07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案

中国石油大学(北京)2007─ 2008学年第一学期《高等数学》(Ⅰ) 期中考试试题参考答案( 2007.12.1.)一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）Mx f I x M I x f >∈∃>∀)(,,0)(.111有上无界的定义是区间在函数．即第一类且均是跳跃间断点则其间断点及其类别是设,,1,1lim)(.2212±=+-=+∞→x xx x x f nn n ．23ln ln )()(lim ),0()(.3a a x a f x f a a a f ax =-->='+→+则为常数设．4. 曲线2111xe y x-+=的垂直渐近线有 3 条？，其方程是1,1,0=-==x x x ． 0lim,0)(,)(.5000=∆-∆≠'=→∆xdyy x f x x f y x 则且处可导在点设函数．二、计算下列极限（本题共3小题，每小题5分，满分15分）．求且恒不为连续函数为设131sin )(1lim,0,]11[)(.10--+-→xx x x f ，x f 【解】3ln sin )(lim 21)1sin )(1()1(sin )(lim03ln 0x xx f x x f e x x f x x x →→=++-=原式 3ln 2)0(sin lim )(lim 3ln 2100f x x x f x x ==→→．◆ 210sin lim .2x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→．【解】=原式2sin ln limx x x x e→, 又 x x x x x x x x x x x x 2sin cos sin lim sin lnlim 202-⨯=→→616sin lim 6cos sin cos lim2sin cos lim23-=-=--=-=→→→x x x xx x x x xx x x x x ,61-=∴e原式．◆21)!(lim .3n n n ∞→．【解】nnnn n n nn n ==≤≤11122)()!(1 ， 且1lim =∞→n n n ，故由夹逼定理有：1)!(lim 21=∞→nn n ．◆【注】第二法：222ln ...2ln 1ln !ln 1)!(n nn n neen +++==n n n n n n nn n ln ln ln ...2ln 1ln 1ln 0222=≤+++≤=0ln lim =+∞→x xx 且 0ln lim=∴∞→n n n 0!ln lim,2=∞→nn TH n 故由夹逼1)!(lim 0!ln lim122===∴∞→∞→e e n n n nn n三、求解下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20 分）试求其一阶导数确定由方程设隐函数,0)(.122=-=+xy e x y y yx．【解】02)2(:,22=--++dxdyxy y dx dy x e x yx得求导方程两端关于 xye e x y dx dyy x yx22222--=∴++．◆ 2. 设函数)(x f y =由参数方程2222,arcsin 11dx y d tt t y e t x 求确定⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=． 【解】2222212111221t t t t t dt dy -=-+---= ， 21tt dt dx --=tt dtdx dt dydx dy )1(22-==∴)1(2t t -=， dtdx t t dt dx dx dy dt d dx dy dx d dxy d t 1)1(21)()(22⨯'-=⨯==∴t t t --⨯+=221)11(22231)1(2t t t-+-=．◆3.的凹凸性及拐点讨论曲线)0()(>=x x x f x . 【解】),ln 1()(x x x f x +='),0(:],1)ln 1[()(2+∞∈++=''D x xx x x f x且无拐点为凹曲线恒有上在,)(,0)(),0(:x f x f D ∴>''+∞∴.◆4.设)(x f 是有连续的二阶导数的偶函数，且0)(≠''x f ，试说明0=x 为)(x f 的极值点. 【解法一】0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意,0)0(0)(≠''⇒≠''f x f .0点是极值点知故由极值第二判定定理=x【解法二】0)(>''x f 不妨，0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意:)(),0(公式为型余项的具有上在Taylor Lagrange x f δ ∴之间介于0,,!2)()0()(2x x f f x f ξξ''+=， 0)(,0)(>''>''ξf x f 即又，点是极小值点故成立0,),0()0()(=∈>∴x x f x f δ ．◆ 【解法三】0)(>''x f 不妨，0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意0)(lim )0()(lim)0(00>'='-'=''→→xx f x f x f f x x 由 同号与当x x f x o)(,),0(,0'∈>∃∴δδ ， ,),0(,0)0,(,0)(⎩⎨⎧∈>-∈<'δδx x x f 即.0点是极小值点=∴x四、（本题满分9分）设5)0(0)0(,)(=''=f ，f x f 且二阶导数存在，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x xx f x F ，试讨论函数)(x F 的连续性与可微性．【解】①.)(),()(均是连续函数的二阶可导性由x f x f x f '⇒.0)(,)(,0点是连续的即可在现只需说明是连续的时当=≠⇒x x F x F x ;0)(),0()0(1)(lim )(lim)(lim 00处连续在=∴='='==→→→x x F F f x f x x f x F x x x ②.)()()(,02xx f x f x x F x -'='≠时当 2000)0()(lim )0()(lim 0)0()(lim )0(,0xf x x f x f x x f x F x F F x x x x '-='-=--='=→→→时当 ,25)0(21)0()(lim 212)0()(lim00=''='-''-''→→f x f x f DE x f x f H L x x是可微函数可见存在)(,)(x F x F '∴．◆五、（本题满分8分）设20π≤<x ，证明不等式 3cos x x >． 【证】显然时当2π=x ，不等式成立．故只需证明：时当20π<<x ，有0)(cos sin 31>-⋅-x x x令x x x x f -⋅=-31)(cos sin )(，20π<<x ．由于1)(cos sin 31)(cos )(34232-+='-x x x x f 3733131)(cos sin 94)(cos sin 32sin )(cos 32)(---++-=''x x x x x x x f 0)(cos sin 94373>=-x x ， ,0)0()(20,)(='>'⇒<<↑'⇒f x f x x f π0)0()(20,)(=>⇒<<↑⇒f x f x x f π， 即时当20π<<x ，0)(cos sin 31>-⋅-x x x ．◆六、（本题满分8分）试讨论方程0tan =-x x 在)22(ππ，-内的实根个数．【解】令x x x f -=tan )(，由于-∞=-=++-→-→)(tan lim )(lim22x x x f x x ππ，+∞=-=--→→)(tan lim )(lim 22x x x f x x ππ故方程0)(=x f 在)22(ππ，-内存在实根， 又)0(01sec )(2≠>-='x x x f ，)(x f ∴严格单增，)(x f ∴单调地由∞-增加到∞+，表明方程0)(=x f 在)22(ππ，-内存在惟一实根．◆七、（本题满分12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导,且0)1()0(==f f ,.1)(1)(lim 22121=--→x x f x 试证： ① 存在ηηη=∈)(),1,21(f 使得； ② 存在),,0(ηξ∈ξξξ-=-'1)()(f f 使得；③ 成立在该邻域内有存在1)(],10[)21(>⊂x f ，o．【证】①,1)21(=f 由题意,)()(x x f x F -=令,011)1()1(,02121121)21()21(<-=-=>=-=-=f F f F 则 ηηηη==∈∃)(,0)(),1,21(:f F 亦即有于是由零点存在定理知；②:,))(()(则令xex x f x G -⋅-=且内可导在上连续在,),0(,],0[)(ηηx G 0)()0(==ηG G :),,0(,有知于是由ηξ∈∃RolleTH 0])(1)([]))(()1)([()(=⋅+--'=---'='-=--ξξξξξξe f f e x x f e x f G x x xξξξξξξξ-=-'=+--'∴≠-1)()(,0)(1)(,0f f f f e 即 ；③ :01)(1)(lim22121及极限的保号性知由>=--→x x f x0)(1)(:),,21(),21(0221>--∈∀<>∃x x f x o 有δδδ ， 1)(],10[),21(>⊂x f ，o在该邻域内成立即存在δ ．◆八、应用题（本题满分8分）生物学家已发现了一个很好的数学模型来逼近青蛙等动物 跳跃时的轨迹．实际上这些轨迹是一个以起跳角度为参数的抛物线族)900(cos 877.4tan )(222︒<≤-=θθθv x x x y这里x 为它在跳跃过程中所处位置与起跳点的水平距离（m ），y 为它在跳跃过程中所处位置 的垂直高度（m ），v 为初始速度（m/s ），θ为起跳角度．现一只青蛙起跳角度为︒45，起跳速度为)/(8.4s m ，试求这只青蛙能跳的最大高度 ( 注： 中间过程勿作近似，最后结果可以近似)． 【解】将︒==45),/(8.4θs m v 代入抛物线方程得45cos )8.4(877.445tan )(222⋅-=x x x y 22)8.4(877.42x x ⨯-=则青蛙跳跃的最大高度，即为)(x y 的最大值． 由0)8.4(877.441)(2=⨯-='x x y 877.48.42.10⨯=⇒x 驻点，0)(0<''x y 又故该惟一的极大值点必为最大值点， 且最大值为：20200)8.4(877.42)(x x x y ⨯-=222)877.4()8.42.1()8.4(877.42877.48.42.1⨯⨯-⨯=877.4)2.1(2877.48.42.12⨯-⨯=)4.28.4(877.42.1-= )/(591.0)/(877.488.2)/(877.44.22.1s m s m s m ≈=⨯=．可见，此时这只青蛙所能跳跃的最大高度为)/(877.488.2s m ，即约为)/(591.0s m ．◆◆◆。

08- 09- 3 高数 B（期中）试卷参照答案 09. 4. 17一．填空题（此题共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分）1．设向量，则在上的投影；2．曲线在平面上的投影曲线为；3．设是由方程所确立的隐函数，此中可微，则全微分；4．级数的收敛域是；5．设，而，此中，则．二．单项选择题（此题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）6．函数在点处[C](A 连续且偏导数存在(B连续但偏导数不存在(C 不连续但偏导数存在(D不连续且偏导数不存在7．已知级数条件收敛，则级数[ D ]（ A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）可能收敛可能发散8．以下广义积分中收敛的是[ C ]（A）（B）（C）（D）9．直线与[B]（A）平行（ B）垂直但不订交（C）垂直订交（D）异面且不垂直三 . 计算以下各题 ( 此题共 5 小题，每题 8 分，满分 40 分10．向来线过点且与直线订交，又平行于平面，求此直线方程 .解设所求直线方程为，由该直线与直线共面，得由该直线与平面平行，得，解得，，代入所求直线方程，得. 11．求两条直线与之间的距离. 解，，12．设，求.解，13．试求过直线，且与曲面相切的平面方程.解设过直线的平面方程为（* ）设切点为，则由（2），（ 3）解得，，代入（ 1）得，解得，进而两切平面方程分别为14．将和在。

上展成余弦级数.解，，，，四（ 15）（此题满分8 分）设, 拥有二阶连续偏导数，且,，，求，，. 解对的等号两头对于求导，得，（ 1）对的等号两头对于求导，得，（ 2）对（ 1）式的等号两头对于求导，得，（ 3）从（ 2），（ 3）及条件解得，，五（ 16）（此题满分8 分）求幂级数的和函数，并指明收敛域. 解，收敛域为记幂级数的和函数为，，，六（ 17）（此题满分8 分）设，证明级数收敛 .证易知是正数列，且，因此单一递加，故，进而，于是，，，而级数收敛，由比较鉴别法得悉收敛.。

2007-2008学年第2学期中高等数学B 考试试卷参考答案一、选择题(每小题3分，共21分)1、（D ）2、（C ）3、（B ）4、（C ）5、（B ）6、（C ）7、（A ）二、填空题(每小题3分，共21分)1、{}40),(22<+≤=y x y x D ；2、34π； 3、32−； 4、1234()xy C C x C C x e =+++； 5、4； 6、），，（031； 7、222200z y z x ⎧+−=⎨=⎩． 三、试解下列各题(每题7分，共42分) 1、 解：设与已知平面平行的平面方程为340x y z D −++=，又过点0(1,0,4)M −，代入方程得平面方程为3410x y z −+−=.该平面与直线11:32x t l y t z t =−+⎧⎪=+⎨⎪=⎩的交点为(15,19,32) 所求直线方程为14161928x y z +−== 2、解：过已知直线的平面束方程为5(4)0,x y z x z λ+++−+=由题意{1,5,1}λλ+−与平面法向量{1,4,8}−−成045角，得34λ=− 代回平面束方程为207120x y z ++−=. 同时验证平面40x z −+=与平面48120x y z −−+=也成045角，故平面40x z −+=也是所求解。

3、解：由于2200lim()0x y x y →→+=而22|sin()|1x y +≤， 2222001lim()sin 0(0,0)x y x y f x y→→+==+故(,)f x y 在(0,0)处连续。

4、解：ln()1,z z x xy x y y ∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z z x xx x y y y y ∂∂∂===−∂∂∂∂5、解：由齐次方程02=+xy dxdy 解得2x Ce y −= 令原方程的通解为2)(x ex C y −=，代入原方程解得C e x C x +=22)( 故原方程的通解为22+=−x Ce y （或用公式解得）6、方程两边对x 求导有2()3()2x f x f x e ′=+，这是一阶非齐次线性微分方程即232x y y e ′−=， 解得322x x y Ce e =− 又0x =时，(0)1f =，则3C = 故所求函数为32()32x x f x e e =−四．综合应用题(本题8分)解：设所求曲线方程为()y f x =，由题意知201()()2x f x dx xf x x −=∫， 两边对x 求导可得11()()()222f x f x xf x x ′−−=，即4y xy x ′−=。

北京林业大学20 07 --20 08 学年第 二 学期考试试卷(A)一、填空：（每小题3分，共30分）1.(,)limx y →= 22. 设e yxz =，则=dz 21()y xe ydx xdy x-+.3 设曲线的参数方程是24,arctan ,x t y t z t ===，则曲线在点(1,,1)4π处的切线方程是1141242y x z π---==. 4. 若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为(1,2,2),(1,2,2)---.5. 设22442),(y xy x y x y x f ---+=，已知点(1,1)P 是函数的驻点，在横线处填上),(y x f 在点P 处取得的是极大值，还是极小值，还是不取极值_______极小值6. 若D 是以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y dxdy --=⎰⎰16. 7．设一阶非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个线性无关的解12,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有αβ+= 1 .8．微分方程x y sin ='''的通解是2123cos y x C x C x C =+++.9．30x e ydx dy +=的通解为3ln xe y C =-+. 10. 若级数1(1)nn u∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= 1 .二、选择题：（每小题2分，共10分） 1. 下列级数中收敛的是（ C ）A. ∑∞=+1884n nnn B. ∑∞=-1884n n n n C.∑∞=+1824n n n n D.∑∞=⋅1842n nnn 2. 方程0222=-+z y x 表示的二次曲面是( C ).A. 球面B. 旋转抛物面C. 圆锥面D. 圆柱面 3. 二次积分22(,)x dx f x y dy ⎰⎰写成另一种次序的积分是( A ).A.420(,)dy f x y dx ⎰B. 40(,)dy f x y dx ⎰ C.242(,)xdy f x y dx ⎰⎰D. 402(,)dy f x y dx ⎰4. 已知二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处可微分，则在点),(y x 处不一定成立的是( D ). A. 该函数在点),(y x 处连续 B. 该函数在点),(y x 处的极限存在 C.该函数在点),(y x 处的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,存在 D. 该函数在点),(y x 处的偏导数连续 5. 设平面区域{(,)|,},D x y a x a x y a =-≤≤≤≤1{(,)|0,}D x y x a x y a =≤≤≤≤，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ A ）A. 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B. 12D xydxdy ⎰⎰ C. 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D. 0三、（6分） 若 222e x y z z ++=确定(,)z z x y =，求zx∂∂ 和 z y ∂∂.解 因22222e x y z z z x z x x ++∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭，22222e x y z z z y z y y ++⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭（3分）故2222222e 12e x y z x y zz x x z ++++∂=∂-，2222222e 12e x y zx y z z y y z ++++∂=∂- （6分） 四、（6分）设)]([y x u ψφ+=,其中ψφ,二阶可导,证明222u u u ux x y y x∂∂∂∂⋅=⋅∂∂∂∂∂. 证明： 因为,() u u y x yφφψ∂∂'''==∂∂ （3分）222(), u u y x y y x x φφφψφ''∂∂∂∂'''''====∂∂∂∂∂（5分） 故 222()u u u u y x x y y x φφψ∂∂∂∂''''⋅==⋅∂∂∂∂∂ （6分） 五、（6分）求d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由直线x y x y ===,2,1所围区域.解： ⎩⎨⎧≤≤≤≤211:x xy D ，（ 3分）故()2222231111111119d d d d d d d 228x x x Dxy xy y x x x y y x y x x x x σ⎡⎤===⋅=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6分） 六、（6分）问1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑是否收敛？若收敛，是否绝对收敛？解： 收敛，且绝对收敛 （3分）事实上，因222(1)(1cos )1cos 2sin 22na a a a n n n n--=-=≤， （5分） 而2212n a n∞=∑收敛，故由比较判别法知，1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑收敛.从而1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑收敛，而且绝对收敛. （6分）七、（7分）求幂级数nn x nn ∑∞=+121的收敛域与和函数. 解：因为：)1,1(- 1, 1||lim 1收敛域为时级数发散，∴±==+∞→x a a nn n （5分） 211001111111x x n n n n n n n n n n n x nx x x nx dx x dx n n ∞∞∞∞∞--====='+⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑⎰⎰＝＝ 201ln(1),(11)11(1)x x x x dx x x x x x '⎛⎫=+=---<< ⎪---⎝⎭⎰ （7分）八、（6分）将1()65f x x=-展开为)1(-x 的幂级数. 解：11()6515(1)f x x x ==---（2分） 0046[5(1)]5(1)()55 nn n n n x x x ∞∞===-=-≤≤∑∑ （6分）九、（6分）设Ω是由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的闭区域，求三重积分22()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰. 解： 曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面方程为222x y z +=，故Ω在xoy 面上的投影为22:8xy D x y +≤，（2分） 所以22422102256()()3rI r z rdrd dz d r z rdz πθθπΩ=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰ （6分） 十、（6分） 设2343xy y y x e-'''++=（1）求出该方程所对应的齐次方程的通解（2）写出该非齐次方程的特解*y （仅设出*y ，不必求出*y ） 解：（1） 特征方程为2430r r ++= 特征根为121,3r r =-=-故求出所对应的齐次方程的通解为312xx y C eC e --=+ （4分）（2）2343xy y y x e -'''++=的特解为*23()xy x ax bx c e-=++ （6分）十一、（7分）设函数()f x 在[0,)+∞上连续，且满足方程2222() t x y t f t ef dxdy π+≤=+⎰⎰试求()f t .解： 2200()() ttf t e d f d ππθρρρ=+⎰⎰ 即 2()2() ttf t e f d ππρρρ=+⎰ 两边同时对t 求导得 2()22() t f t te tf t πππ'=+ （3分）即2()2()2 t f t tf t te πππ'-=故 22222()[2]()tdttdt t t f t e C te e dt e C t ππππππ-⎰⎰=+=+⎰ （7分）十二、（4分）利用求条件极值的方法，证明对任何正数,,a b c 成立不等式：3527()5a b c abc ++≤ 证明： 设a b c D ++=，3(,,)()L a b c abc a b c D λ=+++- （2分）由 3320030a b c L bc L ac L abc a b c Dλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩ 解得 3,55D Da b c ===此点即为极大值点，故35527()27()55D a b c abc ++≤= （4分）。

07-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ A ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ C ] (A)31r c t a n d 1x x x +∞+⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ B ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n n n a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ B ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分) 5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为4π； 6. 曲线222340x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是2222324x y z ++=；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是2210y z x ⎧+=⎨=⎩； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为3； 9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为[1,3]. 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.解 1121(1,2,3)111=-=---ij k s ，平面方程为1211230011x y z -----=--， 即 0x y z -+=11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程. 解 设所求直线与直线113325x y z -+-==-的交点为000(,,)x y z ，0013x t =+， 000012,35y t z t =-+=-，于是00000006(4)2(6)3(2)6(53)2(72)3(55)29(1)0x y z t t t t +---+=+--+--=+=，得01t =-，交点为(2,3,8)--，所求直线方程为4622910x y z +-+==- 12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域. 解 ()232()ln 23ln(1)(23)ln18ln 1ln 1(3)29x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=+-=-+=++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(1)12ln18(3)29nn n n n x n -∞=⎛⎫-⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，15x <≤ 13. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.解 令2y x =，21211222111(1)(1)(1)1(1)(1)n nn n n n n n n y y x nxny y y y y y x ∞∞∞---===''⎛⎫⎛⎫-=-=-=== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，11x -<<四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.解 设000(,,1)M x y 是准线上一点，则010x x y y z -=-=-，则0x x =， 01y y z =-+，代入准线方程即得所求的柱面方程224(1)1x y z --+=五（15）。

线
07-08-3高数B期中试卷参考答案08.4.11
一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分
1. 级数（常数） [ A ]
(A绝对收敛 (B条件收敛 (C发散 (D敛散性与的取值有关
2.下列反常积分发散的是 [ C ]
(A (B(C (D
3.已知直线与，则与 [ B ] (A相交 (B异面 (C平行但不重合 (D重合
4.设函数，，
，其中，
，则 [ B ]
(A (B(C(D
二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分
5.若垂直于，且，则与的夹角为；
6. 曲线绕轴旋转一周所成的曲面方程是；
7.曲线在面上的投影曲线方程是；
8.设幂级数在处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为；
9.幂级数的收敛域为.
三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分
10．求过点且与直线及直线都平行的平面方程.
解，平面方程为，
即
11．求过点，与平面平行，且与直线
相交的直线方程.
解设所求直线与直线的交点为，，
，于是
，得，交点为，所求直线方程为
12．将函数展开为的幂级数，并求收敛域.
解
，
13.求幂级数的和函数，并指明收敛域.
解令，
，
四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量，准线为的柱面方程.
解设是准线上一点，则，则，
，代入准线方程即得所求的柱面方程
五（15）。

（本题满分9分）判断级数的敛散性.
解，而收敛，由比较判别法得知级数收敛
六（16）.（本题满分10分）将函数展开成正弦级数，并求级数的和.
解由题设知，，，
，
取，得，即。

共 4 页 第 1 页07-08-3工科数分期中试卷参考答案08.4.11一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分) 1. 交换二次积分的次序()()01121d ,d d ,d x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰2=；2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数， 且0v zF ≠，则z z x yy x x y z∂∂+=∂∂； 3. 二重积分2221()d d 2x y x y x y π+≤+=⎰⎰；4. 曲线2221,,y x z x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在点(1,0,1)处的切线方程为11010x y z --==； 5. 设曲线2224:1x y z L z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分2s =⎰. 二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 6.([ B ](A))))c o i s 2- (B)))()c o i s 2+(C)()())c o s 2i s i 2- (D)()())l c o s 2i s i 2+ 7. 函数2222322222, 0(,)() 0 , 0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在)0 ,0(点处 [ C ]（A ）可微 （B ）连续但偏导数不存在 （C ）偏导数存在但不可微 （D ）不连续且偏导数不存在8. 设,e x x z f y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂ [ A ]共 4 页 第 2 页(A ) 21112221232e 1(1)e e x x xx f x f y f f f y y y -+-+-+ (B )21112223e (1)e x x x f x f y f y y +-+(C )2111222132e 1e x xx f f y f f y y y ++- (D ) 211122223e e e x x x x f f y f f y y+++9. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =⋅, 令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '= [ C ] （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．计算二重积分{d ,(,)0Dx y D x y x =≤≤.解2sin 232200816d d d sin d 39Dx y ππϕϕρρϕϕ===⎰⎰⎰11．求函数2(,,)e d xy t zu x y z t -=⎰在点(1,1,1)P 处沿曲面2221236x y z ++=在该点处的法线方向的方向导数. 解 {}222()()111grad e ,e ,e ,,e e e xy xy zPPuy x ---⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭，单位法向量为=±n，111,,e e e Pu n∂⎧⎫=±⋅-=⎨⎬∂⎩⎭12．计算三重积分22()d xyz V Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由旋转抛物面22x y z +=与平面1=z 和4=z 围成的空间闭区域.解422231255()d d d 4xy z V z V z z ππΩΩ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13.计算曲面积分222A ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z =面220(0)x y Ry R +-=>内的部分.共 4 页 第 3 页解 投影区域{}22(,)xy D x y x y Ry =+≤，()22222212d d A R A R x y A R ∑∑∑=---⎰⎰⎰⎰22d d xyxyD D R x y x y =-⎰⎰⎰⎰sin sin 202d d d R R R πϕπϕϕρϕρ=-⎰⎰⎰⎰3353239R R π=- 四（14）．（本题满分8分）已知()(,)i (,)f z u x y v x y =+为解析函数，其中实部32(,)32u x y x xy y =--，求虚部(,)v x y 及()f z （必须用变量z 表示）的表达式.解2233u vx y x y∂∂=-=∂∂，233()v x y y x ϕ=-+， 6()62v u xy x xy x yϕ∂∂'=+=-=+∂∂，于是()2x x C ϕ=+，（C 为常数）， 2332v x y y x C =-++，()3223()32i 32f z x xy y x y y x C =--+-++，()3()i 2f x x x C =++，()3()i 2f z z z C =++五（15）。

高数上期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 3C. -3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C4. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B5. 定积分∫(0 to 1) x dx的值是（）。

A. 1/2B. 1C. 2D. 0答案：A6. 微分方程dy/dx = 2x的通解是（）。

A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x^2D. y = 2x^2 + C答案：A7. 以下哪个级数是收敛的（）。

A. ∑(1/n^2) from n=1 to ∞B. ∑(1/n) from n=1 to ∞C. ∑((-1)^n)/n from n=1 to ∞D. ∑(1) from n=1 to ∞答案：A8. 函数f(x) = e^x的原函数是（）。

A. e^x + CB. e^xC. ln(x) + CD. ln(x)答案：A9. 以下哪个函数是周期函数（）。

A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = x^2答案：B10. 曲线y=ln(x)在点(1,0)处的切线方程是（）。

A. y = x - 1B. y = -x + 1C. y = xD. y = -x答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = 2x - 3的反函数是 f^(-1)(x) = _______。

答案：(1/2)x + 3/22. 极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2)/(x^3 + 2x^2 - 5) = _______。