+∞上恒成立； 利用导数工具求()x h x e x λ=-的最小值，从而求得e λ≤； 13．-【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，利用向量垂直的充要条件有：()2223230,23a b b a b b a b b +⋅=⋅+=∴⋅=-, 即：22cos 3a b b θ⨯⨯⨯=-，据此可得：向量a 在b方向上的投影为2233cos 222ba bθ-⨯-⨯===-⨯.14．18【解析】函数的解析式：()()11cos 211cos sin 2sin cos 224411cos 2cos sin 2sin 441cos 2.4x f x x x x x θθθθθθ+=⨯⨯--=-=+ 据此可得：()15cos 2412g x x πθ⎡⎤⎛⎫=+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则：15111cos 2cos 94912418g πππθθπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-=- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 结合三角函数的性质可得：1111,1818k k θππθππ-=∴=+， 令1k =-可得：718θπ=-， 故：()175cos 241812g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，7177511cos 2cos 9418912438g πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⨯-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．15．43【解析】如图所示，作CE AB ⊥于点E ，则：11sin 22111sin 22ACD BCDAD CE AC AD ACD S S BD CE BC BD DCB ⨯⨯⨯⨯⨯∠===⨯⨯⨯⨯⨯∠， 则：sin 4sin 3ACD BC DCB AC ∠==∠.16．（1）2nn a =,1n b n =+（2）1(23)26n nT n +=-⋅+【解析】试题分析：(1)分类讨论1n =和2n ≥两种情况可得数列{}n a 的通项公式为2n n a =，据此计算可得1n b n =+；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列(){}23n n a b -的前n 项和()12326n n T n +=-⋅+. 试题解析：（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即2nn a =，又322644,210b a b b b ==+==，所以1n b n =+. （2）因为()()23212nn n a b n -=-⋅，所以()23123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅，②由①-②得()()23122222212n n n T n +-=++++--⋅，所以()12326n n T n +=-⋅+.17．(1)12()3sin()23f x x π=-；(2)33()2f x -≤≤-. 【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得12ω=，结合33f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则23πφ=-，函数的解析式为()12323f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. (2)由函数的定义域可得125,2366x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则函数的值域为()332f x -≤≤-. 试题解析： （1）由图象知43,433T A πππ==-=，即4T π=.又24ππω=，所以12ω=， 因此()132f x sin x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为点33f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以()262k k Z ππφπ+=-+∈，即()223k k Z πφπ=-+∈， 又φπ<，所以23πφ=-，即()12323f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当,3x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，125,2366x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 所以1211232sin x π⎛⎫-≤-≤- ⎪⎝⎭，从而有()332f x -≤≤-.18．（1）5-（2）3. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出2225cos 25b c aA bcac +-===-（2）根据b =c,根据同角三角函数关系求sin A ,利用面积公式1sin 2s bc A =求解.试题解析：（1）因为sin 2sin 0c A b C -=，所以2ac bc =，即2a b =.所以2225cos 2b c aA bcac +-===（2）因为b =1）知2a b =，所以a =由余弦定理可得222?(c =+-，整理得22150c c +-=，解得3c =，因为cos A =，所以sin A =所以ABC ∆的面积13325S =⨯=. 19．(1)[2,)-+∞；(2)[,)e .【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得()f x 在()0,+∞上单调递增，则()f a 的取值范围是[)2,-+∞；(2)原问题等价于存在[]01,x e ∈，使不等式()0023xp x e ≥-成立.构造新函数()()23x h x x e =-，结合函数()h x 的性质可得实数p 的取值范围为[),e -+∞. 试题解析：（1）由()20xf x xe '=>得0x >，()f x ∴在()0,+∞上单调递增，()()0,02a f a f ∴≥∴≥=-， ()f a ∴的取值范围是[)2,-+∞.（2）存在[]01,x e ∈，使不等式()()000021xg x x e x ≥--成立，∴存在[]01,x e ∈，使不等式()0023x p x e ≥-成立.令()()23xh x x e =-，从而()[]()1,min p h x x e ≥∈，()()21x h x x e -'=，()1,211,0,0x x x e h x ≥∴-≥>'∴>， ()()21x h x x e ∴=-在[]1,e 上单调递增， ()()1,min h x h e ∴==- p e ∴≥-.∴实数p 的取值范围为[),e -+∞.20．（1）3A π=；（2）2【解析】试题分析; （1）由()sin sin sin A B C B -=-，可得()()sin sin sin B A B A B =+--，整理得sin 2cos sin B A B =.又sin 0B ≠，所以1cos 2A =，即3A π=. （2）设BD x =，BAD θ∠=，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2DC x =，sin sin B t θ=.由正弦定理得AD tx =，sin sin 23t C πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又2sin sin 3C B π⎛⎫=-⎪⎝⎭ sin 2t B θ=+，由sin sin 223t t B πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos cos 3B t πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为222222sin cos sin cos 13B B t t πθθ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以2t = 2226πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2662πππθ-<-<.所以当206πθ-=，即12πθ=时，t 取得最大值1，由此可得，tan tan 234ACD πππ⎛⎫∠=--=+ ⎪⎝⎭试题解析：（1）因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--，即()()sin sin sin B A B A B =+--，整理得sin 2cos sin B A B =.又sin 0B ≠，所以1cos 2A =，即3A π=.（2）设BD x =，BAD θ∠=，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2DC x =，sin sin B t θ=.由正弦定理得AD tx =，sin sin sin 23AD DAC t C DC πθ∠⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又2sin sin 3C B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭1sin sin 22t B B θ=+sin sin 223t t B πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos cos 3B t πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为222222sin cos sin cos 13B B t t πθθ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以2221sin cos 3t πθθ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 221cos21cos 23πθθ=⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭2226πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2662πππθ-<-<.所以当206πθ-=，即12πθ=时，t取得最大值1，此时)sin 142B =⨯=，所以4B π=，tan tan 234ACD πππ⎛⎫∠=--=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力． 21．(1)12或2；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得a b =.(1)由题意可得45a b ==，利用导函数研究函数的极值可得()f x 的极值点为12或2.(2)由导函数的性质可得()1f x 是函数()f x 的极大值，()2f x 是函数()f x 的极小值，据此构造函数()112111212t h t lnt lnt t t -=-=--++，据此可知()()()221021t h t t t '-=-<+，则函数()h t 在21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，据此可得()()122218411f x f x h ee ⎛⎫-<=< ⎪+⎝⎭. 试题解析：()()222,12ax x bf x f a b x-+=∴='+'-， 又()1f a b =-，曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,22a -，()22210a b a a b ---∴=+--，得a b =.（1）84,55a b a b +=∴==，令()0f x '=，得22520x x -+=， 解得12x =或()2,f x ∴的极值点为12或2. （2）12,x x 是方程()2220ax x a f x x '-+==的两个根，1122121221,1x x x a x x x ∴===++， 121111,1,0x x a e x ∴∴=， ()1f x ∴是函数()f x 的极大值，()2f x 是函数()f x 的极小值，∴要证()()211f x f x -<，只需()()121f x f x -<，()()121122*********a a af x f x ax lnx ax lnx ax lnx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-----=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221111221111144112x x lnx lnx x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 令21t x =，则211t e<<， 设()112111212t h t lnt lnt t t -=-=--++，则()()()221021t h t t t '-=-<+，函数()h t 在21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()22121h t h ee ⎛⎫∴<= ⎪+⎝⎭， ()()122218411f x f x h e e ⎛⎫∴-<=< ⎪+⎝⎭.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x )>0（或f′(x )<0）仅是f (x )在某个区间上递增（或递减）的充分条件．在区间（a ,b ）内可导的函数f (x )在（a ,b ）上递增（或递减）的充要条件应是f ′(x )≥0或f′(x )≤0恒成立，且f′(x )在（a ,b ）的任意子区间内都不恒等于0．这就是说，函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f′(x 0)=0.。