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新课标下立体几何教学研究的开题报告一、研究背景立体几何是几何学的重要分支，它研究的是三维物体的形状、大小、位置和变换等问题，具有强烈的几何性质和美学价值。
在新课标下，立体几何作为数学必修三的一部分，其教学内容和要求也有了新的变化和提高，需要我们对其进行深入研究和探讨，以提高学生的空间观念与几何思维能力，为其未来的学习和职业发展打下坚实基础。
二、研究目的本研究旨在探讨新课标下立体几何教学的策略和方法，以提高学生的学习兴趣与成绩，促进其数学素养和创造思维能力的培养。
具体目的包括：1.分析新课标下立体几何教学的要求和特点，明确教学目标和方法。
2.提高学生的几何思维能力和空间想象能力，培养其解决几何问题的能力和创新意识。
3.探索有效的教学策略和方法，拓展课堂教学内容和引导学生自主学习。
4.评估教学效果，收集并分析学生的反馈信息，调整教学方法和内容。
三、研究内容1.新课标下立体几何教学要求和特点的分析。
2.空间几何思维能力的培养和训练。
3.有效的教学策略和授课方法的探讨和实践，如操作性教学、探究性学习和使用 ICT 工具。
4.对教材和题目的分析和评估，合理设计练习和考试试卷。
5.评估教学效果，总结经验和教训。
四、研究方法1.文献综述法，包括查阅国内外的相关文献和教材，并综合分析比较.2.实验教学法，通过设计实验、课堂观察、问卷调查等方式，收集、分析数据，评估教学效果。
3.专家访谈法，邀请专家进行教学方法和策略的评估和指导。
四、研究时间安排本研究拟于 2021 年 9 月至 2022 年 6 月期间进行，涵盖一学年的立体几何教学。
具体时间安排如下：第一学期：文献综述、教学方法和策略的设计、实验设计、数据收集和初步分析等。
第二学期：实验教学、数据整理和分析、专家访谈、教学效果的总结与评估等。
五、研究预期效果通过本研究，达到以下预期效果：1.系统分析新课标下立体几何教学的要求和特点，明确教学目标和方法。
2.提高学生的几何思维能力和空间想象能力，增强其自主学习和创新意识。
《立体几何初步》数学探究《立体几何初步》是一本介绍立体几何的数学教材，主要介绍了三维空间中的几何体及其性质、计算方法和应用。
本文将从以下几个方面进行探究：一、立体几何的基本概念立体几何是研究三维空间中的几何体及其性质的一门学科。
在立体几何中，我们通常将三维空间中的点、线、面等基本元素称为向量、直线和平面。
其中，向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示；直线是由无数个点组成的，没有端点，可以向两个方向无限延伸；平面是由无数个向量组成的，没有边界，可以向两个方向无限延伸。
二、立体几何的基本定理1. 平行四边形定理：如果两条直线相交于一点，那么它们所构成的四个角都是直角或互补角。
2. 三角形内角和定理：任意一个三角形的三个内角之和等于180度。
3. 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
4. 垂直平分线定理：一条直线垂直平分一条线段，则该直线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
5. 相似三角形定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形就是相似的。
三、立体几何的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，需要考虑到建筑物的空间布局、结构稳定性等因素，这就需要运用立体几何的知识来计算建筑物的各个部分的长度、面积、体积等。
2. 机械制造：在机械制造中，需要考虑到机器零件的形状、尺寸等因素，这就需要运用立体几何的知识来计算机器零件的各个部分的长度、面积、体积等。
3. 地理测量：在地理测量中，需要考虑到地球的形状、大小等因素，这就需要运用立体几何的知识来计算地球的各个部分的长度、面积、体积等。
四、立体几何的计算方法1. 利用向量计算：在立体几何中，我们可以将各个几何体看作是由向量组成的，因此可以利用向量的加法、减法、数量积等运算来计算各个几何体的尺寸和位置关系。
2. 利用坐标计算：在立体几何中，我们可以将各个几何体放置在坐标系中，然后利用坐标的加减、乘除等运算来计算各个几何体的尺寸和位置关系。
立体几何综合实践专题
概述
立体几何是数学的一个分支，研究三维空间中的几何形体。
本文档将介绍立体几何综合实践专题，包括其背景、目标和内容。
背景
立体几何作为数学的一门重要学科，对于培养学生的空间想象力和逻辑推理能力具有重要意义。
通过综合实践专题，学生可以在实际操作中深入理解立体几何的概念和原理，提升解决实际问题的能力。
目标
本专题的主要目标是帮助学生掌握立体几何的基本概念、性质和计算方法，培养学生的空间思维能力和几何直观感知能力。
通过实践操作，学生可以更好地理解立体几何的应用，并能够运用所学知识解决实际问题。
内容
本专题包括以下内容：
1. 空间坐标系与向量几何
- 介绍空间坐标系的概念和表示方法
- 探索向量在立体几何中的应用
2. 空间几何体的表示和性质
- 研究各种几何体的表示方法和性质
- 探索几何体之间的关系及其应用
3. 空间几何体的计算
- 研究计算几何体的体积、表面积等属性的方法
- 运用计算方法解决实际问题
4. 空间几何的应用
- 研究立体几何在实际生活中的应用案例
- 提供实际问题的解决思路和方法
总结
通过立体几何综合实践专题的研究，学生将能够深入理解立体几何的概念、性质和计算方法，培养空间思维能力和几何直观感知
能力，并能够应用所学知识解决实际问题。
希望本专题能够为学生提供丰富的数学实践经验，并激发对立体几何的兴趣和热爱。
*以上为文档草稿，待完善。
*。
立体几何的研究报告
标题：立体几何的研究报告
摘要：
立体几何是数学中研究三维空间中的几何关系、形状和性质的分支学科，对于建筑、工程、计算机图形学等领域具有重要应用价值。
本报告旨在介绍立体几何的基本概念、原理和研究进展，以及相关应用领域的案例分析。
1. 引言
- 立体几何的定义和背景
- 立体几何的重要性和应用领域概述
2. 基本概念和原理
- 点、线、面和体的几何概念解释
- 立体几何的公理系统和定理
- 空间变换和坐标系
3. 空间形状与性质
- 空间内的多边形和多面体
- 几何体的运动、旋转和变形
- 空间中的对称性和相似性
4. 立体几何的应用案例分析
- 建筑设计中的立体几何应用
- 工程测量与立体几何关系
- 计算机图形学中的立体几何建模
5. 研究进展和未来展望
- 立体几何在数学研究中的最新发展
- 新的立体几何应用领域的探索
- 立体几何研究的前景展望
结论：
立体几何是数学中一个重要且广泛应用的分支学科，研究三维空间中的几何关系、形状和性质。
它在建筑、工程和计算机图形学等领域有着广泛的应用价值。
未来，随着科技的不断进步和实践需求的不断增加，立体几何的研究将继续发展和完善，并在更多领域发挥重要作用。
立体几何的研究报告引言立体几何是数学的一个重要分支，研究物体的三维形状、位置、大小等性质。
它对于解决现实生活中的几何问题，以及在工程、建筑、计算机图形学等领域中的应用具有重要意义。
本文将介绍立体几何的基本概念，探讨一些立体几何的应用，并讨论未来研究的发展方向。
一、立体几何的基本概念立体几何的基本概念主要包括点、线、面和体。
在三维空间中，点是没有任何尺寸的，线是由无数个点组成的，面是由无数个线组成的，而体则是由无数个面组成的。
立体几何还涉及到计算体积、表面积、周长等。
体积指的是物体所占的空间大小，表面积指的是物体表面的总面积，而周长则是物体的边界的长度。
二、立体几何的应用立体几何在各个领域都有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用案例。
1. 建筑设计在建筑设计中，立体几何被广泛用于计算建筑物的体积和表面积，以确定建筑材料的使用量。
此外，立体几何还可以帮助建筑师设计出各种独特的建筑形状，提供室内外的空间规划。
2. 工程测量立体几何在工程测量中扮演着重要的角色。
工程师可以利用立体几何的原理来计算土地的面积、体积和形状。
这对于规划土地开发、设计和施工起着关键作用。
3. 计算机图形学立体几何是计算机图形学的关键概念。
计算机图形学利用数学模型来表达和处理三维物体，在电脑屏幕上生成逼真的三维图像。
立体几何的知识可以帮助计算机生成真实感的光影效果和逼真的物体模型。
4. 自动导航自动导航系统使用立体几何的原理来确定汽车、飞机等交通工具的位置和方向。
通过对物体的三维形状和位置进行计算，自动导航系统可以帮助车辆和飞行器在复杂的环境中进行导航。
5. 医学影像处理在医学影像处理中，立体几何可以帮助医生对患者的CT扫描、MRI等进行分析和诊断。
通过计算物体的体积和形状，医生可以判断患者的病情，并制定相应的治疗方案。
三、立体几何的未来发展方向随着科技的不断发展，立体几何还有许多未来的研究方向。
1. 三维重建与虚拟现实未来的立体几何研究将致力于开发更加高效和准确的三维重建算法。
(完整版)立体几何复习专题立体几何复专题
立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是物体的形状、大小、位置及其相关性质。
本文档将为您提供立体几何的复专题，帮助您系统地回顾和巩固相关的知识。
1. 点、线、面与空间几何
首先我们从最基本的几何概念开始复，包括点、线、面以及空间几何的基本性质。
例如，点的定义、线的分类、平行线与垂直线的判定等。
2. 立体图形的表示方法
接下来，我们将研究立体图形的几种常用表示方法。
这些表示方法包括视图图、投影图、轴测图等，通过它们我们可以更直观地理解和描述立体图形的形状。
3. 立体图形的重要性质与公式
在本部分，我们将回顾立体图形的重要性质和相关公式。
例如，体积的计算公式、表面积的计算方法等。
同时，我们还将深入研究
不同立体图形的特点和相互之间的关系。
4. 空间几何的应用
最后，我们将介绍空间几何在实际生活中的应用。
例如，如何
测量不规则物体的体积、如何计算房屋的准确面积等。
这些应用案
例将帮助您更好地理解和应用空间几何的知识。
总结
本文档为您提供了立体几何的复专题，通过回顾和巩固相关知识，帮助您更好地掌握立体几何的基本概念、表示方法、重要性质
和应用。
希望这份文档能对您的研究有所帮助！。
关于高中数学立体几何问题的解析方法研究立体几何是高中数学中比较有难度的一门科目，包含了大量复杂的概念和方法。
在解决立体几何问题时，要综合运用丰富的知识和思维技能。
以下将介绍几种解析方法解决高中数学立体几何问题的研究。
首先，应掌握好平面几何与立体几何的区别，尤其是球面几何的概念及其意义。
一般情况下，球体的半径等于它的圆的半径，因此球体的一部分就是一个圆球，圆球的表面积就等于πR2，其中R就是它的半径，即球体的表面积等于4πr2。
另外，立体几何中的体积公式是V=πR3.球体的体积也可以用此公式计算，但除球形外，立体几何还有许多其它几何形，比如椎体、柱形、圆锥等，每种几何形的体积公式也不相同，因此应掌握每种几何形的体积公式，以便在解决立体几何问题时使用。
其次，运用解析方法解决立体几何问题时，要注意难度的递增，从而准确解决问题。
一般来说，立体几何问题的解法主要有三种：直接解法、推理解法和几何解法。
在解决问题时，应从直接解法开始，如果不能找到有效的直接解法，则需要运用推理解法和几何解法。
推理解法就是用公式计算以及求解方程，而几何解法则是画出相关几何图形，利用图像上的线段、圆形等特征进行解答。
最后，学习立体几何的过程中，应结合实际训练，多解决一些有关立体几何的实际问题，以提高解决立体几何问题的能力。
实际训练过程中，不妨多练习一些模拟题，可以帮助我们更好地理解概念，也能把理论联系到实践当中。
此外，还可以利用立体几何的知识来解决实际问题，比如求解地球上点之间的距离，这可以扩展学生对立体几何的认识。
综上所述，要解决高中数学立体几何问题，应掌握球面几何的概念及其意义，了解各种几何形的体积公式；运用解析方法解决问题时，要从直接解法开始，运用推理解法和几何解法结合求解；并在学习过程中多做实际训练，提高解决立体几何问题的能力。
在解决立体几何问题时，还可以借助于计算机图形学课程中的软件工具。
如果使用数学分析软件（如Mathematica或Maple）的话，可以根据题目条件，通过函数方程、曲线定义等求出题目的结果，从而更快更准确地解决问题。
高中数学学科中的立体几何探究立体几何作为数学学科中的一个重要分支，是高中数学课程中的一项重要内容。
它不仅是数学学科的基础，也是应用数学的重要工具。
在立体几何中，我们可以通过对空间中的图形进行研究和探究，来深入了解几何学的各种性质和规律。
本文将从几何体的特征、体积与表面积的计算以及应用等方面，探讨高中数学学科中的立体几何。
一、几何体的特征在立体几何中，几何体是最基本的研究对象。
几何体是由平面图形组合而成的，具有一定的形状和特征。
常见的几何体包括立方体、长方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
每种几何体都有其独特的性质和特征，我们可以通过对几何体的研究，来探索它们之间的关系和规律。
以立方体为例，它是由六个正方形组成的。
立方体具有六个面、十二个边和八个顶点。
通过对立方体的研究，我们可以发现它的对称性和等边性等特征。
类似地，其他几何体也有各自的特征和性质，通过对它们的研究，我们可以进一步了解几何学的基本概念和原理。
二、体积与表面积的计算在立体几何中，体积和表面积是两个重要的概念。
体积是指几何体所占据的空间大小，而表面积则是指几何体外部的面积总和。
通过计算体积和表面积，我们可以进一步了解几何体的大小和形状。
计算几何体的体积和表面积需要运用一些特定的公式和方法。
以圆柱体为例，它的体积公式为V = πr^2h，其中r表示底面半径，h表示高度。
而圆柱体的表面积公式为S = 2πrh + 2πr^2。
通过这些公式，我们可以计算出圆柱体的体积和表面积。
除了圆柱体，其他几何体的体积和表面积计算也有相应的公式和方法。
通过运用这些公式和方法，我们可以准确地计算出各种几何体的体积和表面积，从而更好地理解几何体的性质和规律。
三、立体几何的应用立体几何不仅仅是一门理论学科，它也有着广泛的应用。
在日常生活和工程实践中，我们经常会遇到需要运用立体几何知识的问题。
例如，在建筑设计中，设计师需要考虑房屋的体积和表面积，以确定房屋的大小和形状。
高中生研究性课题研究立体几何报告成果简介一.“立体几何”的知识能力结构高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质,此后，在空间几何体的点直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察,发现几何体的几何性质并通过简单的‘'推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2一1中，首先引入空间向量，在必修2的基础.上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究.首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求.在”空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理(归纳出判定定理，不证明)或简单推理进行论证(归纳并论证明性质定理),在"空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明.可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开,有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的i ]槛,同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念二. “立体几何”教学内容的重点、难点1.重点:空间几何体的结构特征:柱、锥、台、球的结构特征的概括;空间几何体的三视图与直观图:几何体的三视图和直观图的画法;空间几何体的表面积与体积:了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式;空间点直线、平面的位置关系:空间直线、平面的位置关系;直线、平面平行的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳;直线、平面垂直的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳.2.难点:空间几何体结构特征的概括:柱、锥、台球的结构特征的概括;空间几何体的三视图与直观图:识别三视图所表示的几何体;空间点直线、平面的位置关系:三种语言的转化;直线、平面平行的判定及其性质:性质定理的证明;直线、平面垂直的判定及其性质:性质定理的证明.三.空间几何体的教学要与空间想象能力培养紧密结合空间几何体的教学要注意加强几何直观与空间想象能力的培养，在立体几何.的入门阶段,建立空间观念，培养空间想象能力是学习的一个难点，要注重培养空间想象能力的途径，例如:①注重模型的作用,让学生动手进行模型制作,培养利用模型解决问题的意识与方法.②培养学生的画几何图形能力，画图不是描字模(只模仿)，而是要边画边思考所画图与实际几何体的对应关系.③空间想象不是简单的观察、空想，应与概念思辨相结合(前面已经谈到)④发挥三视图与直观图培养空间想象能力的作用，利用空间几何体的三视图与直观图的转化过程，可以使学生认识到:空间图形向平面图形的转化有利于分析和表示较为复杂的空间图形;变换观察视角对空间几何体进行观察可以更容易理解较为复杂的空间图形，把握空间图形中元素之间的关系.四.加强对概念、定理的理解与把握的教学①用图形辅助理解概念、定理和性质例如，我们可以按照推理的类别，图形刻画几何元素的关系，可以避免死记硬背文字和符号的机械式学习，更容易理解公理、定理、性质等的几何本质,发现问题图形中的元素关系关系.让学生对照图形叙述相关定理或性质,特别要求对定理或性质的使用条件加以说明.例如，用图形表示平行关系例如，图形表示垂直关系②强化证明的言必有据所谓”言必有据”，是指每一步推理的根据(即三段论推理的大前提)必须是课本中给出的公理、定义、定理,不可以自造理由，可以随意将习题的结论作为根据，不可以把平面几何结论在立体几何中不加证明地随意使用.不仅在文字语言和符号语言的推理中，要言必有据，在几何作图中也是如此，因为几何作图是几何推理的特珠形式.立体几何作图也必须步步有据.③梳理推理依据例如，从确定平行、垂直关系梳理推理依据(如图)，在解决问题时由图形中寻找依据.把推理依据转化为系列图形纳入立体几何的学习中，膠形归纳立体几何知识，串联立体几何推理的思路，形成对图思考，以图交流，使得逻辑推理与几何直观有机整合,提高了学生的空间想象能力和推理论证能力.五.总结《课程标准》与镐考对”立体几何初步专题"的要求《课程标准》对”立体几何初步专题”的要求(1)空间几何体①利用实物模型、计算机软件观察大空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别_上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料(如:纸板)制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.③通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求) .⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).(2)点线、面之间的位置关系①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理:公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点，有只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一一个公共点，那么它们有且只有一过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明:一直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.两个平面垂直，则一一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.考对"立体几何初步专题"的要求(1) 空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别.上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求) .⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) .(2)点直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1:如果一直线上的两点在一一个平面内, 那么这条直线上所有的点在此平面内.公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.如果一直线与一个平面平行，经过该直线的任一一个平面与此平面相交，那么这直线就和交线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面睡直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.。
高中数学中的立体几何实际问题研究立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形和物体的性质。
在高中数学中，立体几何是一个重要的部分，它不仅帮助我们理解和掌握几何知识，还能够应用到实际问题中。
本文将从几何的基本概念开始，探讨高中数学中的立体几何实际问题研究。
首先，我们来了解一下立体几何的基本概念。
立体几何研究的是空间中的图形和物体，其中最基本的图形是点、线和面。
在立体几何中，我们常常使用的图形有立方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
这些图形有着不同的性质和特点，我们可以通过研究它们的性质来解决实际问题。
在高中数学中，我们经常遇到的一个实际问题是计算物体的体积和表面积。
例如，我们需要计算一个圆柱体的体积和表面积，来确定它的容量和覆盖面积。
为了解决这个问题，我们可以利用立体几何的知识来进行计算。
圆柱体的体积可以通过公式V=πr²h来计算，其中r是底面半径，h是高度。
圆柱体的表面积可以通过公式S=2πrh+2πr²来计算。
通过这些公式，我们可以准确地计算出圆柱体的体积和表面积，从而解决实际问题。
除了计算体积和表面积，立体几何还能够帮助我们解决其他实际问题。
例如，我们可以利用立体几何的知识来计算一个物体的重心和质心。
重心是一个物体的平衡点，它在物体内部，可以通过将物体分割成小块，计算每个小块的质量和位置来确定。
质心是一个物体的几何中心，它可以通过计算物体各点的坐标和质量来确定。
通过计算重心和质心，我们可以了解物体的平衡和运动状态，从而解决实际问题。
此外，立体几何还能够帮助我们解决空间中的位置关系问题。
例如，我们可以利用立体几何的知识来确定两条直线的位置关系，判断它们是否相交、平行或垂直。
我们可以利用直线的方程和坐标系的知识，通过计算直线的斜率和截距来确定它们的位置关系。
通过解决这些位置关系问题，我们可以解决实际问题，如确定两条铁轨的交点位置，判断两条电线是否相交等。
在高中数学中，立体几何的实际问题研究不仅帮助我们理解和掌握几何知识，还能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
一．解答题（共17小题）1．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．2．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD 的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．4．如图，已知直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，且AC⊥BC，点D是A1B1中点．（1）求证：平面CC1D⊥平面A1ABB1；（2）若异面直线CD与BB1所成角的正切值为，求点C1到平面A1CD的距离．5．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（1）求证：SA⊥BD；（2）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．6．如图，已知正三角形ABC的边长为6，将△ABC沿BC边上的高线AO折起，使BC=3，得到三棱锥A﹣BOC．动点D在边AB上．（1）求证：OC⊥平面AOB；（2）当点D为AB的中点时，求异面直线AO、CD所成角的正切值；（3）求当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值．7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB=BC=1，CC1=2，点D是AA1的中点．（1）证明：平面BC1D⊥平面BCD；（2）求CD与平面BC1D所成角的正切值；（3）求点C到平面BDC1的距离．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上．（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB1；（2）若MN⊥AB1，求异面直线B1N与AB所成的角的正切值；（3）若MN⊥AB1，求二面角A﹣B1N﹣M的大小（4）若MN⊥AB1，求点M到平面AB1N的距离．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为棱AA1，A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若异面直线AA1与EF所成角为30°时，求三棱锥C1﹣DCB的体积．10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，CD⊥PD，异面直线PA与CD所成角等于60°．（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；（2）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE 所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．11．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．（1）求证：MN⊥平面A1BC；（2）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小；（3）求二面角A﹣BC﹣A1的平面的余弦值；（4）求点B1到平面A1BC的距离．12．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD ，，∠BAD=90°，△PAD为正三角形，且面PAD丄面ABCD，异面直线PB与AD所成的角的余弦值为，E为PC的中点．Array（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求点B到平面PCD的距离；（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小．13．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC1=4，E在BB1上，且EB1=1，D、F分别为CC1、A1C1的中点．（1）求证：B1D⊥平面ABD；（2）求异面直线BD与EF所成的角；（3）求点F到平面ABD的距离．14．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是AA1的中点．（Ⅰ）求异面直线AB和C1D所成角的余弦值；（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离．15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（1）证明：DC1⊥平面BDC；（2）若AA1=2，求三棱锥C﹣BDC1的体积．16．如图，圆锥的顶点为P，底面圆O半径为1，圆锥侧面积为，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，且．（Ⅰ）求异面直线PA与BC所成角；（Ⅱ）点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；（2）求证：MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距离．参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．（2分）在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，（4分）所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．（6分）解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．（7分）因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．（9分）假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）（11分）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．（13分）2．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD 的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．因为E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．（2分）又EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，（3分）所以QB∥平面AEC．（4分）（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADPQ．（6分）又AE⊂平面ADPQ，所以CD⊥AE．（7分）．因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．（8分）所以AE⊥平面QDC．（9分）所以平面QDC⊥平面AEC．（10分）（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，（12分）所以．（14分）3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE ⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．4．如图，已知直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，且AC⊥BC，点D是A1B1中点．（1）求证：平面CC1D⊥平面A1ABB1；（2）若异面直线CD与BB1所成角的正切值为，求点C1到平面A1CD的距离．【解答】（1）证明：在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AA1⊥面A1B1C1，C1D⊂面A1B1C1，∴C1D⊥AA1，∵AC=BC=2，∴A1C1=B1C1=2，∵点D是A1B1中点，∴C1D⊥A1B1，∵AA1∩A1B1=A1，∴C1D⊥面A1ABB1，∵C1D⊂平面CC1D，∴平面CC1D⊥平面A1ABB1．（2）解：∵C1C∥B1B，异面直线CD与BB1所成角的正切值为，∴tan∠C1CD=，∵AC=BC=2，且AC⊥BC，∴C1D=，∴CD=2，C1C=，A1C=，∴cos∠A1DC==﹣，∴∠A1DC=135°，∴==1，设点C1到平面A1CD的距离为h，则由等体积可得=×，∴h=，∴点C1到平面A1CD的距离为．5．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（1）求证：SA⊥BD；（2）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．【解答】证明：如图示：（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，∵△ABD是正三角形，∴AO是BD的中垂线，故A、O、C在同一直线上，故平面SAC即平面SOC，由BD⊥OC，BD⊥SC，得BD⊥平面SAC，故SA⊥BD；（2）取AB中点N，连接DM，MN，DN，∵M是SA的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．6．如图，已知正三角形ABC的边长为6，将△ABC沿BC边上的高线AO折起，使BC=3，得到三棱锥A﹣BOC．动点D在边AB上．（1）求证：OC⊥平面AOB；（2）当点D为AB的中点时，求异面直线AO、CD所成角的正切值；（3）求当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值．【解答】解：（1）证明：根据条件，AO⊥OB，AO⊥OC，OB∩OC=O；∴AO⊥底面BCO，OC⊂平面BCO；∴AO⊥OC，即OC⊥AO；又OB=OC=3，BC=3；∴OB2+OC2=BC2；∴OC⊥OB，AO∩OB=O；∴OC⊥平面AOB；∴OC，OB，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，3，0），C（3，0，0）；D为AB中点，∴D（0，）；∴，；设异面直线AO，CD所成角为θ，则cosθ=|cos|=；∴，tan；即异面直线AO、CD所成角的正切值为；（3）由（1）知，为平面AOB的法向量，设直线CD与平面AOB 所成角为α，D（0，），（），则：sin==；∴时，sinα取最大值，此时α最大；∴此时cosα=，tanα=；∴当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值为．7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB=BC=1，CC1=2，点D是AA1的中点．（1）证明：平面BC1D⊥平面BCD；（2）求CD与平面BC1D所成角的正切值；（3）求点C到平面BDC1的距离．【解答】（1）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥CC1，∵AC⊥BC，CC1∩AC=C∴BC⊥平面ACC1A1，而C1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥C1D在矩形ACC1A1中，DC=DC1=，CC1=2，∴DC2+DC12=CC12，∴C1D⊥DC∵DC∩BC=C∴C1D⊥平面BCD∵C1D⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面BCD；（2）解：由（1）知，斜线CD在平面BC1D的射影在BD上，∠BDC为所求的线面角由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥CD∴△BCD是直角三角形，BC=1，CD=∴CD与平面BC1D所成角的正切值为；（3）解：设所求距离为d，∵平面BC1D⊥平面BCD，交线为BD∴点C到平面BDC1的距离为到交线BD的距离根据等面积可得∴d=．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上．（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB1；（2）若MN⊥AB1，求异面直线B1N与AB所成的角的正切值；（3）若MN⊥AB1，求二面角A﹣B1N﹣M的大小（4）若MN⊥AB1，求点M到平面AB1N的距离．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M为BC中点，∴AM⊥BC，AM⊥面BCC1B1∴AM⊥MN，NM⊥AB1；AM∩AB1=A所以MN⊥AB1MBC=B1C1=，设CN=x，则NC1=2﹣xB1C12+NC12=B1M2+NM22+（2﹣x）2=22+++x2，解得x=．（2）∵AB∥A1B1∴异面直线B1N与AB所成的角为∠A1BN∵面ABB1A1⊥面ACC1A1，∴B1A1⊥面ACC1A1，B1A1⊥A1NA1N===．∴tan∠A1BN==．（3）连接AM，M为BC中点，∴AM⊥BC，AM⊥面BCC1B1作ME⊥B1N，交B1N于E，连接AE，∴AE⊥B1N （三垂线定理）∴∠AEM为二面角A﹣﹣B1N﹣M的平面角=22++=⇒B1N=．NM2=+设EN=x，∵△B1NM为直角三角形，∴NM2=x•B1N即=⇒x=．ME==AM=，∴tan∠AEM==1∴二面角A﹣B1N﹣M为45°．（4）作MH⊥AE于H，①由第三问得B1N⊥平面AEM，所以B1N⊥MH，②AE∩B1N=E ③结合①②③得：MH⊥平面AB1N；∴MH的长即为点M到平面AB1N的距离在直角三角形AME中，MH=MEsin∠AEM=MEsin45°=×=．即点M到平面AB1N的距离为：．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为棱AA1，A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若异面直线AA1与EF所成角为30°时，求三棱锥C1﹣DCB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连接FO，EO，∵E，F分别为棱A1B1，AC的中点，∴FO∥BC，EO∥BB1，FO∩EO=O，BC∩BB1=B，FO，EO⊂平面EFO，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴平面EFO∥平面BCC1B1，又EF⊂平面EFO，∴EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠FEO异面直线AA1与EF所成角，∴∠FEO=30°，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴EO⊥平面ABC，则EO⊥FO，∵，∴，由∵AC⊥BC，CC1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴=．10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，CD⊥PD，异面直线PA与CD所成角等于60°．（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；（2）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵PB⊥底面ABCD，∴PB⊥CD，又∵CD⊥PD，PD∩PB=P，PD，PB⊂平面PBD，∴CD⊥平面PBD，∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBD．解：（2）如图，以B为原点，BA、BC、BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由（1）知△BCD是等腰直角三角形，∴BC=4，设BP=b（b＞0），则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，4，0），D（2，2，0），P（0，0，b），则=（2，0，﹣b），=（2，﹣2，0），∵异面直线PA、CD所成角为60°，∴cos60°===，解得b=2，∵=（0，2，0），=（2，0，﹣2），设平面PAD的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设直线CD和平面PAD所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴直线CD和平面PAD所成角的正弦值为．（3）假设棱PA上存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，设，（0＜λ＜1），且E（x，y，z），则（x，y，z﹣2）=λ（2，0，﹣2），∴E（2λ，0，2﹣2λ），设平面DEB的一个法向量为=（a，b，c），=（2λ，0，2﹣2λ），=（2，2，0），则，取a=λ﹣1，得=（λ﹣1，λ﹣1，λ），平面PAB的法向量=（0，1，0），∵平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，∴平面PAB与平面BDE所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得或λ=2（舍），∴在棱PA上存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为，E为棱PA上靠近A的三等分点．11．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．（1）求证：MN⊥平面A1BC；（2）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小；（3）求二面角A﹣BC﹣A1的平面的余弦值；（4）求点B1到平面A1BC的距离．【解答】（1）证明：由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，所以BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，侧面ACC1A1是矩形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．（2）解：因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角．设AC=BC=CC1=a，则C1D=a，BC1=a．在Rt△BDC1中，sin∠C1BD=，所以∠C1BD=30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．（3）解：由题意，∠A1CA为二面角A﹣BC﹣A1的平面角，由于AC=BC=CC1=a，∴cos∠A1CA=，∴二面角A﹣BC﹣A1的平面角的余弦值为；（4）解：设点B1到平面A1BC的距离为h，则由等体积可得，∴．12．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，，∠BAD=90°，△PAD为正三角形，且面PAD丄面ABCD，异面直线PB与AD所成的角的余弦值为，E为PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求点B到平面PCD的距离；（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图取PD的中点F，连接EF，AF，由E为PC的中点知：EF∥CD，EF=CD，又AB∥CD，AB=CD，所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF，又BE⊄面PAD，AF⊂面PAD，∴BE∥平面PAD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AF⊥PD，面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD∴CD⊥面PAD，又AF⊂面PAD∴AF⊥CD，且PD∩CD=D∴AF⊥面PCD又AB∥CD，∴AB∥面PCD，∴点A到平面PCD的距离AF等于点B到平面PCD 的距离．取CD的中点G，连接BG，PG由题意知四边形ABCD为矩形，∴∠PBC为异面直线所成的角或其补角．设正△PAD的边长为a，则在△PBG中易知PB=PG=，BG=a，∴∠PBG为锐角，由题意得=，解得a=2，∴AF=即点B到平面PCD的距离为．（Ⅲ）延长CB交DA于H，连接PH，如图∵AB∥CD，AB=CD=1，PA=AD=2∴HA=AD=AP∴DP⊥H，P又CD⊥面PAD∴PD 为PC在PAD内的射影∴PC⊥HP∴∠DPC为面PAD与面PBC所成二面角的平面角在直角△PCD中，tan∠DPC==1∴∠DPC=45°即平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小为45°．13．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC1=4，E在BB1上，且EB1=1，D、F分别为CC1、A1C1的中点．（1）求证：B1D⊥平面ABD；（2）求异面直线BD与EF所成的角；（3）求点F到平面ABD的距离．【解答】证明：（1）由条件得∴BD2+DB12=BB12∴B1D⊥DB，又AB⊥面BCC1B1，∴BA⊥B1D∴B1D⊥面ABD（3分）解：（2）取B1C1的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，∴∠GEF或其补角为BD、EF所成角（4分）∵A1B1⊥面BCC1B1，GF∥A1B1∴FG⊥面BCC1B1，∴FG⊥GE在Rt△EGF中，，∴∴BD与EF所成角为（8分）（3）设F到面ABD的距离为d，过B作BH⊥AC于H，则BH⊥面ACC1A1∵V F=V B﹣DAF，∴﹣ABD∴∴（12分）14．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是AA1的中点．（Ⅰ）求异面直线AB和C1D所成角的余弦值；（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离．【解答】解：（Ⅰ）取CC1的中点F，连接AF，BF，则AF∥C1D．∴∠BAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角．∵△ABC为等腰直角三角形，AC=2，∴AB=2．又∵CC1=2，∴AF=BF=．∵cos∠BAF==，即异面直线AB与C1D所成的角的余弦值为．（Ⅱ）过E作NE⊥AC于N，连接A1N，∵AA1⊥平面ABC，EN⊂平面ABC，∴AA1⊥EN，又AC⊥EN，AC∩AA1=A，∴EN⊥平面AA1C1C，又C1D⊂平面AA1C1C，∴EN⊥C1D，又A1E⊥C1D，EN∩A1E=E，∴C1D⊥平面A1EN，∵A1N⊂平面A1EN，∴A1N⊥C1D．∵四边形AA1C1C为正方形，∴N为AC的中点，又BC⊥AC，EN⊥AC，∴E点为AB的中点．（Ⅲ）连接C1N，由（II）可知EN⊥平面AA1C1C，又EN⊂平面ENC1B1，∴面B1C1NE⊥平面AA1C1C．过点D作DH⊥C1N，垂足为H，则DH⊥平面B1C1NE，∴DH为点D到平面B1C1E的距离．在正方形AA1C1C中，∵D，N分别是AA1，AC的中点，∴DN=，C1D=C1N=，∴cos∠DC1N==，∴sin∠DC1N=．∴DH=C1Dsin∠DC1N=，即点D到平面B1C1E的距离．15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（1）证明：DC1⊥平面BDC；（2）若AA1=2，求三棱锥C﹣BDC1的体积．【解答】（1）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1．（2分）又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．（3分）由题设知，∴，即C1D⊥DC．（4分）∵DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC．（6分）（2）解：∵AA1=2，D是棱AA1的中点，∴AC=BC=1，AD=1（7分）∴，（9分）∴Rt△CDC1的面积（10分）∴（11分）∴，即三棱锥C﹣BDC1的体积为．（13分）16．如图，圆锥的顶点为P，底面圆O半径为1，圆锥侧面积为，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，且．（Ⅰ）求异面直线PA与BC所成角；（Ⅱ）点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由，得．延长CO交圆O于D，连AD，由△OBC≌△ODA，得∠ADO=∠BCO，得AD∥BC，所以∠PAD是异面直线PA与BC所成角．因为，所以∠PAD=60°．（Ⅱ）当E为PB中点时，由OB=OP=1，得，由，得，所以当E为PB中点时，CE+OE最小，最小值为．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；（2）求证：MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距离．【解答】证明：（1）∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，又三棱柱中，有AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，又AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1C，∵AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）取BB1中点D，∵M为B1C1中点，∴MD∥BC1（中位线），又∵N为AA1中点，四边形ABB1A1为平行四边形，∴DN∥AB（中位线），又MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC1．∵MN⊂平面MND，∴MN∥平面ABC1．∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．过N作NH⊥AC1于H，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，∴NH⊥平面ABC1，又根据△ANH∽△AC1A1∴．∴点M到平面ABC1的距离为．。
