﹡7.3三元一次方程组及其解法

乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：授课时间：2016年1 月日(星期 )本次课授课内容前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题． 一、研究探讨 出示引入问题小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张． 1．题目中有几个未知数，你如何去设？ 2．根据题意你能找到等量关系吗？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？ 请大家分组讨论上述问题． （教师对学生进行巡回指导） 学生成果展示：1．设1元，2元，5元各x 张，y 张，z 张．（共三个未知数）2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组12,2522,4.x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？ （探索如何消元．）可以把③分别代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了：8,412,512,2,42522,6522. 2.x y y z y z y y y z y z z =⎧++=+=⎧⎧⎪=⎨⎨⎨++=+=⎩⎩⎪=⎩即解得解此二元一次方程组得出y 、z ，进而代回原方程组可求x ．教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．即三元一次方程组消元二元一次方程组 消元一元一次方程二、例题讲解例1：解三元一次方程组347, 239, 5978. x zx y zx y z+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解：②×3+③，得11x+10z=35．①与④组成方程组347,5, 111035. 2. x z xx z z+==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得把x=5，z=-2代入②，得y=1 3．因此，三元一次方程组的解为5,1,32. xyz=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．•反之用代入法运算较烦琐．例2：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，•c 的值．解：由题意，得三元一次方程组0, 423, 25560.a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩②-①，得a+b=1，④③-①，得4a+b=10．⑤④与⑤组成二元一次方程组1, 410.a ba b+=⎧⎨+=⎩．解得3,2 ab=⎧⎨=-⎩把a=3，b=-2代入①，得c=-5．因此3,2,5.abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，答：a=3，b=-2，c=-5．三、智能训练1．已知方程组326,22,622,,,2341,62533351x y z ax by czx y z x y z ax by czx y z ax by cz-+=++=⎧⎧⎪⎪+-=--+=-⎨⎨⎪⎪++=-+=⎩⎩与关于的方程组相同，求a，b，c的值．2．解方程组:3:2,:5:4,66. x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩3．在y=ax2+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值．当x=-1时，y•的值是多少？4、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的13等于丙数的12，求这三个数．答案：1．分析：因为两个方程组的解相同，即x，y，z取值相同，可求解第一个方程组中的x，y，z，代入第二个方程组后，求解a，b，c．解：解方程组1,326,3622,2,6253, 1.x x y z x y z y x y z z ⎧=⎪-+=⎧⎪⎪+-=-=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎪⎩解得1222,,322,322,2341,641,313351,65 1.9,1,21.ab c x ax by cz y ax by cz a b c z ax by cz a b c a b c ⎧-+=⎧⎪=⎪++=⎧⎪⎪⎪⎪=--+=-++=-⎨⎨⎨⎪⎪⎪=-+=⎩++=⎪⎪⎩⎪⎩=⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩把解得2．提示：将①②变为x=32y ，z=45y 后求解．答案：30,20,16.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3．解：由题意，得0,11,423,30,9328.19.a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩解得所以y=11x 2-30x+19．所以当x=-1时，y=11×（-1）2-30×（-1）+19=60． 小结：1、解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些?2、解题时要认真观察各个方程的系数特点，选择最好的解法.但方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解.课后巩固复习：作业_________题一、选择题1. 解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取( )（A）先消去x. （B）先消去y. （C）先消去z. （D）以上说法都不对.2. 三元一次方程组，消去未知数后，得到的二元一次方程组是( ) （A）.（B）.（C）.（D）.3. 三元一次方程组的解是( )（A）. （B）. （C）.4. 已知是方程组的解，则，，的值为( ) （A）. （B）. （C）. .5. 若方程组的解和的值互为相反数,则的值等于( )(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.6. 已知方程组有无穷多组解,则的值分别为( )(A)． (B) ． (C) ． (D) 可取任意值．7．己知，，满足方程组，则( ) （A）．（B）．（C）．（D）．8. 若三元一次方程组的解使，则的值是( ）（A）0.（B）.（C）.（D）-8.9．如果，且，，则( )（A）18.（B）2.（C）0.（D）-2.10. 若，，都是不等于零的数，且，则( )（A）2.（B）-1.（C）2或-1.（D）不存在.11. 某瓶中装有1分，2分，5分三种硬币，15枚硬币共3角5分，则有多少种装法( )（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.12. 学校的篮球数比[本文由361学习网搜集整理，小学教案]排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:3，三种球共41个，则篮球有多少个？( )（A）21.（B）12.（C）8.（D）35.二、填空题13．若是一个三元一次方程组，则______，_______，_______.14．已知若用含的一次式表示，则________．15. 解三元一次方程组时，若先消去，得到关于，的二元一次方程组是_________；若先消去，得到关于，的二元一次方程组是________；若先消去，得到关于，的二元一次方程组是_________.因此比较简单的方法是先消去________.16. 已知代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35. 当时，其值是___________.17. 若，则________．18. 甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙这三个数分别是_______．三、解答题19．解下列方程组．(1)；(2) ．20．已知关于，，的方程组和的解相同，求，，的值．21. 有一个三位数，个位数字是百位数字的3倍，十位数字比百位数字大5，若将此数的个位数与百位数互相对调，所得新数比原数的2倍多35，求原数．22. 如果与是同类项，求，，的值．23. 某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？24. 今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗；上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子三十三斗.上、中、下三等谷子一捆各多少斗？答案与提示一、选择题1. B；提示：的系数是1或-1．2. Ｂ；提示：第一个方程减去第二个方程得，再将第一个方程乘以4加上第二个方程得．3. C；提示：消去，得到二元一次方程组．4. A；提示：把代入中得．5. C；提示：根据题意得，解关于，的方程即可．6. A；提示：把第一个方程乘以2得，故．7．C；提示：先消去得，再先消去得，故．8. B；提示：解方程组得，代入中得．9．D；提示：设，则，，，代入中，解得，则，，，所以．10. C；提示：∵，，都不等于0，∴当时，，∴；当时，，∴．11. C；提示：设1分，2分，5分硬币各有x枚，y枚，枚，根据题意得，化简得，∵，，都是正整数，∴解得不合题意，舍去，∴，，，即共三种装法．12. A；提示：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，根据题意得，解得．二、填空题13. 1，1，-1；提示：根据题意得, 解得．14. ；提示：由第二个方程可知代入第一个方程整理得．15. ，，，；提示：加减消元法的步骤．16；提示：根据题意得, 解得，所以当时，．17. 15；提示：根据题意得, 解得，所以．18. 10，9，7；提示：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意得，解得．三、解答题19．解：(1) ；(2) ．20. 解：解方程组得，把代入中得，解得.21. 解：设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，根据题意得，解得，所以原数为163．22. 解：根据题意得，解得．23. 解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷，y公顷，z公顷，根据题意得，解得，答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷，20公顷，16公顷.24. 解：设上等谷子一捆有x斗，中等谷子一捆有y斗，下等谷子一捆有z斗，根据题意得，解得，答：上等谷子一捆有8斗，中等谷子一捆有5斗，下等谷子一捆有5斗.备注：本套题中，简单题为1-5，8，13，15，18，19，20，22题，中等难度题为6，7，9，12，14，16，21，23题，难题为10，11，17，24题，易中难的比例约为5:3:2.预习布置：。

蓬溪外国语实验学校数学学案模板 课题：7.3三元一次方程组解法---加减法 班级：七年级2班 姓名：一、学习目标：会用加减法解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤二．做一做解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--=-+2243522323343z y x z y x z y x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=++-=-+0623083242z y x z y x z y x(3)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++==605423z y x z y yx (4)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=+754343532x z z y y x(5)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+42355263z y x z y x y x (6)⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--=++x z y z y x z y x 2853241一．忆一忆：1、回顾用代入法解三元一次方程组步骤2、解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-----=-------=+-------=-+)3(624)2(232)1(0z y x z y x z y x 探索：你可以用代入法解该方程组，那么试试用加减法来解 （1）+（2）， (1)×4+(3) 得⎩⎨⎧------=-------=+)5(665)4(223z x z x 解得：⎩⎨⎧==z x 把x=_______ z=________代入（1）得y=________⎪⎩⎪⎨⎧===∴____________________________z y x 3、用代入法解三元一次方程组步骤：（1）利用加减法把其中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组；（3）将求得的两个未知数的值代入一个较简单的方程求第三个未知数； （4）将求得的三个未知数的值组合起来。