2013年佛山二模理科数学试题2013.4.18本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}{}24,Z ,13M x x x N x x =-≤≤∈=-<<，则M N = A ．()1,3-B ．[2,1)-C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0--2．已知复数z 的实部为1，且2z =，则复数z 的虚部是A． BC． D． 3．已知数列}{n a 是等差数列，若3,244113==+a a a ，则数列}{n a 的公差等于 A ．1B ．3C ．5D ．64. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是A ．30B ．60C ．70D ．80 5．函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，]11[，-∈x ,则 A ．()f x 为偶函数，且在]10[，上单调递减；90 110 周长(cm)100 120130第4题图B ．()f x 为偶函数，且在]10[，上单调递增；C ．()f x 为奇函数，且在]01[，-上单调递增；D ．()f x 为奇函数，且在]01[，-上单调递减. 6．下列命题中假．命题．．是 A ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；C ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．7．直线0102=-+y x 与不等式组024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A ．0 个B .1 个C .2个D .无数个 8．将边长为2的等边三角形P A B 沿x 轴滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[0,2]； ②()f x 是周期函数；③( 1.9)()(2013)f f f π-<<； ④609()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为:A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．O P A 第8题图(一)必做题(9～13题)9．命题“∃0x ∈R ，0x e ≤0”的否定是 .10. 已知向量,a b满足1,==a b ()-⊥a b a , 向量a 与b 的夹角为 .11．若二项式()12nx +展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，则n 等于 . 12．已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上,则圆C 的方程为 .13．将集合{22s t +|0s t ≤<且,s t Z ∈}中的元素按上小下大， 左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为i j b （0i j ≥>）,则65b = . (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ= 的交点分别为A B 、，则线段A B 的垂直平分线的 极坐标方程为 ．15．（几何证明选讲）如图，圆O 的直径9A B =，直线C E 与圆O相切于点C ， AD C E ⊥于D ，若1AD =，设A B C θ∠=， 则sin θ=______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，以O x 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知(1,3)A -.（1）若O A O B ⊥,求tan α的值；35691012第13题图DC第15题图（2）若B 点横坐标为45,求AOB S ∆.17．（本题满分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A 、B 、D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是110,道路C 、E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是15，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到. （1）求李生小孩按时到校的概率； （2）李生是否有七成把握能够按时上班？ （3）设ξ表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数，求ξ的均值.18．（本题满分14分）如图甲，设正方形A B C D 的边长为3,点E F 、分别在A B C D 、上,并且满足22A E E B C F F D ==，,如图乙,将直角梯形A E F D 沿E F 折到11A EFD 的位置,使点1A 在平面EBC F 上的射影G 恰好在B C 上． （1）证明：1//A E 平面1CD F ；（2）求平面B E F C 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值．乙甲丙ABDE第17题图BE CD F图甲1A EFBC1DG图乙A第18题图19．（本题满分14分）在平面直角坐标系内，动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切. （1）求动圆圆心C 的轨迹2C 的方程；（2）中心在O 的椭圆1C 的一个焦点为F ,直线l 过点(4,0)M .若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在曲线2C 上，且直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C 的长轴长取得最小值时的椭圆方程.20．（本题满分14分）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度()f x 与时间x (小时)的关系可近似地表示为：620363()1 366x x x f x x x ⎧--≤<⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩,只有当污染河道水中碱的浓度不低于13时,才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？ （2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到13时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为()g x ,求()g x 的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．）21．（本题满分14分）设函数1220()xf x x e-=⋅，记0()f x 的导函数01()()f x f x '=，1()f x 的导函数12()()f x f x '=，2()f x 的导函数23()()f x f x '=，…，1()n f x -的导函数1()()n n f x f x -'=，1,2,n = .（1）求3(0)f ； （2）用n 表示(0)n f ；（3）设231(0)(0)(0)n n S f f f +=+++ ，是否存在*n N ∈使n S 最大？证明你的结论.2013年佛山二模理科数学试题评分参考一、填空题 CDBCABBC二、填空题9．∀x ∈R ，x e >0 10．4π11．8 12．()()22115x y -+-=13．8014．sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或1cos sin =+θρθρ） 15．13三、解答题16．⑴解法1、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα， ……1分(1,3)O A =-，(cos ,sin )O B αα= (2)分O A O B ⊥，得0O A O ⋅= ……3分∴cos 3sin 0αα-+=，1tan 3α=……4分解法2、 由题可知：(A -，(cos ,sin )B αα ……1分3O A k =-，tan OB k α= ……2分∵O A O B⊥，∴1OA O BK K ⋅=- ……3分 3tan 1α-=-，得1tan 3α=……4分解法3、 设) , (y x B ，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、由⑴OA ==， 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sin10β==，cos 10β==-（每式1分） ……6分∵1O B = 4cos 5α=，得3s i n 5α==（列式计算各1分） ……8分43sin sin()10510510AO B βα∠=-=+=（列式计算各1分） ……10分∴11sin 12210AOB S AO BO AO B ∆=∠=⨯⨯32=（列式计算各1分） ……12分解法2、由题意得：A O 的直线方程为30x y += ……6分则3sin 5α==即43(,)55B （列式计算各1分） ……8分则点B到直线A O的距离为d==（列式计算各1分）……10分又OA==，∴113322102AO BS AO d∆=⨯=⨯=（每式1分）…12分解法3、3sin5α==即43(,)55B（每式1分）……6分即：(O A=-，43(,)55O B=，……7分OA==，1O B=，4313cos10O A O BAO BO A O B-⨯+⨯⋅∠===9分（模长、角的余弦各1分）∴sin10AO B∠==……10分则113sin122102AO BS AO BO AO B∆=∠=⨯⨯=（列式计算各1分）……12分解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是110和15，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是111130.152102520⋅+⋅==（列式计算各1分）……2分所以李生小孩能够按时到校的概率是10.1-=；……3分⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是1720，……4分丙到甲没有遇到拥堵的概率也是1720， ……5分 甲到乙遇到拥堵的概率是11111123103103515⋅+⋅+⋅=， ……6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是21311515-=，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是17171337570.82020156000⋅⋅=<，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）……8分⑶依题意ξ可以取. ……9分 (0)P ξ==13172211520300⋅=,(1)P ξ==2171337315201520300⋅+⋅=,(2)P ξ==2361520300⋅=,…11分分布列是：22173685170+1+2=30030030030060E ξ=⨯⨯⨯=.……12分18．⑴证明：在图甲中，易知//AE D F ,从而在图乙中有11//A E D F ， ……1分因为1A E ⊄平面1C D F ，1D F ⊂平面1C D F ，所以1//A E 平面1C D F （条件2分）……4分⑵解法1、如图,在图乙中作G H E F ⊥，垂足为H ，连接1A H ，由于1A G ⊥平面E B C F ，则1A G EF ⊥， ……5分所以E F ⊥平面1A G H ，则1EF A H ⊥， ……6分ABE CDF图甲1A EFB1DG图乙 GMHH所以1A H G ∠平面B E F C 与平面11A EFD 所成二面角的平面角， ……8分图甲中有EF AH ⊥，又G H EF ⊥，则AGH 、、三点共线， ……9分设C F 的中点为M ，则1M F =，易证A B G EM F ∆≅∆，所以，1BG M F ==，AG =11分（三角形全等1分）又由A B G A H E ∆∆ ，得1AB AE A H AH AG===， (12)分于是，HG AG AH =-=， (13)分在1Rt A G H ∆中，112cos 3H G A G H A H∠==，即所求二面角的余弦值为23．……14分解法2、如图,在图乙中作G H E F ⊥，垂足为H ，连接1A H ，由于1A G ⊥平面E B C F ，则1A G EF⊥， (5)分所以E F ⊥平面1A G H ，则1EF A H ⊥，图甲中有EF AH ⊥，又G H E F ⊥，则AG H 、、三点共线， ……6分设C F 的中点为M ，则1M F =，易证AB G E M F ∆≅∆，所以1BG M F ==，则AG =又由A B G A H E ∆∆ ，得1AB AE A H AH AG===， (7)分于是，HG AG AH =-=在1Rt A G H ∆中，1A G === (8)分作//G T B E 交E F 于点T ，则T G G C ⊥，以点G 为原点，分别以1G C G T G A 、、所在直线为x y z 、、轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)G 、(1,1,0)E -、(2,2,0)F、1(0,A，则1(1,3,0)(1,1,EF EA ==-，（坐标系、坐标、向量各1分） ……11分显然，1(00,2)G A =是平面B E F C的一个法向量， ……12分设(,,)n x y z = 是平面11A EFD 的一个法向量，则130,n E F x y n E A x y ⎧=+=⎪⎨=-++=⎪⎩，即3,x y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，不妨取1y =-，则(,1,22)n =-， ……13分设平面B E F C 与平面11A EFD 所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，所以，112cos 3||||G A n G A n θ===，所以，平面B E F C 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为23． ……14分19．⑴由题可知，圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等 ……2分由抛物线定义知,C 的轨迹2C 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线 ……4分（确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分） 所以动圆圆心C 的轨迹2C 的方程为24y x =. (5)分⑵解法1、设(,)P m n ，则O P 中点为(,)22m n， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221n m k n k m⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m kk n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（中点1分，方程组2分，化简1分） ……8分将其代入抛物线方程，得：222288()411k kkk-=⋅++，所以21k =. (9)分联立2222(4)1y k x x yab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， ……12分注意到221b a =-，即2217a ≥，所以2a ≥，即24a ≥……13分因此，椭圆1C 长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为22+1171522xy=. (14)分解法2、设2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，因为O P 、两点关于直线l对称，则=4OM M P =， ……6分即4=，解之得4m =± ……7分即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限，且直线与抛物线交于,A B.则11AB O Pk k =-=,于是直线l 方程为4y x =-（斜率1分，方程1分） ……9分联立222241y x x yab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， ……12分注意到221b a =-，即2217a ≥，所以2a ≥，即24a ≥ (13)分因此，椭圆1C 长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为22+1171522xy=. ……14分20．⑴由题意知03612 633x x x ≤<⎧⎪⎨--≥⎪+⎩或361163x x ≤≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩……2分解得13x ≤<或34x ≤≤，即14x ≤≤ ……3分能够维持有效的抑制作用的时间：413-=小时. ……4分⑵由⑴知，4x =时第二次投入1单位固体碱，显然()g x 的定义域为410x ≤≤ (5)分当46x ≤≤时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故()g x =1 6x ⎛⎫-⎪⎝⎭+(4)626(4)3x x ⎡⎤---⎢⎥-+⎣⎦=116331x x ---;……6分当610x <≤时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故当67x <≤时，(4)6()26(4)3x g x x -=---+=86361x x ---; ……7分当710x <≤时，45()1636x x g x -=-=- ; ……8分所以114633186()673615 71036x x x xg x x x xx ⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩ ……9分当46x ≤≤时，116()331x g x x =---=101610()3313x x --+≤--103-当且仅当1631x x -=-时取“=”,即1[4,6]x =+（函数值与自变量值各1分）……11分当610x <≤时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当67x <≤时， 2261(5)(7)()0(1)66(1)x x g x x x +-'=-=>--，所以()g x 为增函数;当710x <≤时，()g x 为减函数;故m ax ()g x =1(7)2g =， ……12分又101(03266--=>,所以当1x =+时，水中碱浓度的最大值为103-……13分答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放12+小时后, 水中碱浓度的达到最大值为103-……14分21．⑴易得,()1221122xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ……1分()12221224xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……2分()122313382xf x x x e -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,所以3(0)3f =-……3分⑵不失一般性，设函数()21111()x n n n n f x a x b x c e λ----=++⋅的导函数为()2()xn n n n f x a x b x c eλ=++⋅，其中1,2,n = ，常数0λ≠，0001,0a b c ===.对1()n f x -求导得：211111()[(2)xn n n n n f x axa b λλλλ-----'=⋅++⋅+ (4)分 故由1()()n n f x f x -'=得：1n n a a λ-=⋅ ①，112n n n b a b λ--=+⋅②， ……5分 11n n n c b c λ--=+⋅ ③⎧⎪⎨⎪⎩由①得：,nn a n Nλ=∈， ……6分 代入②得：112n n n b b λλ--=⋅+⋅，即112nn nn b b λλλ--=+，其中1,2,n =故得：12,n n b n n N λ-=⋅∈. ……7分代入③得：212n n n c n c λλ--=⋅+⋅，即1212nn nn c c nλλλ--=+，其中1,2,n = .故得：2(1)n n c n n λ-=-⋅， ……8分 因此(0)n f =2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈. 将12λ=-代入得：21(0)(1)()2n n f nn -=--，其中n N∈. ……9分（2）由（1）知111(0)(1)()2n n f n n -+=+-，当2(1,2,)n k k == 时，21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<，2212210,k k k k S S S S --∴-<<，故当nS 最大时，n为奇数. ……10分当21(2)n k k =+≥时，21(0)(k k k k S S f f+-++-=+ ……11分 又2221(0)(21)(22)()2k k f k k +=++-，21211(0)2(21)()2k k f k k -+=+-221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22kk k k f f k k k k -++∴+=++-++-211(21)(1)()2k k k -=+--<，2121k k S S +-∴<，因此数列{}21(1,2,)k S k+= 是递减数列 ……12分又12(0)2S f ==，3234(0)(0)(0)2S f f f =++=， ……13分 故当1n =或3n =时，n S 取最大值132S S ==. ……14分。
