高中空间几何所有证明题图形汇总

必修二空间几何证明经典题型一.解答题(共25小题)1・如图,在四棱锥P - ABCD中,AB〃CD, AB丄AD, CD=2AB,平面PAD丄底面ABCD, PA±AD・E 和F分别是CD 和PC的中点，求证：(0) BE〃平面PAD； (0) PA丄BC； (0)平面BEF丄平面PCD.C【解答】解：(E) VPA丄AD,平面PAD丄平面ABCD,平面PADQ平面ABCD二AD, 山平面和平面垂直的性质定理可得PA丄平面ABCD.(回)VAB/7CD, AB丄AD, CD=2AB, E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE〃AD.乂ADu平面PAD, BE不在平面PAD内，故有BE〃平面PAD.(0)平行四边形ABED中，由AB丄AD可得，ABED为矩形，故有BE丄CD.山PA丄平面ABCD,可得PA丄AB,再由AB丄AD可得AB丄平面PAD,•'•CD丄平面PAD,故有CD丄PD.再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF〃PD,/.CD丄EF・而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD丄平面BEF.由于CDc平面PCD, •••平面BEF丄平面PCD.2.如图，在三棱锥V・ABC中，平面VAB丄平面ABC, AVAB为等边三角形，AC1BC且AC=BC=V^, O, M分别为AB, VA的中点.(0)求证：VB〃平面M 0C： (0)求证：平面M0C丄平面VAB；(0)求三棱锥A・M0C的体积•TVBQ 平面 MOC, OMu 平面 MOC, •'•VB 〃平面 MOC ；（0）证明：VAC=BC, O 为AB 的中点，・・・OC 丄AB,乂・••平面VAB 丄平面ABC,平面ABCA 平面VAB 二AB,且OCu 平面ABC,/•OC 丄平面VAB,TOCu 平面MOC, •••平面MOC 丄平面VAB ：（囹）解:在等腰直角三角形ACB 中,AC=BC=V2» .*.AB=2, OC=1,・•・等边三角形VAB 的边长为2, S A V AB =V3»TO, M 分别为AB, VA 的中点・・・・Sgo*呦B 年.乂TOC 丄平面VAB,・••三棱锥也。

高中数学立体几何证明题汇总立体几何常考证明题1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。

1）证明EFGH是平行四边形。

2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。

1）证明AB垂直于平面CDE。

2）证明平面CDE垂直于平面ABC。

3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。

证明A1C平行于平面BDE。

4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。

证明AD垂直于面SBC。

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。

1）证明C1O平行于面AB1D1.2）证明AC1垂直于面AB1D1.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。

1）证明AC垂直于平面B1D1D。

2）证明BD1垂直于平面ACB1.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。

1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。

2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面EB1D1平行于平面FBD。

8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。

证明BD垂直于平面ACD。

9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。

1）证明XXX垂直于AB。

2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。

10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。

证明平面D1EF平行于平面BDG。

11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。

1）证明A1C平行于平面BDE。

2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。

12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。

高中数学-必修二-立体几何常考证明题汇总新课标立体几何常考证明题汇总分别是边、已知四边形是空间四边形，1ABCD DACD,AB,BC,E,F,G,H的中点 EFGH 是平行四边形1）求证：（所成的BDEG=2。

求异面直线AC、BD=（2）若，AC=2，32A BD 所成的角。

角和EG、 E HD BG FC1分别是中，∵证明：在的中点∴BD,EH?EH//BDAD,EH,AB ABD?21是平行四边同理，∴四边形∴EFGH BDFG?BDFG//,FGEH?,EH//FG2形。

°(2) 90°30考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角的中2、如图，已知空间四边形中，是，ABCD BDADBC?AC,?ABE点。

CDE;1求证：（）平面?AB。

平面）平面（2A ABC?CDE EBCACBC??）证明：（1ABCE???BEAE??AD?BD?同理，AB?DE??BEAE??∴平面又∵E?DE?CECDE?AB）有平面（2）由（1CDE?AB∴平面平面又∵平面，?ABABCCDEABC?考点：线面垂直，面面垂直的判定是的中点，3、如图，在正方体中，DBCABCD?AAA E11111A 求证：平面。

D//AC BDE1，证明：连接交于，连接EOACO BD CBE 的中点为的中点，为∵ACO AA E1∴为三角形的中位线∴A EO ACAACEO//D11内，在平面在平面外又EO CA BDEBDE1BC ∴平面。

//AC BDE1考点：线面平行的判定面．,中,面,求证：4、已知o90??ACB SBCSA?ABCSCAD?ABC??AD°证明：90ACB∵??AC?BC?S面又BCSAABC?SA??面SAC??BCD ADBC??BAC．面又C??BC?AD,SCSC SBC??AD考点：线面垂直的判定对角是底5、已知正方体，线DCABCD?AB ABCDO D11111C1的交点.B1A1求证：(１) CO∥面；(2)面．DABD?ABAC111111D 证明：（1）连结，设，连结OD?BAC?C AOCA11111111∵是正方体是平行四边O DBCABCD?AACC?A BA111111形且C∥AC ∴A ACAC?1111且的中点，∴又分别是OC∥AO AOOC?ACO,OCA,1111111是平行四边形O?AOC11O面面，∴C∥面?AO?CO∥AO,DABABDCO?ABD11111111111面2（）D?CC?BCABD?CC Q111111!1，又D?A∵CBDD?B?面ACB即AC?C11111111111，同理可证又D?DBAD?ACAD?111111面D?ACAB?111考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定6、正方体中，求证：（1）；（2）DBB''D平面AC?'ABCD?CB'A''D. 'ACB?BD'平面考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD—ABCD中．(1)求证：平面ABD∥平11111DC11C；面BD BA111F D的中点，求证：平面EB，E、F分别是AACC (2)若1111EG C FBD．∥平B证明：(1)由BB∥DD，得四边形BBDD是平行四边形，1111BD∴BD∥，11又BD ?平面，CD，B平面BDBDC?111111 D∥平面BC．∴BD11．CA 同理D∥平面BD111．∥平面BDBCD，∴平面∩而 ADBD＝DA111，BDD由(2)BD∥B，得∥平面EB中点BBGD．取11111GAE∥B．∴1EDF∥．∴BAGADGFAGEB 从而得∥，同理∥．∴11∥DF．∴DF∥平面EBD．∴平面EBD∥平面FBD．1111考点：线面平行的判定（利用平行四边形）2 8、四面体的中点，且，中，分别为ACEF?BCAD,E,FAC?BD,ABCD2，求证：平面o90?BDC?ACD?BD的中点，分别为的中点，连结，∵证明：取BCADEG,FG,FE,GCD1∴//AC EG?2111，又∴中，，∴在//2222EFACEG?BDFGFGFG??AC?,?BDAC EFG??222∴，，∴，又，即CCD?AC?o90??BDC CDFGBDBD?AC?EG?平面∴ACD?BD三角形中位线，构造直角三角形,考点：线面垂直的判定是平面9、如图是所在平面外一点，，?PB,CBPA?PCABC?MPPABP上的点，的中点，是NBAN?N3AB M 求时，）（2当（1）求证：，；o90??APB4MNBC?AB?AB?2的长。

空间几何证明1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

2、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．3、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．AED 1CB 1DCBASDCBAD 1ODBAC 1B 1A 1CN M P C BA4、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．6、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

A17、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .9、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．10、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ． 求证：AH ⊥平面BCD ．3. 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。

解析1. 连接AC。

- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。

2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。

- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。

- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。

- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。

题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。

解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。

- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。

2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。

- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。

- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。

二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。

解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。

- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。

- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。

- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。

- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。

- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。

2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明考点一、线线平行例1、如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为DC ，AC 的中点，过EF 的平面与BD ，AB 分别交于点G ，H .求证：//EF GH证明：因为E ，F 分别为DC ，AC 的中点，所以//AD EF ，因为AD ⊄平面EFHG ，EF ⊂平面EFHG所以//AD 平面EFHG又平面EFHG ⋂平面ABD HG =，AD ⊂平面ABD所以//AD GH ，所以//EF GH .例2、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD //平面GAC .求证：G 为SB 的中点证明：证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ，∵//SD 平面GAC ，平面SDB 平面=GAC GE ，SD ⊂平面SBD ，∵//SD GE ，而E 为BD 的中点，∵G 为SB 的中点.例3、在正四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,AB AD 的中点，过直线EF 的平面α分别与侧棱,PB PD 交于点,M N ，求证：//MN BD证明：证明：在ABD △中，因为E ，F 分别是,AB AD 的中点，所以EF BD ∕∕且12EF BD =， 又因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以//EF 平面PBD因为EF ⊂平面,αα⋂平面PBD MN =，所以//EF MN ，所以//MN BD ．跟踪练习 1、如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，//AB CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ，求证：//CD EF证明：证明：因为//AB CD ，AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 因为平面ABE 平面CDE EF =，CD ⊂平面CDE ，所以//CD EF .2、在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，求证：//AB MN答案：证明见解析证明：∵底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∵EF //CD ，∵EF //AB .EF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，∵MN //EF ，∵AB //MN .3、如图，三棱锥P ABC -中，∵ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，求证：//DE BC证明：∵1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，∵11//B C BC ，∵11B C ⊄平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∵11//B C 平面BCDE ，∵11B C ⊂平面11B C DE ，平面BCDE ⋂平面11B C DE DE =，∵11//B C DE ，则//DE BC ；4、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，点G.E.F .H 分别是棱PB ．AB ．DC ．PC 上共面的四点，//BC 平面GEFH.证明：//GH EF证明：∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面PBC 且平面PBC平面GEFH GH =，∵//BC GH .又∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面ABCD 且平面ABCD平面GEFH EF =，∵//BC EF ，∵//EF GH .5、如图，AE ⊥平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，求证：//AD BC证明：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∵//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∵平面//BCF 平面ADE ，∵平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE平面ABCD BC =，∵//AD BC ；考点二、 线面平行例1、如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中D 是AC 的中点，求证：B 1C ∵平面A 1BD证明：设AB 1与A 1B 相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点，∵D 为AC 中点，∵PD ∵B 1C ，又∵PD ∵平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∵B 1C ∵平面A 1BD例2、如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接,BM CE 交于点,F G 为ABE △的重心，证明：//GF 平面ABC证明：延长EG 交AB 于N ，连接CN ，因为G 为ABE △的重心，则N 为AB 的中点，且2EG GN =， 因为//CM BE ，所以2EF BE FC CM ==，所以2EF EG FC GN==，因此//GF NC ， 又因为GF ⊄平面ABC ，NC ⊂平面ABC ，所以//GF 平面ABC ；例3、如图，四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，若G ，F 分别是线段EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC .证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，又G 是线段EC 的中点，故//GF AC ，GF ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，//GF ∴面ABC ；跟踪练习1、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，证明：1//AB 平面1BC D证明：直三棱柱111ABC A B C -中，设1B C 与1BC 交于点E ，连接DE ，四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点，因D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，又1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D . 2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABC A B C -中，，11AA AB AC ===，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在线段11A B 上，若P 为11A B 的中点，求证：//PN 平面11AAC C证明：证明：取11A C 的中点H ，连接PH ，HC .在堑堵111ABC A B C -中，四边形11BCC B 为平行四边形，所以11//B C BC 且11B C BC =.在111A B C △中，P ，H 分别为11A B ，11A C 的中点，所以11//PH B C 且1112PH B C =.因为N 为BC 的中点，所以12NC BC =， 从而NC PH =且//NC PH ， 所以四边形PHCN 为平行四边形，于是//PN CH .因为CH ⊂平面11AC CA ，PN ⊄平面11AC CA ，所以//PN 平面11AACC .3、如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点，证明：//MN 平面ABCD证明：连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D B C ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；4、如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，M 是AB 的中点，N 是PD 的中点，PA AB =，求证：//MN 平面PBC证明：如图∵，取PC 的中点Q ，连接BQ ，NQ ，因为N 是PD 的中点，所以//NQ CD 且12NQ CD =.因为四边形ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，所以//BM CD 且12BM CD =， 从而//BM NQ 且BM NQ =，所以四边形BMNQ 是平行四边形，从而//MN BQ .又MN ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC . 5、如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，222BC CD CE AD BG =====，）求证：//AG 平面BDE答案：证明见解析证明：证明：过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连接DM ，如图所示：因为BC CE ⊥，且2CE BG =，所以N 为CE 中点，所以MG MN =，MNBC DA ，12MN AD BC ==， 所以MG AD ，MG AD =，所以四边形ADMG 为平行四边形，所以AG DM ，又DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，所以AG 平面BDE .6、在四棱锥P —ABCD 中，AB //CD ，过CD 的平面分别交线段P A ，PB 于M ，N ，E 在线段DP 上(M ，N ，E 不同于端点)求证：CD //平面MNE证明：证明：∵//AB CD ，AB ⊂平面ABP ，CD ⊄平面ABP ∵//CD 平面ABP又∵CD ⊂平面CDMN ，平面CDMN 平面ABP MN =∵//CD MN又∵MN ⊂平面MNE ，CD ⊄平面MNE ∵//CD 平面MNE7、如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，1AB =，点M 为AE 的中点，求证：//BM 平面EFC证明：连接AC 交BD 于点N .连接MN .因为四边形ABCD 是正方形，所以N 为AC 的中点，由于M 为AE 的中点，所以//MN CE ， 又因为MN ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//MN 平面CEF ，易知//BN EF ，BN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//BN 平面CEF ，因为MN BN N ⋂=，BN ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以平面//BMN 平面CEF .又因为BM ⊂平面BMN ，所以//BM平面EFC ；8、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，22AB CD ==，若Q 为AB 的中点，求证：//DQ 平面PBC证明：∵在梯形ABCD 中，//AB CD ，22AB CD ==，Q 为AB 的中点，所以//BQ CD 且BQ CD =，∵四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DQ BC ，∵BC ⊂平面PBC ，DQ ⊄平面PBC ，所以//DQ 平面PBC ．9、如图所示，四面体P ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，过EF 作四面体的截面EFGH 交PC 于点G ，交PB 于点H ，证明：GH /平面ABC证明：∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点,∵EF ∵BC ,又∵EF ∵平面PBC ,BC ∵平面PBC ,∵EF ∵平面PBC ,∵EF ∵平面EFGH ,平面EFGH ∩平面PBC =GH ,∵EF ∵GH ,又∵GH ∵平面ABC ,EF ∵平面ABC ,∵GH ∵平面ABC ;10、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1//AB 平面1BC D证明：证明：如图，连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，∵四边形11BCC B 是平行四边形．∵点O 为1B C 的中点．∵D 为AC 的中点，∵OD 为1AB C 的中位线，∵1//OD AB ．∵OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，∵1//AB 平面1BC D ．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点，求证：//PB 平面ACM答案：证明见解析证明：证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中，,O M 分别为,BD PD 的中点，//BP OM ∴,BP ⊄平面,ADE OM ⊂平面CAM ，//BP ∴平面CAM ；12、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =，证明：1//CB 平面1A EF答案：证明见解析证明：连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，因为四边形11ABB A 为菱形，则11//AA BB 且11AA BB =， E 为1BB 的中点，则11//B E AA 且1112B E AA =，故11112B G B E AG AA ==， 所以，1B G CF AG AF=，1//CB FG ∴， 1CB ⊄平面1A EF ，FG ⊂平面1A EF ，因此，1//CB 平面1A EF ；考点三、 面面平行例1、如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，12,,AC AA AD DC AC BD ====交于点E ，且,E F 分别为1,AC CC的中点，2BE =，求证：平面11//B CD 平面1A BD证明：如图，连接1AD ，设11AD A D H ⋂=，则H 为1AD 的中点，而E 为AC 的中点，连接EH ，则EH为1ACD △的中位线，所以1//EH CD ，又EH ⊄平面11B CD ，1CD ⊂平面11B CD ，所以//EH 平面11B CD ，又因为侧棱与底面垂直，所以1111//,=BB DD BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，又BD EH E ⋂=，,BD EH ⊂平面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD .例2、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D ，E ，H 分别是PA ，BC ，PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：连结BG ，因为PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D 为PA 的中点，所以BG 与GD 共线，且2BG GD =，因为E 为BC 的中点，3BF FC =，所以F 是CE 的中点， 所以2BG BE CD EF==，所以//GE DF ， 又GE平面PGE ，DF ⊄平面PGE ，所以//DF 平面PGE ， 因为H 是PC 的中点，所以FH //PE ，因为FH ⊄平面PGE ，PE ⊂平面PGE ，所以//FH 平面PGE ，因为FH DF F ⋂=，,FH DF ⊂平面DFH ，所以平面//DFH 平面PGE ；例3、如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，2//AB DE BF BF DE ==，，，M 为棱AE 的中点，求证：平面//BMD 平面EFC证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，∵N 为AC 的中点，连接MN ，由M 为棱AE 的中点，则//MN EC ．∵MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ，∵//MN 平面EFC ．∵//BF DE BF DE =，，∵四边形BDEF 为平行四边形，∵//BD EF ．又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∵//BD 平面EFC ，又MNBD N =， ∵平面//BMD 平面EFC ．跟踪练习1、如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，2AB BE EC ===，G ，F ，M 分别是线段BE ，DC ，AB 的中点，求证：平面//GMF 平面ADE证明：如图，因为AB中点为M，连接MG，∥，又G是BE的中点，可知GM AE又AE⊆平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF AD．又AD⊆平面ADE，MF⊄平面ADE，所以MF平面ADE．⋂=，GM⊆平面GMF，MF⊆平面GMF，又因为GM MF M所以平面GMF平面ADE2、如图，四边形ABCD是边长为BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∵平面CB1D1证明：证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则O 为AC 的中点，∵E 是1AD 的中点，1//OE CD ∴OE ⊂平面BDEF ,1CD ⊄平面BDEF ,所以1//CD 平面BDEF又F 是1AB 的中点11//EF B D ∴EF ⊂平面BDEF ,11B D ⊄平面BDEF ,所以11//B D 平面BDEF又111,CD B D ⊂平面11CB D ,1111B D CD D ⋂=, 所以平面//BDEF 平面11CB D ．3、如图，已知矩形ABCD 所在的平面垂直于直角梯形ABPE 所在的平面，且EP =2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，F ，G 分别是BC ，BP 的中点，求证：平面//AFG 平面PEC证明：∵F ，G 分别是BC ，BP 的中点，∵FG CP ，且FG ⊄平面CPE ，则FG ∥平面CPE ，1BG PG AE ===，且//AE BP ，AE EP ⊥∵四边形AEPG 是矩形，则EP AG ∥，且AG ⊄平面CPE ，则AG平面CPE又GA GF G ⋂=，故平面//AFG 平面PEC4、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，P ，Q 是AB ，CD 的中，点M ，N 分别是SB ，CB 的中点，求证∵平面AMN //平面SCD答案：证明见解析证明：因为M 、N 分别是SB ，CB 的中点，所以//MN SC ，MN ⊄面SCD ，SC ⊂面SCD ，所以//MN 面SCD ，又//AD CN 且AD CN =，所以ADCN 为平行四边形，所以//AN DC ，AN ⊄面SCD ，DC ⊂面SCD ，所以//AN 面SCD ，又AN MN N =，,AN MN ⊂面AMN ，所以面//AMN 面SCD ；5、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，,,D E H 分别是,,PA BC PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：证明：连结BG ，由题意可得BG 与GD 共线，且2BG GD =，∵E 是BC 的中点，3BF FC =，∵F 是CE 的中点，∵2BG BE GD EF==，∵//GE DF ，GE 平面PGE ；DF ⊄平面PGE ；∵//DF 平面PGE ， ∵H 是PC 的中点，∵//FH PE ，PE ⊂平面PGE ，FH ⊄平面PGE ；∵//FH 平面PGE ， ∵DF FH F =，DF ⊂平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∵平面//DFH 平面PGE ； 考点四 平行中的动点例1、直三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，在AB 边上是否存在一点E ，使1//AC 平面1CEB ，若存在给出证明，若不存在，说明理由证明：存在，E 是AB 的中点，直三棱柱111ABC A B C -中，连接1BC 交1B C 于点O ，如图：则O 为1BC 中点，连接OE ，而E 为AB 的中点，则1//OE AC ，又1AC ⊄平面1CEB ，OE ⊂平面1CEB ，所以1//AC 平面1CEB ；例2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，CA CB ==，1AA =D 是棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，且1AD EC ⊥，在棱BC 上是否存在点F ，满足//EF 平面1ADC ，若存在，求出BF 的值答案：存在，BF =证明：因为1AA ⊥面ABC ，故三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.故1AA ⊥面111A B C ，而1C D ⊂面111A B C ，故11AA C D ⊥，因为CA CB ==，故1111C A C B ==112B A =，因为D 是棱11A B 的中点，故111C D A B ⊥，因为1111AA A B A =， ∵直线1C D ⊥平面ADE ，而AD ⊂平面ADE ， ∵1C D AD ⊥，又1AD EC ⊥，111C D C E C ⋂=，∵AD ⊥平面1DEC ，而DE ⊂平面1DEC ，∵AD DE ⊥，在矩形11ABB A 中，11ADA DEB ∠=∠，11AA D DB E ∠=∠，故11ADA DEB ∠，故1111AA A D DB EB =11EB =即1=3EB ，故12BE EB =. 过E 作EG DE ⊥，交AB 于G ，取AB 的中点为L ，连接,DL CL ，则1DEB EGB ∠=∠，而190DB E EBG ∠=∠=︒，故1EBG DB E ， 所以11BG EB B E B D =31=，所以23BG =.在矩形11ABB A 中，因为11ADA DEB ∠=∠，故1ADA EGB ∠=∠，而1ADA DAL ∠=∠，所以EGB DAL ∠=∠，所以//AD EG ，而AD ⊂平面1ADC ，EG ⊄平面1ADC ，所以//EG 平面1ADC .在BC 上取点F ，使233BF BC ==，连GF ， 因为1BL =，故23BG BL =，故//GF CL . 在矩形11ABB A 中，因为,D L 为所在棱的中点，故11//,,DL AA DL AA =而1111//,,CC AA CC AA =故11//,CC DL CC DL =，故四边形1C DLC 为平行四边形，故1//DC CL ，故1//GF DC ，而1C D ⊂平面1ADC ，FG ⊄平面1ADC ，所以//FG 平面1ADC .因为GF EG G ⋂=，故平面以//EGF 平面1ADC ，因为EF ⊂平面EGF ，故//EF 平面1ADC .例3、如图，已知AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，12AB AC AD BC ===，设P 是直线BE 上的点，当点P 在何位置时，直线//DP 平面ABC ？请说明理由证明：当点P 是BE 的中点时，//DP 平面ABC .理由如下：如下图，取BC 的中点O ，连接AO 、OP 、PD ，则//OP EC 且12OP EC =，因为AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，所以//AD EC . 又12AD EC =，所以//OP AD 且OP AD =， 所以四边形AOPD 是平行四边形，所以//DP AO .因为AO ⊂平面ABC ，DP ⊄平面ABC ，所以//DP 平面ABC ；跟踪练习1、在三棱锥S ABC -中，AB ⊥平面SAC ，AS SC ⊥，1AB =，AC =，E 为AB 的中点，M 为CE 的中点，在线段SB 上是否存在一点N ，使//MN 平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由证明：存在点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即14SN SB =，//MN 平面SAC ， 证明如下：取AE 的中点F ，连接FN ，FM ，则//MF AC ，因为AC ⊂平面SAC ，MF ⊄平面SAC ，所以//MF 平面SAC ， 因为1124AF AE AB ==，14SN SB =， 所以FN //SA ，又SA ⊂平面SAC ，FN ⊄平面SAC ，所以//FN 平面SAC ，又MF FN F =，,MF FN ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面SAC ，又MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面SAC ．2、在如图所示的五面体ABCDEF 中，∵ADF 是正三角形，四边形ABCD 为菱形，23ABC π∠=，EF //平面ABCD ，AB =2EF =2，点M 为BC 中点，在直线CD 上是否存在一点G ，使得平面EMG //平面BDF ，请说明理由证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，OF ，取CD 的中点G ，连接GM ，GE因为EF //平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，所以EF //AB因为OM //AB //EF ，12OM AB EF ==，所以四边形OMEF 是平行四边形，所以OF //EM 因为EM ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF因为点G 与点M 分别为CD 与BC 的中点，所以GM //BD因为GM ⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，所以GM //平面BDF而GM ∩EM =M ，平面EMG //平面BDF3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB AD =，E 为AD 的中点，）在线段11B C 上是否存在点F ，使得平面1//A AF 平面1ECC ？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由证明：存在，当点F 为线段11B C 的中点时，平面1//A AF 平面1ECC .证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11//AD B C .又因为1CC ⊂平面1ECC ，1AA ⊄平面1ECC ，所以1//AA 平面1ECC .又E 为AD 的中点，F 为11B C 的中点，所以1//AE FC ，且1AE FC =.故四边形1AEC F 为平行四边形，所以1//AF EC ，又因为1EC ⊂平面1ECC ，AF ⊄平面1ECC ，所以//AF 平面1ECC .又因为1AF AA A =，1AA ⊂平面1A AF ，AF ⊂平面1A AF ，所以平面1//A AF 平面1ECC .4、如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1∵平面ABC ，AA 1∵AC ，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点且AD =AA 1，在棱AA 1上找一点M ，使得1//D M 平面1DBC ，并说明理由答案：M 与A 重合时，1//D M 面1DBC ，理由见解析证明：当M 与A 重合时，D 1M ∵面DBC 1，理由如下：∵D 1C 1∵AD ，且D 1C 1=AD ，∵四边形D 1C 1DA 为平行四边形，∵D 1A ∵C 1D ，因为C 1D ∵面BDC 1，∵D 1M ∵面DBC 1.5、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC 是正三角形，E 是棱AB 的中点，如1AE =，在平面PAC 内寻找一点F 使得//BF 平面PEC ，并说明理由答案：答案见解析.证明：延长AC 至点G ，使得AC CG =，延长AP 至点H ，使得AP PH =，连接GH ，在直线GH 上任取一点F ，则点F 满足BF ∥平面PEC .理由如下： E 是线段AB 的中点，C 是线段AG 的中点，CE ∴是ABG 的中位线，∴BG CE ∥，BG ∴∥平面PEC .同理HG平面PEC ， 又BG HG G =，∴平面BHG平面PEC ， BF ⊂平面BHG ，BF ∴∥平面PEC .(注：若此题点F 直接取H 或G ，理由充分，给6分)6、已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E ，试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；证明：当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .下面给出证明：取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G .因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，11BC B C =， 所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，7、在正三棱柱111ABC A B C -中，已知12,3AB AA ==，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，P 为线段1CC 上一点．平面1ABC 与平面ANP 的交线为l ，是否存在点P 使得1//C M 平面ANP ？若存在，请指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由证明：当2CP =时，1//C P 平面ANP证明如下：连接CM 交AN 于点G ，连接GP ，因为12CG CP GM PC ==，所以1//C M GP 又∵GP ⊂平面ANP ，1C M ⊄平面ANP ∵1C M 平面ANP。

立体几何选择题：一、三视图考点透视：① 能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ② 通过三视图计算空间几何体的体积或表面积•③ 解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 1. 一空间几何体的三视图如图 2所示, 该几何体的体积为AJ ，3则正视图中X 的值为（ ）A. 5B.4C. 3D. 22. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为3. _________________________________ 如图4,已知一个锥体的正视图（也称主视图） 别为3, 4, 6,则该锥体的体积是 4 _____________________ .4•某四棱锥的三视图如图 1 — 1所示，该四棱锥的表面积是 （B ） A . 32 B . 16+ 16 .2 C. 48 D . 16 + 32 2二、直观图掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变；② 平行于y 轴的长度为原来的一半， X 轴不变； ③ 新坐标轴夹角为 45°或135 °。

1、禾U 用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（）不要求记忆，但要会使用公式。

审题时分清“表面积”和“侧面积” 。

（1） 圆柱、圆锥、圆台的侧面积，球的表面积公式。

（2） 柱、锥、台体，球体的体积公式。

（3） 正方体的内切球和外接球：内切球半径？ 外接球直径？ （4） 扇形的面积公式 S =1Ir =丄十弧长公式IXr2 21、一个直角三角形的两条直角边分别是3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的表面积为（）A. 84-B. 144 - C . 36 二D. 24 二Q ∖ [ħΔ ΛABC D 正视图 左视图正视图俯视图4 =►,左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分 A .正三角形的直观图仍然是正三角形. B. 平行四边形的直观图一定是平行四边形. C. 正方形的直观图是正方形.D .圆的直观图是圆 2、如图，梯形 A I BCD 是一平面图形=1 ,则梯形ABC 啲面积是（）ABC [的直观图（斜二测），若 AD // Oy 1, AB // CD , AB = 2, GD = 3 D . 10 I 2二、表面积和体积 AD俯视图2、 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥” 。

1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．B 1C BADC 1A 14. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.ABDPMFGE6. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥。