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海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科） 2015.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）抛物线22x y =-的焦点坐标是（ ） （A ）(1,0)-（B ）(1,0)（C ）1(0,)2-（D ）1(0,)2（2）如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）A1-2Oyx（A ）34i --（B ）54i +（C ）54i -（D ）34i -（3）当向量(2,2)==-a c ，(1,0)=b 时， 执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（4）已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=. 若12l l ⊥，则实数a 的值是（ ） （A ）0（B ）2或1-（C ）0或3-（D ）3-（5）设不等式组220,10,10x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D . 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是（ ） （A ）1（B ）22（C ）12（D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）344俯视图侧（左）视图正（主）视图（A ）234 （B ）12（C ）83（D ）62（7）某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()(10)10V t H t =-（H 为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻是图中的（ ）t 4t 3t 2100t 1tOV（A ）1t（B ）2t（C ）3t（D ）4t（8）已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上， A e 过原点O ，且与y 轴的另一个交点为M .若线段OM ,A e 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ，使得四边形ABCD （点,,,A B C D 顺时针排列）是正方形，则称点A 为曲线P 的“完美点”. 那么下列结论中正确的是（ ） （A ）曲线P 上不存在“完美点”（B ）曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1（C ）曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1 （D ）曲线P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年北京市海淀实验中学高三（上）期末数学试卷1. 若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2>1}，则A∪B=( )A. {x|0≤x≤1}B. {x|x>0或x<−1}C. {x|1<x≤2}D. {x|x≥0或x<−1}2. 在复平面内，复数z=(1+2i)i对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )A. y=1xB. y=−x|x|C. y=e x−e−xD. y=−lnx4. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；方差分别为s1，s2，则下面正确的是( )A. m1>m2，s1>s2B. m1>m2，s1<s2C. m1<m2，s1<s2D. m1<m2，s1>s25. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=13，a2+a5=4，则S9等于( )A. 27B. 24C. 21D. 186. 已知a，b，c∈R，在下列条件中，使得a<b成立的一个充分而不必要条件是( )A. a3<b3B. ac2<bc2C. 1a >1bD. a2<b27. 已知ABCD为正方形，若椭圆M与双曲线N都以A、B为焦点，且图象都过C、D点，则椭圆M与双曲线N的离心率之积为( )A. √2−1B. √2+1C. 1D. √28. 过点(1,1)的直线l与圆C：x2−4x+y2=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )A. √2B. 2√2C. 3√2D. 49. 已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A(13,0)为f(x)图像的对称中心，B ，C 是该图像上相邻的最高点和最低点，且|BC|=4，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的对称轴方程为x =43+4k(k ∈Z)B. 若函数f(x)在区间(0,m)内有5个零点，则在此区间内f(x)有且只有2个极小值点C. 函数f(x)在区间(0,2)上单调递增D. f(x −π3)的图像关于y 轴对称10. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 4√3B. 12C. 12√3D. 3611. 已知α为第二象限角，tanα=−43，则sin(α−π4)的值为______.12. (2x −1x )n 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______. 13. 已知函数f(x)={log 14x,x >02x ,x ≤0，若f(a)>12，则实数a 的取值范围是______. 14. 点A(1,m)在抛物线C ：y 2=2px(p >0)上，若点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为2，O为坐标原点，则△AOF 的面积为______.15. 如图，已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠BAD =120∘，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P −ABCD 所得的截面多边形，有以下几个结论： ①截面的面积等于4√6；②截面是一个五边形且只与四棱锥P −ABCD 四条侧棱中的三条相交； ③截面与底面所成锐二面角为45∘； ④截面在底面的投影面积为5√3. 其中，正确结论的序号是______.16. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，且cos2A −sin(π2−A)+1=0.(Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅰ)若△ABC 的面积S △ABC =3√34，b =32，求sinC 的值．17. 2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如图： (Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数； (Ⅰ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(Ⅰ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值．(结论不要求证明)18. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面A 1C 1CA ⊥平面BCC 1B 1，侧面A 1C 1CA 是边长为2的正方形，C 1B =C 1C =2，E ，F 分别为BC ，A 1B 1的中点． (Ⅰ)证明：EF//平面A 1C 1CA ；(Ⅰ)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题．①直线AB 与平面BCC 1B 1所成角的大小为π4；②三棱锥F −BC 1E 的体积为13；③BC 1⊥A 1C. 若选择条件_____；求(i)求二面角F −BC 1−E 的余弦值； (ii)求直线EF 与平面A 1C 1CA 的距离．19. 已知函数f(x)=e x(lnx−a).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a的值；(Ⅰ)若函数f(x)在(0,1)内存在极值，求a的取值范围；(Ⅰ)若对任意的实数x∈[1,+∞),f(x)≥−1恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距和长半轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅰ)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线x=4相交于点M，N.求证：以MN 为直径的圆恒过点F.21. 已知a为实数，数列{a n}满足a1=a，a n+1={a n−3,a n>3−a n+4,a n≤3(n∈N∗).(Ⅰ)当a=0.2和a=7时，分别写出数列{a n}的前5项；(Ⅰ)证明：当a>3时，存在正整数m，使得0<a m≤2；(Ⅰ)当0≤a≤1时，是否存在实数a及正整数n，使得数列{a n}的前n项和S n=2019？若存在，求出实数a及正整数n的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|0≤x ≤2}， B ={x|x 2>1}={x|x >1或x <−1}， ∴A ∪B ={x|x ≥0或x <−1}. 故选：D.先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B.本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z =(1+2i)i =−2+i ，∴复数z =(1+2i)i 对应的点为(−2,1)，位于第二象限． 故选：B.根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A ，由题意可得定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，为奇函数，在(−∞,0)和(0,+∞)上均为减函数，但在定义域内不是减函数，故不符题意；对于B ，y =−x|x|={−x 2,x ≥0x 2,x <0，x ∈R ，因为f(−x)=−(−x)|−x|=x|x|=−f(x)，所以为奇函数，由二次函数的性质可知y =f(x)在R 上单调递减，符合题意；对于C ，y =e x −e −x ，x ∈R ，因为y =e x 在R 上单调递增，y =−e −x 在R 上单调递增，所以y =e x −e −x 在R 上单调递增，故不符题意；对于D ，y =−lnx ，x >0，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故不符题意． 故选：B.根据函数的奇偶性及单调性逐一判断即可． 本题考查了函数的奇偶性及单调性，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由频率分布直方图得：甲地区[40,60)的频率为：(0.015+0.020)×10=0.35，[60,70)的频率为0.025×10=0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5−0.350.25×10=66，乙地区[50,70)的频率为：(0.005+0.020)×10=0.25，[70,80)的频率为：0.035×10=0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5−0.250.35×10≈77.1，∴m1<m2，由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，∴s2<s1.故选：D.利用频率分布直方图求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小．本题考查方差、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=13，a2+a5=4，∴2a1+5d=23+5d=4，解得d=23，∴a5=a1+4d=13+83=3，∴S9=9(a1+a9)2=9a5=9×3=27.故选：A.根据已知条件，先求出等差数列的公差，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：对于A：a3<b3⇔a<b是充要条件；对于B：若ac2<bc2，得c≠0，则a<b，反之不成立，即B是a<b成立的充分不必要条件，；对于C：a<b与1a >1b互相推不出是既不充分也不必要条件．对于D：a<b与a2>b2互相推不出是既不充分也不必要条件．故选：B.根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题．7.【答案】C【解析】解：已知ABCD为正方形，若椭圆M与双曲线N都以A、B为焦点，且图象都过C、D 点，设|AB|=t，则椭圆的长轴长为|CA|+|CB|=(√2+1)t，双曲线的实轴长为||AC|−|CB||=(√2−1)t，又椭圆M与双曲线N的焦距为t，则椭圆M与双曲线N的离心率之积e1e2=(√2+1)t(√2−1)t=1，故选：C.由椭圆与双曲线的性质，结合椭圆与双曲线的离心率的求法求解即可．本题考查了椭圆与双曲线的性质，重点考查了椭圆与双曲线的离心率，属基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，设M(1,1)，圆C：x2+y2−4x=0的圆心为C，圆C：x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，圆心C为(2,0)，半径r=2，圆心到直线l的距离为d，则|AB|=2×√r2−d2=2×√4−d2，当d最大时，弦长|AB|最小，∵M在圆C内部，故d的最大值为|MC|=√1+1=√2，则|AB|的最小值为2×√4−2=2√2，故选：B.根据题意，设M(1,1)，圆x2+y2−4x=0的圆心为C，分析圆C的圆心以及半径，求出C到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当d最大时，弦长|AB|最小，而d的最大值为|MC|，据此计算可得答案．本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意知，f(x)的最大值为√3，最小值为−√3，因为B，C是该图像上相邻的最高点和最低点，且|BC|=4，所以B，C两点横坐标之间的距离为√42−(2√3)2=2，即最小正周期T=2×2=4，而T=2πω，所以ω=2πT=π2，由A(13,0)为f(x)图像的对称中心，知f(13)=0，即√3sin(π2⋅13+φ)=0，所以π6+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=kπ−π6，k ∈Z ，又−π2<φ<π2，所以φ=−π6，所以f(x)=√3sin(π2x −π6)，选项A ，令π2x −π6=π2+kπ，k ∈Z ，则x =43+2k ，k ∈Z ，即A 错误； 选项B ，由x ∈(0,m)，知π2x −π6∈(−π6,π2m −π6)，若函数f(x)在区间(0,m)内有5个零点，则函数f(x)在y 轴右侧的图像包含两个半周期的图像， 所以在此区间内f(x)有且只有2个极小值点，即B 正确；选项C ，令π2x −π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k ∈Z ，则x ∈[4k −23,4k +43]，k ∈Z ， 所以f(x)的单调增区间为[4k −23,4k +43]，k ∈Z ， 同理可得，f(x)的单调减区间为[4k +43,4k +103]，k ∈Z ，所以f(x)在(0,43]上单调递增，在(43,2)上单调递减，即C 错误；选项D ，f(x −π3)=√3sin[π2(x −π3)−π6]=√3sin(π2x −π3)，其图像不关于y 轴对称，即D 错误． 故选：B.根据ω和φ的几何意义，可得其值，从而知f(x)的解析式，再结合正弦函数的图像与性质，逐一分析选项，即可．本题考查三角函数的图像与性质，熟练掌握利用函数图像求函数解析式的方法，正弦函数的图像与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(−8,0),B(−6,2√3)，圆D 的方程为x 2+y 2=3，则可设P(√3cosα,√3sinα)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3cosα+6,√3sinα−2√3)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3cosα+12+6sinα−12=4√3sin(α+π6)≤4√3，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为4√3. 故选：A.建立直角坐标系，可得A(−8,0),B(−6,2√3)，设P(√3cosα,√3sinα)，表示出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由三角函数的性质得解．本题考查平面向量的数量积以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】7√210【解析】解：因为α为第二象限角，tanα=−43，所以{sinαcosα=−43sin 2α+cos 2α=1，且sinα>0，cosα<0，解得sinα=45，cosα=−35，所以sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)=√22[45−(−35)]=7√210. 故答案为：7√210.利用同角三角函数的基本关系，可得sinα=45，cosα=−35，再根据两角差的正弦公式，展开运算，得解．本题考查三角函数求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】−160【解析】解：由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n =6；(2x −1x )6的展开式为T r+1=C 66−r ⋅(2x)6−r ⋅(−1x )r =(−1)r ⋅26−r ⋅C 66−r⋅(x)6−2r ，令6−2r =0，可得r =3， 则展开式中常数项为−160. 故答案为：−160.根据题意，(2x −1x)n 的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n =6；进而可得二项展开式，令6−2r =0，可得r =3，代入二项展开式，可得答案． 本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．13.【答案】(−1,116)【解析】解：当a >0时，log 14a >12，解得0<a <116，当a ≤0时，2a >12，解得−1<a ≤0， 综上所述，a 的取值范围是(−1,116)，故答案为：(−1,116).分a>0和a≤0两种情况求解即可．本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：由已知得，焦点F为(p2,0)，故点A到抛物线C的焦点F的距离为2，则根据抛物线的性质，可得1+p2=2，得到p=2，焦点F(1,0)，故|AF|=2，得到|m|=2，所以S△AOF=12×|OF|×|m|=1，故答案为：1.根据抛物线的性质求出p，然后求出|AF|和|m|，进而利用三角形面积公式，可以直接计算求解．本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．15.【答案】②③④【解析】解：取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E，F，G，H，I，设FG∩AC=M，BD∩AC=N，则M为CN中点，N为AC中点，∴M为AC四等分点，∴IM//PC，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=120∘，∴△ABC是正三角形，AC⊥BD，又PA=AB=4，∴AC=AB=4，BD=2×2√3=4√3，PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥BD，∴PC=4√2，∵E，F，H，G分别是棱PB，BC，PD，CD的中点，∴EF//PC//HG，EH//BD//FG，且EF=HG=12PC=2√2，EH=FG=12BD=2√3，综上，多边形EFGHI即为平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形，其面积为2√2×2√3=4√6，设FG∩AC=M，BD∩AC=N，则M为CN中点，N为AC中点，∴CM=12CN=14AC=1，AM=34AC=3，∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF//平面PAC，∵平面EFGH∩平面PAC=IM，∴EF//IM//PC，且IM=34PC=3√2，∴EH⊥IM，∴△IEH的边EH上的高IJ=IM−MJ=IM−EF=√2，∴S△IEH=12×2√3×√2=√6，故①错误；由图可知截面是一个五边形，只与四棱锥P−ABCD四条棱中的侧棱PA，PB，PD相交，故②正确；IM⊂截面EFGHI，AM⊂平面ABCD，EH//BD//FG，则FG⊥平面PAC，IM，AM⊂平面PAC，则FG⊥IM，FG⊥AM，∴∠IMA是截面EFGHI与底面ABCD所成锐角二面角，则在Rt△IMA中，cos∠IMA=AMIM =33√2=√22，∴截面与底面所成锐二面角为45∘，故③正确；取AB，AD中点K，则KE//PA//HL，则EK⊥底面ABD，HL⊥底面ABCD，∴多边形AKFGL为截面在底面的投影，KF//AC//LG，且KF=LG=12AC=2，则多边形AKFGL的面积为：S平行四边形ABCD−S△BKF−S△DLG−S△CFG=12×4×4√3−2×12×2×√3−12×2√3×1=5√3，故④正确．故答案为：②③④．取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E，F，G，H，I，则多边形EFGHI即为平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形；FG∩AC=M，结合垂直关系可证明∠IMA为截面与底面所成锐二面角；取AB，AD中点K，L，结合垂直关系证明多边形AKFGL为截面在底面的投影．本题考查截面多边形、线面垂直的判定与性质、二面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由cos2A−sin(π2−A)+1=0，得2cos2A−1−cosA+1=0，解得cosA=0或cosA=12，又A ∈(0,π2)， 所以A =π3； (Ⅰ)∵S △ABC =3√34，b =32，∴12bcsinA =3√34，即12×32c ×√32=3√34，解得c =2，由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =94+4−2×32×2×12=134， 所以a =√132，由正弦定理可得，asinA=csinC，则sinC =csinAa=2×√32√132=2√3913.【解析】(Ⅰ)由二倍角公式及诱导公式展开，结合A 的范围即可得解；(Ⅰ)先由三角形的面积公式求得c ，再由余弦定理求得a ，最后由正弦定理得解．本题主要考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．17.【答案】解：(I)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为220=0.1，在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1=5万人； (Ⅰ)由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人， 记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，选出的8名男生中随机抽取2人，则X =0，1，2， 则P(X =0)=C 52C 82=514， P(X =1)=C 51C 31C 82=1528，P(X =2)=C 32C 82=328， X 的分布列如下：故E(X)=0⋅14+1⋅28+2⋅28=4，(Ⅰ)m 的最小值为4.【解析】(I)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为220=0.1，再求出结论即可； (Ⅰ)根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X =0，1，2，求出分布列和数学期望； (Ⅰ)根据题意，求出即可．本题考查了茎叶图，考查了离散型随机变量求分布列和数学期望，考查运算能力和实际应用能力，中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：取A1C1中点G，连接FG，CG，∵E，F分别为BC，A1B1的中点，∴在三棱柱ABC−A1B1C1中，FG//B1C1//EC，且FG=EC=12B1C1，∴四边形FECG为平行四边形，∴EF//CG，∵EF⊄平面A1C1CA，CG⊂平面A1C1CA，∴EF//平面A1C1CA；(Ⅰ)平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1=CC1，又侧面A1C1CA是边长为2的正方形，∴AC⊥CC1，A1C1⊥CC1，∴AC⊥面BCC1B1，A1C1⊥面BCC1B1，∵BC⊂面BCC1B1，∴AC⊥BC，取B1C1中点I，作IJ⊥BC1于J，连接FI，IE，FJ，则FI//A1C1，FI⊥面BCC1B1，FI=12A1C1=1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴FI⊥BC1，∵FI∩IJ=I，∴BC1⊥平面FIJ，∵FJ⊂平面FIJ，∴BC1⊥FJ，∴∠FJI为二面角F−BC1−E的平面角的补角，∵EF//平面A1C1CA，∴直线EF与平面A1C1CA的距离即为平面A1C1CA的距离，作EK⊥CC1于K，∵平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1=CC1，∴EK是E到平面A1C1CA的距离，即直线EF与平面A1C1CA的距离，选①，∵AC⊥平面BCC1B1，∴∠ABC是直线AB与平面BCC1B1所成角，∴∠ABC=π4，∴BC=AC=C1B=2，(i)在正△B1BC1中，由题意得IJ=12×√22−12=√32，∴在Rt△FJI中，cos∠FJI=IJFJ =√32√(√32)2+12=√217，∴二面角F−BC1−E的余弦值为−√217；(ii)在正△BCC1中，EK=12×√22−12=√32，∴直线EF与平面A1C1CA的距离为√32.选②，FG//B1C1//EC，E为BC的中点，∴V G−ECC1=V F−BC1E=13，∵A1C1⊥面BCC1B1，∴13S△ECC1⋅GC1=13，∴S△ECC1=1，∵C1B=C1C=2，∴EC1⊥EC，∴{12⋅EC⋅EC1=1EC2+EC12=4，解得EC=EC1=√2，∴BC=2√2，BC1⊥CC1，(i)在正△B1BC1中，IJ=12BB1=12CC1=1，∴在Rt△FJI中，cos∠FJI=IJFJ =√1+1=√22，∴二面角F−BC1−E的余弦值为−√22；(ii)在正△BCC1中，EK=12BC1=1，∴直线EF与平面A1C1CA的距离为1.选③，取AB中点H，AC1∩A1C=O，连接OH，则O为AC1中点，则OH//BC1且OH=12BC1=1，由BC1⊥A1C，∴OH⊥OC，则HC=√12+(√2)2=√3，∵AC⊥BC，∴AB=2HC=2√3，∴BC=√(2√3)2−22=2√2，BC1⊥CC1，(i)在正△B1BC1中，IJ=12BB1=12CC1=1，∴在Rt△FJI中，cos∠FJI=IJFJ =√1+1=√22，∴二面角F−BC1−E的余弦值为−√22；(ii)在正△BCC1中，EK=12BC1=1，∴直线EF与平面A1C1CA的距离为1.【解析】(Ⅰ)取A1C1中点G，连接FG，CG，由EF//CG，证明EF//平面A1C1CA；(Ⅰ)取B1C1中点I，作IJ⊥BC1于J，由垂直关系可证明∠FJI为二面角F−BC1−E的平面角的补角，作EK⊥CC1于K，由垂直关系及线面距离定义可知EK即为直线EF与平面A1C1CA的距离，三个条件均可根据几何关系求出BC，再进一步求cos∠FJI、EK即可．本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值、直线与平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：显然，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x(lnx+1x−a)，(Ⅰ)由题意知f′(1)=(1−a)e=0，解得a=1；(Ⅰ)由已知得lnx +1x−a =0在(0,1)内有变号根， 令g(x)=lnx +1x −a ，x ∈(0,1)，g′(x)=x−1x 2<0， 故g(x)在(0,1)内单调递减，且x →0limlnx1x=x →0lim1x −1x2=x →0lim(−x)=0，故x →0时，g(x)→+∞，故要使g(x)在(0,1)内有变号零点，只需g(1)=1−a <0，解得a >1， 故当a ∈(1,+∞)时，f(x)在(0,1)内存在极值；(Ⅰ)由(Ⅰ)知，当x ≥1时，g′(x)>0，g(x)=lnx +1x−a 在[1,+∞)上是增函数，则g(x)min =g(1)=1−a ，①a ≤1时，f′(x)≥0在[1,+∞)上，f(x)是增函数，要使结论成立，只需f(1)=−ea ≥−1，解得a ≤1e；②a >1时，f(x)在(1,x 0)上单调递减，则f(x)≤f(1)=−ae <−e ，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为(−∞,1e ]. 【解析】(Ⅰ)令f′(1)=0，解出a ；(Ⅰ)问题可化为f′(x)=0在(0,1)内有变号根，再结合导数研究函数的单调性、极值情况即可； (Ⅰ)分离参数，研究函数的最值即可．本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值与最值等，进而解决不等式恒成立问题，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由焦距和长半轴长都为2，可得c =1，a =2，b =√a 2−c 2=√3，则椭圆方程为x 24+y 23=1；(Ⅰ)证明：F(1,0)，A(−2,0)，直线l 的方程为y =k(x −1)， 联立椭圆方程可得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，直线l 过椭圆的焦点，显然直线l 与椭圆相交．设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，直线AP 的方程为y =y1x 1+2(x +2)， 可令x =4，得y M =6y 1x 1+2，即M(4,6y1x 1+2)，同理可得N(4,6y 2x 2+2)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6y 1x 1+2)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6y 2x 2+2)， 又FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9+36y 1y2(x 1+2)(x 2+2)=9+36k 2(x 1−1)(x 2−1)(x 1+2)(x 2+2)=9+36k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=9+36k 2(4k 2−123+4k 2−8k 23+4k 2+1)4k 2−123+4k 2+16k23+4k 2+4=9+36k 2⋅−93+4k 236k 23+4k 2=9−9=0. 所以以MN 为直径的圆恒过点F.【解析】(Ⅰ)求得c ，a ，b ，可得椭圆方程；(Ⅰ)直线l 的方程为y =k(x −1)，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：当a =0.2时，a 1=0.2，a 2=3.8，a 3=0.8，a 4=3.2，a 5=0.2；当a =7时，a 1=7，a 2=4，a 3=1，a 4=3，a 5=1. (Ⅰ)证明：当a >3时，a n+1=a n −3.所以，在数列{a n }中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n }是以a 为首项，−3为公差的递减的等差数列．即a n =a +(n −1)(−3)=a +3−3n.所以，当n 足够大时，总可以找到n 0，使0<a n 0≤3.(1)若0<a n 0≤2，令m =n 0，则存在正整数m ，使得0<a m ≤2. (2)若2<a n 0≤3，由a n 0+1=−a n 0+4，得1≤a n 0+1<2， 令m =n 0+1，则存在正整数m ，使得0<a m ≤2. 综述所述，则存在正整数m ，使得0<a m ≤2.(Ⅰ)①当a =0时，a 1=0，a 2=4，a 3=1，a 4=3，a 5=1，…… 当n =1时，S 1=0≠2019，当n ≥2时，S n ={2n −1,n =2k +12nn =2(k +1)(k ∈N)，令2n −1=2019，n =1010，而此时n =2k +1为奇数，所以不成立； 又2n =2019不成立，所以不存在正整数n ，使得S n =2019.②当0<a <1时，a 1=a ，a 2=−a +4，a 3=−a +1，a 4=a +3，a 5=a ，…… 所以数列{a n }的周期是4，当n =4k +1，k ∈N 时，S n =8k +a =2(n −1)+a =2n +a −2； 当n =4k +2，k ∈N 时，S n =2(n −2)+a +(−a +4)=2n ；当n =4k +3，k ∈N 时，S n =2(n −3)+a +(−a +4)+(−a +1)=2n −a +3； 当n =4(k +1)，k ∈N 时，S n =2n. 所以S n ={2n +a −2,n =4k +12n,n =4k +22n −a −1,n =4k +32n,n =4(k +1)(k ∈N). 所以S n 或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n ，使得S n =2019. ③当a =1时，a 1=1，a 2=3，a 3=1，a 4=3，a 5=1，……， S n ={2n −1,n =2k +12n,n =2(k +1)(k ∈N)，不存在正整数n ，使得S n =2019. 综述所述，不存在实数a 正整数n ，使得S n =2019.【解析】(Ⅰ)当a =0.2和a =7时，利用数列递推式依次求出数列{a n }的前5项；(Ⅰ)当a >3时，a n+1=a n −3.可知在数列{a n }中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n }是以a 为首项，−3为公差的递减的等差数列．写出通项公式，可得当n 足够大时，总可以找到n 0，使0<a n 0≤3.然后分0<a n 0≤2与2<a n 0≤3两类分析； (Ⅰ)分a =0，0<a <1及a =1三类，分别写出S n 后分析．本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．。
北京市海淀区20xx —第一学期期末试卷高三数学（理） 20xx ．1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数21i-化简的结果为 A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i 2．已知直线l :22x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆C :2cos 1,2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A ．4π，(1，0)B ．4π，(-1，0) C ．34π，(1，0) D ．34π，(-1，0) 3．向量a ＝(3，4)，b ＝(x ，2)，若||=a b a ，则实数x 的值为A ．-1B ．12-C ．13- D ．1 4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的n ，S 的值分别为A ．n ＝4，S ＝30B ．n ＝5，S ＝30C ．n ＝4，S ＝45D ．n ＝5，S ＝455．如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于A ，B 两点，弦CD 垂直AB 于E ．则下面结论中，错误的结论是A ．△BEC ∽△DEAB ．∠ACE ＝∠ACPC ．DE 2＝OE ·EPD ．PC 2＝PA ·AB6．数列{}n a 满足11a =，1n a rn +=（n ∈N *，r ∈R 且r ≠0），则“r ＝1”是“数列{}n a 成等差数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件7．用数字０，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且仅有一个数字出现两次的四位数的个数为A ．144B ．120C ．108D ．728．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心离的取值范围是A ．(13，23)B ．(12，1)C ．(23，1)D ．(13，23)∪(12，1)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．以y ＝±x 为渐近线且经过点(2，0)的双曲线方程为________．10．数列{}n a 满足12a =，且对任意的m ，n ∈N *，都有n m n ma a a +=，则有3a =______；{}n a 的前n 项和n S =________．11．在261(3)x x +的展开式中，常数项为________．（用数字作答）12．三棱锥D －ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______．13．点P (x ，y )在不等式组0,31x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩，表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx -1的最大距离为k ＝________．14．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上运动，且PA ＝r (0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f = ________；关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________．（填上所有可能的值）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1f B C +=，a =b ＝1，求角C 的大小．16．（本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100输汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，数据统计如下表：（Ⅰ）从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计．．出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．17．（本小题满分14分）如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝2，E 是BC的中点．（Ⅰ）求证：A 1B ∥平面AEC 1；（Ⅱ）若棱AA 1上存在一点M ，满足B 1M ⊥C 1E ，求AM 的长；（Ⅲ）求平面AEC 1与平面ABB 1A 所成锐角二面角的余弦值．18．（本小题满分13分）已知函数()1axe f x x =-． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．19．（本小题满分14分）已知E （2，2）是抛物线2:2C y px =上一点，经过点（2，0）的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（不同于点E ），直线EA ，EB 分别交直线x ＝-2于点M ，N ． （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：∠MON 为定值．20．（本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为（0，+∞），若()f x y x =在（0，+∞）上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在（0，+∞）上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“|二阶比增函数”组成的集全咏为Ω2．（Ⅰ）已知32()2f x x hx hx =--，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；（Ⅱ）已知0＜a ＜b ＜c ，1()f x ∈Ω，且()f x 的部分函数值由下表给出：求证：d (2d +t -4)＞0；（Ⅲ）定义集合2{()|()f x f x ψ=∈Ω，且存在常数k ，使得任取x ∈(0，+∞)，()}f x k <，请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明题由．。
海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学2024.01（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A .i- B.1- C.3i - D.3-【答案】D 【解析】【分析】由复数对应的点求出复数1z ，2z ，计算12z z ⋅，得复数12z z ⋅的虚部.【详解】在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则112z i =+，22z i =-+，得()()1212i 2i 43i z z ⋅=+-+=--，所以复数12z z ⋅的虚部为3-.故选：D3.已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则=a （）A.1 B.1- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.【详解】由题意直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，所以()11202a ⨯--⨯=，解得1a =-.故选：B.4.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A. B.4C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出MO .【详解】设()00,Mxy ，2008y x =，又因为024MF x =+=，所以2002,16x y ==，故MO ===故选：D.5.在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A.4B.2C.43D.23【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案.【详解】连接,AC BD ，相交于点H ，则H 为正方形ABCD 的中心，故PH ⊥底面ABCD ，取CD 的中点Q ，连接,HQ PQ ，则,HQ CD PQ CD ⊥⊥，112HQ AD ==，故PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，故1PH HQ ==，所以该四棱锥的体积为21433AB PH ⨯⋅=.故选：C6.已知圆22:210C x x y ++-=，直线()10mx n y +-=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC 为直角三角形，则（）A.0mn =B.0-=m nC.0m n +=D.2230m n -=【答案】A 【解析】【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB =.【详解】因为圆22:210C x x y ++-=，圆心为()1,0C -，半径为r =CA CB ==因为ABC为直角三角形，所以2AB ==,设圆心()1,0C -到直线()10mx n y +-=的距离为d，d ==由弦长公式AB =1d =1=，化简得0mn =.故选：A.7.若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A.10B.eC.2D.54【答案】D 【解析】【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数()xf x a =与直线y x =相交即可.【详解】对比选项可知我们只需要讨论1a >时，关于x 的方程log 0xa x a -=的解的情况，若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，因为()xf x a =与()log a g x x =互为反函数，所以()xf x a =与()log a g x x =的图像关于直线对称，如图所示：设函数()xf x a =与直线y x =相切，切点为()00,P x y ，()ln xf x a a '=，则有000ln 1xx a a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：0ex a =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图像可知，当(a ∈时，曲线()x f x a =与直线y x =有交点，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，即方程log 0xa x a -=有解.故选：D.8.已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>，所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>，综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件.故选：B.9.已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A.{}n a 是递增数列B.{}n a 是递减数列C.{}n S 是递增数列D.{}n S 是递减数列【答案】B 【解析】【分析】先根据等比数列前n 项和()111nn a q S q-=-,结合11na Sq<-恒成立，得出,a q 的取值范围，得到{}n a 是递减数列.【详解】{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和()111nn a q S q-=-,()1111111n n n a q a a S S q q q-<∴=<--- ，恒成立,101n a q q ⨯>-恒成立,若0q <，则n q 可能为正也可能为负，不成立所以10,01na q q>>-,当{}10,01,n a q a ><<是递减数列,当10,1,a q {}n a 是递减数列,故选:B .10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3θ=-，tan 2θ=A. B.332C.922D.924【答案】D 【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】由于10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，所以10928GHI θ'∠=≈ ,连接G I ,取其中点为O ，连接OH ,所以2224tan2GO OH θ===,由1BC =，且多边形ABCDEF为正六边形，所以2sin 60AC AB == ，由于GI AC =,所以=44OH =，故一个菱形的面积为163222244GHI S GI OH =⨯⨯⋅= =，因此上顶的面积为344⨯=，故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为__________.【答案】5-【解析】【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可.【详解】51x x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()53521551C 1C rrrr rrr T x x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令5312r-=得1r =，所以125C 5T x x =-⋅=-，x 的系数为5-.故答案为：5-.12.已知双曲线221x my -=30y -=,则该双曲线的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于m 的方程,再结合离心率公式求解即可.【详解】由题意得0m >，易知双曲线221x my -=，即2211y x m-=的渐近线方程为1,y m =13,m=得13,m =所以该双曲线的离心率11 2.c e a m==+=故答案为：2.13.已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=__________；点C 到直线AB 的距离为__________.【答案】①.1-②.55755【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】以B 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意()()()2,1,0,0,1,3A B C -，所以()()2,11,3231AB BC ⋅=-⋅=-=-，而直线AB 的表达式为12y x =-，即20x y +=所以点C 到直线AB 的距离为21235512d +⨯==+.故答案为：1-，55.14.已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数,公差为d ,则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和()1,2,n = 的一组1a ,d 的值为1a =__________,d =__________.【答案】①.1②.1（答案不唯一）【解析】【分析】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,根据题意可得123,,b b b .根据2132,b b b =+结合等差数列的通项公式,可得关于1,a d 的方程,解方程即可.【详解】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,则1,n n n S a a +=112223334,,.S a a S a a S a a ∴===又{}n a 是公差为d 的等差数列,11122212312233234233,2,2,b S a a b S S a a a a da b S S a a a a da ∴===-=-==-=-=2132,b b b =+ 即()()()21231111222,422,da a a da d a d a a d d a d ⨯=+∴+=+++整理得()110,a a d -=由题知110,.a a d >∴=故满足题意的一组1a ,d 的值为11a =,1d =.（答案不唯一）故答案为：1;1（答案不唯一）15.已知函数()cos f x x a =+.给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2+-=f x f x a ；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】取0a =可判断①，取1a =化简后可判断②，先化简，取πx =可判断③，取π2T =可判断④.【详解】对于①，当0a =时()cos f x x =，其最大值为1，最小值为0，()f x 的最大值与最小值的差为1，故①错误；对于②，当1a =时，()cos 11cos =+=+f x x x ，()()π-cos π-11cos 1cos =+=-=-f x x x x ，因此对任意x ∈R ，()()π22+-==f x f x a ，故②正确；对于③，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，当πx =时ππ22⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x a ，故③错误；对于④，当0a =时()cos f x x =，取π2T =，0π=4x ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+，故正确.故答案为：②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥.（1）求证：1//C M 平面11ADD A ；（2）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）69【解析】【分析】（1）连接1AD ，由四棱柱性质可得11MAD C 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得1//C M 平面11ADD A ；（2）由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得1,,AD AB AA 三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果.【小问1详解】连接1AD ，如下图所示：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =,因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =，所以11C D AM ∥，11C D AM =,所以四边形11MAD C 为平行四边形，所以11MC AD ∥，因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ，【小问2详解】在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⊥⋂平面ABCD AB =；所以1AA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，即可得1AA AD ⊥，因为1AD B M ⊥，11,AA B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ，而AB ⊂平面11ABB A ，即AD AB ⊥；如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M .所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =.设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z =，则111020n C B x z n MC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =，则1y =-，2z =，于是()2,1,2n =-；因为111cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C所成角的正弦值为9.17.在ABC 中，2cos 2c A b a =-.（1）求C ∠的大小；（2）若c =ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC的面积为；条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】17.π318.不能选①，选②或③，答案均为1【解析】【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾；选②，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线；选③，由余弦定理得到223a b ab +-=，设AC 边上的中线长为d ，再由余弦定理得到AC 边上的中线的长为1.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-.①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.②由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠.所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为即1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =222cos 2a b c C ab +-=，即2231162a b +-=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：1sin sin 2B A -=.由（1）知，π33ππ2B A A ∠=--∠=-∠.所以2π1sin sin sin sin sin sin 322B A A A A A A⎛⎫-=--=+-⎪⎝⎭31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭.因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.所以π3π6A -=，即π6A =.所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以32πsin sin 3AB AC C ===.所以AC 边上的中线的长为112AC =.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223122a b ab +-=，即223a b ab +-=.设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=.所以AC 边上的中线的长为1.18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.【答案】（1）310（2）分布列见解析，43（3）()()()213D Y D Y D Y >>【解析】【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。
2023届北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题一、单选题1．已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ） A ．[]2,3- B ．[]0,3 C ．()0,∞+ D ．[)2,-+∞【答案】D【分析】利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，因此，[)2,A B ⋃=-+∞. 故选：D.2．在复平面内，复数12i-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数除法运算化简复数，从而根据对应点的坐标得到结果. 【详解】()()12212225525i i i i i i +==+-++=- ∴对应的点坐标为：21,55⎛⎫⎪⎝⎭∴对应的点位于第一象限本题正确选项：A【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的问题，关键是能够通过复数的除法运算化简复数，属于基础题.3．已知函数()11f x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,3【答案】D【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案.【详解】()11f x x-定义域为()0,∞+，在定义域上连续且单调递增，其中0141412f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，012212f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()1101f =-<， ()11022f =-<，()11033f =->，由零点存在性定理可得：包含()f x 零点的区间为()2,3. 故选：D4．已知13πlg5,sin ,27a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】B【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/【详解】因为lg10<，所以112a <<， 因为ππsinsin 76<，所以12b <，因为01322>，所以1c >，因此b a c <<， 故选：B5．若圆222220x y x ay a +--+=截直线210x y -+=所得弦长为2，则=a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C【分析】分析可知直线210x y -+=过圆心，由此可求得实数a 的值.【详解】圆的标准方程为()()2211x y a -+-=，圆心为()1,C a ，圆的半径为1r =，因为若圆222220x y x ay a +--+=截直线210x y -+=所得弦长为2， 所以，直线210x y -+=过圆心C ，则1210a -+=，解得1a =. 故选：C.6．已知{}n a 为等差数列，13a =，4610a a +=-.若数列{}n b 满足()11,2,n n n b a a n +=+=，记{}n b 的前n 项和为n S ，则8S =（ ） A ．32- B ．80-C ．192-D ．224-【答案】B【分析】求出等差数列{}n a 的通项公式，可求得数列{}n b 的通项公式，推导出数列{}n b 为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求出8S 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则465210a a a +==-，所以，55a =-，5124a a d -∴==-，()()1132125n a a n d n n ∴=+-=--=-+， 所以，()12521548n n n b a a n n n +=+=-+-++=-+，则()()1418484n n b b n n +-=-++--+=-，所以，数列{}n b 为等差数列， 因此，()()188********b b S +==⨯-=-. 故选：B7．某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲､乙两组，每组3个班，则高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】利用组合数的概念结合古典概型即可求解.【详解】由题意得, 把全年级6个班分为甲､乙两组共有3363C C 20=种方法，高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组共有1343C C 4=种方法，所以高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是13433363C C 1C C 5=，故选:C.8．设α、β是两个不同的平面，直线m α⊂，则“对β内的任意直线l ，都有m l ⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为α、β是两个不同的平面，直线m α⊂，若对β内的任意直线l ，都有m l ⊥，根据线面垂直的定义可知m β⊥， m α⊂，αβ∴⊥，所以，“对β内的任意直线l ，都有m l ⊥”⇒“αβ⊥”；若αβ⊥，因为m α⊂，对β内的任意直线l ，m 与l 的位置关系不确定，所以，“对β内的任意直线l ，都有m l ⊥”⇐/“αβ⊥”. 因此，“对β内的任意直线l ，都有m l ⊥”是“αβ⊥”的充分而不必要条件. 故选：A.9．已知函数()cos2f x x =在区间()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值为()M t ，则()M t 的最小值为（ ）A ．32B ．32- C ．12 D ．12-【答案】D【分析】根据()f x 在x t =取最大值，可判断()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 要么在()f x 的单调减区间上，要么满足左端点到对称轴ππ2k +不小于右端点，即可得πππ3k t k ≤≤+，进而可求()M t 的最小值.【详解】()cos2f x x =的周期为π，()cos2f x x =的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈,单调递减区间为ππ,ππ2k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ 当x t =取最大值，故可知ππ,π,ππ32t t k k ⎡⎤⎡⎤+⊄++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当ππππ32k t t k ≤<+≤+时，即πππ6k t k ≤≤+，Z k ∈,()f x 在()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 单调递减，显然满足最大值为()M t ， 当ππππ<23k t k t ≤<++时，要使()M t 是最大值，则需满足ππππππππ2323k t t k k t k ⎛⎫⎛⎫+-≥+-+⇒≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Z k ∈ 综上可知当πππ3k t k ≤≤+,Z k ∈时，()f x 在x t =取最大值()M t ， ()=2cos2M t t 在πππ3k t k ≤≤+,Z k ∈单调递减，故当ππ3t k =+时，()M t 取最小值，且最小值为12-，故选：D10．在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为45的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为T ，截口椭圆的离心率为e .若圆柱的底面直径为2，则（ ）A ．12π,2T e ==B ．22π,T e ==C ．14π,2T e == D ．24π,2T e ==【答案】B【分析】由条件求出椭圆的长半轴长a 和短半轴长b ，由此可求,a b ，再求离心率e ，再求圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期.【详解】设截口椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距长为c ，因为圆柱的底面直径为2，所以22b CD ==，故1b =，因为椭圆截面与底面的夹角为45，所以45AOB ∠=，所以2cos 452cos 45b OB OA a ===，所以2a =，所以221c a b =-=，所以1222c e a ===， 观察图4知，正弦型函数的最小正周期T 为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以2π12πT =⨯=. 故选：B.二、填空题11．抛物线y 2=2x 的焦点坐标为____． 【答案】（，0）．【详解】试题分析：焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标． 解：抛物线y 2=2x 的焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0）， 故答案为（，0）．【解析】抛物线的简单性质．12．在42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为___________.【答案】8-【分析】利用二项式定理得到42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项，从而求得2x 的系数.【详解】因为42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为()4421442C 2C kk k k k kk T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令422k -=，得1k =，此时()11222242C 248T x x x =-=-⨯=-，所以2x 的系数为8-. 故答案为：8-.13．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，P 是棱1BB 上一点，12AB AA ==，则三棱锥1P ACC -的体积为___________.【答案】233【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用椎体体积公式求解即可.【详解】取AC 中点为O ,连接OB ，因为ABC 为正三角形，所以OB AC ⊥， 又因为1AA ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ， 所以1AA OB ⊥,且11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面11ACC A ， 所以OB ⊥平面11ACC A ，OB ==即B 到平面11ACC A 的距离为OB =又因为11//BB AA ,1BB ⊄平面11ACC A ,1AA ⊂平面11ACC A , 所以1//BB 平面11ACC A ，又因为P 是棱1BB 上一点，所以P 到平面11ACC A 的距离为OB =所以1113P ACC ACC V SOB -=⨯⨯=故答案为:14．已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增； ③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =-，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.【详解】对于①，当0=t 时，()()()22e x y f x g x x x ==-，则()22e xy x '=-，由0'<y 可得x <<，由0'>y 可得x <x此时，函数()22e xy x x =-的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =->，当02x <<时，()22e 0x y x x =-<，故函数()22e xy x x =-在x ①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1x x x xy x t x x t x t x '=--+-+=-+-+，令()e 1xh x x =-+，其中1x ≥，则()e 10x h x '=->，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0xh x x h =-+≥=>，则e 1e 0x x -≤-<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=-+-+≥可得()22e2e 1xxx t x -≥-+，构造函数()()22e e 1xxx p x x -=-+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x xxx x x x x x x x p x x x ⎛⎫-+- ⎪-+-⎝⎭'==-+-+， 令()2442e x q x x x =-+-，其中1x ≥，则()()242e 0xq x x x'=--<，所以，函数()q x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=-<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减，()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对； 对于③，()()22e xy f x g x x x t =+=-++，22e x y x '=-+，因为函数22e x y x '=-+在R 上单调递增，10x y ==-'<，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递减， 当0x x >时，0'>y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递增， 所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =-++有最小值，③错；对于④， 令()22e xu x x x t =-++，不妨令()010u t =+=，即取1t =-，由③可知，函数()22e 1xu x x x =-+-在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =->，所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =， 此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对. 故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三、双空题15．设O 为原点，双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上.则C 的渐近线方程是___________；OP OF OP⋅的取值范围是___________.【答案】 3y x =± (]1,2【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线C 的渐近线方程；求出,OP OF <>的取值范围，可得出2cos ,OP OF OP OF OP⋅=<>，结合余弦函数的基本性质可求得OP OF OP⋅的取值范围.【详解】在双曲线C 中，1a =，3b =，222c a b =+=，则()2,0F ， 所以，双曲线C 的渐近线方程为3by x x a=±=±， 直线3y x =的倾斜角为π3，由题意可知π0,3OP OF ≤<><，则1cos ,12OP OF <<>≤，所以，(]cos ,2cos ,1,2OP OF OF OP OF OP OF OP⋅=<>=<>∈.故答案为：3y x =±；(]1,2.四、解答题16．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.用五点法画()f x 在区间π11π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象时，取点列表如下：(1)直接写出()f x 的解析式及其单调递增区间；(2)在ABC 中，()1,62f B b a c ==+=，求ABC 的面积.【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；()π,πZ 36ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)【分析】（1）根据“五点法”可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即得； （2）由题可得3B π=，然后根据余弦定理及三角形面积公式即得.【详解】（1）由题可知函数的最小正周期为π， 所以2π2πω==， 根据“五点法”可得ππ262ϕ⨯+=，即6πϕ=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2π22π,Z 26ππ2πk x k k -≤+≤+∈，可得ππ,π3πZ 6k x k k -≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为()π,πZ 36ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()1sin 262πf B B ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，ππ13π2,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266B ππ+=，即3B π=，由余弦定理可得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，所以(2263ac =-，即8ac =，所以11sin 822ABCSac B ==⨯=17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面1,,,,12ABCD AD DC AB DC AB DC PD AD ⊥===∥，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM //平面PAD ；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角P DM B --的余弦值. 条件①：3PB =；条件②：BD BC ⊥.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)66-【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值即可.【详解】（1）如图，取PD 中点为N ，连接,AN MN , 则有1//,,2MN CD MN CD =又因为1//,,2AB CD AB CD =所以//,,AB MN AB MN =所以四边形ABMN 是平行四边形，所以//BM AN ， 又因为BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以BM //平面PAD .（2）因为PD ⊥平面,,ABCD AD DC ⊂平面,ABCD 所以,,PD AD PD DC ⊥⊥且,AD DC ⊥ 所以以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建系如图，若选择①：3PB PD ⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD 所以PD BD ⊥,所以312BD =-=则211AB =-=，所以2CD =,则1(0,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,2,0),(0,1,)2D B P C M ,因为DA ⊥平面PDC ，所以(1,0,0)DA =为平面PDM 的一个法向量， 设平面DMB 的法向量(,,)m x y z =，1(1,1,0),(0,1,)2DB DM ==,所以0102DB m x y DM m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1,1,2x y z ==-=， 所以(1,1,2)m =-，设二面角P DM B --为θ，1cos ,6DA mDA m DA m⋅<>===， 因为由图可知二面角P DM B --为钝角，所以cos θ=. 若选择②：BD BC ⊥，设AB a ，则2CD a =，BD BC 因为BD BC ⊥，所以222114a a a +++=解得1a =， 则1(0,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,2,0),(0,1,)2D B P C M ,因为DA ⊥平面PDC ，所以(1,0,0)DA =为平面PDM 的一个法向量， 设平面DMB 的法向量(,,)m x y z =，1(1,1,0),(0,1,)2DB DM ==,所以012DB m x y DM m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1,1,2x y z ==-=， 所以(1,1,2)m =-，设二面角P DM B --为θ，1cos ,6DA mDA m DA m⋅<>===， 因为由图可知二面角P DM B --为钝角，所以cos θ=. 18．H 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.明年冬小麦统一收购价格（单位：元/kg ） 2.4 3概率0.40.6表1假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；(2)设H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X 元，求X 的分布列和数学期望；(3)H 地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加50kg .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.【答案】(1)0.15(2)分布列答案见解析，()1242E X =(3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【分析】（1）计算出亩产量是500kg 的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量X 的可能取值有960、1080、1200、1350、1500，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值；（3）设增产前每亩冬小麦产量为kg ξ，增产后每亩冬小麦产量为kg η，则50ηξ=+，设增产后的每亩动漫小麦总价格为Y 元，计算出增产的50kg 会产生增加的收益，与125比较大小后可得出结论.【详解】（1）解：由图可知，亩产量是400kg 的概率约为0.005500.25⨯=，亩产量是450kg 的概率约为0015005..⨯=，亩产量是500kg 的概率约为0.005500.25⨯=，估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为02506015...⨯=（2）解：由题意可知，随机变量X 的可能取值有：960、1080、1200、1350、1500，()9600250401P X ...==⨯=，()1080050402P X ...==⨯=， ()12000250402506025P X .....==⨯+⨯=，()1350050603P X ...==⨯=，()150002506015P X ...==⨯=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()96001108002120002513500315000151242E X .....=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为kg ξ，增产后每亩冬小麦产量为kg η，则50ηξ=+， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为Y 元，分析可知()()()502404306E Y E X ...=+⨯⨯+⨯， 所以，增产的50kg 会产生增加的收益为()502404306138125...⨯⨯+⨯=>， 故建议农科所推广该项技术改良. 19．已知函数()()ln 1f x x x =+.(1)判断0是否为()f x 的极小值点，并说明理由； (2)证明：()2112f x x x>-+.【答案】(1)0是()f x 的极小值点，理由见解析 (2)证明过程见解析【分析】（1）求()()ln 1f x x x =+的定义域，求导，得到()00f '=，且()1,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，0fx，故0是()f x 的极小值点；（2）对不等式变形得到()21ln 120x x xx++->，令()()()21=ln 112g x x x x x ++->-，求导，得到其单调性，从而得到g(x )正负，故()21ln 120x x xx++->恒成立，结论得证. 【详解】（1）0是()f x 的极小值点，理由如下：()()ln 1f x x x =+定义域为()1,-+∞，()()ln 11xf x x x '=+++，其中()0ln10100f '=+=+， 当()1,0x ∈-时，()ln 10,01x x x +<<+，故()()ln 101xf x x x '=++<+， 当()0,x ∈+∞时，()ln 10,01x x x +>>+，故()()ln 101xf x x x '=++>+， 故()()ln 1f x x x =+在()1,0x ∈-上单调递减，在()0,x ∈+∞上单调递增， 故0是()f x 的极小值点； （2）()2112f x x x >-+等价于()2ln 1112x x x x +>-+， 即()21ln 120x x xx++->， 令()()()21=ln 112g x x x x x ++->-， 则()()21=1111x g x x x x x '+-=>-++， 当1x >-时，()0g x '≥，所以()g x 在1x >-上单调递增， 又()00g =，故当0x >时，()()00g x g >=，当10x -<<时，()()00g x g <=， 则()21ln 120x x xx++->恒成立， 故()2112f x x x >-+.20．已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P -和()Q .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程. 【答案】(1)22182x y +=(2)2y x =+或0x =【分析】（1）两个点()()2,1,P Q -代入解方程即可.(2)斜率不存在单独算出2GM GN ⋅=是否成立；斜率存在时把l 设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率k 来表示，然后GM GN ⋅用两个根表示，化简求值即可.【详解】（1）将点()()2,1,P Q -坐标代入椭圆E 的方程，得222411,81,a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得228,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22182x y += （2）若直线l 的斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 重合，B 和N 点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,，此时((222GM GN ⋅=⨯=，符合题意.若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，()()(11221,,2A x y B x y x ≠-且)22x ≠-，联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()22411680k x kx +++=，()()()2222116324132410,,4k k k k ∆=-+=->∴>即12k >或12k <-11212221216841411PA y k x x x x k k k x --+=⋅==+++，所以直线PA 的方程为()111212y y x x -=+++，取0x =得()11210,12y M x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得()22210,12y N x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭由2GM GN ⋅=得()()121221*********y y x x --+-⋅+-=++，即()()1212212111222y y x x ---⋅-=++，所以()2121221222x x k x x -⋅=++，即()()212121221224x x k x x x x -=+++，即()222284121283244141k k kk k +-=-++++即()22211483k k k -=-+，因为12k >，所以得21123k k -=-，即1k =，经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+ 综上所述，直线l 的方程为2y x =+或0x =. 21．对于一个有穷正整数数列Q ，设其各项为12,,,n a a a ，各项和为()S Q ，集合(){},,1ij i j a a i j n >≤<≤∣中元素的个数为()T Q .(1)写出所有满足()()4,1S Q T Q ==的数列Q ； (2)对所有满足()6T Q =的数列Q ，求()S Q 的最小值； (3)对所有满足()2023S Q =的数列Q ，求()T Q 的最大值. 【答案】(1)1，2，1或3，1； (2)7； (3)511566.【分析】(1)由题意可直接列举出数列Q ；(2)由题意可得4n ≥，分4n =、5n =和6n ≥分别求()S Q 的最小值即可得答案；(3)由题意可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1的形式，设其中有x 项为2，有y 项为1，则有22023x y +=，所以()222023x x T Q =-+，再利用二次函数的性质求()T Q 的最大值即可.【详解】（1）解：当()1T Q =时，存在一组(,)i j ，满足,1i j a a i j n >≤<≤， 又因为12,,,n a a a 的各项均为正整数，且()124n S Q a a a =+++=，所以4n a <，即3n a ≤，且1,2i j ≥≥，当1,2i j ==时，满足条件的数列Q 只能是：3,1； 当1,3i j ==时，满足条件的数列Q 不存在； 当1,3i j =>时，满足条件的数列Q 不存在； 当2,=3i j =时，满足条件的数列Q 只有1，2，1； 当2,3i j =>时，满足条件的数列Q 不存在； 所以数列Q ： 1，2，1或3,1；（2）解：由题意可知2C 6n ≥，所以4n ≥，①当4n =时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410S Q ≥+++=； ②当5n =时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q ≥.若()6S Q =，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时()4T Q ≤，不符合， 所以()7S Q ≥；③当6n ≥时，同②可得()7S Q >；综上所述，有()7S Q ≥，同时当Q 为2，2，1，1，1时，()7S Q =， 所以()S Q 的最小值为7；（3）解：①存在大于1的项，否则此时有()0T Q =； ②1n a =,否则将n a 拆分成n a 个1后()T Q 变大；③当1,2,,1t n =-时，有1t t a a +≥，否则交换1,t t a a +顺序后()T Q 变为()1T Q +，进一步有1{0,1}t t a a +-∈，否则有12t t a a +≥+，此时将t a 改为1t a -，并在数列末尾添加一项1，此时()T Q 变大；④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q 中有存在相邻的两项13,2t t a a +==，设此时Q 中有x 项为2，则将t a 改为2，并在数列末尾添加一项1后，()T Q 的值至少变为()()11T x Q T Q x ++-=+； ⑤由上可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1的形式，设其中有x 项为2，有y 项为1，则有22023x y +=，从而有()2(20232)22023xy x x x x T Q ==-=-+，由二次函数的性质可得，当且仅当5061011x y =⎧⎨=⎩时，()T Q 最大，为511566.【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前n 项和及满足集合(){},,1i j i j a a i j n >≤<≤∣中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣Q 还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论.。
海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则 （ ）A ．257 B ．257-C ．2524 D ．2524- 2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=ny m x A n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐 标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)sin ()cos (021sin cos 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知双曲线1422=-x y ，则其渐近线方程是 ，离心率e= . 10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2= . 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b cos )2(cos -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程； （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x轴于点A ，且.221AF AF = （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－9 12．4π 13．π48+，122- 14． 92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==Θac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+Θ3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆ 43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴k k ，43=k ，………………………………………………………4分 故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,+=Θ2,)2,(),(0000yy x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y y x y x Θ……………………………………………11分 ∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y y x …………………………………………12分 轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分 注：多端点时，合计扣1分. 17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB Θ，11A ACC BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A ACC AM 面⊆Θ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11I Θ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ·AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分 ∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅2121Θ1=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBCBOC . ︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分 ABC M ABM C V V --=Θ………………………………………………………………11分 ABC ABM S MC hS ∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆ABMABCS S MC h ∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1）1BA AM ⊥Θ.01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分 设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为 m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m m m 易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分2263== 即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分 18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f Θ…………………………2分 由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f Θ定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞）1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分 0202,20>->-∴<<aaa a 且Θ由0)('>x g 得a a x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a 上单调递增； 由0)('<x g 得a a x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 2,1上单调递减…………8分①时 )(,320x g a a <-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana a a g x g --=-=2221)2()(min ； (23)0<<a …10分 ②当)(,32,223x g aaa ≥-<≤时在（0，3）上单调递减， ∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，an a a a g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分 19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF =Θ 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………………………5分 （Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ， 此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kk x x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kk k k MN ++=-++-=………………………………10分 所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kk kk MN DE S ++⋅++⋅=⋅= 13)1(6)21(242222++++=kk k k ，…………………………………12分 令u u u S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得 因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分.3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤--（1）当n =1时，331314)1()31(0+=+===f f ，不等式成立； （2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-k k k k k k k k k k f f f f f f f 得≤)31(3k f 9316)31(11+≤+--k k f 331)31(+≤∴k k f即当n=k+1时，不等式成立.由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kk f 对一切正整数都成立. 于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n n n n f x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n n f f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n ……………………………………13分。
北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，A B ⊆，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A ）AB A = （B ）A B B =（C ）()U A B ≠∅ð （D ）()U B A =∅ð（2）抛物线22y x =的准线方程为（ ） （A ）18y =-（B ）14y =- （C ）12y =- （D ）1y =- （3）将函数cos 2y x =的图象按向量(,1)4a π=平移后得到函数()f x 的图象，那么（ ）（A ）()sin 21f x x =-+ （B ）()sin 21f x x =+ （C ）()sin 21f x x =-- （D ）()sin 21f x x =- （4）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a c 3=，30B =?，那么角C 等于（ ）（A ）120° （B ）105° （C ）90° （D ）75° （5）位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为3R π（R 为地球半径），那么x 等于（ ）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的R x Î都有1(1)()22f x f x +=-+恒成立，且1()12f =，则(62)f 等于 （ ） （A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知{},1,2,3,4,5αβÎ，那么使得sin cos 0αβ?的数对(),αβ共有（ ）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意()2n n ³条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （ ）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）22462limnnn ++++= .（10）如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî，， 那么()2f f 轾=臌 ；不等式()1212f x -?的解集是 .（11）已知点1F 、2F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .（13）已知直线0=++m y x 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，||||OA OB AB +?，那么实数m 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f AB B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为 ；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：x12 3 4 5 6π()f x1 1 1 1 1yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(),,q y z ： ． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++---. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在25,1236ππ轾犏-犏臌上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值. （16）（本小题共12分）已知函数)(x g 是2()(0)f x x x =>的反函数，点),(00y x M 、),(00x y N 分别是)(x f 、)(x g 图象上的点，1l 、2l 分别是函数)(x f 、)(x g 的图象在N M ,两点处的切线，且1l ∥2l ． （Ⅰ）求M 、N 两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O 及M 、N 的圆的方程． （17）（本小题共14分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB的中点，11,BC AA ==.（Ⅰ）求证：//1BC 平面DC A 1； （Ⅱ）求1C 到平面1A DC 的距离； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =.（Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； （Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. （19）（本小题共14分）已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值. （20）（本小题共14分）如果正数数列{}n a 满足：对任意的正数M ，都存在正整数0n ，使得0n a M >，则称数列{}n a 是一个无界正数列．（Ⅰ）若()32s i n ()1,2,3,n a n n =+=， 1, 1,3,5,,1, 2,4,6,,2n n nb n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩分别判断数列{}n a 、{}n b 是D C 1B 1A 1CBA否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立； （Ⅲ）若数列{}n a 是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m ，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<． 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科）参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）1 （10）1，[0,1] （111（12）94（13）(2,[2,2)- （14） 4，(5,1,3) 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共12分）解：（Ⅰ）22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++-- 2sin(2)6x π=- ………………………………………………4分所以22T ππ==. ………………………………………………5分 由()3222262Z k x k k πππππ+???得所以函数)(x f 的最小正周期为π，单调递减区间为5[,]36k k ππππ++()k ∈Z .………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有()2sin(2)6f x x π=-.因为25,1236x ππ轾犏?犏臌， 所以112,639x πππ轾犏-?犏臌. 因为411sin()sin sin 339πππ-=<，所以当12x π=-时，函数)(x f取得最小值-3x π=时，函数)(x f 取得最大值2.………………………………………………12分（16）（本小题共12分） 解：（Ⅰ）因为2()(0)f x x x =>，所以()0)g x x =>.从而,2)(x x f ='()g x ¢=. ………………………………………………3分所以切线21,l l 的斜率分别为,2)(001x x f k ='=00221)(y y g k ='=.又2000(0)y x x =>，所以2012k x =. ………………………………………………4分 因为两切线21,l l 平行，所以21k k =. ………………………………………………5分从而20(2)1x =.因为00x >， 所以012x =. 所以N M ,两点的坐标分别为)21,41(),41,21(. ………………………………………7分 （Ⅱ）设过O 、M 、N 三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.因为圆过原点，所以0F =.因为M 、N 关于直线y x =对称，所以圆心在直线y x =上. 所以D E =.又因为11(,)24M 在圆上， 所以512D E ==-. 所以过O 、M 、N 三点的圆的方程为：225501212x y x y +--=. ………………12分 （17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG .在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， ∴DG ∥1BC . ………………………………………2分∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC .………………………………………4分解法一：（Ⅱ）连结1DC ，设1C 到平面1A DC 的距离为h .∵四边形11ACC A 是平行四边形，∴1118C A CD V -=. ………………………………………6分在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点， ∵AD 是1A D 在平面ABC 内的射影，∴1CD A D ^. ………………………………………8分∴111313C A DC A DCV h S -∆==. ………………………………………9分 （Ⅲ）过点D 作DE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作1DF A C ⊥交1A C 于F ，连结EF .∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC平面11ACC A AC =，∴DE ⊥平面11ACC A .∴EF 是DF 在平面11ACC A 内的射影.∴DFE Ð是二面角1D AC A --的平面角. ………………………………………12分 在直角三角形ADC中，AD DC DE AC ×==同理可求：118A D DC DF AC ×==.∴DFE ?………………………………………14分解法二：过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作F ED C 1B 1A 1CBAOE BC ⊥交11B C 于E .因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C .分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为11,BC AA ==，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点.则()0,0,0O ，A ⎛ ⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，1(4D ，112C ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………6分 （Ⅱ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则取x =1A DC 的一个法向量为()3,1,3n =-. ………………………………………8分∴1C 到平面1A DC 的距离为：13913CC n n⋅=………………………………………10分 (Ⅲ)解：同（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为()13,0,1n =-. …………………………12分设二面角1D AC A --的大小为θ，则1cos cos ,n n θ=<>=∴θ=. ………………………………………14分 （18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知得1321=++p p p .21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根, ∴511=p ,5232==p p . ………………………………………3分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400. ………………………………………4分()400=ξP =2545252=⨯. ………………………………………9分随机变量ξ的分布列为：ξ 0 100 200 300 400P251 254 258 258 254………………………………………11分 （Ⅲ）销售利润总和的平均值为E ξ=2544002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=240. ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.………………………………………14分注：只求出E ξ，没有说明平均值为240元，扣1分. （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+. 由条件得1112y y x x-+?-. 即()22102x y x +=?. 所以动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x +=?. ………………………………………5分 注：无0x ¹扣1分. （Ⅱ）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=. 所以()()()1122112,,2,2,QM x y QN x y x y =-=-=--. 所以()22111722QM QNx y ?--=. ………………………………………7分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+,由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=. 所以 2122, 21422212221k k x x k k x x +-=+-=+. ………………………………………9分 所以()()()12121212122224QM QNx x y y x x x x y y ?--+=-+++.因为()()11221,1y k x y k x =+=+， 所以()()()()2221212217131712422212QM QNk x x k x x k k ?++-+++=-<+.综上所述⋅的最大值是217. ………………………………………11分 因为tan S MQN λ≤恒成立,即1sin ||||sin 2cos MQN QM QN MQN MQNλ⋅≤恒成立. 由于()2171302212QM QNk ?->+. 所以cos 0MQN >.所以2QM QN λ⋅≤恒成立. ………………………………………13分 所以λ的最小值为174. ………………………………………14分 注：没有判断MQN Ð为锐角，扣1分. （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）{}n a 不是无界正数列．理由如下：取M = 5，显然32sin()5n a n =+≤，不存在正整数0n 满足05n a >；{}n b 是无界正数列．理由如下：对任意的正数M ，取0n 为大于2M 的一个偶数，有0012122n n M b M ++=>>，所以{}n b 是无界正数列． ………………………………………4分（Ⅱ）存在满足题意的正整数k .理由如下： 当3n ³时， 因为12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即取3k =，对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立. ……………………9分 注：k 为大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列{}n a 是单调递增的正数列，所以12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+. 因为{}n a 是无界正数列，取12M a =，由定义知存在正整数1n ，使1112n a a +>. 所以1112123112n n a a a n a a a ++++<-.由定义可知{}n a 是无穷数列，考察数列11n a +，12n a +，13n a +，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数2n ，使得()112112122123112n n n n n n a a a n n a a a ++++++++<--.重复上述操作，直到确定相应的正整数4018n .则401840181212140184017231111222n n a a a n n n n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即存在正整数4018m n =，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<成立. ………………………………………14分。
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
北京市海淀区北京师大附中2024年数学高三第一学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎡⎤⎣⎦D ．3,6⎡⎤⎣⎦2．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<3．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．212 B ．212C ．612D ．3124．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35B ．25C ．4D ．55．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}6．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）A ．13B ．310C ．25D ．347．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥8．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．169．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 10．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( )A ．29B ．30C ．31D ．3211．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元12．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．674二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
