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度第二学期人教版九年级数学下册_第28章_锐角三角函数_单元检测试卷第28章 锐角三角函数 单元检测试卷考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题〔共 10 小题 ，每题 3 分 ，共 30 分 〕 1.计算tan60∘−2sin45∘−2cos30∘的结果是〔 〕A.−2B.√32−√2C.−√3D.−√22.如图，△ABC 中，∠ACB =90∘，CD ⊥AB 于点D ，假定CD:AC =2:3，那么sin∠BCD 的值是〔 〕A.2√55B.23C.2√1313D.213 3.如图，小颖应用有一个锐角是30∘的三角板测量一棵树的高度，她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 〔即小颖的眼睛距空中的距离〕，那么这棵树高是〔 〕A.(5√33+32)mB.(5√3+32)mC.5√33m D.4m4.在△ABC 中，∠C =90∘，以下说法正确的个数是〔 〕①0<sinA <1；②cosA <1；③tanA >1；④0<cotA <1；⑤cotA >0． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.如图，某自然气公司的主输气管道从A 市的北偏西方60∘向直线延伸，测绘员在A 处测得要装置自然气的M 小区在A 市的北偏西方30∘向，测绘员沿主输气管道步行1000米抵达点C 处，测得M 小区位于点C 的北偏西方75∘向，试在主输气管道上寻觅支管道衔接点N ，使到该小区铺设的管道最短，此时AN 的长约是( )√2≈1.4,√3≈1.7． A.350米 B.650米 C.634米D.700米 6.菱形的边长为4，有一个内角40∘，那么较短的对角线是〔 〕 A.4sin40∘ B.4sin20∘ C.8sin20∘ D.8cos20∘7.如图，在△ABC 中，∠C =90∘，sinB =35，那么cosB 等于〔 〕A.√32B.34C.43D.458.α为锐角，且cos(90∘−α)=√32，那么tanα等于〔 〕A.1B.√3C.√33D.39.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与空中成30∘角时，测得旗杆AB 在空中上的影长BC 为24米，那么旗杆AB 的高度约是〔 〕 A.12米 B.8√3米 C.24米 D.24√3米10.如下图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:2，坡高BC =5m ，那么坡面AB 的长度〔 〕 A.10m B.10√3m C.5√3m D.5√5m 二、填空题〔共 10 小题 ，每题 3 分 ，共 30 分 〕11.一飞机驾驶员在A 基地上空6000m 高度的B 处，测无暇中攻击目的C 处的俯角是30∘，那么AC =________m 〔保管根号〕．12.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，CD 是高，假设∠B =α，BC =3，那么AD =________．〔用锐角α的三角比表示〕13.如图，某地夏季半夜，当太阳移到屋顶上方偏东时，光线与空中成α角，房屋朝南的窗子高AB =ℎ m ，假设要在窗子外面上方装置一个水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC 的宽度为________．14.某景色区改造中，需测量湖两岸游船码头A 、B 间的距离，设计人员由码头A 沿与AB 垂直的方向行进了500米抵达C 处〔如图〕，测得∠ACB =60∘，那么这个码头间的距离AB________米〔答案可带根号〕．15.如图，小刚同窗在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD ，点A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端D 处的仰角为30∘，然后他正对屏幕方向行进了6m 抵达B 处，又测得该屏幕上端C 处的仰角为45∘，延伸AB 与楼房垂直相交于点E ，测得BE =21m ，那么该屏幕上端与下端之间的距离CD 为________m ．16.在Rt △ABC 中，假定∠C =90∘，tanA ⋅tan20∘=1，那么∠A =________． 17.在△ABC 中，假定|sinA −√32|+|cosB −12|=0，那么∠C =________．18.如下图，某渔船在海面上朝正西方向匀速飞行，在A 处观测到灯塔M 在北偏西方60∘向上，飞行半小时后抵达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏西方30∘向上，那么该船继续飞行________分钟可使渔船抵达离灯塔距离最近的位置．19.如下图，小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60∘，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45∘，两栋楼之间的距离为30m ，那么电梯楼的高BC 为________米〔准确到0.1〕．〔参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732〕．20.如图，从一运输船的点A 处观测海岸上高为41m 的灯塔BC 〔观测点A 与灯塔底部C 在一个水平面上〕，测得灯塔顶部B的仰角为35∘，那么点A到灯塔BC的距离约为________〔准确到1cm〕．三、解答题〔共 6 小题，每题 10 分，共 60 分〕21.计算以下各式的值：①sin30∘⋅cos45∘+√2⋅cos45∘−sin60∘⋅tan60∘； ②cos230∘+cos260∘tan45∘+tan60∘．22.如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在空中C处和坡面D处各装一根等长的引拉线BC和BD，过点D作空中MN的垂线DH，H为垂足，点C、A、H在不时线上，假定测得AC=5米，AD=13米，坡角为30∘，试求电线杆AB的高度．23.如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边恣意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60∘，∠ACB=45∘，量得BC长为30m．(1)求河的宽度；〔即求△ABC中BC边上的高〕(2)请再设计一种测量河的宽度的方案．(√2≈1.414, √3≈1.732)24.如图，A点、B点区分表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正西方向的7.00km处有一海岸眺望塔C，又用经纬仪测出：A点区分在B点的北偏东57∘处、在C点的西南方向．(1)试求出小岛码头A点到海岸线BC的距离；(2)有一观光客轮K从B至A方向沿直线飞行：①某眺望员在C处发现，客轮K刚好在正南方向的D处，试求出客轮驶出的距离BD的长；②当客轮飞行至E处时，发现E点在C的北偏东27∘处，央求出E点到C点的距离；〔注：tan33∘≈0.65，sin33∘≈0.54，cos33∘≈0.84，结果准确到0.01km〕25.重庆修建多量体裁衣、依山而建，现有以住宅楼如下图，该楼面前为一斜坡，坡角为15∘，为测得该楼的高度，一兴味小组的同窗在C点测得楼顶A点的仰角为45∘，点D点测的仰角为60∘，CD两点之间的距离是20米，C、B在同一水平空中上，CD与AB交于点E．(1)求D点距离空中的垂直距离；(2)求斜坡最高点E点到楼顶A点之间的距离．〔结果保管根号，参考数据：tan15∘=0.27，sin15∘=0.26，cos15∘=0.97，√3=1.732，√2=1.414，√6=2.449〕26.在某段限速公路BC上〔公路视为直线〕，交通管理部门规则汽车的最高行驶速度不能超越60千米/时〔即503米/秒〕，并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如下图的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西方60∘向上，点C在A的北偏西方45∘向上，另外一条初等级公路在y轴上，AO为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，经过计算，判别该汽车在这段限速路上能否超速？〔参考数据：√3≈1.7〕(3)假定一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在初等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶进程中的最近距离是多少？答案1.D2.B3.A4.C5.C6.C7.D8.B9.B10.D11.6000√312.3sinαtanα13.ℎtanαm14.500√315.(21−9√3)16.70∘17.60∘18.1519.82.020.5921.解：(1)原式=12×√22+√2×1−√32×√3=√2+√2−3=5√24−32；(2)原式=(√32)2+(12)21+√3=1+√3．22.电线杆AB的高度是14413米．23.河的宽度为19米；(2)如图，在河对岸找一点F，在河边找到一点A，满足AF与河垂直，画一平行于河的线段AB，使∠B=90∘，找到DF与AB的交点C，那么Rt△BCD∽Rt△ACF，有BC:AC=BD:AF，∴AF=BD×ACBC，测出DB，AC，BC，即可求得河宽AF的值．24.解：(1)过A作AM⊥BC于M，设AM=x，∵∠ACM=45∘，∴CM=x，那么由题意得：tan33∘=x7+CM =x7+x，∴(7+x)tan33∘=x，那么：7×tan33∘=x(1−tan33∘)，7×0.65≈0.35x，∴x≈13.00(km)，(2)①∵cos33∘=BCBD =7BD，∴BD=7cos33∘≈8.33(km)，②过C作CN⊥AB于N，∵∠ABC=33∘，∠BCD=90∘，∴∠BDC=57∘，又∠DCE=27∘，∴∠BEC=57∘−27∘=30∘，∴sin33∘=NCBC ，NCEC=sin30∘=0.5，那么EC=2NC=2BC×sin33∘≈2×7×0.54≈7.56(km)．25.解：如图，(1)作DH⊥BC，垂足为H．∵CD=20m，∠DCH=15∘，∴DH=20×sin15∘≈20×0.26=5.2米；(2)由在D点测的仰角为60∘可知∠AFB=60∘，CH=20⋅cos15∘≈20×0.97=19.4米；∵DH=5.2米，∴FH=DHtan60=√3≈3.0米，CF=CH−FH=19.4−3.0=16.4〔米〕．令BC=ℎ，那么AB=BC=ℎ，BF=ℎ−CF=ℎ−16.4米，∵DH⊥BC，AB⊥BC，∴△DHF∽△ABF，∴DHAB=FHBF，即5.2ℎ=3ℎ−16.4，解得ℎ≈38.7〔米〕．∵BE=BC⋅tan15∘≈38.7×0.27≈10.4，∴AE=AB−BE=38.7−10.4=28.3〔米〕．26.解：(1)在Rt△AOB中，OA=100，∠BAO=60∘，∴OB=OAtan∠BAO=100√3米．Rt△AOC中，∵∠CAO=45∘，∴OC=OA=100米．∴B(−100√3, 0)，C(100, 0)．(2)∵BC=BO+OC=100√3+100米，∴100√3+10015≈18>503米，∴汽车在这段限速路上超速了．(3)设大货车行驶了x米，两车的距离为y=√(100−x)2+(100−2x)2=√5(x−60)2+2000当x=60米时，y有最小值√2000=20√5米．。
人教版九年级（下）第二十八章锐角三角函数检测试卷A(时间120分钟，满分120分)一、选择题（共10小题；每小题3分，共30分）1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，CD是高，如果AB=m，∠A=α，那么CD的长为( )A. m⋅sinα⋅tanαB. m⋅sinα⋅cosαC. m⋅cosα⋅tanαD. m⋅cosα⋅cotα2. 在Rt△ABC中，cos A=12，那么sin A的值是( )A. 22B. 32C. 33D. 123. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:2，堤高BC=4 m，则坡面AB的长度是( )A. 8 mB. 16 mC. 45 mD. 43 m4. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为( )A. 5 mB. 6 mC. 7 mD. 8 m5. 将一张矩形纸片ABCD（如图）那样折起，使顶点C落在Cʹ处，测量得AB=4，DE=8．则sin∠CʹED为( )A. 2B. 12C. 22D. 326. 如图，一渔船在海岛A南偏东20∘方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为103海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80∘方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10∘方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )A. 103海里/小时B. 15海里/小时C. 53海里/小时D. 30海里/小时7. 规定：sin(−x)=−sin x，cos(−x)=cos x，cos(x+y)=cos x cos y−sin x sin y．给出以下四个结论：；（1）sin(−30∘)=−12（2）cos2x=cos2x−sin2x；（3）cos(x−y)=cos x cos y+sin x sin y；．（4）cos15∘=6−24其中正确的结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，Rt△AOB中，∠AOB=90∘，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,1)，把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AOʹB，则点Oʹ的坐标为( )A. B. C. D.9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D为AB的中点，AC=3，cos A=1，将△DAC沿3着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为( )A. 5B. 42C. 7D. 5210. 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是( )A. 2B. 255C. 12D. 55二、填空题（共6小题；每小题3分，共18分）11. 某坡面的坡度是3:1，则坡角α是度．12. 如图，在Rt△ABC中，AC=2，BC=1，则tanα=．13. 在△ABC中，若∣sin A−12∣+cos=0，则∠C的度数是．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，则：sin A=；sin B=；cos A=；cos B=；tan A=；tan B=．15. 如图，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为65∘，水平距离BD=10 m，楼高AB=24 m，则树高CD约为（精确到0.1 m）．16. 一个含有30∘角的三角板与一个宽为4 cm的纸条如图①所示的方式放置，∠A=30∘，∠ACB=90∘，三角板绕点C顺时针旋转45度，点B恰好落在纸条的边上（如图②），则AC=cm．三、解答题（共9小题；共72分）17. （8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘，AB=6，解这个直角三角形．18. （8分）当我们进入高中后，将会学到如下三角函数公式：tan(A+B)=tan A+tan B1−tan A tan B ，tan(A−B)=tan A−tan B1+tan A tan B．例如：tan75∘=tan(30∘+45∘)=tan30∘+tan45∘1−tan30∘⋅tan45∘=33+11−33×1=3+33−3=3+2.（1）试仿照例题，求出 tan15∘ 的准确值；（2）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出 tan15∘ 的准确值（要求分母有理化），和（1）中的结论进行比较．19. （8分）如图，锐角 △ABC 中，AB =10 cm ，BC =9 cm ，△ABC 的面积为 27 cm 2，求 tanB 的值．20. （8分）计算：（1）2cos45∘−32tan30∘⋅cos30∘+sin 260∘；（2）4sin30∘tan60∘−tan45∘−tan 260∘．21. （8分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 处测得教学楼顶部 D处的仰角为 18∘，教学楼底部 B 处的俯角为 20∘，教学楼的高 BD =21 m ．求实验楼与教学楼之间的距离 AB （结果保留整数）．参考数据：tan18∘≈0.32，tan20∘≈0.36．22. （8分）为庆祝改革开放 40 周年，某市举办了灯光秀，某教学兴趣小组为测量平安金融中心AB 的高度，他们在地面 C 处测得另一幢大厦 DE 的顶部 E 处的仰角 ∠ECD =32∘．登上大厦 DE 的顶部 E 处后，测得平安中心 AB 的顶部 A 处的仰角为 60∘，（如图）．已知 C ，D ，B 三点在同一水平直线上，且 CD =400 米，DB =200 米．（结果取整数）参考数据：sin32∘≈0.53，cos32∘≈0.85，tan32∘≈0.62，2=1.41，3=1.73．（1）求大厦DE的高度；（2）求平安金融中心AB的高度．23. （8分）如图，坡AB的铅直高度为63，坡的水平长度为6，求坡度及坡角的大小．24. （8分）计算：cot30∘−cos45∘．sin60∘−tan45∘25.（8分）如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=75∘，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．答案第一部分1. B 2. B 3. C 4. B 5. D【解析】由 tan A =BCAC ，得 tan A =23．6. D【解析】∵∠CAB =10∘+20∘=30∘，∠CBA =80∘−20∘=60∘，∴∠C =90∘， ∵AB =103 海里，∴AC =AB ⋅cos30∘=15 海里，∴ 救援船航行的速度为 15÷3060=30（海里/小时）．7. C【解析】（1）sin (−30∘)=−sin30∘=−12，故此结论正确；（2）cos 2x =cos (x +x )=cos x cos x−sin x sin x =cos 2x−sin 2x ，故此结论正确；（3）cos(x−y )=cos[x +(−y )]=cos x cos(−y )−sin x sin(−y )=cos x cos y +sin x sin y,故此结论正确；（4）cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=22×32+22×12=64+24=6+24,故此结论错误．8. B【解析】连接 OOʹ，作 OʹH ⊥OA 于 H ．在 Rt △AOB 中，∵tan ∠BAO =OBOA =32， ∴∠BAO =30∘，由翻折可知，∠BAOʹ=30∘， ∴∠OAOʹ=60∘， ∵AO =AOʹ，∴△AOOʹ 是等边三角形， ∵OʹH ⊥OA ， ∴OH =32， ∴OHʹ=3OH =32，∴9. C【解析】如图，连接 AE ，∵AC =3，cos ∠CAB =13， ∴AB =3AC =9，由勾股定理得，BC =AB 2−AC 2=62， ∵∠ACB =90∘，点 D 为 AB 的中点， ∴CD =12AB =92，∴S △ABC =12×3×62=92，∵ 点 D 为 AB 的中点，∴S △ACD =12S △ABC =922，由翻转变换的性质可知，S 四边形ACED =92，AE ⊥CD ，则 12×CD ×AE =92，解得，AE =42，∴AF =22，由勾股定理得，DF =AD 2−AF 2=72， ∵AF =FE ，AD =DB ， ∴BE =2DF =7．10. D【解析】∵ 由图可知，AC 2=22+42=20，BC 2=12+22=5，AB 2=32+42=25， ∴△ABC 是直角三角形，且 ∠ACB =90∘， ∴cos ∠ABC =BCAB =55．第二部分11. 6012.1213. 90∘【解析】∵ 在 △ABC 中，∣sin A−12∣+cos =0，∴sin A =12，cos B =12， ∴∠A =30∘，∠B =60∘， ∴∠C =180∘−30∘−60∘=90∘．14. 45，35，35，45，43，3415. 2.6 m【解析】如图，过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E ，则 EC =BD =10 m ．由题意可知 ∠ACE =65∘，在 Rt △AEC 中，AE =EC ⋅tan65∘≈21.45(m)，故 CD =EB =AB−AE ≈2.6(m)．16. 46【解析】如图，过点 B 作 BD 垂直于纸条，垂足为 D ，所以 BD =4 cm ，在 Rt △BDC 中，BC =2BD =42 cm ，在 Rt △ABC 中，∠A =30∘，tan A =BC AC，所以 AC =BCtan A =4233=46(cm)．第三部分17. ∠A =90∘−60∘=30∘，在 Rt △ABC 中，∠A =30∘， ∴ BC =12AB =3，∴ AC =AB 2−BC 2=62−32=33．18. （1）tan15∘=tan(45∘−30∘)=tan45∘−tan30∘1+tan30∘⋅tan45∘=1−331+33×1=3−33+3=2−3.（2） 如图：tan15∘=tan ∠BDC =BCDC =a 3a +2a=2−3．通过比较可知，所得结果一样．19. 过点 A 作 AH ⊥BC 于 H ，∵S △ABC =27 cm 2， ∴12×9×AH =27， ∴AH =6 cm ， ∵AB =10 cm ，∴BH =AB 2−AH 2=102−62=8(cm)， ∴tan B =AHBH =68=34．20. （1） 原式=2×22−32×33×32+=2−34+34=2. （2） 原式=4×123−1−(3)2=3−2.21. 过点 C 作 CM ⊥BD 于点 M ，则 CM ∥AB ，又因为 AC ∥BD ，所以四边形 ABMC 是平行四边形，AB =CM ，在 Rt △CDM 中，因为 tan ∠DCM =DMCM ，所以 DM =CM tan ∠DCM =CM tan18∘；在 Rt △BCM 中，因为 tan ∠BCM =BMCM ，所以 BM =CM tan ∠BCM =CM tan20∘，因为 DM +BM =BD ，所以 CM tan18∘+CM tan20∘=21(m)，解得：CM =21tan18∘+tan20∘≈31(m)，则 AB =CM =31 m ．答：AB 的长约为 31 m ．22. （1） ∵ 在 Rt △DCE 中，∠CDE =90∘，∠ECD =32∘ 、CD =400， ∴DE =CD ⋅tan ∠ECD ≈400×0.62=248（米）．答：大厦 DE 的高度约为 248 米．（2） 如图，作 EF ⊥AB 于 F ，由题意，得：EF =DB =200，BF =DE =248，∠AEF =60∘．在 Rt △AFE 中，∵∠AFE =90∘，∴AF =EF ⋅tan ∠AFE ≈200×1.73=346，∴AB =BF +AF =248+246=594（米）．答：平安金融中心AB的高度约为594米．23. 坡度=i=tan A=636=3，坡角=60∘．24. 原式=3−2232−1=(23−2)(3+2)(3−2)(3+2)=6+22−43−6.25. 如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，CD=BC⋅sin B=6×22=32，BD=BC⋅cos B=6×22=32，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B=45∘，在Rt△ACD中，∠ACD=75∘−45∘=30∘，∴tan30∘=ADCD，∴AD=32×33=6，∴S△ABC=12×(32+6)×32=9+33．。
《第二十八章锐角三角函数》测试卷一、选择题（每小题3分，共8题，共24分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )A ．32B ．53C ．43D ．542．若α是锐角，sinα=cos38°，则α 等于（ ） A ．52°B ．62°C ．38°D ．42°3．在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若53sin =A ，则B tan =（ ）A ．43B ．34C ．53D ．355.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，45A ∠≠︒，则下列比值中不等于sinA 的是（ ）A ．CD ACB ．BD CBC ．CB ABD ．CD CB6．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（ ）A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米7．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）A1B．2C．1D18ABCD 中，E ，F分别为AD ，CD 的中点，BF 与CE 相交于点H ，直线EN交CB 的延长线于点N ，作CM ⊥EN 于点M ，交BF 于点G ，且CM=CD ，有以下结论：①BF ⊥CE ；②ED=EM ；③tan ∠ENC=34；④CHF DEHF S S ∆=4四边形，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共8题，共24分）9.已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则cosB 的值为 .10．已知α、β均为锐角，且满足0)1(tan 21sin 2=-+-βα，则α+β= .第1题第5题第6题第8题第7题第13题11.已知∠A 是锐角，若33)15tan(=- A ，则知∠A= .12．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tan C 的值为 .13．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为．14．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B = ．15．在△ABC 中，∠B =45°，∠C =75°，AC =6，则AB 的长是 ．16．如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D处．若测角仪CD 的高度为1.5m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°，则电线杆AB 的高度约为 m ．（精确到0.1m ）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．17．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC 边被掩埋部分CD 的长是 m .（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.18.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处，已知BF=6cm ，且tan ∠BAF=43，则折痕AE 的长是 ．三、解答题（共8题，共66分）19．计算(每小题4分，共8分)（1）45tan 30cos 60tan 30sin 22-+-； （2）30sin 430cos 3445tan 260tan 2+--20．（8分）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA 和tanB的值．第16题第18题21．（8分）如图，在 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，53sinB ，点D 为边 BC 的中点．(1) 求 BC 的长；(2) 求 ∠BAD 的正切值．22．（8分）在锐角△ABC 中，AD 与CE 分别是边BC 与AB 的高，AB ＝12，BC ＝16，S △ABC ＝48， 求：（1）∠B 的度数； （2）tanC 的值.23.（8分）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD 度数；（2）当AC=5时，求AD 的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）24．（8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD 的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D 的仰角为45°，再沿着BA 的方向后退20m 至C 处，测得古塔顶端点D 的仰角为30°.求该古塔BD 的高度（ 3≈1.732 ，结果保留一位小数）.25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE交AB于点F，⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C，连接AE．（1）试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由；（2）若AD=3，∠C=60°，点E是半圆AB的中点，求线段AE的长．26．（10分）海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60 方向上，且A，P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？答案与解析一、选择题（每小题3分，共8题，共24分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )A ．32B ．53C ．43D ．54【答案】D【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解： ∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，∴54sin ==AB AC B .故答案为：D .【分析】根据正弦函数的定义sinB=斜边的对边A ∠即可直接得出答案.2．若α是锐角，sinα=cos38°，则α 等于（ ） A ．52°B ．62°C ．38°D ．42°【答案】A【考点】互余两角三角函数的关系；【解答】解：∵sinα=cos38°， ∴α=90°﹣38°=52°．故选A ．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．3．在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【考点】解直角三角形；【解答】解：∵∠C=90°，AB=2，BC=1∴21sin ==AB BC A ∴∠A=30°.故选A .【分析】先根据正弦的定义可得∠A 的正弦值，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若53sin =A ，则B tan =（ ）A ．43B ．34C ．53D ．35【答案】A【考点】锐角三角形函数的定义；【解答】解：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =第1题3sin 5BC A AB ∴==，设3BC k =，则AB 5k =，由勾股定理可得k BC AB AC 422=-=，44tan 33AC k B BC k ∴===．故选A ．【分析】依题意，作出图形，设BC=3k ，则AB=5k 进而求AC ，根据正切的定义求得tanB 即可．5.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，45A ∠≠︒，则下列比值中不等于sinA 的是（ ）A ．CD ACB．BDCB C ．CB ABD ．CD CB【答案】D【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解：在Rt ABC ∆中，sin CBA AB= ,在Rt ACD ∆中，sin CDA AC=,90A B ∠+∠=︒ ,90B BCD ∠+∠=︒ ,A BCD ∴∠=∠ ,在Rt BCD ∆中，sin sin BDBCD A BC∠==,故选：D ．【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．6．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（ ）A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米【答案】D【考点】解直角三角形的应用---坡度坡角问题；【解答】解：第5题第6题∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，∴BE=6米，又∵EF=AD=3米，∴BC=6+3+6=15米．故选D ．【分析】梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．7．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）A1B．2C．1D1【答案】B【考点】正方形的性质，垂径定理的应用，特殊角的三角函数值；【解答】如图，正方形ABCD 是圆内接正方形，4BD =，点O 是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵直径4BD =，∴2OB =，又∵△BOC 是等腰直角三角形，由垂径定理知点F 是BC 的中点，∴△BOF 是等腰直角三角形，∴sin 45OF OB ==°，∴2x EF OE OF ==-=故选：B ．【分析】作出图形，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可．8．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，BF 与CE 相交于点H ，直线EN 交CB 的延长线于点N ，作CM ⊥EN 于点M ，交BF 于点G ，且CM=CD，有以下结论：第7题①BF ⊥CE ；②ED=EM ；③tan ∠ENC= 34；④CHF DEHF S S ∆=4四边形，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD=AD ，∠BCF=∠CDE=90°，∵DE= 12 AD ，CF= 12 CD ，∴DE=CF ，∴△CDE ≌△BCF ，∴∠CBF=∠ECD ，∵∠ECD+∠ECB=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，∴∠BHC=90°，∴BF ⊥CE ，故①正确，∵CM=CD ，∠CME=∠D=90°，CE=CE ，∴Rt △CEM ≌Rt △CED ，∴EM=DE ，故②正确，∴∠CED=∠CEM=∠ECN ，∴NE=NC ，设NE=CN=x ，EM=DE=AE=a ，则CM=CD=2a ，在Rt △CNM 中，（x ﹣a ）2+（2a ）2 =x 2，解得x =52 a ，tan ∠ENC=34232==a a MN CM ，故③正确，易知△CHF ∽△CDE ，∴51)(2==∆∆CE CF S S CDE CHF ，∴CHF DEHF S S ∆=4四边形，故④正确，故答案为：D ．【分析】可证△CDE ≌△BCF ，得出对应角相等可得①正确；易得Rt △CEM ≌Rt △CED ，进而得出②正确；设出参数NE=CN=x ，EM=DE=AE=a ，则CM=CD=2a ，tan ∠ENC=34232==a a MN CM ，故③正确；易知△CHF ∽△CDE,由面积比等于相似比的平方可得结论正确.二、填空题（每小题3分，共8题，共24分）第8题9.已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则cosB 的值为 .【答案】54；【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义；【解答】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，∴,86102222=-=-=AC AB BC ∴54108cos ===AB BC B .故答案为：54．10．已知α、β均为锐角，且满足0)1(tan 21sin 2=-+-βα，则α+β= .【答案】75°；【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：算术平方根；绝对值的非负性；【解答】∵0)1(tan 21sin 2=-+-βα，∴sinα=12，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．【分析】根据非负数的性质求出sinα、tan β的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．11.已知∠A 是锐角，若33)15tan(=-A ，则知∠A= .【答案】45°；【考点】特殊角的三角函数值；【解答】∵3330tan =，∴∠A －15°=30°，∴∠A=45°.故答案为：45°．【分析】根据特殊角的三角函数值得出3330tan =，求出∠A －15°=30°，从而求出∠A 的度数.12．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tan C的值为 .【答案】25；【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，设AD ＝5a ，CD ＝2a ，∴2525tan ===a a CD AD C ，故答案为：25【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，由锐角三角函数tanC=ADCD 和网格图的特征可求解.14．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为．【考点】垂径定理，锐角三角函数；【解答】解：如图，作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB （cm ），∵ cos A ＝AD OA =∴∠A ＝30︒，∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°，故答案为：120°．【分析】作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，在直角三角形中，利用cos ADA OA=，根据比值求得 A ∠的度数，从而知道AOD ∠ 的度数，即可进一步求得最后答案．14．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B = ．【答案】125【考点】勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用；【解答】解：如图，等腰ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，过A 作AD BC ⊥于D ，则5BD =，在Rt ABD ∆中，13AB =，5BD =，则，125132222=-=-=BD AB AD ，故12tan 5AD B BD ==．故答案为125．【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD 的长，根据勾股定理求出AD 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tan B 的值．15．在△ABC 中，∠B =45°，∠C =75°，AC =6，则AB 的长是 ．【答案】333+；【考点】直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；【解答】解：作CD ⊥AB 于D ，如图所示：则∠BDC =∠ADC =90°，∵∠B =45°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴BD =CD ，∠BCD =45°，∵∠ACB =75°，∴∠ACD =∠ACB －∠BCD =30°，∴AD =12AC =12×6=3，CD =22AD AC- ∴BD =CD ∴AB =BD +AD ；【分析】作CD ⊥AB 于D ，则△BCD 是等腰直角三角形，得BD =CD，∠BCD =45°，求出∠ACD =30°，由直角三角形的性质得AD =12AC =3，BD =CD 16．如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D 处．若测角仪CD 的高度为1.5m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为 m ．（精确到0.1m ）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；【解答】解：如图，在Rt △ACE 中，∴AE=CE•tan36°=BD•tan36°=9×tan36°≈6.57米，第16题∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．【分析】根据CE 和tan36°可以求得AE 的长度，根据AB=AE+EB 即可求得AB 的长度，即可解题．17．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC边被掩埋部分CD 的长是 m .（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.【答案】1.1；【考点】解直角三角形的应用；【解答】解：∵ ∠A =54° ， ∠B =36°∴ ∠C =180°−54°−36°=90°∴在直角 △ABC 中，sinA ＝ BC AB ，则BC ＝AB•sinA ＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD ＝BC ﹣BD ＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m ），故答案为：1.1.【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C 的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.18.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处，已知BF=6cm ，且tan ∠BAF=43，则折痕AE 的长是 ．【考点】矩形的性质，翻折变换，解直角三角形；【解答】解：由折叠得：AF=AD,EF=DE,∵四边形ABCD 为矩形，AF=AD=BC,DC=AB,∠B=∠C=∠D=90°，第17题∵43tan ==∠AB BF BAF ,∵BF=6，∴AB=8，由勾股定理得AF=10cm ,∴AD=BC=10cm ，∴CF=BC －BF=10－6=4cm ,设EF=DE=xcm ,∴CE=DC －DE=AB －DE=（8－x ）cm,在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -+=，解得：x =5，∴DE=5cm,在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 555102222=+=+=DE AD AE cm.【分析】由折叠的性质得AF=AD,EF=DE,由矩形的性质得AF=AD=BC,∠B=∠C=∠D=90°，再根据锐角三角函数的定义得出AB=8，由勾股定理得AF=10cm ，则AD=BC=10cm,CF=BC －BF=10－6=4cm ，设EF=DE=xcm ,则CE=DC －DE=AB －DE=（8－x ）cm ，然后在Rt △EFC 中，由勾股定理列出方程，解答即可.三、解答题（共8题，共66分）20．计算(每小题4分，共8分)（1）45tan 30cos 60tan 30sin 22-+-； （2） 30sin 430cos 3445tan 260tan 2+--【答案】（1）23-；（2）0.【考点】特殊角的三角函数值；【解答】解：（1）原式=231233112332122-=-+-=-+-⨯（2）原式=02332233221423341232=+--=⨯+⨯-⨯-【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简计算得出答案.20．（8分）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA 和tanB 的值．【答案】解：如图，∵∠C=90°，AB=15，AC=9，∴BC=AB 2−AC 2=12，∴sinA=BC AB =45，tanB=AC BC =43．【考点】锐角三角函数的定义；【分析】利用勾股定理得出BC 的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．21．（8分）如图，在 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，53sin =B ，点D 为边 B C 的中点．(1) 求 BC 的长； (2) 求 ∠BAD 的正切值．【解答】解：（1）∵,10,53sin ==AB B ∴,5310=AC ∴AC=6，∴在Rt △ABC 中，86102222=-=-=AC AB BC .(2)如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E,∵∠C=∠BED=90°，∠B=∠B,∴△BED ∽△BCA,∴CA ED BA BD BC BE ==,∴61048ED BE ==，解得：512,516==ED BE ,∴AE=AB=BE=10－516=534，∴176tan ==∠AE DE BAD .【考点】解直角三角形；【分析】（1）首先根据锐角三角函数的定义求出AC 的长，然后根据勾股定理求出BC 的长即可.（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E,在证明△BED ∽△BCA ，利用相似三角形的性质可求出BE 和ED,最后利用锐角三角函数的定义求出tan ∠BA D 的值.22．（8分）在锐角△ABC 中，AD 与CE 分别是边BC 与AB 的高，AB ＝12，BC ＝16，S △ABC ＝48， 求：（1）∠B 的度数； （2）tanC 的值.【答案】解：（1）∵S △ABC ＝ 12BC•AD ＝48,BC ＝16, ∴AD ＝6,在Rt △ABD 中,AB ＝12,∴BD ＝36,sinB ＝612 ＝ 12,∴∠B ＝30°（2）∵BC ＝16,BD ＝36 ,∴CD ＝16﹣36 ,在Rt △ACD 中,∵CD ＝16﹣36 ,AD ＝6,∴tanC ＝ 616−63 ＝ 24+9337 .【考点】三角形的面积，锐角三角函数的定义；【分析】（1）根据S △ABC ＝48以及BC ＝6,可求出AD 的长度,然后由勾股定理可求出BD 的长度,然后根据锐角三角函数的定义即可求出角B 的度数,（2）由于BC ＝16,BD ＝36, 从而可知CD 的长度,在Rt △ACD 中,根据AD 与CD 的长度比即可求出tanc 的值.23.（8分）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD度数；（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，∵AC⊥ON，∴∠OEC=90°，在Rt△OEC中，∵∠O=25°，∴∠OCE=65°，∴∠ACB=∠OCE=65°，∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=BC，，在Rt△ABC中，∵cos∠ACB= BCAC∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1，∴AD=BC=2.1【考点】解直角三角形；【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。
