2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是（ ） A ．1y x= B ．y x = C ．21y x =-+D ．243y x x =-+【答案】B【解析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数； 对于C 选项，函数21y x =-+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =-+在区间()1,2上为减函数.故选：B. 【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.2．若函数()f x 对定义域内任意两个自变量x 、y 都有()()()f x y f x f y +=，则()f x 可以是（ ）A ．()21f x x =+B ．()2f x x =C ．()1f x x=D ．()2xf x =【答案】D【解析】对各选项中的函数()y f x =验证是否满足()()()f x y f x f y +=，从而可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，()21f x x =+，则()()21+=++f x y x y ，()()()()21214221=++=+++f x f y x y xy x y ，则()()()f x y f x f y +≠；对于B 选项，()2f x x =，则()()2222+=+=++f x y x y x xy y ，()()22=f x f y x y ，则()()()f x y f x f y +≠；对于C 选项，()1f x x=，()1+=+f x y x y ，()()1=f x f y xy ，则()()()f x y f x f y +≠；对于D 选项，()2++=x yf x y ，()()222+=⋅=xyx yf x f y ，则()()()f x y f x f y +=.因此，()2xf x =满足()()()f x y f x f y +=.故选：D. 【点睛】本题考查函数解析式的运算，解题的关键就是对函数解析式逐一进行验证，考查计算能力，属于中等题.3．13=⎛⎫⎪⎝⎭a （ ）A ．1a -B ．12aC ．aD ．1918a【答案】B【解析】根据根式与指数幂的互化，以及指数幂的运算可得出结果. 【详解】7172132632213333⨯-=====⎛⎫ ⎪⎝⎭aaaaaaa .故选：B. 【点睛】本题考查指数幂的运算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题. 4．已知()f x =()32-f x 的定义域为（ ）A ．15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]3,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】求出函数()y f x =的定义域为[]1,3-，然后解不等式1323-≤-≤x 可得出函数()32=-y f x 的定义域. 【详解】对于函数()f x =2230x x -++≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，所以，函数()y f x =的定义域为[]1,3-.对于函数()32=-y f x ，1323-≤-≤x ，解得1533≤≤x . 因此，函数()32=-y f x 的定义域为15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查具体函数以及复合函数定义域的求解，解题时要注意以下两个问题：定义域为自变量的取值范围、中间变量的取值范围一致，考查计算能力，属于中等题.5．若方程10m --=有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]0,3B ．()1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(]1,3-【答案】A【解析】由参变量分离法得出1+=m ，求出函数=y1m +的取值范围即为函数=y m 的取值范围.【详解】由10m --=得1+=m ，则1m +的取值范围即为函数=y .2044≤-≤x ，02∴≤≤，14∴≤≤，即函数=y []1,4.解不等式114≤+≤m ，解得03m ≤≤. 因此，实数m 的取值范围是[]0,3. 故选：A. 【点睛】本题考查方程有解的问题，利用参变量分离法将参数的取值范围转化为与函数值域相关的问题求解，考查化归与转化思想，属于中等题.6．设2log 3a =，3log 2b =，=c a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】比较a 、b 、c 与中间值1和2的大小关系，可得出这三个数的大小关系. 【详解】函数2log y x =为增函数，则222log 2log 3log 4<<，即12a <<； 函数3log y x =为增函数，则33log 2log 31b =<=；函数y =2=>=c .因此，c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用中间值法结合指数函数、对数函数的单调性来比较，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅．若{}3,4=ðU A B ，则满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个【答案】C【解析】由题意知3、4B ∉，则集合A 的个数等于{}1,2,5,6非空子集的个数，然后利用公式计算出集合{}1,2,5,6非空子集的个数，即可得出结果. 【详解】由题意知3、4B ∉，且集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅， 则AB 为集合{}1,2,5,6的非空子集，因此，满足条件的集合A 的个数为42115-=.故选：C. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般利用列举法将符合条件的集合列举出来，也可以转化为集合子集个数来进行计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.8．设函数()()221,14,1xx ax x f x a x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．413a ≤< B ．413a <≤C ．13a ≤<D ．413a ≤≤【答案】D【解析】根据题意得知221=-++y x ax 在(],1-∞上为增函数，且函数()4=-xy a 在()1,+∞上为增函数，以及212114-+⨯+≤-a a ，由此列不等式组可求出实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()()221,14,1xx ax x f x a x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩在R 上为增函数， 则函数221=-++y x ax 在(],1-∞上为增函数，该二次函数图象开口向下，对称轴为直线x a =，所以1a ≥；函数()4=-xy a 在()1,+∞上为增函数，则41a ->，得3a <. 且有212114-+⨯+≤-a a ，解得43a ≤. 综上所述，413a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的在实数集上的单调性，一般要确保分段函数每支都保持原函数的单调性，同时也要注意间断点处函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()20f =，若对任意1x 、()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．()(),22,-∞-+∞B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,02,-+∞D ．()()2,00,2-【答案】A【解析】分析出函数()y f x =在(),0-∞和()0,∞+上都是增函数，然后分0x >和0x <两种情况，利用函数()y f x =的单调性解不等式()0xf x >，即可得出该不等式的解集. 【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，则()20f -=，()00f =， 对任意1x 、()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，且在(),0-∞上也为增函数.当0x >时，由()0xf x >，可得()0f x >，即()()2f x f >，解得2x >; 当0x <时，由()0xf x >，可得()0f x <，即()()2<-f x f ，解得2x <-. 因此，不等式()0xf x >的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，将不等式转化为函数的两个函数值的大小关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10．()()248525125log 125log 25log 5log 2log 4log 8++⋅++=（ ） A ．0 B ．1C ．9D ．13【答案】D【解析】利用换底公式将底数和真数化简，合并同类项之后再相乘可得出结果. 【详解】由换底公式可得，原式()()23233223252255log 5log 5log 5log 2log 2log 2=++⋅++()222555251133log 5log 5log 5log 2log 2log 2log 53log 21333⎛⎫=++⋅++=⨯= ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查对数的计算，考查换底公式的应用，解题的关键就是将底数和真数利用换底公式化小，考查计算能力，属于中等题.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为（ ） A ．0 B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】利用题意可得出函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，关于点()2,0对称，并且周期为4，作出图象得知，函数12y x =-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12y x =-在[)(]6,22,10-上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，然后利用对称性得出两个函数交点横坐标之和. 【详解】()()2=-+f x f x ，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数.又()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.()()()22∴+=-=--f x f x f x ，()()220∴++-=f x f x ，则函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，易知函数12y x =-的图象也关于点()2,0对称，如下图所示：函数12y x =-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12y x =-在[)(]6,22,10-上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，两个函数在区间[]6,10-上共有8个公共点，且这些公共点呈现4对关于点()2,0对称，因此，方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为4416⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查方程根之和问题，一般利用数形结合思想，转化为两函数交点横坐标之和的问题，借助函数图象的对称性来求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.12．已知函数()18,21221512,12182x x xf x ax a x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，若对于任意的实数1x 、2x 、[]32,18x ∈，均存在以()1f x 、()2f x 、()3f x 为三边边长的三角形，则a 的取值范围是（ ） A ．35412a -<< B ．53124a -<< C ．304a ≤<D ．304a -<≤ 【答案】B【解析】对实数a 分0a <、0a =、0a >三种情况讨论，求出函数()y f x =的最大值()max f x 和最小值()min f x ，由题意得出()()max min 2f x f x <，由此可求出实数a 的取值范围. 【详解】当212x ≤≤时，()1862x f x x =+≥=，当且仅当6x =时，等号成立，且()210f =，()15122f =，此时，()610f x ≤≤； ①若0a <时，函数()15122f x ax a =-+在区间(]12,18上单调递减，则()()15182f f x ≤<，即()1515622a f x +≤<，那么，当[]2,18x ∈时，()min 15min 6,62f x a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，()max 10f x =， 由题意可得()()maxmin 2f x f x <，则有10261510262a <⨯⎧⎪⎨⎛⎫<⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得512a >-，此时，5012a -<<； ②当0a =时，且当1218x <≤时，()152f x =，则()min 6f x =，()max 10f x =，()()max min 2f x f x <成立，此时0a =；③当0a >时，函数()15122f x ax a =-+在区间(]12,18上单调递增，则()()51812f x f <≤，即()1515622f x a <≤+，则()min 6f x =，()max 15max 10,62f x a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，由题意可得()()maxmin 2f x f x <，则有1062156622a <⨯⎧⎪⎨+<⨯⎪⎩，解得34a <，此时304a <<. 综上所述，53124a -<<. 故选：B. 【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.二、填空题13．函数()3log 21y x =-的定义域是__________． 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】利用对数的真数大于零可得出函数()3log 21y x =-的定义域. 【详解】由题意可得210x ->，解得12x >. 因此，函数()3log 21y x =-的定义域是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，求解时要注意对底数和真数进行限制，列出不等式（组）求解即可，考查计算能力，属于基础题. 14．不等式127x x -++≥的解集为__________． 【答案】(][),43,-∞-+∞【解析】分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况去绝对值，解出不等式，即可得出该不等式的解集. 【详解】当2x -≤时，由127x x -++≥，得12217x x x ---=--≥，解得4x ≤-，此时4x ≤-；当21x -<<时，由127x x -++≥，得1237x x -++=≥不成立，此时，x ∈∅； 当1x ≥时，由127x x -++≥，得12217x x x -++=+≥，解得3x ≥，此时3x ≥.综上所述，不等式127x x -++≥的解集为(][),43,-∞-+∞.故答案为：(][),43,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般利用分类讨论去绝对值的方法求解，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.15．函数y =在[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()1,10,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】先由0,10a ax ≠-≥在[]0,2上恒成立，得出1,02a a ≤≠，然后分1a <-和10a -<<、102a <≤三种情况分类讨论，结合函数y =为减函数得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，0,a ≠不等式10ax -≥在[]0,2上恒成立，则100120a a -⨯≥⎧⎨-≥⎩，得12a ≤.当1a <-时，10a +<，则函数y =在[]0,2上是减函数，合乎题意；当10a -<<时，10a +>，则函数y =在[]0,2上是增函数，不合乎题意；当102a <≤时，10a +>，则函数y =在[]0,2上是减函数，合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是()1,10,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数，解题时除了对参数的取值进行分类讨论外，还应注意函数在定义域上有意义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．设函数()()22224212ax a x f x x--+=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()1f x ≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】112⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 【解析】由题意得出对于任意[)1,x ∈+∞，()2222421112ax a x x--+-≤≤，转化为不等式组()()22222342021420a x ax a x ax ⎧++-≥⎪⎨-+-≤⎪⎩对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，分析二次函数在区间[)1,+∞上的单调性，转化为关于函数最值的不等式来求解，从而可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意得出对于任意[)1,x ∈+∞，()2222421112ax a x x--+-≤≤，则不等式组()()22222342021420a x ax a x ax ⎧++-≥⎪⎨-+-≤⎪⎩对任意的[)1,x ∈+∞恒成立.先考查二次不等式()2223420a x ax ++-≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立.构造函数()()222342g x a x ax =++-，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线2223ax a =-+. 因为22230a a ++≥恒成立，所以22123aa -≤+，此时，函数()y g x =在区间[)1,+∞上单调递增，则()()2min 12410g x g a a ==++≥，解得1a ≤-或1a ≥- 下面来考查不等式()221420a x ax -+-≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，则2210a -≤.构造函数()()222142h x a x ax =-+-.①当2210a -=时，即当2a =±.若2a =，则()2h x =-，当1x ≥时，()2h x ≥，不合乎题意；若2a =-，则()20h x ≤-<，合乎题意；②当2210a -<时，即当a <<()y h x =的图象开口向下，对称轴为直线2212a x a =-.当22112a a ≤-时，即当1122a +-≤≤时，函数()y h x =在[)1,+∞上单调递减，则()()2max 12430h x h a a ==+-≤a ≤≤122a -<≤；当22112a a >-时，即当a <a >时，23280a ∆=-≤，解得1122a -≤≤12a <≤.由上可知，当12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2221430a x ax -+-≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立.综上所述，当11,22a ⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x ≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立.因此，实数a 的取值范围是11,22⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次不等式在区间上恒成立问题，解题时要对二次函数的首项系数、对称轴与定义域的位置关系进行分类讨论，转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题17．计算下列各式的结果：（1）11565531log 3log log 3215⎛⎫⎛⎫++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()())1121122329680.0124---⎛⎫++⨯--⎪⎝⎭.【答案】（1）1415-；（2）1415-. 【解析】（1）利用对数的运算律以及换底公式可计算出结果； （2）利用指数的运算律可计算出结果. 【详解】（1）原式1216552111111114log 3log 2log 115555621515⎛⎫=⨯+⨯=+⨯÷=-+=- ⎪⎝⎭； （2）原式)()()112212223232312102---⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⨯-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦)1211114121431061015=+⨯--=--=-. 【点睛】本题考查指数与对数的运算律的应用，同时考查了换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.18．已知方程2504x ax a -++=有两个不相等的实数根，设a 的取值集合为A ，设关于x 的不等式()()()()12350x x x x ----≥的解集为B ，求AB 及R B A ð．【答案】{5A B x x ⋂=>或}1x <-，(){5R A B x x ⋂==ð或11x -≤≤或}23x ≤≤.【解析】由>0∆可得出集合A ，解不等式()()()()12350x x x x ----≥可得出集合B ，然后利用交集与补集的定义可得出集合A B 及R B A ð．【详解】由于方程2504x ax a -++=有两个不相等的实数根，则25404a a ⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭，即2450a a -->，解得1a <-或5a >，{1A a a ∴=<-或}5a >.解不等式()()()()12350x x x x ----≥，得1x ≤或23x ≤≤或5x ≥，{1B x x ∴=≤或23x ≤≤或}5x ≥，则{5A B x x ⋂=>或}1x <-， {}15R A x x =-≤≤ð，所以，(){5R A B x x ⋂==ð或11x -≤≤或}23x ≤≤.【点睛】本题考查集合的运算，考查一元二次方程根的个数的判断以及高次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题. 19．已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点； （2）若()235f x a>+，求x 的取值范围． 【答案】（1）()7235x f x a+=+，定点()7,8-；（2）见解析. 【解析】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标； （2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数xy a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a+∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=， 因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数xy a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-； 当1a >时，函数xy a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-. 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且()21xf x x =+． （1）用函数的单调性定义证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 满足()()2240f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）)2.【解析】（1）任取1211x x -<<<，作差()()12f x f x -，因式分解并判断出()()12f x f x -的符号，利用单调性的定义可得出函数()y f x =在()1,1-上单调递增；（2）利用奇偶性的定义可证明出函数()y f x =是定义在()1,1-上的奇函数，由()()2240f a f a -+-<可得出()()242f a f a -<-，再利用函数()y f x =的单调性并结合函数()y f x =的定义域可解出该不等式. 【详解】（1）任取1211x x -<<<，则()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()()()2212121212211212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx -+--+---===++++++，1211x x -<<<，120x x ∴-<，121x x <，则1210x x ->，2110x +>，2210x +>，()()120f x f x ∴-<，则()()12f x f x <，∴函数()21xf x x =+在()1,1-上为增函数； （2）函数()y f x =的定义域为()1,1-，关于原点对称， 且()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+，所以，函数()y f x =是奇函数， 由()()2240f a f a -+-<，得()()()2422f a f a f a -<--=-，由于函数()y f x =是定义在()1,1-上的增函数，所以2242121141a a a a ⎧-<-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得2a <<.因此，实数a的取值范围是)2.【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性，同时也考查了利用奇偶性和单调性解函数不等式，同时也不要忽略定义域对自变量的影响，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．已知()2f x x bx c =++，其对称轴为1x =，且()22f =．（1）求()y f x =的解析式；（2）若对任意1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意[]0,2t ∈，()()229140f x t mx t +--+>恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()222f x x x =-+；（2）113,4⎛⎫--⎪⎝⎭. 【解析】（1）由二次函数()y f x =的对称轴可得出b 的值，再由()22f =可求出实数c 的值，从而可得出函数()y f x =的解析式；（2）由题意知，对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意[]0,2t ∈，不等式()22229160x m tm x t +---+>恒成立，可得出0t =和2t =均满足不等式，由此可得出不等式组()()22221602220x m x x m x ⎧+-+>⎪⎨-+->⎪⎩对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用参变量分离法得出1622222m x xm x x ⎧-<+⎪⎪⎨⎪+<-⎪⎩，分别求出函数16y x x =+、2y x x =-在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，可解出实数m 的取值范围. 【详解】（1）二次函数()2f x x bx c =++的对称轴为直线12bx =-=，得2b =-， 则()22f x x x c =-+，又()22f c ==，()222f x x x ∴=-+；（2）由题意知，不等式()22229160x m tm x t +---+>对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意[]0,2t ∈恒成立，构造函数()()2222916h t x m mt x t =+---+，由题意可得()()()()2202216022220h x m x h x m x ⎧=+-+>⎪⎨=-+->⎪⎩对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以1622222m x x m x x ⎧-<+⎪⎪⎨⎪+<-⎪⎩对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，对于函数16y x x =+，当1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由基本不等式得8y ≥=，当且仅当4x =时，等号成立，所以16y x x =+在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为8，228m ∴-<，得3m >-； 由于函数2y x x =-在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时，函数2y x x =-取得最小值72-，7222m ∴+<-，解得114m <-. 综上所述，实数m 的取值范围是113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次不等式的恒成立问题，涉及主元法，在解题时充分利用参变量分离法的思想进行求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．已知()42x xa f x +=为偶函数． （1）求实数a 的值，并写出()f x 在区间[)0,+∞上的增减性和值域（不需要证明）； （2）令()()()2g x f x tf x =+，其中0t >，若()g x 对任意1x 、[]20,1x ∈，总有()()214g x g x -≤，求t 的取值范围；（3）令()()()2h x f x f x =+，若()h x 对任意1x 、[]()2120,1x x x ∈≠，总有()()()()2121h x h x s f x f x -≤-，求实数s 的取值范围．【答案】（1）1a =，在[)0,+∞上是增函数，值域为[)2,+∞；（2）70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）[)6,+∞.【解析】（1）利用偶函数的定义()()f x f x -=，作差变形可求出1a =，结合函数()y f x =的解析式写出该函数在区间[)0,+∞上的单调性，并利用单调性得出函数()y f x =在该区间上的值域；（2）由题意得出()()max min 4g x g x -≤，且()()()4422xxxx g x t --=+++，换元5222,2x x m -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，构造函数()22h m m tm =+-，由0t >可得出二次函数()y h m =的对称轴02t m =-<，分析函数()y h m =在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，求出函数()y h m =的最大值和最小值，结合不等式()()max min 4h m h m -≤求出实数t 的取值范围；（3）由()()()()2121h x h x s f x f x -≤-可得出112222221x x x x s --≥++++，求出不等式右边代数式的取值范围，可得出实数s 的取值范围. 【详解】（1）函数()42x xaf x +=为偶函数，则()()f x f x -=， 即()()1444144421222422xxx x x x x x x x x xxaa a a a af x f x --+++++⋅+--=-=-=⋅-()()()()()()1444411410222xxxx x xxxa a a a a +⋅-+⋅-----====，由题意知，对任意的x ∈R ，()()14102x a --=恒成立，则10a -=，1a \=，()41222x x x x f x -+∴==+，该函数在区间[)0,+∞上为增函数，且()()02f x f ≥=， 所以，函数()y f x =在区间[)0,+∞上的值域为[)2,+∞； （2）由题意知，()()max min 4g x g x -≤，且()()()4422xxxx g x t --=+++，设22x x m -=+，[]0,1x ∈，则52,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2442x x m -+=-，设函数()22h m m tm =+-，则()()m a xm i n4h m h m -≤，二次函数()y h m =的对称轴为直线2t m =-. 0t >，02t ∴-<，则函数()y h m =在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()()min 222h m h t ==+，()max 5517224h m h t ⎛⎫==+⎪⎝⎭，()()()max min 517192242424h m h m t t t ⎛⎫∴-=+-+=+≤ ⎪⎝⎭，解得72t ≤，0t >，702t ∴<≤，因此，实数t 的取值范围是70,2⎛⎤⎥⎝⎦；（3）()()()2222222x x x x h x f x f x --=+=+++，()()()()2222111122222122222222x x x x x x x x h x h x ----∴-=+++-+++()()()22212121222222222222x x x x x x x x ----=-+-+-+-()()2121212122221122222222x x x x x x x x --=-+-+-+-()()1221212112222222222222222x x x x x x x x x x --+-=-++-+-()()()2112212112222222222122222x x x x x x x x x x +--+--=+-+-()()()()()21122112212112222221222122222x x x x x x x x x x x x x x ++--+--++=+-+-，()()()()1221212121211221112222222222222x x x x x x x x x x x x x x f x f x --+--=-+-=-+-=-+()()21121222212x x x x x x ++--=，由()()()()2121h x h x s f x f x -≤-， 可得()()()()()21122112221112222221222122222x x x x x x x x x x x x x x ++--+--++++--()()21121222212x x x x x x s++--≤，()()()2112212211121222211122112222122x x x x x x x x x x x x x x s +--++++⎛⎫∴≥+=+++=++++ ⎪⎝⎭，由于函数()22x xf x -=+在[]0,1上单调递增，且101x ≤≤，201x ≤≤，1152222x x -∴≤+≤，2252222x x-≤+≤，又12x x ≠，11225222216x x x x --∴<++++<，所以，6s ≥，因此，实数s 的取值范围是[)6,+∞. 【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、指数型函数不等式的综合问题，将问题转化为二次函数问题是解题的关键，同时也考查了参变量分离法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

哈三中2019－2020学年度（国际部）上学期高一学年第一模块考试数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷一、选择题（本题共有12小题，每小题5分， 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合{}0,1,2M =，{}2|320N x x x =-+≤，则M N = A . {}1 B . {}2 C . {}0,1 D . {}1,22.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是A ．22y x =-B ．3y x= C ．1y = D ．2(2)y x =-+ 3. 若集合{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合{},,z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为A ．5B . 4C . 3D . 24 .知集合{A =，{}1,B m = ，AB A =， 则m = A . 0或3 B . 0或3C . 1或D .1或3 5.函数)(12R x x x y ∈++=的递减区间是A ．),21[+∞-B ．),1[+∞-C ．1(,]2-∞-D ．),(+∞-∞ 6.(){}64,=+=y x y x A ，(){}723,=+=y x y x B ，则=B AA.{}2或1==y x xB.{}2,1C. (){}2,1 D. ()2,1 7. 与函数122+=x y 不相同的函数是A.122++=x x yB. ()2212+=x yC.122+=x yD. ()()11122+++=x x x y8 .函数()xx x y -+=032的定义域是 A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠<230x x x 且 B. {}0<x xC. {}0>x xD. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≠∈230x x R x 且9.下列说法中，正确的是A ．偶函数的图象一定与y 轴相交B ．若奇函数)(x f y =在0=x 处有定义，则0)0(=fC ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是R x x f ∈=,0)(D ．图象过原点的增函数（或减函数）一定是奇函数10.函数中，既是奇函数又在定义域上为增函数的是A. ()13+=x x fB.()x x f 1=C. ()x x f 11-=D. ()3x x f =11.函数()842--=x x x f 的定义域为[0,]a ，值域为[12,8]--，则a 的取值范围是A. []4,0B. []6,4C. []6,2D. []4,212.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()02=f ，若对任意()+∞∈,0,21x x ，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f 恒成立，则不等式()0>x xf 的解集为A ．()()202+-∞，，B ．()()200,2-，C ．()()+∞-∞-,22,D ．()()2,02, -∞-第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题， 每小题5分）13.设函数)(x f 满足：对任意的1x ，2x R ∈都有[]0)()()(2121>-⋅-x f x f x x 则)()3(π--f f 与的大小关系是___________.14. 已知8)(35-++=cx bx ax x f ，且10)(=d f ，则()=f d -__________.15.不等式2223503134x x x x --≥-+的解集为________________．16.设定义在[],22-上的偶函数()f x 在区间[],20上单调递减，若(1)(1)f m f -<，则实数m 的取值范围是_______________.三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}63A x x x =><-或，{}3B x a x a =<<+，若AB A =，求实数a 的取值范围.18. 判断下列函数奇偶性： （1）()f x =+（2）()f x =19.已知函数222)(a ax x x f --=在区间]2,0[上的最大值为1-，求实数a 的值.20．用函数单调性定义证明,求证：函数11)(--=xx f 在区间(),0-∞上是单调增函数21.函数)(x f ，()1,1x ∈-为奇函数，且0)1()1(2<-+-a f a f . 若)(x f 是()1,1-上的减函数，求实数a 的取值范围.22.若函数cbx ax x f ++=1)(2是奇函数，(),,a b c N ∈ 且(1)2f =，(2)3f < （1）求实数a ,b ,c 的值；（2）判断函数()f x 在]1,[--∞上的增减性,并证明.一、1-5 DCCBC 6-10 DDABD 11-12AC二、13、f(-3)＞f(-) 14、-26 15、{x|x＞4或＜x≤或x≤-1} 16、2＜m≤3或-1≤m＜0三、17、∵A∪B＝A，∴B⊆A，且A＝{x|x＞6或x＜﹣3}，B＝{x|a＜x＜a+3}，∴a+3≤﹣3或a≥6，∴a≤﹣6或a≥6，∴a的取值范围为{a|a≤﹣6或a≥6}．18、（1）对于，有，解可得x＝1，即函数的定义域为{x|x＝1}，其定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数；（2）对于，有，解可得：﹣6＜x≤6且x≠0，即函数的定义域为{x|﹣6＜x≤6且x≠0}，其定义域不关于原点对称；为非奇非偶函数．19、f（x）的对称轴为x＝a，①a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，∴f（x）在[0，2]上的最大值为f（2）＝4﹣4a﹣a2＝﹣1，解得a＝﹣5或1，∴a＝﹣5；②0＜a＜2时，f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）＝﹣a2＝﹣1，或f（2）＝4﹣4a﹣a2＝﹣1，且0＜a＜2，∴解得a＝1，③a≥2时，f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）＝﹣a2＝﹣1，且a≥2，∴a∈∅，综上得，a＝﹣5或1．20、证明：任取x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2），由题设可得，x1﹣x2＜0，x1•x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．21、根据题意，函数f（x），x∈（﹣1，1）为奇函数，则f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0⇒f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）⇒f（1﹣a）＜f（a2﹣1），又由f（x）是（﹣1，1）上的减函数，则f（1﹣a）＜f（a2﹣1）⇒ ＜＜＜＜＞，解可得：0＜a＜1，即a的取值范围为（0，1）；故a的取值范围（0，1）．22、（1）根据题意，函数是奇函数，（a，b，c∈N）且f（1）＝2，则f（﹣1）＝﹣2，又由f（2）＜3，则有＜且a、b、c∈N，解可得a＝1，b＝1，c＝0；（2）由（1）可得：f（x）x，函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，设x1＜x2≤﹣1，f（x1）﹣f（x2）＝（x1）﹣（x2），又由x1＜x2≤﹣1，则（x1﹣x2）＜0且（x1x2﹣1）＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．。

2015-2016学年某某省某某三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∪B=（）A．{2} B．{2，4} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}2．函数y=+的定义域是（）A．{x|x≥﹣} B．{x|x≥﹣且x≠0}C．{x|x≤} D．{x|x≤且x≠0}3．已知函数f（x）满足f（x+1）=x2﹣1，则（）A．f（x）=x2﹣2x B．f（x）=x2+2x C．f（x）=x2﹣4x D．f（x）=x2+4x4．已知a=（），b=2，c=（），则下列关系式中正确的是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．函数f（x）=的单调递增区间为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣1]6．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值X围是（）A．﹣1＜a≤2B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣17．若函数y=（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值X围是（）A．{a|1≤a≤19} B．{a|＜a＜19} C．{a|1≤a＜19} D．{a|1＜a≤19}8．下列函数是偶函数且值域为[0，+∞）的是（）①y=|x|；②y=x3；③y=2|x|；④y=x2+|x|A．①② B．②③ C．①④ D．③④9．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x＞2} 10．二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（﹣）x的图象只可能是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（2x﹣1）＞0解集为（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣6，0）∪（1，3） C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）12．设f（x）是定义在[1，+∞）的函数，对任意正实数x，f（3x）=3f（x），且f（x）=1﹣|x﹣2|，1≤x≤3，则使得f（x）=f（2015）的最小实数x为（）A．172 B．415 C．557 D．89二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．化简：（2）（﹣6）÷（﹣3）=．14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2+x，则当x＜0时，f （x）的解析式为．15．若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值X围是．16．下列四个说法：（1）y=x+1与y=是相同的函数；（2）若函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，则f（x+1）的定义域为[0，2]；（3）函数f（x）在[0，+∞）时是增函数，在（﹣∞，0）时也是增函数，所以f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数；（4）函数f（x）=（）在区间[3，+∞）上单调递减．其中正确的说法是（填序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，B={x|2﹣3x≤0}，C={y|y=x2}，求：①A∪C；②（∁U A）∩B．18．用单调性定义证明函数f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数．19．已知函数，求（1）的值；（2）若f（a）＞2，则a的取值X围．20．要建造一个容量为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，求当水池的长在什么X围时，才能使水池的总造价不超过61200元（规定长大于等于宽）．21．设x1，x2是方程x2﹣2mx+4m2﹣4m+1=0的两个不等实根，（Ⅰ）将x12+x22表示为m的函数g（m），并求其定义域；（Ⅱ）设f（m）=，求f（m）的值域．22．已知函数f（x）=2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）=2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g（x）=t有解，某某数t的取值X围；（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值X围．2015-2016学年某某省某某三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∪B=（）A．{2} B．{2，4} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据并集的定义可知，A与B的并集为属于A或属于B的所有元素组成的集合，求出两集合的并集即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，所以A∪B={1，2，3，4，5}．故选D【点评】此题考查学生掌握并集的定义并会进行并集的运算，是一道基础题．2．函数y=+的定义域是（）A．{x|x≥﹣} B．{x|x≥﹣且x≠0}C．{x|x≤} D．{x|x≤且x≠0}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥﹣且x≠0，故选：B．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次个数的性质，是一道基础题．3．已知函数f（x）满足f（x+1）=x2﹣1，则（）A．f（x）=x2﹣2x B．f（x）=x2+2x C．f（x）=x2﹣4x D．f（x）=x2+4x【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】可由f（x+1）=x2﹣1得到f（x+1）=（x+1）2﹣2（x+1），这样将x+1换上x便可得出f（x）．【解答】解：f（x+1）=x2﹣1=（x+1）2﹣2（x+1）；∴f（x）=x2﹣2x．故选：A．【点评】考查函数解析式的概念及求法，本题还可用换元法求f（x）：令x+1=t，然后求出f（t），从而得出f（x）．4．已知a=（），b=2，c=（），则下列关系式中正确的是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【考点】指数函数单调性的应用．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】将b改写成利用指数函数的单调性即可得出答案．【解答】解：b=，∵y=（）x是减函数，∴＜（）＜（）．故选：B．【点评】本题考查了函数单调性的应用，是基础题．5．函数f（x）=的单调递增区间为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【考点】复合函数的单调性；函数的单调性及单调区间．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=x2﹣x﹣2，则y=为增函数，由t=x2﹣x﹣2≥0得x≥2或x≤﹣1，要求函数f（x）的单调递增区间，则等价为求函数t=x2﹣x﹣2的单调递增区间，当x≥2时，函数t=x2﹣x﹣2为增函数，故函数t=x2﹣x﹣2的单调递增区间为[2，+∞），故函数f（x）的单调递增区间为[2，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性的关系是解决本题的关键．6．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值X围是（）A．﹣1＜a≤2B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】根据A∩B≠∅，可知A，B有公共元素，利用集合A，B即可确定a的取值X围【解答】解：∵A∩B≠∅，∴A，B有公共元素∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，∴a＞﹣1故选D．【点评】本题考查了集合的运算，考查求参数问题，属于基础题．7．若函数y=（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值X围是（）A．{a|1≤a≤19} B．{a|＜a＜19} C．{a|1≤a＜19} D．{a|1＜a≤19}【考点】函数恒成立问题；函数的图象．【专题】计算题；函数思想；判别式法；函数的性质及应用．【分析】分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数为0时，求得a=1满足题意；当二次项系数不为0时，由二次函数的开口方向及判别式联立不等式组求解．【解答】解：当a2+4a﹣5=0时，解得a=﹣5或a=1，若a=1，则原函数化为y=3，满足题意；当a2+4a﹣5≠0时，要使函数y=（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，则，即，解①得a＜﹣5或a＞1；解②得1＜a＜19．取交集得：1＜a＜19．综上，a的取值X围是{a|1≤a＜19}．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了二次函数的图象和性质，是基础题．8．下列函数是偶函数且值域为[0，+∞）的是（）①y=|x|；②y=x3；③y=2|x|；④y=x2+|x|A．①② B．②③ C．①④ D．③④【考点】函数的值域．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由函数的奇偶性逐一判断，找出正确选项．【解答】解：①函数y=f（x）=|x|，可得f（﹣x）=|﹣x|=f（x），故函数为偶函数且|x|≥0，故①正确；②函数y=f（x）=x3，可得f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），故函数为奇函数；③y=2|x|是非奇非偶函数；④y=x2+|x|，可得f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|=f（x），故函数为偶函数且y=x2+|x|≥0，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的值域，考查了函数的奇偶性，是基础题．9．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x＞2} 【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；新定义．【分析】利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．【解答】解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．【点评】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．10．二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（﹣）x的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图像变换．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的对称轴首先排除A与C选项，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质检验即可得出答案．【解答】解：根据指数函数y=（﹣）x可知a，b异号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴﹣＞0可排除A与C选项D，a﹣b＞0，a＜0，∴﹣＞1，则指数函数单调递增，故D不正确故选：B．【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（2x﹣1）＞0解集为（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣6，0）∪（1，3） C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化即可．【解答】解：∵f（﹣1）=0，∴不等式f（2x﹣1）＞0等价为f（2x﹣1）＞f（﹣1），∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∴不等式等价为f（|2x﹣1|）＞f（1），即|2x﹣1|＞1，即2x﹣1＞1或2x﹣1＜﹣1，即x＞1或x＜0，则不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．12．设f（x）是定义在[1，+∞）的函数，对任意正实数x，f（3x）=3f（x），且f（x）=1﹣|x﹣2|，1≤x≤3，则使得f（x）=f（2015）的最小实数x为（）A．172 B．415 C．557 D．89【考点】抽象函数及其应用．【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件先求出f（2015）=172，然后根据条件求出分段函数在每一段上的最大值，然后只需找到相应的那个区间即可求出来．【解答】解：因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），所以f（x）=3f（），所以f（2015）=3f（）=32f（）=…=3n f（），当n=6时，∈（1，3），所以f（2015）=36[1﹣+2]=37﹣2015=172，同理f（x）=3n f（）==，（n∈N*）∵f（2）=1，∴f（6）=3f（2）=3，f（18）=3f（6）=32=9，f（54）=3f（18）=33=27，f（162）=3f（54）=34=81，f（486）=3f（162）=35=243，即此时由f（x）=35f（）=35（﹣1）=x﹣35=172得x=35+172=243+172=415，即使得f（x）=f（2015）的最小实数x为415，故选：B．【点评】本题应属于选择题中的压轴题，对学生的能力要求较高，解决问题的关键在于如何将f（2015）转化到[1，3]上求出它的函数值，二是如何利用方程思想构造方程，按要求求出x的值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．化简：（2）（﹣6）÷（﹣3）= 4a ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：原式==4a．故答案为：4a．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2+x，则当x＜0时，f （x）的解析式为f（x）=x2﹣x ．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化即可求f（x）的解析式．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2+x，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2﹣x，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=x2﹣x=f（x），解得f（x）=x2﹣x，x＜0，故答案为：f（x）=x2﹣x，【点评】本题主要考查函数解析式，根据函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．15．若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值X围是[﹣2，0）．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则函数在每一段上均为减函数，且在x=1时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，进而构造关于a的不等式，解得实数a的取值X围【解答】解：若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则，解得：a∈[﹣2，0），故答案为：[﹣2，0）【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握分段函数单调性的特征是解答的关键．16．下列四个说法：（1）y=x+1与y=是相同的函数；（2）若函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，则f（x+1）的定义域为[0，2]；（3）函数f（x）在[0，+∞）时是增函数，在（﹣∞，0）时也是增函数，所以f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数；（4）函数f（x）=（）在区间[3，+∞）上单调递减．其中正确的说法是（4）（填序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据同一函数的定义，可判断（1）；根据抽象函数的定义域，可判断（2），根据函数单调性的定义，可判断（3）；根据复合函数的单调性，可判断（4）．【解答】解：y==|x+1|，两函数的解析式不一致，故不是相同的函数，故（1）错误；则x+1∈[﹣1，1]得x∈[﹣2，0]，即f（x+1）的定义域为[﹣2，0]，故（2）错误；函数f（x）在[0，+∞）时是增函数，在（﹣∞，0）时也是增函数，但f（x）是（﹣∞，+∞）上可能不具单调性，故（3）错误；当x∈[3，+∞）时，t=x2﹣2x+3为增函数，y=为减函数，故函数f（x）=（）在区间[3，+∞）上单调递减，故（4）正确；故答案为：（4）【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了同一函数，抽象函数的定义域，函数单调性的定义，复合函数的单调性等知识点，难度中档．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，B={x|2﹣3x≤0}，C={y|y=x2}，求：①A∪C；②（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】先化简集合A，B，C，再进行集合的运算即可．【解答】解：由集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，B={x|2﹣3x≤0}，C={y|y=x2}，解得：A={x|x＜﹣2或x＞1}=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），，C=[0，+∞）①A∪C=（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）；②∁U A=[﹣2，1]，∴（∁U A）∩B=[，1]．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，可查学生的计算能力，比较基础．18．用单调性定义证明函数f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】在定义域上任取x1＜x2，只需证明f（x1）＞f（x2）即可．【解答】解：在（1，+∞）内任取两数x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，∵1＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．【点评】本题考查了函数单调性的证明，属于基础题．19．已知函数，求（1）的值；（2）若f（a）＞2，则a的取值X围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】（1）根据已知中函数的解析式，将，﹣1，代入解析式，即可得到函数的值；（2）根据已知中的函数解析式，结合f（a）＞2，分别在a≤0时，0＜a≤1时，a＞1时，构造关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值X围．【解答】解：（1）；f（f（﹣1））=f（﹣3+5）=f（2）=﹣4+8=4；（2）由知f（x）的值域情况为：，由题意知f（a）＞2，当a≤0时，3a+5＞2⇒a＞1，无解；当0＜a≤1时，a+5＞2⇒a＞3，此时也无解；当a＞1时，﹣2a+8＞2⇒a＜3，此时1＜a＜3．故所求a的取值X围是1＜a＜3【点评】本题考查的知识点是分段函数的解析式，函数的值，分段型不等式的解法，分段函数分段处理，是解答分段函数及相应方程及不等式的最常用的方法．20．要建造一个容量为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，求当水池的长在什么X围时，才能使水池的总造价不超过61200元（规定长大于等于宽）．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设池底的长为x米，泳池的造价为y元，则由长大于等于宽可得x≥，求得x≥10．再根据y≤61200求得x的X围，综合可得x的X围．【解答】解：设池底的长为x米，泳池的造价为y元，则由长大于等于宽可得x≥，∴x≥10．由题意可得总造价y=135×+95×（6x+6x+×6×2）=27000+95•12x+95•≤61200，即 57x+≤1710，即 x﹣30+≤0，求得10≤x≤20，答：水池长在[10，20]米X围内，满足题意．【点评】本题主要考查函数的模型的选择应用，属于中档题．21．设x1，x2是方程x2﹣2mx+4m2﹣4m+1=0的两个不等实根，（Ⅰ）将x12+x22表示为m的函数g（m），并求其定义域；（Ⅱ）设f（m）=，求f（m）的值域．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；判别式法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由x1，x2是方程x2﹣2mx+4m2﹣4m+1=0的两个不等实根，得到△＞0，则可求出m的取值X围．（Ⅱ）把g（m）=﹣4m2+8m﹣2代入f（m）=，再令，则f（m）的值域可求．【解答】解：（I）对于x2﹣2mx+4m2﹣4m+1=0，△＞0得（﹣2m）2﹣4×（4m2﹣4m+1）＞0即=，其定义域为．（II），令则，则f（m）的值域为．【点评】本题考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．22．已知函数f（x）=2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）=2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g（x）=t有解，某某数t的取值X围；（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值X围．【考点】函数恒成立问题；函数的零点．【专题】转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（I）f（x）在R上为增函数；在R上为奇函数；（II）可知t的X围与g（x）的值域相同，由指数函数的单调性和二次函数的值域求法，即可得到所求X围；（III）由f（x）的单调性和奇偶性可得，f（g（x））≤f（﹣3am+m2+1），即有g（x）≤﹣3am+m2+1对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，（g（x））max≤（﹣3am+m2+1）min，运用单调性求得最值，即可得到m的X围．【解答】解：（I）f（x）=2x﹣2﹣x在R上单调递增，因为f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（II）可知t的X围与g（x）的值域相同，g（x）=2x+1﹣22x，令t=2x∈[，2]，则g（x）=﹣t2+2t的值域为[0，1]；（III）由f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0得f（g（x））≤﹣f（3am﹣m2﹣1），由（I）得f（g（x））≤f（﹣3am+m2+1），即有g（x）≤﹣3am+m2+1对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，则（g（x））max≤（﹣3am+m2+1）min，设h（a）=﹣3am+m2+1，则h（a）≥1对一切a∈[﹣2，2]恒成立，若m=0则恒成立；若m≠0则，即，解得m∈（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．综上所述m的取值X围是（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）∪{0}．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，考查方程有解和不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案．【详解】，在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.若，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【详解】若，则，故选：A．点睛】本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．3.，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，计算即可得答案．【详解】根据题意，，且，则.故选：C．【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，注意分析的值，属于基础题．4.已知在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设公比为，由等比数列的通项公式可得，由此求出的值，再由求得结果．【详解】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．5.等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的性质，，所以，再将转化为含有的算式即可．【详解】因为数列为等差数列，所以，，则，故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差中项和等差数列的前n项和．属于基础题．6.已知向量，则“”是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件故选C7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，又.故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A. B. 或 C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据题意，由的值求出的值，结合正弦定理可得，计算可得的值，比较、的大小，分析可得答案．【详解】根据题意，在中,，则，且为锐角；又由，可得，所以.又由，则，则；故选：A．【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．9.对于非零向量，，，下列命题中正确的是（）A. 若，则=B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的性质及其运算逐一检验即可得解，【详解】对于选项，若，所以，所以=或或与垂直，所以故错误，对于选项，若，所以，则，故正确，对于选项，若，则在上的投影为，故错误，对于选项，若，不能推出，例如时也成立，故错误，综上可知：选项B正确，故选：B．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为的周期函数，，又由函数是定义在上的奇函数，则，时，，则，则；故；故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题． 11.已知，，则函数的值域和单调增区间分别为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】解析式提取变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出的值域，利用余弦函数的单调性可求单调递增区间．【详解】，，，，即，则的值域为．由，可得：，由余弦函数的图像得单调增区间为：．故选：A ．【点睛】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域及单调性，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．12.在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合，均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，，结合基本不等式可求．【详解】，，化简可得，，，，，且，均为单位向量，过分别作，，垂足分别为，，则，，，，两式相加可得，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为．故选：B．【点睛】本题综合考查了余弦定理，平面向量的运算法则，三角形的面积公式，基本不等式的综合应用，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.数列满足，，则数列的前项和______．【答案】120【解析】【分析】，利用是等比数列可得的通项公式，从而可得．【详解】，，又，，数列是首项为，公比为的等比数列，，，，故答案为．【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等比数列的通项和数列求和，属中档题．14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．【答案】【解析】【分析】由函数的部分图象，求出、、和的值，即可写出的解析式．【详解】由函数的部分图象知，，，，，由时，，解得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了三角函数的解析式的求法，是基础题．15.已知向量，，，则与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值．【详解】设与的夹角为，，则由，平方可得，解得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．16.已知数列的前项和满足：，数列，前项和为，则满足的最小正整数______．【答案】6【解析】【分析】先求出，，再利用等比数列求和公式得，再解不等式可得的最小值．【详解】时，，时，，，又，是以为首项，为公比的等比数列，，，，由得，得，时，，时，，故的最小值为．故答案为：【点睛】本题考查了利用项和公式求数列的通项，考查了等比数列的求和，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设公差为，根据题意列方程组可得，由此可得；（Ⅱ）使用裂项相消求和可得．【详解】（Ⅰ）设的公差为，则，，，又，，，．（Ⅱ），．【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查了数列求和，属中档题．18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（1）（2）2＋.【解析】（Ⅰ）由，得，即，∴，故．（Ⅱ）由，得，即，①又，∴，②由①②可得，所以．【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用三者的关系解题.19.已知数列中，且．（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出和的值，再根据题意将的递推式代入进行计算化简最终会得到和的关系，最终得证数列是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得的通项公式，得到，由通项公式的特点可根据错位相减法得到数列的前项和．【详解】（Ⅰ）由题意，可知：，．①当时，，②当时，．数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：，．．．， ③④ ③-④，可得：，【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前项和．本题属中档题．20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点．若四边形面积为，求该直线斜率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点，得到，再由离心率求得，则椭圆的标准方程可求； （Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，求解的坐标，得到，再由点到直线的距离公式求得，到的距离，代入面积公式求． 【详解】（Ⅰ）由抛物线，得焦点，则，又，得，．椭圆的标准方程为； （Ⅱ）由椭圆方程可得：，，如图，联立，得，，．到直线的距离为，到直线的距离为．四边形面积，解得：．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知（Ⅰ）列表求在的所有极值；（Ⅱ）当时，（i ）求证：；（ii ）若恒成立，求的取值范围【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，由导函数大于求其增区间，导函数小于求其减区间；（Ⅱ）（i）构造辅助函数，把问题转化为求时，，（ii）构造辅助函数，把问题转化为求时，，然后对的值进行分类讨论，求在不同取值范围内时的的最小值，由最小值大于等于得到的取值范围；【详解】（Ⅰ）因为，所以，，，的变化关系如下表：所以函数的极大值为，极小值为.（Ⅱ）（i）令，令，则对恒成立，在上是增函数，则，恒成立，在上为增函数，；（ii）令要使恒成立，只需当时，，，令，由（i）得，①当时，恒成立，在上为增函数，，满足题意；②当时，上有实根，在上是增函数，则当时，，不符合题意；③当时，恒成立，在上减函数，不符合题意，即．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想以及三角函数的性质，是一道综合题．22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）射线的极坐标方程为，若分别与，交于异于极点的，两点．求的取值范围．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据互化公式可得的极坐标方程，消去参数得曲线的直角坐标方程，再根据互化公式可得的极坐标方程.（Ⅱ）联立射线与，的极坐标方程，利用极径的几何意义以及三角函数的性质可得．【详解】（Ⅰ）由曲线得，得，得；由曲线（为参数）消去参数可得，得，即；（Ⅱ）联立解得，联立，解得，，，，设，由于函数f(t)是减函数，时，取得最小值，时，取得最大值，所以的取值范围是．【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程法互化，考查了函数的最值的求法，考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.已知函数（Ⅰ）若，，求不等式的解集； （Ⅱ）若，，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用分类讨论法解不等式求不等式的解集；（Ⅱ）先用绝对值不等式的性质求得，再根据基本不等式可得，利用不等式的传递性可得．【详解】（Ⅰ）时，或或，解得，故不等式的解集为；（Ⅱ）时，当且仅当时，取等.∵，∴，当且仅当时取等．故．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不等式求最值，属中档题．。

高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={0,1，2}，N={x|x2−3x+2≤0}，则M∩N=( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}2.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是( )A. y=x2−2B. y=3xC. y=1−2−xD. y=−(x+2)23.若集合A={−1,1}，B={0,2}，则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 24.已知集合A={1,3，m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=( )A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或35.函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是( )A. [12,+∞)B. [−1,+∞)C. (−∞,−12]D. (−∞,+∞)6.若A={(x,y)|4x+y=6}，B={(x,y)|3x+2y=7}，则A∩B=( )A. {2,1}B. {(2,1)}C. {1,2}D. {(1,2)}7.与函数y=2x2+1不相同的函数是( )A. y=|x2|+|x2+1|B. y=(2x2+1)2C. y=|2x2+1|D. y=(2x2+1)(x+1)x+18.函数y=(2x+3)0|x|−x的定义域是( )A. {x|{x<0且x≠−32}B. {x|x<0}C. {x|x>0}D. {x|{x≠0且x≠−32，x∈R}9.下列说法中，正确的是( )A. 偶函数的图象一定与y轴相交B. 若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C. 既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0，x∈RD. 图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数10.下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是( )A. f(x)=3x+1B. f(x)=1xC. f(x)=1−1xD. f(x)=x311.函数f(x)=x2−4x−8的定义域为[0,a]，值域为[−12,−8]，则a的取值范围是( )A. [2,4]B. [4,6]C. [2,6]D. [0,4]12.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(2)=0，若对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则f(−3)与f(−π)的大小关系是______．14.已知f(x)=ax5+bx3+cx−8，且f(d)=10，则f(−d)=______．15.2x2−3x−53x2−13x+4≥0的解集为______．16.设定义在[−2,2]的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1−m)<f(1)，则实数m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x>6或x<−3}，B={x|a<x<a+3}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．18.判断下列函数奇偶性：(1)f(x)=x−1+1−x(2)f(x)=36−x2|x+3|−319.已知函数f(x)=x2−2ax−a2在区间[0,2]上的最大值为−1，求实数a的值．20.用函数单调性定义证明，求证：函数f(x)=−1x−1在区间(−∞,0)上是单调增函数21.函数f(x)，x∈(−1,1)为奇函数，且f(1−a)+f(1−a2)<0.若f(x)是(−1,1)上的减函数，求实数a的取值范围．22.若函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，(a,b，c∈N)且f(1)=2，f(2)<3．(1)求实数a，b，c的值；(2)判断函数f(x)在(−∞,−1]上的增减性，并证明．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．【解答】解：∵N={x|x2−3x+2≤0}={x|(x−1)(x−2)≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1,2}，故选D．2.【答案】C【解析】解：A中，y=x2−2在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数，∴不满足条件；B中，y=3x在(−∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是减函数，∴不满足条件；C中，y=1−2−x在定义域(−∞,2]是增函数，∴满足条件；D中，y=−(x+2)2在(−∞,−2)上是增函数，在[−2,+∞)上是减函数，∴不满足条件；故选：C．根据基本初等函数在定义域内的单调性情况，判定各选项中的函数是否满足条件即可．本题考查了基本初等函数在定义域内的单调性问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意，∵集合A={−1,1}，B={0,2}，−1+0=−1，1+0=1，−1+2=1，1+2=3∴{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={−1,1，3}∴集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为3故选C．根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．本题考查集合的概念，考查集合中元素的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：A∪B=A⇔B⊆A．∴{1,m}⊆{1,3，m}，∴m=3或m=m，解得m=0或m=1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)．综上所述，m=0或m=3．故选：B．由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题．5.【答案】C【解析】解：∵y=x2+x+1的图象是对称轴为直线x=−12，抛物线开口向上的抛物线，∴函数y=x2+x+1的单调递减区间是(−∞,−12]，故选：C．将二次函数的解析式进行配方，得到函数的对称轴，结合函数图象的开口方向，利用函数单调性和对称轴之间的关系确定单调减区间．本题主要考查二次函数的图象和性质，利用函数单调性和对称轴之间的关系是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：A∩B中的元素即直线4x+y=6和直线3x+2y=7交点的坐标，把两直线方程联立方程组解得两直线交点坐标为(1,2)，故A∩B={(1,2)}，故选：D．根据题意，结合集合的意义，把两直线方程联立方程组解得两直线交点坐标为(1,2)，从而求得A∩B中的元素．本题考查两个集合的交集的定义，求两直线交点坐标，求出两直线交点坐标，是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：函数y=2x2+1的定义域为R，值域为[1,+∞)，选项A中的函数y=|x2|+|x2+1|=x2+x2+1=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项B中的函数即y=|2x2+1|=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项C中的函数y=|2x2+1|=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项D中的函数的定义域为{x|x≠−1}，故它和已知函数不是同一函数，故选：D．由题意利用函数的三要素作出判断．本题主要考查函数的三要素，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意得：2x+3≠0|x|−x>0，解得：x<0且x≠−32，故函数的定义域是{x|x<0且x≠−32}，故选：A．根据指数幂的意义，以及二次根式的性质求出x的范围即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质以及指数幂的意义，是一道基础题．9.【答案】B【解析】解：A.y=1x2是偶函数，但函数与y轴没有交点，故A错误，B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则由f(−x)=−f(x)得f(−0)=−f(0)，即f(0)=0，故B正确，C.若函数f(x)是奇函数则f(−x)=−f(x)，若函数f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，则−f(x)=f(x)，则f(x)=0，此时只要定义域关于原点对称即可，故C错误，D.函数的单调性和奇偶性没有关系，故过过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数，故D错误，故选：B．根据函数奇偶性的性质分别进行判断即可．本题主要考查与函数奇偶性有关的命题的真假判断，涉及函数奇偶性的定义和性质，难度不大．10.【答案】D【解析】解：y=3x+1不是奇函数，排除A；f(x)=1x在(−∞,0)，(0,+∞)上为减函数，排除B；f(x)=1−1x不是奇函数，排除C；y=x3的图象关于原点对称，且在定义域上为增函数，故选：D．先利用奇函数的定义排除A、C，再利用单调性排除B，即可得正确选项．本题考查了基本初等函数的奇偶性和单调性，排除法解选择题．11.【答案】A【解析】解：f(x)=x2−4x−8=(x−2)2−12，f(x)在(−∞,2)为减函数，在(2,+∞)为增函数，∴f(x)min=f(2)=−12，f(0)=−8，若x∈[0,a]，值域为[−12,−8]，则a≥2，f(a)≤f(0)，即a2−4a−8≤−8，解得0≤a≤4，所以2≤a≤4，故选：A．f(x)=x2−4x−8=(x−2)2−12，f(x)在(−∞,2)为减函数，在(2,+∞)为增函数，∴f(x)min=f(2)=−12，f(0)=−8，进而得出a在2的右边且f(a)≤f(0)，进而求解．考查二次函数的图象，对称轴，特定定义域的值域．12.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在(−∞,0)上是增函数，由f(2)=0得，f(−2)=0，∴由xf(x)>0得，x>0f(x)>f(2)或x<0f(x)<f(−2)，∴x>2或x<−2，∴不等式xf(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选：C．根据条件即可得出f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，且f(2)=f(−2)=0，从而根据xf(x)>0可得出x>0f(x)>f(2)或x<0f(x)<f(−2)，根据f(x)的单调性即可解出该不等式组，从而得出原不等式的解集．本题考查了增函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性，奇函数的定义，转化为不等式组求不等式解集的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．13.【答案】f(−3)>f(−π)【解析】解：∵函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，∴函数f(x)是增函数∵−3>−π∴f(−3)>f(−π)故答案为：f(−3)>f(−π)．先确定函数是增函数，再利用单调性的定义，即可得到结论．本题考查函数的单调性，考查单调性的运用，确定函数的单调性是关键．14.【答案】−26【解析】解：根据题意，f(x)=ax5+bx3+cx−8，则f(−x)=a(−x)5+b(−x)3+c(−x)−8=−(ax5+bx3+cx)−8，则f(−x)+f(x)=−16；则有f(d)+f(−d)=−16，若f(d)=10，则f(−d)=−26；故选：根据题意，由函数的解析式求出f(−x)的解析式，进而分析可得f(−x)+f(x)=−16，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】{x|x>4或13<x≤52或x≤−1}【解析】解：由2x2−3x−53x2−13x+4≥0可得，(2x−5)(x+1)(3x−1)(x−4)≥0，转化为(x+1)(3x−1)(2x−5)(x−4)≥0且(3x−1)(x−4)≠0，根据高次不等式的解法可得，x>4或13<x≤52或x≤−1，故答案为：{x|x>4或13<x≤52或x≤−1}．由2x2−3x−53x2−13x+4≥0可得，(x+1)(3x−1)(2x−5)(x−4)≥0且(3x−1)(x−4)≠0，结合高次不等式的解法可求．本题主要考查了分式及高次不等式的求解，属于基础试题．16.【答案】2<m≤3或−1≤m<0【解析】解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)=f(−x)=f(|x|)，∵函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，∴f(1−m)=f(|1−m|)<f(1)，∴0≤|1−m|≤2|1−m|>1，解得2<m≤3或−1≤m<0，故答案为2<m≤3或−1≤m<0．根据函数f(x)是偶函数，得到f(x)=f(−x)=f(|x|)，根据函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，，把不等式f(1−m)<f(1)转化为自变量不等式，从而求得实数m的取值范围，在转化不等式时注意函数的定义域．此题是个中档题．考查函数的奇偶性和单调性的定义和函数图象的对称性，及根据函数的单调性转化不等式，体现了转化的思想方法．17.【答案】解：∵A∪B=A，∴B⊆A，且A={x|x>6或x<−3}，B={x|a<x<a+3}，∴a+3≤−3或a≥6，∴a≤−6或a≥6，∴a的取值范围为{a|a≤−6或a≥6}．【解析】根据A∪B=A可得出B⊆A，从而可得出a+3≤−3或a≥6，解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)对于f(x)=x−1+1−x，有x−1≥01−x≥0，解可得x=1，即函数的定义域为{x|x=1}，其定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数；(2)对于f(x)=36−x2|x+3|−3，有36−x2≥0|x+3|−3≠0，解可得：−6<x≤6且x≠0，即函数的定义域为{x|−6<x≤6且x≠0}，其定义域不关于原点对称；为非奇非偶函数．【解析】根据题意，先求出函数的定义域，结合奇偶性的性质分析可得结论．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．19.【答案】解：f(x)的对称轴为x=a，①a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，∴f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=4−4a−a2=−1，解得a=−5或1，∴a=−5；②0<a<2时，f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)=−a2=−1，或f(2)=4−4a−a2=−1，且0<a<2，∴解得a=1，③a≥2时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)=−a2=−1，且a≥2，∴a∈⌀，综上得，a=−5或1．【解析】可求出f(x)的对称轴为x=a，从而可讨论a≤0，0<a<2，a≥2，然后在每种情况下，根据f(x)在[0,2]上的最大值为−1，即可求出a的值．本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的单调性，根据单调性求函数最值的方法，考查了推理和计算能力，属于基础题．20.【答案】证明：任取x1<x2<0，∵f(x1)−f(x2)=−1x1−1−(−1x2−1)=1x2−1x1=x1−x2x1x2，由题设可得，x1−x2<0，x1⋅x2>0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=−1x−1在区间(−∞,0)上是单调增函数．【解析】由定义可知，任取x1<x2<0，代入解析式，作差变形推出可得f(x1)<f(x2)，从而得到函数f(x)在区间(−∞,0)上为增函数．本题考查了函数单调性的定义和证明，属于基础题．21.【答案】解：根据题意，函数f(x)，x∈(−1,1)为奇函数，则f(1−a)+f(1−a2)<0⇒f(1−a)<−f(1−a2)⇒f(1−a)<f(a2−1)，又由f(x)是(−1,1)上的减函数，则f(1−a)<f(a2−1)⇒−1<1−a<1−1<a2−1<11−a>a2−1，解可得：0<a<1，即a的取值范围为(0,1)；故a的取值范围(0,1)．【解析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f(1−a)+f(1−a2)<0⇒f(1−a)<−f(1−a2)⇒f(1−a)<f(a2−1)，结合函数的定义域以及单调性分析可得−1<1−a<1−1<a2−1<11−a>a2−1，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的定义域，属于基础题．22.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，(a,b，c∈N)且f(1)=2，则f(−1)=−2，又由f(2)<3，则有a+1b+c=2a+1−b+c=−24a+12b+c<3且a、b、c∈N，解可得a=1，b=1，c=0；(2)由(1)可得：f(x)=x2+1x=x+1x，函数f(x)在(−∞,−1]上为增函数，设x1<x2≤−1，f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1x2−1)(x1−x2)x1x2，又由x1<x2≤−1，则(x1−x2)<0且(x1x2−1)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，故函数f(x)在(−∞,−1]上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(−1)=−2，进而可得a+1b+c=2a+1−b+c=−24a+12b+c<3，解可得a、b、c的值，即可得答案；(2)根据题意，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a、b、c的值，属于基础题．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案．【详解】，在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.若，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【详解】若，则，故选：A．点睛】本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．3.，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，计算即可得答案．【详解】根据题意，，且，则.故选：C．【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，注意分析的值，属于基础题．4.已知在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设公比为，由等比数列的通项公式可得，由此求出的值，再由求得结果．【详解】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．5.等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的性质，，所以，再将转化为含有的算式即可．【详解】因为数列为等差数列，所以，，则，故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差中项和等差数列的前n项和．属于基础题．6.已知向量，则“”是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件故选C7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，又.故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A. B. 或 C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据题意，由的值求出的值，结合正弦定理可得，计算可得的值，比较、的大小，分析可得答案．【详解】根据题意，在中,，则，且为锐角；又由，可得，所以.又由，则，则；故选：A．【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．9.对于非零向量，，，下列命题中正确的是（）A. 若，则=B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的性质及其运算逐一检验即可得解，【详解】对于选项，若，所以，所以=或或与垂直，所以故错误，对于选项，若，所以，则，故正确，对于选项，若，则在上的投影为，故错误，对于选项，若，不能推出，例如时也成立，故错误，综上可知：选项B正确，故选：B．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为的周期函数，，又由函数是定义在上的奇函数，则，时，，则，则；故；故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题． 11.已知，，则函数的值域和单调增区间分别为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】解析式提取变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出的值域，利用余弦函数的单调性可求单调递增区间．【详解】，，，，即，则的值域为．由，可得：，由余弦函数的图像得单调增区间为：．故选：A ．【点睛】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域及单调性，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．12.在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合，均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，，结合基本不等式可求．【详解】，，化简可得，，，，，且，均为单位向量，过分别作，，垂足分别为，，则，，，，两式相加可得，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为．故选：B．【点睛】本题综合考查了余弦定理，平面向量的运算法则，三角形的面积公式，基本不等式的综合应用，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.数列满足，，则数列的前项和______．【答案】120【解析】【分析】，利用是等比数列可得的通项公式，从而可得．【详解】，，又，，数列是首项为，公比为的等比数列，，，，故答案为．【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等比数列的通项和数列求和，属中档题．14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．【答案】【解析】【分析】由函数的部分图象，求出、、和的值，即可写出的解析式．【详解】由函数的部分图象知，，，，，由时，，解得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了三角函数的解析式的求法，是基础题．15.已知向量，，，则与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值．【详解】设与的夹角为，，则由，平方可得，解得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．16.已知数列的前项和满足：，数列，前项和为，则满足的最小正整数______．【答案】6【解析】【分析】先求出，，再利用等比数列求和公式得，再解不等式可得的最小值．【详解】时，，时，，，又，是以为首项，为公比的等比数列，，，，由得，得，时，，时，，故的最小值为．故答案为：【点睛】本题考查了利用项和公式求数列的通项，考查了等比数列的求和，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设公差为，根据题意列方程组可得，由此可得；（Ⅱ）使用裂项相消求和可得．【详解】（Ⅰ）设的公差为，则，，，又，，，．（Ⅱ），．【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查了数列求和，属中档题．18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（1）（2）2＋.【解析】（Ⅰ）由，得，即，∴，故．（Ⅱ）由，得，即，①又，∴，②由①②可得，所以．【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用三者的关系解题.19.已知数列中，且．（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出和的值，再根据题意将的递推式代入进行计算化简最终会得到和的关系，最终得证数列是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得的通项公式，得到，由通项公式的特点可根据错位相减法得到数列的前项和．【详解】（Ⅰ）由题意，可知：，．①当时，，②当时，．数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：，．．．，③④③-④，可得：，【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前项和．本题属中档题．20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点．若四边形面积为，求该直线斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点，得到，再由离心率求得，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，求解的坐标，得到，再由点到直线的距离公式求得，到的距离，代入面积公式求．【详解】（Ⅰ）由抛物线，得焦点，则，又，得，．椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由椭圆方程可得：，，如图，联立，得，，．到直线的距离为，到直线的距离为．四边形面积，解得：．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知（Ⅰ）列表求在的所有极值；（Ⅱ）当时，（i ）求证：；（ii ）若恒成立，求的取值范围【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，由导函数大于求其增区间，导函数小于求其减区间；（Ⅱ）（i）构造辅助函数，把问题转化为求时，，（ii）构造辅助函数，把问题转化为求时，，然后对的值进行分类讨论，求在不同取值范围内时的的最小值，由最小值大于等于得到的取值范围；【详解】（Ⅰ）因为，所以，，，的变化关系如下表：所以函数的极大值为，极小值为.（Ⅱ）（i）令，令，则对恒成立，在上是增函数，则，恒成立，在上为增函数，；（ii）令要使恒成立，只需当时，，，令，由（i）得，①当时，恒成立，在上为增函数，，满足题意；②当时，上有实根，在上是增函数，则当时，，不符合题意；③当时，恒成立，在上减函数，不符合题意，即．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想以及三角函数的性质，是一道综合题．22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）射线的极坐标方程为，若分别与，交于异于极点的，两点．求的取值范围．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据互化公式可得的极坐标方程，消去参数得曲线的直角坐标方程，再根据互化公式可得的极坐标方程.（Ⅱ）联立射线与，的极坐标方程，利用极径的几何意义以及三角函数的性质可得．【详解】（Ⅰ）由曲线得，得，得；由曲线（为参数）消去参数可得，得，即；（Ⅱ）联立解得，联立，解得，，，，设，由于函数f(t)是减函数，时，取得最小值，时，取得最大值，所以的取值范围是．【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程法互化，考查了函数的最值的求法，考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.已知函数（Ⅰ）若，，求不等式的解集； （Ⅱ）若，，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用分类讨论法解不等式求不等式的解集；（Ⅱ）先用绝对值不等式的性质求得，再根据基本不等式可得，利用不等式的传递性可得．【详解】（Ⅰ）时，或或，解得，故不等式的解集为；（Ⅱ）时，当且仅当时，取等.∵，∴，当且仅当时取等．故．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不等式求最值，属中档题．。

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在复平面内，复数为虚数单位)对应点的坐标为( )A. (12,12)B. (−12,12)C. (−12,−12)D. (12,−12)2. 若sin(π8+α)=34，则cos(3π8−α)=( )A. −34B. 34C. −√74D. √743. 设函数f(x)={12x −1x ≥01xx <0.，若f(a)>a ，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a <−1C. a >1或a <−1D. a <−2或−1<a <14. 在等比数列{a n }中，已知a 2=14，a 5=2，则a 4等于( )A. 1B. 2C. ±1D. ±2 5. 若数列{a n }满足a n+1=a n +2，且a 3+a 15=14，则其前17项和S 17=( )A. 136B. 119C. 102D. 85 6. 已知向量a ⃗ =(x,1)，b ⃗ =(1,−1)，若a ⃗ //b ⃗ ，则x =( )A. −1B. 1C. ±1D. 07. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12 D. x =1，y =−12 8. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2asin B ，则A =( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75° 9. 在矩形ABCD 中，AB =2，点P 为直线BC 上一点，则(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 0B. 2C. 4D. 810. 设偶函数f (x )对任意x ∈R 都有，且f (x +3)=−1f x 当x ∈[−3,−2]时，f (x )=4x ，则f (107.5)= ( )A. 10B. 110C. −10D. −11011.若函数f(x)=2√3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx在区间[−3π2,3π2]上单调递增，则正数ω的最大值为()A. 18B. 16C. 14D. 1312.在ΔABC，内角A,B,C的对边a,b,c满足b=2acosC，那么这个三角形一定是()．A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}前n项和为S n，a n+1−2a n=1，a1=1，则S9的值为______．14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω=________．15.已知向量a⃗=(3,−4)，|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =5√32，则向量a⃗与b⃗ 的夹角θ=________．16.已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n−2(n∈N∗)，则a5=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，且32，3，a4，a10成等比数列．(Ⅰ)求a n；(Ⅱ)求数列{2a n(a n+n)}的前n项和S n．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2√3acsinB=a2+b2−c2．(1)求角C的大小；(2)若bsin(π−A)=acosB，且b=√2，求△ABC的面积．19.已知数列｛a n｝满足a1=2，a n+1=2a n−n+1，设b n=a n−n．(1)求b1，b2，b3；(2)求数列｛b n｝的前n项和T n．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，其左、右焦点分别为F1,F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，ΔABF2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(−1,1)且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点(异于A，B点)，证明：直线BM和BN的斜率和为定值．21.已知函数f(x)=mx2−x−lnxm．(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)求证：存在x0，使得f(x0)<1．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1：ρ=4cosθ，C2：ρ=2sinθ，设直线C3：θ=α与C1交于O，A两点，直线C4：θ=α+π2与C2交于O，B两点．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程及参数方程；(Ⅱ)当α∈[π6,π3]时，求△OAB面积的取值范围．23.设函数f(x)=|x+√a|−|x−√2−a|(a∈[0,2])．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥1；(2)求证f(x)≤2．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应点的坐标即可得到答案．【解答】解：，则复数z在复平面内对应点的坐标是：(12,−12).故选D．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．由条件利用诱导公式可得结果．【解答】解：sin(π8+α)=34，则cos(3π8−α)=cos[π2−(π8+α)]=sin(π8+α)=34，故选B．3.答案：B解析：【分析】先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a≥0时，和a<0时两种情况求解，最后取并集．【解答】当a⩾0时，f(a)=12a−1>a，解得a<−2，矛盾，无解当a<0时，f(a)=1a>a，a<−1．综上：a<−1∴实数a的取值范围是(−∞,−1)．故选：B．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．由等比数列的通项公式可求得q，即可求得a4的值．【解答】解：在等比数列{a n}中，设公比为q，∵a2=14，a5=2，∴q3=8，即q=2，∴a4=a2q2=14×4=1，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的概念，考查等差数列的性质，考查等差数列的求和，属于基础题．先根据等差数列的概念得到数列{a n}是公差为2的等差数列，再根据其性质和求和公式计算即可．【解答】解：∵a n+1=a n+2，∴a n+1−a n=2，∴数列{a n}是公差为2的等差数列，又a3+a15=14，∴S17=17(a1+a17)2=17(a3+a15)2=119．故答案为B．解析：解：向量a ⃗ =(x,1)，b ⃗ =(1,−1)，若a ⃗ //b ⃗ ， 可得−x =1，解得x =−1． 故选：A ．利用向量共线定理的充要条件列出方程求解即可． 本题考查向量共线定理的充要条件的应用，考查计算能力．7.答案：D解析： 【分析】利用平面向量的三角形法则用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查了平面向量的线性运算法则，平面向量的基本定理，属于基础题． 【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵E 是BC 中点，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =1，y =−12． 故选D ．8.答案：A解析： 【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sin B 不为0求出sin A 的值，由A 为锐角确定出A 的度数即可．此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 【解答】把b =2asinB 利用正弦定理化简得：sinB =2sinAsinB ， ∵sinB ≠0，A 为锐角， ∴sinA =12， 则A =30°． 故选：A ．解析： 【分析】本题主要考查平面向量的数量积与向量的投影，利用平面向量的投影进行求解即可． 【解答】解：由题意可得(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8． 故选D ．10.答案：B解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性以及周期性的运用，首先由f(x +3)=−1f(x)得到函数的周期为6，将所求转化为f(107.5)=f(5.5)=f(−0.5)=−1f (2.5)=−1f (−2.5)=−14×(−2.5)=110． 【解答】解：由f(x +3)=−1f(x)得到函数周期为6，所以f(107.5)=f(5.5)=f(−0.5)=−1f (2.5)=−1f (−2.5)=−14×(−2.5)=110． 故选B ．11.答案：B解析：解：f(x)=2√3sinωxcosωx +2sin 2ωx +cos2ωx =√3sin2ωx +1−cos2ωx +cos2ωx =√3sin2ωx +1， ∵在区间[−3π2,3π2]上单调递增，则3π2≤T4，即T ≥6π， 即2π2ω≥6π，得0<ω≤16， 即ω的最大值为16， 故选：B ．利用倍角公式结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性确定区间与周期的关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．12.答案：A解析：本题主要考查余弦定理的应用，属基础题．先根据余弦定理表示出cos C，代入整理即可得到a=c，从而知是等腰三角形．【解答】解：∵b=2acosC=2a×a2+b2−c22ab =a2+b2−c2b，∴b2=a2+b2−c2，∴a2=c2，因为a，c为三角形的边长，∴a=c．∴△ABC是等腰三角形．故选A．13.答案：1013解析：解：根据题意，数列{a n}满足a n+1−2a n=1，即a n+1+1=2(a n+1)，又由a1=1，则a1+1=2，则数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，则a n+1=2×2n−1=2n，则a n=2n−1，则S9=(21−1)+(22−1)+⋯…+(29−1)=2(1−29)1−2−9=1013；故答案为：1013．根据题意，将a n+1−2a n=1变形可得a n+1+1=2(a n+1)，又由a1+1=2，分析可得数列{a n+1}是以为首项，2为公比的等比数列，则a n+1=2×2n−1=2n，变形可得a n=2n−1，据此计算可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析得到数列{a n}的通项公式，属于综合题．14.答案：23解析：【分析】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．【解答】解：由图像可得34T=15π8+3π8=18π8=9π4，所以T=3π，则ω=2π3π=23．故答案为23． 15.答案： π6解析：【分析】本题考查平面向量夹角公式．由结合题目条件可直接运算得答案．【解答】解： 因为a ⃗ =(3,−4)，所以|a ⃗ |=5.因为|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =5√32， 所以cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=5√325×1=√32.因为θ∈[0,π]， 所以θ=π6．故答案为 π6 16.答案：162解析：解：∵2S n =3a n −2，∴2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)，两式相减得：2a n =3a n −3a n−1，∴a na n−1=3(n ≥2)，又2a 1=3a 1−2，∴a 1=2，∴数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a 5=2×34=162．故答案为：162．由2S n =3a n −2可得2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)，两式相减，可判断数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，从而可得a 5的值． 本题考查数列的求和及等比关系的确定，求得数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列是关键，考查推理运算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)∵32，3，a 4，a 10成等比数列．∴公比为332=2．∴a 4=32×22=6，a 10=32×23=12．设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =6a 1+9d =12，解得{a 1=3d =1，于是a n=3+(n−1)=n+2．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2a n(a n+n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2，于是S n=(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2n+4．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由32，3，a4，a10成等比数列．可得公比为2.再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2a n(a n+n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2，利用“裂项求和”即可得出．18.答案：解：(1)在△ABC中，由2√3acsinB=a2+b2−c2，由余弦定理：a2+b2−c2=2abcosC，可得：2√3acsinB=2abcosC．由正弦定理：2√3sinCsinB=2sinBcosC∵0<B<π，sinB≠0，∴2√3sinC=2cosC，即tanC=√33，∵0<C<π，∴C=π6;(2)由bsin(π−A)=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0<A<π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴B=π4，根据正弦定理bsinB =csinC，可得√2sinπ4=csinπ6，解得c=1，∴S△ABC=12bcsinA=12×√2×1×sinA=√22sin(π−B−C)=√22sin(π4+π6)=√3+14．解析：(1)由正余弦定理化简可得角C的大小；(2)由bsin(π−A)=acosB，根据正弦定理化简，求出c，即可求出△ABC的面积．本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．19.答案：解：(1)根据题意得a1=2，数列{a n}满足a n+1=2a n−n+1，则b1=a1−1=1，由a2=2a1−1+1=4，得b2=a2−2=2，又由a3=2a2−2+1=7，得b3=a3−3=4．(2)由a n+1=2a n−n+1，得a n+1−(n+1)=2(a n−n)，即b n+1=2b n，所以b n+1b n=2，又b1=1，所以b n=2n−1，则T n=1+2+4+⋯+2n−1=2n−1．解析：本题主要考查数列的递推关系与数列的通项公式以及数列的求和，属于一般题．(1)根据题中所给条件令n=1，2，3，即可推出结论．(2)根据题中所给条件可得数列｛b n｝是首项为1，公比为2的等比数列，即可推出前n项和T n．20.答案：解：(1)ca =√22，a2=2c2，b2=c2，又bc=1，∴b=c=1,a=√2，所以椭圆的标准方程为x22+y2=1．(2)证明：如图所示：设直线l的方程为y=k(x+1)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{y=k(x+1)+1x22+y2=1得(2k2+1)x2+4k(k+1)x+2k2+4k=0，∴x1+x2=−4k(k+1)2k2+1,x1x2=2k2+4k2k2+1，∴K BM+K BN=y1+11+y2+12=k(x1+1)+21+k(x2+1)+22=2k+k+2x1+k+2x2=2k+(k+2)(x1+x2)x1x2．=2k−(k+2)4k(k+1)2k2+4k=2k−2(k+1)=−2．∴直线BM与BN的斜率之和为定值．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．(2)联立直线与椭圆方程．设出MN的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．21.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞)且m≠0，f′(x)=(2mx+1)(mx−1)mx，令f′(x)=0，解得：x=−12m 或x=1m，当m>0时，x，f′(x)，f(x)的变化如下：故函数f(x)在x=m 处取得极小值f(m)=m，当m<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：故函数f(x)在x=−2m 处取得极大值f(−2m)=4m+ln(−2m)m；(Ⅱ)当m>0时，由(Ⅰ)知，f(x)的最小值是f(1m )=lnmm，存在x0，使得f(x0)<1⇔f(1m)<1，则f(1m )−1=lnm−mm，设g(x)=lnx−x，则g′(x)=1−xx，令g′(x)>0，解得：0<x<1，令g′(x)<0，解得：x>1，故g(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，故g(x)最大值=g(1)=−1<0，故f(1m)−1<0，故存在x0，使得f(x0)<1；当m<0时，取x=1，f(1)=m−1<−1<1，故存在x0，使得f(x0)<1，原结论成立．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的方程，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)根据f(x)的最小值是f(1m )=lnmm，存在x0，使得f(x0)<1⇔f(1m)<1，由f(1m)−1=lnm−mm，设g(x)=lnx−x，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：(Ⅰ)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，得x 2+y 2−4x =0，即(x −2)2+y 2=4，其参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα(α为参数)． (Ⅱ)α∈[π6,π3]时，联立{θ=αρ=4cosθ得|OA|=4cosα， 联立{θ=α+π2ρ=2sinθ得|OB|=2sin(α+π2)=2cosα， 所以S △OAB =12|OA||OB|=12×4cosα×2cosα=4cos 2α=2+2cos2α，∵α∈[π6,π3]，∴2α∈[π3,2π3]，∴cos2α∈[−12,12]，1+cos2α∈[1,3]， 故△OAB 的面积的取值范围是[1,3]．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题．(Ⅰ)两边同乘ρ后根据互化公式可得曲线C 1的普通方程，再得参数方程；(Ⅱ)联立极坐标方程组成方程组可得|OA|和|OB|，再根据直角三角形面积公式得面积，再根据三角函数性质求取值范围．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)≥1等价于|x +1|−|x −1|≥1，当x ≤−1时，不等式化为−x −1+x −1≥1，原不等式无解，当−1<x <1时，不等式化为x +1+x −1≥1，解得12≤x <1，当x ≥1时，不等式化为x +1−x +1≥1，解得x ≥1，综上所述，不等式的解集为[12,+∞)；证明(Ⅱ)f(x)=|x +√a|−|x −√2−a|≤|(x +√a)−(x −√2−a)|=√a +√2−a ， ∵a ∈[0,2]，∴a +2−a ≥2√a(2−a)，∴2[a +(2−a)]≥(√a +√2−a)2，∴(√a +√2−a)2≤4，∴√a +√2−a ≤2，∴f(x)≤2．解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)≥1等价于|x +1|−|x −1|≥1，去绝对值，分段求出即可， (Ⅱ)根据绝对值三角不等式可得f(x)≤√a +√2−a ，只要证明√a +√2−a ≤2即可本题考查了绝对值不等式的应用和不等式的证明，考查了推理论证能力，属于中档题．。