《2014吉林大学数学分析考研复习精编》(含真题与答案解析)》

P14.28. C k(x i)= a k()把i去掉h(x)=……=(a k+a1+k )x+(akx1+k+a1+kxk)把()x后面的+改为-30.证加一句“不妨设x1>0”infE=min{ x1, x2,…, x100}把x100改为xNxp = min{ x1, x2,…, x100}同上改法.P2137(2)1311sin )(13lim---+→xx x x f 把3下的“-1”去掉.P 3057证 (2)令M= ()34322改为()3432aP3160故{ x n }当x ≣6时为单调减小,改为“当n ≣5时” P3261[]改为().P 4595“=21+2[1-121-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ]-212nn -”改为“x n =1+2[1-121-⎪⎭⎫⎝⎛n ]-212nn -”在题中令a=6即为100题P48102“用数学归纳法可证：……5a 3=3a 4+1”中的a 3改为a 5怎么想到的“用数学归纳法可证：2≢na n ≢2+n30(n ≣5)”？ 另外思路(注意不是解题过程！)： 设b n =na n (求什么设什么，很正常的想法) 由已知得b 1+n =b n (21+n1)+1 (*) (*)中若lim ∞→n b n 存在(让证明的肯定成立)，则对(*)两边取n →∞，得lim ∞→n b n =2现在的问题是b n 是递增还是递减的呢？没办法，只能硬算了。

由(*)及b 1=a 1=2算出b 2=4，b 34=5，b 4=631，b 54=839(考试时能算到b 5的人应该是相当沉着了) 由此猜测当n ≣4时，{ b n }单调递减。

由b n (21+n 1)+1=b 1+n <b n 得b n >2+24-n (n ≣4) 下面按正常书写过程证：设b n =na n ，则由已知得b 1+n =b n (21+n1)+1 下面证明当n ≣4时，b n >2+24-n 。

2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。

x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。

2014考研真题数学答案2014考研数学真题答案第一部分：数学分析1. (1) A解答：解：由题意可知，f(x) = sin x + ln x在(0, π/2)上连续，故f(x)在(0, π/2)上有充分大和充分小的展开式。

若f(x)在(0, π/2)上有充分大、充分小的展开式，则可得到下述不等式：sin x > x - x^3/6 (0 < x < π/2)ln x < x - x^2/2 (0 < x < 1)(2) B解答：解：根据题意可知，f(x) = sin x + ln x在(0, π/2)上连续，故f(x)在(0, π/2)上有充分大和充分小的展开式。

由于同时满足两个不等式并不容易，我们可以将两个不等式进行组合，得到一个新的不等式：sin x > x - x^3/6 (0 < x < π/2)ln x < x - x^2/2 (0 < x < 1)将两个不等式相加得到：sin x + ln x > 2x - x^2/2 - x^3/6即f(x) > 2x - x^2/2 - x^3/6从而选项B为正确答案。

2. A解答：解：由已知条件，f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[-1, 1]上连续且满足f(-1) = f(1)。

根据介值定理，存在c属于(-1, 1)，使得f(c) = (c^4 - 1) / 4 = 0故方程c^4 - 1 = 0在(-1, 1)内有解，选项A为正确答案。

3. D解答：解：由题意可知，设A表示事件“A是一个矩形”，B表示事件“P 是一个面积为100的矩形”，C表示事件“P是一个周长为40的矩形”，则要求的概率即为P(A|B∩C)。

根据条件概率的定义，P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C)根据独立性的性质，P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B)P(C)根据给定的信息可得到：P(B) = 4/5，P(C) = 1/2，P(B∩C) = 1/10综上所述，P(A|B∩C) = (1/10) / [(4/5) * (1/2)] = 1/8故答案选项为D。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数图形的渐近线【解析】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlim x x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1lim sin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C. （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数图形的凹凸性 【解析】令()()()()(0)(1)(1)F x f x g x f x f x f x =-=---有(0)(1)0F F ==，()()(0)(1)F x f x f f ''=+-，()()F x f x ''''=当()0f x ''≥时，()F x 在[0,1]上是凹的，所以()0F x ≤，从而()()f x g x ≤.选D. （3）设(,)f x y 是连续函数，则21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）（A ）21110010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰（B ）211011(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【答案】D【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换 【解析】画出积分区域.21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰21111(,)+(,)x xdx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰⎰⎰或112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰.故选D.（4）若{}2211,(cos sin )min (cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π 【答案】A【考点】定积分的基本性质 【解析】222(cos sin )[2(cos sin )(cos sin )]x a x b x dx xx a x b x a x b x dx ππππ----=-+++⎰⎰22222[2cos 2sin cos 2sin cos sin ]x ax x bx x a x ab x x b x dx ππ-=--+++⎰22222[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx ππ-=-++⎰2222202[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx π=-++⎰333222222222(2)(4)[(2)4]32233b a b a b b a b ππππππππ=-++=+-+=+--+故当0,2a b ==时，积分最小.故选A.（5）行列式0000000a b abc d cd=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】行列式展开定理 【解析】2141000000(1)0(1)000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d++=⨯-+⨯- 3323(1)(1)a b a b a d c b c d c d ++=-⨯⨯--⨯⨯-a b a bad bcc d c d=-+ 2()()a bbc ad ad bc c d=-=--.故选B. （6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性无关的充要条件【解析】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===⇒++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.如：123100=0=1=0000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性相关.故选A.（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B【考点】概率的基本公式 【解析】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==⇒=.()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=.故选B.（8）设连续型随机变量21,X X 相互独立，且方差均存在，21,X X 的概率密度分别为)(),(21x f x f ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （D ）2121,DY DY EY EY >= 【答案】D【考点】统计量的数学期望 【解析】2121()2Y X X =+，2121211[()]()22EY E X X EX EX =+=+， 2121211[()]()24DY D X X DX DX =+=+.1121()[()()]2Y f y f y f y =+，1121221[()()]()22y EY f y f y dy EX EX EY +∞-∞=+=+=⎰.2222112121[()()]()22y EY f y f y dy EX EX +∞-∞=+=+⎰， 22222111121211()()()24DY EY EY EX EX EX EX =-=+-+ 2222121212122()()24EX EX EX EX EX EX ⎡⎤=+---⋅⎣⎦ 22121212124DX DX EX EX EX EX ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦ 221212121()()24DX DX EX EX EX EX ⎡⎤≥+++-⋅⎣⎦ 2121221()4DX DX EX EX DY ⎡⎤=++-≥⎣⎦ 1212,EY EY DY DY ∴=>二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为【答案】210x y z ---= 【考点】曲面的切平面【解析】22(,,)(1sin )(1sin )F x y z x y y x z =-+--22(1sin )cos x F x y x y '=--⋅，2cos 2(1sin )y F y x y x '=-⋅+-，1z F '=-∴(1,0,1)2x F '=，(1,0,1)1y F '=-，(1,0,1)1z F '=-曲面在点)1,0,1(处的切平面方程为2(1)(1)(0)(1)(1)0x y z -+--+--=，即210x y z ---=（10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】函数的周期性 【解析】由于]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，所以2()(1),[0,2]f x x C x =-+∈又)(x f 是奇函数，(0)0f =，解得1C =-2()(1)1,[0,2]f x x x ∴=--∈)(x f 是以4为周期的奇函数，故2(7)(3)(1)(1)[(11)1]1f f f f ==-=-=---=（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为=y【答案】21x y xe+=【考点】变量可分离的微分方程 【解析】(ln ln )0ln 0y xxy y x y y x y''+-=⇒+= ① 令yu x=，则y ux =，y u u x ''=+ 代入①，得ln 0u u x u u '+-=即(ln 1)u u u x-'=分离变量，得(ln 1)(ln 1)ln 1du d u dxu u u x-==--两边积分得1ln ln 1ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=即ln 1yCx x-= 代入初值条件3)1(e y =，可得2C =，即ln 12yx x-= 整理可得21x y xe +=.（12）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx【答案】π【考点】斯托克斯公式 【解析】由斯托克斯公式，得0xyLD dydz dzdx dxdyzdx ydz dydz dzdx dydz dzdx x y z z yπ∑∑∂∂∂+==+=+=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中{}22(,)1xy D x y x y =+≤（13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是【答案】]2,2[-【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 故二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a a a，即]2,2[-∈a【解法二】2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-若负惯性指数为1，则240[2,2]a a -≥⇒∈-（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni i X c 12是2θ的无偏估计，则=c【答案】n52【考点】统计量的数字特征 【解析】根据题意，有322222112()()()3n ni i i i x E c X c E X ncE X nc dx θθθ=====∑∑⎰4222221523425nc nc x c nθθθθθ=⋅==∴= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则【详解】11221122((1))((1))limlim11ln(1)xxttx x t e t dt t e t dtx x xx→+∞→+∞----=+⋅⎰⎰1122(1)1lim lim (1)1xx x x x e x x e x→+∞→+∞--==-- 2001111lim lim 22t t t t e t e t x t t ++→→---===令 （16）（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程322+60y xy x y ++=确定，求)(x f 的极值【考点】极值的必要条件【解析】对方程两边直接求导：2223220y y x y xy y xyy '''++++= ① 令0y '=，得2y x =-，或0y =（舍去）将2y x =-代入原方程得 3660x -+= 解得1x =，此时2y =-. 对①式两端再求导，得222(32)2(3)()4()20y xy x y y x y y x y y ''''+++++++=将1x =，2y =-，0y '=代入上式，得 409y ''=>，即4(1)09f ''=> ()y f x ∴=在1x =处取极小值，极小值为(1)2f =-.（17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足22222(4cos )x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【解析】由)cos (y e f z x=，知(cos )cos x x z f e y e y x ∂'=⋅∂，(cos )(sin )x x zf e y e y y∂'=⋅-∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， 22(cos )(sin )(sin )(cos )(cos )x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂，代入得 22(cos )[4(cos )cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即(cos )4(cos )cos x x x f e y f e y e y ''-= 令cos x u e y =，则()4()f u f u u ''-= 特征方程212402,2r r r -=⇒==- 齐次方程通解为2212uu y C eC e -=+设特解*y au b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y u =- 原方程的通解为221214uu y C eC e u -=+-由(0)0,(0)0f f '==，得 1211,1616C C ==- 22111()16164u u y f u e e u -∴==--（18）（本题满分10分）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑【考点】高斯公式【解析】因∑不封闭，添加辅助面2211:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，方向向上．133(x 1)(y 1)(z 1)dydz dzdx dxdy ∑+∑-+-+-⎰⎰22(3(1)3(1)1)x y dxdydz Ω=-+-+⎰⎰⎰22(3633631)x x y y dxdydz Ω=++++++⎰⎰⎰ 22(337)x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰1220(z)(337)D dz x y dxdy =++⎰⎰⎰1220(37)4zdz d r rdr πθπ=+=⎰⎰⎰（其中(66)0x y dxdydz Ω+=⎰⎰⎰，因为积分区域关于,xoz yoz对称，积分函数(,)66f x y x y =+分别是,y x 的奇函数．）在曲面1∑上，133(1)(1)(1)0x dydz y dzdx z dxdy ∑-+-+-=⎰⎰故33(1)(1)(1)4x dydz y dzdx z dxdy π∑-+-+-=-⎰⎰ ．（19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（I ）证明：;0lim =∞→n n a（II ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛. 【考点】级数敛散性的判别【解析】证明：（I ）cos cos cos cos n n n n n n a a b a a b -=⇒=-0,022n n a b ππ<<<<，cos cos 00n n n n a b a b ∴->⇒<<级数1n n b ∞=∑收敛，∴级数1n n a ∞=∑收敛，lim 0n n a →∞=.（II ）解法1：2sinsin cos cos 22n n n nn n nn nna b a ba ab b b b +---== 02n a π<<，02n b π<<，sin,sin 2222n n n n n n n n a b a b a b a b++--∴≤≤ 222222n n n nn n n nn n a b a b a b a b b b +--⋅-∴≤=222n n n b b b ≤= 02n a π<<，02n b π<<，且级数1nn b∞=∑收敛，∴级数∑∞=1n nnb a 收敛. 解法2：cos cos 1cos n n n nn n na ab b b b b --=≤21cos 1cos 1lim lim 2n n n n n n n b b b b b →∞→∞--== ∵同阶无穷小有相同的敛散性，∴由1n n b ∞=∑⇒ 11cos n n n b b ∞=-∑收敛⇒∑∞=1n n n b a收敛（20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B .【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解 【详解】对矩阵()A E 施以初等行变换1234100()01110101203001A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭1205412301021310013141--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭ 100126101021310013141-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭（I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数 （21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设111111111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，0010020B n ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭因为()1r A =，()1r B =所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλ 关于A 的0特征值，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00 同理，关于B 的0特征值，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00 由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望） 【详解】（I ）()()y F y P Y y =≤(1)(1)(2)(2)P X P Y y X P X P Y y X ==≤=+=≤=11(1)(2)22P Y y X P Y y X =≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =② 当01y ≤<时，1113(y)2224Y F y y y =+⨯= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y yF y =+⨯=+④ 当2y ≥时，11(y)122Y F =+=综上：003y 014(y)1122412Y y y F y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩（II ）随机变量Y 的概率密度为'30141(y)(y)1240Y Y y f F y ⎧<<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他12-013131133()4442424Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞==+=⨯+⨯=⎰⎰⎰ （23）（本题满分11分）设总体X 的分布函数21,0(;)00x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，，其中θ是未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）求EX 与2EX ；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量ˆnθ；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0nn P a θε→∞-≥=？ 【考点】统计量的数字特征、最大似然估计、估计量的评选标准（无偏性） 【解析】（Ⅰ）X 的概率密度为22,0(;)(;)0,0xx e x f x F x x θθθθ-⎧⎪≥'==⎨⎪<⎩222()(;)()x x xE X xf x dx x edx xd eθθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰22200012222x x x xeedx edx θθθθπθπ+∞---+∞+∞=-+==⋅=⎰⎰ 22222202()(;)()x x xE X x f x dx x edx x d e θθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰2222200222x x x x xx ex edx x edx edx θθθθθθθ+∞----+∞+∞+∞=-+⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰（Ⅱ）设12,,,n x x x 为样本的观测值，似然函数为2112(),0(1,2,,),()(;)0,0ix n n ni i i i i x e x i n L f x x θθθθ-==⎧≥=⎪==⎨⎪<⎩∏∏当0(1,2,,)i x i n ≥= 时，22111122()()()ni i i x nn x nn i i i i L x ex eθθθθθ=--==∑==∏∏两边取对数，得2211112121ln ()lnln lnln nnnni ii ii i i i L n x x n x x θθθθθ=====+-=+-∑∑∑∏两边求导，得221ln ()1nii d L n xd θθθθ==-+∑令ln ()0d L d θθ=，得211n i i x n θ==∑所以，θ的最大似然估计量为211ˆn i i X n θ==∑.（Ⅲ）存在a θ=.因为{}2n X 是独立同分布的随机变量序列，且21EX θ=<+∞，所以根据辛钦大数定律，当n →∞时，211ˆnn i i X n θ==∑依概率收敛于21EX ，即θ. 所以对于任何0ε>都有{}ˆlim 0nn Pθθε→∞-≥=.。