高考几何证明选做题

第十六章几何证明选讲考点一平行截割定理与相似三角形1.(2014天津,6,5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是( ) A.①② B.③④C.①②③D.①②④2.(2014广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= .考点二圆的初步3.(2014重庆,14,5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB= .4.(2014陕西,15B,5分)(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF= .5.(2014湖南,12,5分)如图,已知AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则☉O的半径等于.6.(2014湖北,15,5分)选修4—1:几何证明选讲如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O 于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB= .7.(2014课标Ⅰ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(1)证明:∠D=∠E;(2)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.8.(2014课标Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)AD·DE=2PB2.9.(2014辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.10.(2014江苏,21A,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上位于AB异侧的两点.证明:∠OCB=∠D.7解析(1)证明:由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(2)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上. 又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.8证明(1)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而=.因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.9证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连结BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.10证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连结BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.。

几何证明专题一、解答题1 ．如图,∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E,延长AC 交过D 、E 、C 三点的圆于点F.(Ⅰ)求证:EA ED EF 2∙=;(Ⅱ)若3EF ,6AE ==,求AC AF ∙的值.23 ．如图,已知0和M 相交于A、B两点,AD 为M 的直径,直线BD 交O 于点C,点G 为弧BD 中点,连结 AG分别交0、BD 于点E 、F,连结CE.22CEEF =4．如图,已知C、F是以AB为直径的半圆O上的两点,且CF=CB,过C作CD⊥AF交AF的延长线与点D.(1)证明:CD为圆O的切线;(2)若AD=3,AB=4,求AC的长.=, 5．如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P.E为⊙O上一点,AC AE DE交AB于点F.(I)证明:DF·EF=OF·FP;(II)当AB=2BP时,证明:OF=BF.6．如图,⊙O1与⊙O2相交于点A,B,⊙O1的切线AC交⊙O2于另一点C,⊙O2的切线AD交⊙O1于另一点D,DB的延长线交⊙O2于点E.(Ⅰ)求证:AB2=BC·BD;(Ⅱ)若AB =1,AC =2,AD=2,求BE.7．已知PA 与圆O 相切于点A ,经过点O 的割线PBC 交圆O 于点C B 、,APC ∠的平分线分别交AC AB 、于点E D 、.(1)证明:ADE AED ∠=∠; (2)若AP AC =,求PC PA的值.8．如图,半圆O 的直径AB 的长为4,点C 平分弧AE ,过C 作AB 的垂线交AB 于D ,交AE 于F .(1)求证:AF AE CE ⋅=2;(2)若AE 是CAB ∠的角平分线,求CD 的长.9．如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点P 的割线交圆于B 、C 两点,弦CD ∥AP ,AD 、BC 相交于点E ,F 为CE 上一点,且DE 2 = EF ·EC .(1)求证:CE ·EB = EF ·EP ;(2)若CE :BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求PA 的长.10．如图,已知⊙O的半径为1,MN是⊙O的直径,过M点作⊙O的切线AM,C是AM的中点,AN 交⊙O于B点,若四边形BCON是平行四边形;(Ⅰ)求AM的长; (Ⅱ)求sin∠ANC.11．如图,A,B,C,D四点在同一圆O上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.(Ⅰ)若=,=,求的值;(Ⅱ)若EF2=FA·FB,证明:EF∥CD.12．如图, AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P .过点 A 作直线交圆 O 于点 Q ,交圆 B 干点 M , N .(1)求证: QM= QN ;(2)设圆O的半径为 2 ,圆 B 的半径为 1 ,当103AM 时,求 MN 的长.13．如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是⊙O的直径.(Ⅰ)求证:AC·BC=AD·AE;(Ⅱ)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F,若AF=4,CF=6,求AC的长.14．如图,在△ABC中,∠C为钝角,点E、H是边AB上的点,点K、M分别是边AC和BC上的点,且AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.(I)求证:E、H、M、K四点共圆;(Ⅱ)若KE - EH,CE=3,求线段KM的长.15．在△ABC中,BC边上的点D满足BD=2DC,以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A,过点B 作BE⊥CA于点E,BE交圆D于点F.(1)求∠ABC的度数;(2)求证:BD=4EF16．在∆ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F.使得DE=BE,FE=CE,又点O是△ADF的外心.(Ⅰ)证明:D,E,F,O四点共圆;(Ⅱ)证明:O在∠DEF的平分线上.17．如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B和两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.(1)求证:AD∥EC;(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.∠M,交圆0于点D, 过D作18．如图,直线MN交圆O于A,B两点,AC是直径,AD平分CAMDE上MN于E.(I)求证: DE是圆O的切线:(II)若DE=6,AE=3,求ΔABC的面积19．如图所示,AC 为O 的直径,D 为BC 的中点,E 为BC 的中点.(Ⅰ)求证://DE AB ;(Ⅱ)求证:AC BC AD CD =2.20． 如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点,割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F,点M 在E F 上,且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB=PM·PQ(II)求证:BOD BMD ∠=∠参考答案一、解答题1.解:(Ⅰ)如图,连接CE,DF. ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE . ∴∠EAF=∠EFD又∠AEF=∠FED, ∴ΔAEF∽ΔFED, ∴EFAE ED EF =, ∴EA ED EF ∙=2要证明角度相等,找中间角度作为桥梁. 要证明2EF ED EA =,可以把乘法变为除法,变为:EF EA EF ED ED EF EA EF==或者,于是得到“分子三角形和分母三角形”:EFA EFD EFD EFA ∆∆∆∆或者.这样就转化为三角形的相似,帮助找相似三角形.这样就可以做出辅助线,构造相似三角形.另外,做题要先度量,后计算,把图形画准确.从求证出发,向已知进行靠拢.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2EF ED EA =∵EF=3,AE=6, ∴ED=3/2,AD=9/2 ∴AC AF=AD AE=692⨯÷=272.3. 证明:(Ⅰ)连结AB 、AC ,∵AD 为⊙M 的直径,∴∠ABD =90°,∴AC 为⊙O 的直径,∴∠CEF =∠AGD =90°. ――――2分∵G 为弧BD 中点,∴∠DAG =∠GAB =∠ECF . ――――4分∴△CEF ∽△AGD ∴GDAG EF CE =, ∴AG·EF = CE·GD ――――6分 (Ⅱ)由⑴知∠DAG =∠GAB =∠FDG ,∠G =∠G ,∴△DFG ∽△AGD , ∴DG 2=AG·GF . ――――8分 由⑴知2222AG GD CE EF =,∴22CE EF AG GF = ――――10分 4. (Ⅰ)证明:∵CF CB =,CAF CAB ∴∠=∠.6.7. (1)∵ PA是切线,AB是弦,∴ ∠BAP=∠C,又∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED.(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴PC CAPA AB,∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC 是圆O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴ ∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°. 在Rt△ABC 中,CA AB ∴ PC CAPA AB=. 8.9. (I)∵EC EF DE ⋅=2,∴C EDF ∠=∠,又∵C P ∠=∠,∴P EDF ∠=∠,∴EDF ∆∽PAE ∆∴EP EF ED EA ⋅=⋅又∵EB CE ED EA ⋅=⋅,∴EP EF EB CE ⋅=⋅···5分 (II)3=BE ,29=CE ,415=BP PA 是⊙O 的切线,PC PB PA ⋅=2,4315=PA 10.解:(Ⅰ)连接BM ,则90MBN∠=︒,因为四边形BCON 是平行四边形,所以BC ∥MN ,因为AM 是O 的切线,所以MN AM ⊥,可得BC AM ⊥, 又因为C 是AM 的中点,所以BM BA =, 得45NAM ∠=︒,故2AM =.(Ⅱ)作CE AN ⊥于E 点,则2CE =,由(Ⅰ)可知CN =故sin CE ANC NC ∠==. 11.12.13.14.15.16.证明:(Ⅰ) 如图,∠DEF =180°-(180°-2∠B )-(180°-2∠C )=180°-2∠A .因此∠A 是锐角,从而ADF 的外心与顶点A 在DF 的同侧,∠DOF =2∠A =180°-∠DEF . 因此D ,E ,F ,O 四点共圆 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠DEO =∠DFO =∠FDO =∠FEO , 即O 在∠DEF 的平分线上 17.证明:解:(I)∵AC 是⊙O 1的切线,∴∠BAC =∠D ,又∵∠BAC =∠E ,∴∠D =∠E ,∴AD ∥EC . 5' (II)设BP =x ,PE =y ,∵P A =6,PC =2, ∴xy =12 ①∵AD ∥EC ,∴PD PE =AP PC ,∴9＋x y =62② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4 (∵x >0,y >0)∴DE =9+x +y =16,∵AD 是⊙O 2的切线,∴AD 2=DB ·DE =9×16,∴AD =12.10'18.解:(Ⅰ)连结OD,则OA=OD,所以∠OAD=∠ODA.因为∠EAD=∠OAD,所以∠ODA=∠EAD因为∠EAD+∠EDA=90︒,所以∠EDA+∠ODA=90︒,即DE ⊥OD. 所以DE 是圆O 的切线A C EB D O F图6(Ⅱ)因为DE 是圆O 的切线,所以DE 2=EA·EB, 即62=3(3+AB),所以AB=9 因为OD∥MN, 所以O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离,即为6 又因为O 为AC 的中点,C 到MN 的距离等于12 故△ABC 的面积S= 12AB·BC=5419.证明:(Ⅰ)连接BD ,因为D 为BC ︵的中点,所以BD =DC . 因为E 为BC 的中点,所以DE ⊥BC . 因为AC 为圆的直径,所以∠ABC =90︒, 所以AB ∥DE(Ⅱ)因为D 为BC ︵的中点,所以∠BAD =∠DAC , 又∠BAD =∠DCB ,则∠DAC =∠DCB .又因为AD ⊥DC ,DE ⊥CE ,所以△DAC ∽△ECD .所以AC CD =ADCE,AD ·CD =AC ·CE ,2AD ·CD =AC ·2CE , 因此2AD ·CD =AC ·BC 20.证明:(Ⅰ)∵∠BAD =∠BMF ,所以A,Q,M,B 四点共圆, 所以PA PB PM PQ ⋅=⋅ (Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ , ∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ,又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆, ∴PMD PCQ ∠=∠ ,则DCB FMD ∠=∠,∵BAD BCD ∠=∠,∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠, 2BOD BAD ∠=∠, 所以BMD BOD ∠=∠ 21.选修4-1几何证明选讲证明:(Ⅰ)由弦切角定理知DAB DBE ∠=∠ 由DAC DBC ∠=∠,DAC DAB ∠=∠所以DBC DBE ∠=∠, 即.CBE BD ∠平分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知.BH BE =ABCDE OM N所以BE AH BH AH ⋅=⋅,因为DAC DAB ∠=∠,ABE ACB ∠=∠, 所以AHC ∆∽AEB ∆,所以BEHCAE AH =,即HC AE BE AH ⋅=⋅ 即:HC AE BH AH ⋅=⋅.22.证明:(1)连结AB ,AC ,∵AD 为圆M 的直径,∴090ABD ∠=, ∴AC 为圆O 的直径, ∴CEF AGD ∠=∠, ∵DFG CFE ∠=∠,∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点,∴DAG GDF ∠=∠, ∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠, ∴CEF ∆∽AGD ∆,∴CE AGEF GD=, GD CE EF AG ⋅=⋅∴(2)由(1)知DAG GDF ∠=∠,G G ∠=∠,∴D G F ∆∽AGD ∆,∴2DG AG GF =,由(1)知2222EF GD CE AG =,∴22GF EF AG CE = 23.解:(Ⅰ)∵PA 为⊙O 的切线,∴ACP PAB ∠=∠, 又P ∠P =∠∴PAB ∆∽PCA ∆.∴PCPAAC AB =(Ⅱ)∵PA 为⊙O 的切线,PBC 是过点O 的割线,∴PC PB PA ⋅=2.又∵10=PA ,5=PB ,∴20=PC ,15=BC 由(Ⅰ)知,21==PC PA AC AB ,∵BC 是⊙O 的直径, ∴90=∠CAB .∴225222==+BC AB AC , ∴AC=56· · A BCDGE F O M24.。

墨达哥州易旺市菲翔学校考点30几何证明选讲1．〔2021·高考理科·Ｔ１5〕如图,Rt ABC ∆的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC 为直径的圆与AB 交于点D, 那么BD DA =. 此题考察几何证明选做题的解法，属送分题 【思路点拨】条件⇒AD AC Rt ADC Rt ADC Rt ACB AD BD AC AB∆⇒∆≅∆⇒=⇒⇒⇒结论 【标准解答】因为以AC 为直径的圆与AB 交于点D,所以090,ADC ∠=ADC Rt ADC ∆∆为，29916,,,5555AD AC AC Rt ADC Rt ACB AD BD AB AD AC AB AB ∴∆≅∆∴====-=-=， 【答案】1692．〔2021·高考文科·Ｔ１5〕如图，Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，那么BD ＝cm.此题考察几何证明选做题的解法，属送分题【思路点拨】条件⇒AD AC Rt ADC Rt ADC Rt ACB AD BD AC AB∆⇒∆≅∆⇒=⇒⇒ 【标准解答】因为以AC 为直径的圆与AB 交于点D,所以090,ADC ∠=ADC Rt ADC ∆∆为，29916,,,5555AD AC AC Rt ADC Rt ACB AD BD AB AD AC AB AB ∴∆≅∆∴====-=-=， 【答案】1653．〔2021·高考理科·Ｔ１2〕如图，O 的弦ED ，CB 的延长线 交于点A 。

假设BD ⊥AE ，AB ＝4,BC ＝2,AD ＝3,那么DE ＝；CE ＝。

BO D此题考察几何证明的知识。

运用割线定理是解决此题的打破口。

【思路点拨】此题可由相交弦定理求出DE ，再利用三个直角三角形,Rt ABD Rt BDE ∆∆,Rt BCE ∆中求CE 。

⾼考选做题⾼考选做题22. （本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E 。

EF 垂直BA 的延长线于点F 。

求证：（1）DEA DFA ∠=∠；（2）2AB BE BD AE AC =?-?23. （本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程 1O 和2O 的极坐标⽅程分别为4cos ,4sin ρθρθ==-。

（1）写出1O 和2O 的圆⼼的极坐标；（2）求经过1O 和2O 交点的直线的极坐标⽅程24. （本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =-+-。

（1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()()||||||,0,a b a b a f x a a b R ++-≥≠∈、恒成⽴，求实数x 的范围。

22．（选修4—1：⼏何证明选讲）如图，AD 是△ABC 的内⾓平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，过C 、D 、E 三点的圆O 1交AC 的延长线于点F ，连结EF 、DF ．（1）求证：△AEF ∽△FED ；（2）若AD=6，DE=3，求EF 的长． 23．（选修4—4：坐标系与参数⽅程）已知直线l 的参数⽅程,()12,x t t y t =??=+?为参数和圆C 的极坐标⽅程)4πρθ=+．（1）将直线l 的参数⽅程化为普通⽅程，将圆C 的极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程；（2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 24．（选修4—5：不等式选讲）已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且a 1＞b 1，x ＞y ．求证：a x x +＞by y+ 22．（本⼩题满分10分）选修4—1：⼏何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB ，过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点．（I ）求证：2DE DB DA =?；（II ）若⊙O的半径为OB，求EF 的长．AB OC DE已知曲线C 的极坐标⽅程是4cosρθ=．以极点为平⾯直⾓坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建⽴平⾯直⾓坐标系，直线l 的参数⽅程是：2x m y ?=+??=（t 是参数）．（I ）将曲线C 的极坐标⽅程和直线l参数⽅程转化为普通⽅程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||AB m 值． 24．（本⼩题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1|||(0)f x x x a a =++->．（I ）作出函数()f x 的图象；（II ）若不等式()5f x ≥的解集为][(,23,)-∞-+∞ ，求a 值．22．（选修4-1⼏何证明选讲）（本⼩题满分10分）如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，求BD 的长．23．（选修4-4极坐标与参数⽅程）（本⼩题满分10分）已知直线l 的参数⽅程为+=+=t y t x 232213（t 为参数），曲线C 的参数⽅程为??==θθsin 4cos 4y x （θ为参数）．（1）将曲线C 的参数⽅程化为普通⽅程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 24．（选修4-5不等式选讲）（本⼩题满分10分）设函数()412--+=x x x f ．（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）求函数()x f 的最⼩值．22．（本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲已知：如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3， BD ＝6，求PB 的长。

2021年高考数学总复习选做01几何证明选讲试题含解析【三年高考全收录】1. 【xx高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2. 【xx 高考江苏】如图，在ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点. 求证：∠EDC =∠ABD .【答案】详见解析【解析】试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质， 再由，与互余，与互余，得，从而得证. 试题解析：证明：在和中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠为公共角，所以∽，于是.在中，因为是的中点，所以，从而.所以.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3．【xx 江苏高考，21】如图，在中，，的外接圆圆O 的弦交于点D求证：∽【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4．【xx 高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】【解析】AB CE DO（第21——A 题）试题分析：设，则由相交弦定理得，，又，所以，因为是直径，则，，在圆中，则，1x =，解得考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．5．【xx高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.OD CBA【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设是的中点,先证明,进一步可得,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．(II) 设是四点所在圆的圆心,作直线,证明,．由此可证明．试题解析：（Ⅰ）设是的中点,连结,因为,所以,．在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．EO'D COBA（Ⅱ）因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线．由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以．同理可证,．所以．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.6．【xx高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．(Ⅰ) 证明：四点共圆；(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证再证可得即得四点共圆；（Ⅱ）由由四点共圆，可得，再证明根据四边形的面积是面积的2倍求得结论.（II ）由四点共圆，知，连结，由为斜边的中点，知,故因此四边形的面积是面积的2倍，即 111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．7．【xx 高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，中的中点为，弦分别交于两点．（I ）若，求的大小；（II ）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明与是互补的，然后结合与三角形内角和定理，不难求得的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知为四边形的外接圆圆心，则可知在线段的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为，所以，又，所以.又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以， 因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．8．【xx 高考湖北，理15】如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则 .【答案】 【解析】因为是圆的切线，为切点，是圆的割线，由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为，所以，即，由∽，所以.9.【xx 高考新课标2，理22】如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点．AP B C（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若等于的半径，且，求四边形的面积．【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．因为，，所以．于是，．所以四边形的面积221103313163 ()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．10．【xx高考陕西，理22】如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I）证明：；（II）若，，求的直径．GAE FONDB CM【xx年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测xx年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【xx年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质： 若，则①；②；③；④；⑤；⑥.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法． 【考点针对训练】1. 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆． 3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系相交 两个 d ＜r 相切一个d ＝r相离无d ＞r(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【考点针对训练】1. 如图，⊙为四边形的外接圆，且，是延长线上一点，直线与圆相切．求证：．【解析】连结．是圆的切线，∴． ，∴． ∴．圆是四边形的外接圆，∴． ∴．2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ． （I ）求的值；（11）若AB=AC ，求的值．【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴，又∵是的角平分线，, ∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴， 又∵是的直径，∴,∴ (Ⅱ) ∵，∴，由（I ）得，，∴ ,∴, ∵,,∴∽,∴03tan 30AC AE BC AB ===．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）xx届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45°【解析】连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．2. 【xx学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲如图，直线切圆于点，直线交圆于，两点，于点，且，求证：.【答案】见解析【解析】解：连结，设圆的半径为，，则，.在中，，，即，①又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.3. 【南京市、盐城市xx届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，分别交半圆于点.若，，，求的长.【答案】4. 【xx年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点作圆的割线与切线，为切点,连接，的平分线与分别交于，其中．求的大小．【解析】由为的平分线得,由弦切角定理得,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以，因此1803075.2PCE -∠== …………10分 5. 【xx 年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙O 上一点，，求证：．PE B ODAC【解析】，为直径，，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又，．6. 【xx 年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形是圆的内接四边形，的延长线交的延长线于点求证：平分.【解析】因为四边形是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为，所以，所以， 所以平分.……………10分7. 【xx 年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， 是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点．若，求证：．【解析】连接因为是圆的直径，所以--------（3分）因为是圆的切线，所以，-----------------------（6分）又因为，所以，于是，从而，即，得．-----------------------------------（10分）8. 【xx年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线交于点，的平分线和分别交于点.求证：(1) ；(2) ．【答案】证明见解析．9.【江苏省苏中三市xx届高三第二次调研测试】如图，AB是圆的直径，C为圆外一点，且，BC交圆于点D，过D作圆切线交AC于点E.求证：【答案】详见解析【解析】证明：连结，因为，所以．由圆知，所以．从而，所以.又因为为圆的切线，所以，又因为，所以．10．【南京市、盐城市xx届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F．求证：BE⋅CE＝EF⋅EA．【答案】详见解析11．【江苏省南京市xx届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP // AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．12．【南京市xx届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2(2)因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH＝3，CH＝1．又因为AH⊥BC，所以AH2＝BH·HC＝3，所以AH＝．在Rt△AHC中，AH＝，CH＝1，所以∠CAH＝30°．由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝2．由PA是半圆O的切线，所以PA2＝PC·PB，所以PC·(PC＋BC)＝(2)2＝12，所以PC＝2．13．【苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△内接于，是的直径，是边上的高．求证：．【答案】详见解析【解析】证明：连结．∵是的直径，∴．∴．又∵，∴△∽△．∴，∴．14．【江苏省苏北三市xx 届高三最后一次模拟考试】如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为，求证：2AB BE BD AE AC =•-•.【答案】详见解析【解析】试题分析：证明：连接，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以．…………………………………………………………………5分又△∽△，所以，即，所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．15．【南通市xx届高三下学期第三次调研考试数学试题】在中，的平分线交于点，的平分线交于点.求证：.【答案】详见解析16．【盐城市xx 届高三年级第三次模拟考试】如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点，连结.求证：.【答案】详见解析【解析】证明：连结，是圆的直径，，,又，，所以四点共圆，.【一年原创真预测】1. 如图，是的一条切线，切点为，直线，，都是的割线，已知.（Ⅰ）求证：；(II)若,求的值. A BO · FCDE 第21题（A ）图【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2. 如图所示, 为圆的切线, 为切点,交圆与两点，，的角平分线与和圆分别交于点和.（1）求证（2）求的值.【解析】（1）∵为圆的切线, 又为公共角,，，所以.【入选理由】本题考查弦切角定理，三角形相似，切割线定理，勾股定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题第一问由弦切角入手，得三角形相似，从而得结论，第二问由切割线定理入手，结合勾股定理，像这种题型考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.3. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧的中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连结CE ．（Ⅰ）求证：为⊙O 的直径.（Ⅱ）求证：.；【解析】(Ⅰ)连结，∵为⊙M 的直径∴在⊙中，︒=∠=∠=∠90ABD AEC ABC∴为⊙O 的直径.(Ⅱ) ∵ ∴∵点G 为弧的中点∴在⊙中, ∴∽∴【入选理由】本题考查圆周角定理、三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑· ·AB C D G E F O M · ·AB C D G E F O M思维能力. 圆周角定理是圆内判断三角形相似的重要方法，也是高考考查的热点，故选此题.。

【名师精讲指南篇】【（高|考）真题再现】1．【2021 新课标全国】如图 ,直线AB为圆的切线 ,切点为B ,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E ,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ )证明：DB =DC；(Ⅱ )设圆的半径为1 ,BC = 3 ,延长CE交AB于点F ,求△BCF外接圆的半径.【解析】 (1 )利用弦切角定理进行求解； (2 )利用 (1 )中的结论配合角度的计算可以得到答案.2.【2021（高|考）全国1】如图 ,四边形ABCD 是O 的内接四边形 ,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB CE =.(Ⅰ )证明：D E ∠=∠；(Ⅱ )设AD 不是O 的直径 ,AD 的中点为M ,且MB MC = ,证明：ADE ∆为等边三角形.3.【2021全国Ⅱ】如下图 ,O 为等腰三角形ABC 内一点 ,圆O 与ABC △的底边BC 交于M ,N 两点 ,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,//EF BC 分别相切于E ,F 两点.(1)证明：//EF BC ；(2)假设AG 等于圆O 的半径 ,且23AE MN ==求四边形EDCF 的面积. ON M GFED A4.【2021全国Ⅰ】如下图 ,AB 是O 直径 ,AC 是O 切线 ,BC 交O 于点E .(1 )假设D 为AC 中点 ,求证：DE 是O 的切线；(2 )假设3OA CE = ,求ACB ∠的大小..解析 (1 )连接OE ,AE ,如下图. A O DE因为AB 为直径 ,所以AE BC ⊥.又D 为AC 中点 ,所以DE AD = ,所以CAE DEA ∠=∠.①因为AC 为切线 ,所以90CAB ∠= ,即90CAE EAO ∠+=.②在圆中 ,OA OE = ,所以EAO OEA ∠=∠.③ E D C O A结合①②③ ,可得90DAE OEA ∠+∠= ,即OE DE ⊥.所以DE 是圆O 的切线.【热点深度剖析】2021年（高|考）以圆为几何背景考查弦切角定理 ,三角形全等 ,直角三角形外接圆半径 ,考查学生的数形结合的能力. 2021年（高|考）涉及到圆的内接四边形的性质 ,垂径定理的推论．2021年涉及到面积、切线证明、切割线定理 .从三年试题来看 ,（高|考）对这局部要求不是太高 ,要求会以圆为几何背景 ,利用直角三角形射影定理 ,圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 ,相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似 ,全等 ,求线段长等 ,但连续几年没考查相交弦定理 ,预测2021年（高|考）可能以圆为几何背景 ,考查相似三角形的证明、相交线定理 ,切割线定理 ,以及圆内接四边形的性质定理与判定定理 ,考查学生的数形结合的能力.【重点知识整合】一、相似三角形1．相似三角形(1)定义：对应角相等 ,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 ,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)判定①判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似．判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．②如果两个直角三角形有一个锐角对应相等 ,那么它们相似．如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 ,那么它们相似．如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例 ,那么这两个三角形相似．(3)性质①性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．②性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应角的平分线的比 ,外接圆直径的比、周长的比 ,内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．相似三角形外接圆面积的比 ,内切圆面积的比都等于相似比的平方．2．平行截割定理平行截割定理：三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．直角三角形的射影定理：假设Rt△ABC斜边AB上的高为CD ,那么CD2＝AD·BD ,BC2＝BD·AB ,AC2＝AD·AB.二、圆幂定理与圆锥截线1．圆的切线(1)切线判定定理经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．推论1 从圆外一点所引圆的两条切线长相等．推论2 经过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角．(3)内切圆、旁切圆与一个三角形三边都相切的圆 ,叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆 ,叫做三角形的旁切圆．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数．3．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等．推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．4．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆幂定理(1)相交弦定理圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．(2)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 ,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．(3)割线定理从圆外一点引圆的两条割线 ,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．圆幂定理⊙(O ,r) ,通过一定点P ,作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点 ,那么PA·PB＝定值k.①当点P在圆外时 ,k＝PO2－r2 ,②当点P在圆内时 ,k＝r2－OP2 ,③当点P在⊙O上时 ,k ＝0 ,通常把这里的定值k称作点P对⊙O的幂．6．圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理①对角互补．②外角等于它的内对角(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的一组对角互补 ,那么这个四边形内接于圆．推论如果四边形的一个外角等于它的内对角 ,那么这个四边形四个顶点共圆．【应试技巧点拨】1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线 ,相似关系的根底就是平行截割定理 ,故作辅助线的主要方法就是作平行线 ,见中点取中点连线利用中位线定理 ,见比例点取等比的分点构造平行关系 ,截取等长线段构造全等关系 ,立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中 ,经常要应用比例的性质：假设a cb d= ,那么①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形 ,然后证明图形符合命题条件 ,确定所作图形与题设条件所指的图形相同 ,从而证明命题成立．4.证明多点共圆 ,当两点在一条线段同侧时 ,可证它们对此线段张角相等 ,也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧 ,那么证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．【考场经验分享】1．应用相似三角形的性质时 ,对应量必须找准(对应边 ,对应角 ,对应边上的高、中线 ,对应的角平分线等等) ,牢牢把握对应角对的边是对应边 ,对应边对的角是对应角．2．判定两三角形相似时 ,可以用三边对应成比例 ,也可以用两角对应相等(只要两角对应相等 ,第三个角也对应相等)．但两边对应成比例时 ,必须有夹角相等的条件．3．等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角、对等弦切角的前提是同圆或等圆．4．相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线假设相交 ,各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理 ,当两交点在圆外时为割线定理 ,两交点重合时为切线 ,一条上两点重合时为切割线定理 ,两条都重合时为切线长定理 ,应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．【名题精选练兵篇】1.【2021河北唐山二模】如图 ,四边形ABCD 内接于圆O ,AC 与BD 相交于点F ,AE 与圆O 相切于点A ,与CD 的延长线相交于点E ,∠ADE ＝∠BDC ．(Ⅰ )证明：A 、E 、D 、F 四点共圆；(Ⅱ )证明：AB ∥EF ．2.【2021广西桂林市、北海市、崇左市3月联合调研】如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,延长BA 和CD 相交于点P ,14PA PB =,12PD PC =． (1 )求AD BC的值； (2 )假设BD 为圆O 的直径,且1PA =,求BC 的长．【解析】 (1 )由PAD PCB ∠=∠,P P ∠=∠,得PAD ∆与PCB ∆相似．设PA x =,PD y =,那么有PA PD PC PB =,24x y y x=2y x ⇒． ∴22AD PA x BC PC y ===． EB O FDC A(2 )由题意知,90C ∠=︒,1PA =,∴4PB = , 22PC =． ∴2228BC PB PC =-=,∴22BC =．3.【2021吉林长春质量监测 (二 )】如图 ,过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ,M 为切点 ,过PM 的中点N 的直线交圆O 于A 、B 两点 ,连接PA 并延长交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,假设MC BC =.(1 )求证：APM ∆∽ABP ∆；(2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形.4.【2021安徽 "江南十校〞联考】如图 ,过圆O 外一点E 作圆O 的两条切线EA EB 、 ,其中A B 、为切点 ,BC 为O 的一条直径 ,连CA 并延长交BE 的延长线于D 点.(Ⅰ )证明：ED BE =；(Ⅱ )假设3AD AC =,求:AE AC 的值.OB AC E D解： (Ⅰ )连接AB 、OE ,因为EA 、EB 为圆O 的切线 ,所以OE 垂直平分AB又BC 为圆O 的直径 ,所以CD AB ⊥ ,所以CD OE //又O 为BC 的中点 ,故E 为BD 的中点 ,所以ED BE =(Ⅱ )设(0)AC t t => ,那么3AD t = ,4CD t =在Rt BCD ∆中 ,由射影定理可得：2212BD DA DC t =⋅= 23BD t ∴= ,在Rt ABD ∆中 ,132AE BD t == :AE AC ∴ =35.【2021河南新乡许昌平顶山二调】如图 ,圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点 ,AB 是圆O 2的直径 ,过A 点作圆O 1的切线交圆O 2于点E ,并与BO 1的延长线交于点P ,PB分别与圆O 1、圆O 2交于C ,D 两点．(Ⅰ )求证：PA ·PD ＝PE ·PC ；(Ⅱ )求证：AD ＝AE ．O B A C E D.6.【2021甘肃兰州实战考试】7.【2021福建4月质检】如图 ,ABC ∆的两条中线AD 和BE 相交于点G ,且D ,C ,E ,G 四点共圆.(Ⅰ)求证：ACG BAD ∠=∠；(Ⅱ)假设GC =1 ,求AB .解法一： (Ⅰ )连结DE ,因为,,,D C E G 四点共圆 ,那么ADE ACG ∠=∠．又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线 ,所以,D E 分别是,BC AC 的中点 ,故DE ∥AB ．所以BAD ADE ∠=∠ ,从而BAD ACG ∠=∠．(Ⅱ )因为G 为AD 与BE 的交点 ,故G 为△ABC 的重心 ,延长CG 交AB 于F ,那么F 为AB 的中点 ,且2CG GF =．在△AFC 与△GFA 中 ,因为FAG FCA ∠=∠ ,AFG CFA ∠=∠ ,所以△AFG ∽△CFA ,所以FA FG FC FA = ,即2FA FG FC =⋅．来源:Z +xx +k ] 因为12FA AB =,12FG GC = ,32FC GC = , 所以221344AB GC = ,即3AB GC = , 又1GC = ,所以3AB =．解法二： (Ⅰ )同解法一．8．【2021届陕西省宝鸡市九校高三联合检测】圆内接△ABC 中 ,D 为BC 上一点 ,且△ADC 为正三角形 ,点E 为BC 的延长线上一点 ,AE 为圆O 的切线．(Ⅰ )求∠BAE 的度数；(Ⅱ )求证:2=CD BD EC ⋅E D C B A【解析】证明: (Ⅰ )在△EAB 与△ECA 中 ,因为AE 为圆O 的切线 ,所以∠EBA =∠EAC ,又∠E 公用 ,所以∠EAB =∠ECA ,因为△ACD 为等边三角形 ,所以120o EAB ECA ∠=∠= (Ⅱ )因为AE 为圆O 的切线,所以∠ABD =∠CAE ,因为△ACD 为等边三角形,所以∠ADC =∠ACD,所以∠ADB =∠ECA,所以△ABD∽△EAC ,所以AD EC BD CA=,即AD CA BD EC = ,因为△ACD 为等边三角形,所以AD =AC =CD, ,所以2=CD BD EC ⋅.9. 【2021届河北省唐山市高三第|一次模拟】如图 ,圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ,过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ,AD 交BC 于点F.(Ⅰ )求证：//BC DE ；(Ⅱ )假设D ,E ,C ,F 四点共圆 ,且弧长AC 等于弧长BC ,求BAC ∠.10. 【2021届甘肃省局部普通高中高三第|一次联考】如下图 ,PA 为圆O 的切线 ,A 为切点 ,两点，于交圆C B O PO ,20PA = ,10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .(1 )求证AB PC PA AC ⋅=⋅(2 )求AD AE ⋅的值.11. 如下图 ,AB 为圆O 的直径 ,C ,D 是圆O 上的两个点 ,AB CE ⊥于E ,BD 交AC 于G ,交CE 于F ,FG CF =． F GE CO D(1 )求证：C 是劣弧BD 的中点； (2 )求证：FG BF =．【解析】 (1 )∵FG CF = ,∴FCG CGF ∠=∠ ,∵AB 圆O 的直径 ,∴2π=∠=∠ADB ACB ,∵AB CE ⊥ ,∴2π=∠CEA ,∵CAB CBA ∠-=∠2π,2ACE CAB π∠=-∠ ,∴ACE CBA ∠=∠ ,∵DGA CGF ∠=∠ ,ABC DGA ∠=∠ ,∴22DGA ABC ππ-∠=-∠ ,∴DAC CAB ∠=∠ ,∴C 为劣弧BD 的中点；(2 )∵CGB GBC ∠-=∠2π,2FCB GCF π∠=-∠ ,∴FCB GBC ∠=∠ ,∴FB CF =,∴FG BF =．12．如图 ,AB 是O 的直径 ,CD 是O 的切线 ,C 为切点 ,AD CD ⊥ ,交O 于点E ,连接AC 、BC 、OC 、CE ,延长AB 交CD 于F . E OF BAC D (1 )证明：BC CE =；(2 )证明：BCF EAC ∆∆∽.【解析】 (1 )∵CD 为O 的切线 ,C 为切点 ,AB 为O 的直径 ,∴OC CD ⊥ ,又∵AD CD ⊥ ,∴OC AD // ,∴OCA CAE ∠=∠ ,又∵OC OA = ,∴OAC OCA ∠=∠ , ∴OAC CAE ∠=∠ , ∴BC CE =；(2 )由弦切角定理可知 ,FCB OAC ∠=∠ ,∴=FCB CAE ∠∠ ,∵四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 ,∴180ABC CEA ∠+∠= , 又∵+=180ABC FBC ∠∠ ,∴FBC CEA ∠=∠ ,∴BCF EAC ∆∆∽.13 ．如图 ,AB 是O 的一条切线 ,切点为B ,直线D A E ,CFD ,CG E 都是O 的割线 ,C A =AB ．(1 )求证：FG//C A ；(2 )假设CG 1= ,CD 4=．求D GFE 的值．14．如图 ,AB 是⊙O 的直径 ,CD 是⊙O 的切线 ,C 为切点 ,连接AC ,过点A 作AD⊥CD 于点D ,交⊙O 于点E ．(Ⅰ )证明：∠AOC =2∠ACD； (Ⅱ )证明：AB•CD =AC•CE．15. 如图 ,C B A ,,为O 上的三个点 ,AD 是BAC ∠的平分线 ,交O 于点D ,过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1 )证明：BD 平分EBC ∠；(2 )证明：BE AB DC AE ⋅=⋅．【解析】 (1)因为BE 是⊙O 的切线 ,所以BAD EBD ∠=∠ ,又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠.(2)由⑴可知BAD EBD ∠=∠ ,且BED BED ∠=∠ ,BDE ∆∽ABE ∆,所以AB BD AE BE =,又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,所以DBC BCD ∠=∠ ,CD BD = ,所以ABCD AB BD AE BE == , 所以BE AB DC AE ⋅=⋅16. 如图,ABC ∆内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径, PA 是过点A 的直线, 且ABC PAC ∠=∠.(Ⅰ)求证: PA 是⊙O 的切线;(Ⅱ)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC , 5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求BCE ∠sin . . ABCO E D P【名师原创测试篇】1．如下图 ,PE 是圆O 的切线 ,E 为切点 ,PBA 是圆O 的割线 ,∠APE 的平分线与AE ,BE 分别交于点C,D ,且30∠AEB =． (Ⅰ)求证：D D D CE PB P ⋅=B PA P ； (Ⅱ)求DB ∠P 的大小．101520DPC E BO【解析】(Ⅰ)证明：由题意可知 ,EPC APC ∠=∠ ,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠ ,那么△PED ∽△PAC ,那么PE PD PA PC = ,由三角形角平分线定理得,PE ED PB BD= ,那么ED PB PD BD PA PC⋅=. (Ⅱ)∵PCE DCE APC PAC ∠=∠=∠+∠ ,CDE EPC PEB ∠=∠+∠ ,而EPC APC ∠=∠ ,PEB PAC ∠=∠ ,∴CDE ECD ∠=∠.又在△ECD中 ,30CED ∠= ,可知()118030752CDE ︒︒∠=-=.又CDE DB ∠=∠P ,∴75DB ∠P =.2. 如图 ,O ⊙是△ABC 的外接圆 ,D 是AC ⌒ 的中点 ,BD 交AC 于E ． (Ⅰ )求证：DB DE DC ⋅=2；(Ⅱ )假设32=CD ,O 到AC 的距离为1 ,求⊙O 的半径r3. 如下图, PA 为圆O 的切线, A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA = ,10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .(Ⅰ )求证AB PA AC PC =； (Ⅱ )求AD AE ⋅的值. A CBO ．ED4. 如图 ,在△ABC 中 ,CM 是∠ACB 的平分线 ,△AMC 的外接圆O 交BC 于点N . 假设AB =2AC , 求证：BN =2AM .【解析】连结MN ,那么由BM·BA =BN·BC 得：BM BC BN BA = ,又MBN CBA ∠=∠ ,所以 ,BMN ∆∽BCA ∆ , 于是12MN CA BN BA ==. 因为CM 是∠ACB 的平分线 ,所以MN =AM ,故BN =2AM.5. P 是圆O 外一点 ,PE 切圆O 于点E ,A 是圆O 上一点 ,PA 交圆O 于B 点 ,C 为AE 一点 ,PC 交BE 与D ,CE ＝DE ．(Ⅰ )求证：PC 是APE ∠的平分线(Ⅱ )PA BD PE DE ⨯=⨯【解析】 (Ⅰ )PE 切⊙O 于点E ,A BEP ∴∠=∠．∵EC ED = ,∴∠ECD=∠EDC ,∵,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ,∴∠CPA =∠CPE ,∴PC 是∠APE 的平分线 (Ⅱ ),,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∴∠=∠ ,,BPD EPC PBD ∠=∠∴△∽PEC △ ,PE CE PB BD ∴=． EC ED = ,PE DE PB BD ∴= ,PE 是圆O 的切线 ,PBA 是圆O 的割线 ,2PE PA PB ∴=⨯ ,PA PE ∴ =PE PB ,PA PE∴ =DE BD ．∴PA BD PE DE ⨯=⨯. MCN B O ·A6. 如图 ,ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ,BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、 ,假设102==PB PA .(Ⅰ )求证：AB AC 2=；(Ⅱ )求DE AD ⋅的值.。

《几何证明选讲》一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。