湖北专用数学人教A版选修2—1课时训练12)

（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步练习汇总课堂效果落实1.下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是平面图形吗解析：A、D是疑问句, 不是命题, C不能判断真假, 故B为正确答案．答案：B2．[2014·大连高二检测]若M、N是两个集合, 则下列命题中真命题是()A．如果M⊆N, 那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N, 那么M⊆NC．如果M⊆N, 那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N, 那么N⊆M解析：用集合的定义理解．答案：A3．在下列4个命题中, 是真命题的序号为()①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．①B．①②C．①②③D．①②④解析：对于③, 举一反例, 若A＝15°, B＝15°, 则C为150°, 三角形为钝角三角形．答案：D4．[2014·辽宁高二检测]下列命题：①若xy＝1, 则x、y互为倒数；②对角线垂直的平行四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2, 则a>b.其中真命题的序号是________．解析：①④是真命题, ②四条边相等的四边形也可以是菱形, ③平行四边形不是梯形．答案：①④5．[2014·武汉高二测试]判断下列语句是不是命题, 如果是命题, 指出是真命题还是假命题．(1)任何负数都大于零；(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；(3)x2＋x>0；(4)∅A；(5)6是方程(x－5)(x－6)＝0的解；(6)方程x2－2x＋5＝0无解．解：(1)负数都是小于零的, 因此“任何负数都大于零”是不正确的；它能构成命题, 而且这个命题是个假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的, 本题无法判定△ABC 与△A1B1C1是否为全等三角形, 所以它不是命题．(3)因为x是未知数, 无法判断x2＋x是否大于零, 所以“x2＋x>0”这一语句不是命题．(4)空集是任何非空集合的真子集, 集合A是不是非空集合我们无法判断, 所以无法判断“∅A”是否成立, 因此, 它不是命题．(5)6确实是所给方程的解, 所以它是命题, 且是真命题．(6)由于给定方程x2－2x＋5＝0, 我们就可以用其判别式来判断它是否有解．由Δ＝4－4×5＝－16<0知, 方程x2－2x＋5＝0无解, 是命题, 且是真命题．04课后课时精练一、选择题1．“红豆生南国, 春来发几枝？愿君多采撷, 此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗, 在这4句诗中, 可作为命题的是()A. 红豆生南国B. 春来发几枝C. 愿君多采撷D. 此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句, 意思是“红豆生长在中国南方”, 这在唐代是事实, 故本语句是命题, 且是真命题；“春来发几枝”是疑问句, “愿君多采撷”是祈使句, “此物最相思”是感叹句, 都不是命题．答案：A2．[2013·安徽高考]在下列命题中, 不是．．公理的是()A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：本题考查了立体几何中的公理与定理, 意在要考生注意回归课本, 明白最基本的公理与定理．注意公理是不用证明的, 定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理, 是由公理推证出来的, 而公理是不需要证明的．答案：A3．下列命题中()①a·b＝a·c且a≠0时, 必有b＝c②如a∥b时, 必存在唯一实数λ使a＝λb③a, b, c互不共线时, a－b必与c不共线④a与b共线且c与b也共线时, 则a与c必共线其中真命题的个数有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：对于①, 由a·b＝a·c且a≠0, 得a·(b－c)＝0, 未必有b＝c；对于②, 若b＝0时, 不成立；对于③, 如图△ABC中, E, F分别为AB, AC的中点,AB →＝a , AC →＝b , 则CB →＝AB →－AC →.又因为EF →＝12BC →.即c ＝－12(a －b ), 故③不正确．④若b ＝0时, a 与c 不一定共线, 故选A.答案：A4．[2014·辽宁高考]已知m , n 表示两条不同直线, α表示平面．下列说法正确的是( )A. 若m ∥α, n ∥α, 则m ∥nB. 若m ⊥α, n ⊂α, 则m ⊥nC. 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥αD. 若m ∥α, m ⊥n , 则n ⊥α解析：本题主要考查空间线面位置关系的判断, 意在考查考生的逻辑推理能力．对于选项A, 若m ∥α, n ∥α, 则m 与n 可能相交、平行或异面, A 错误；显然选项B 正确；对于选项C, 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ⊂α或n ∥α, C 错误；对于选项D, 若m ∥α, m ⊥n , 则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交, D 错误．故选B.答案：B5．[2014·海南高二检测]设U为全集, 下列命题是真命题的有()①若A∩B＝∅, 则(∁U A)∪(∁U B)＝U；②若A∪B＝U, 则(∁U A)∩(∁B)＝∅；③若A∪B＝∅, 则A＝B＝∅.UA．0个B．1个C．2个D．3个解析：由Venn图容易判断, ①②③均为真命题．答案：D6．设l1、l2表示两条直线, α表示平面．若有：①l1⊥l2；②l1⊥α；③l2⊂α, 则以其中两个为条件, 另一个为结论, 可以构造的所有命题中, 正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意得三个命题, 即②③⇒①、①③⇒②和①②⇒③.由②③⇒①正确, ①③⇒②错误, ①②⇒③错误, 故选B.答案：B二、填空题7．下列语句是命题的有________．①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗？③x, y都是无理数, 则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内, 则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证3是无理数．解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句, 所以②不是命题；因为⑤中自变量x的值不确定, 所以无法判断其真假；因为⑥是祈使句, 所以不是命题．故填①③④.答案：①③④8．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根”, 条件p：________________, 结论q：________________, 是________________(填“真”或“假”)命题．解析：根据命题的结构形式填空．答案：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是一元二次方程此方程有两个不相等的实数根假9．把下列不完整的命题补充完整, 并使之成为真命题：若函数f(x)＝log3x的图象与g(x)的图象关于原点对称, 则g(x)＝________.解析：设g(x)上任意一点坐标为P(x, y), 则点P关于原点的对称点坐标为P1(－x, －y), 点P1在函数f(x)＝log3x的图象上, 将对称点P1坐标直接代入f(x),即得：g(x)＝－log3(－x)．答案：－log3(－x)三、解答题10．判断下列语句是否为命题．(1)若a⊥b, 则a·b＝0；(2)2是无限循环小数；(3)三角形的三条中线交于一点；(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)；(5)非典型肺炎是怎样传染的？(6)2014年北京的高考题真难！答案：(1)是(2)是(3)是(4)是(5)不是(6)不是11．把下列命题写成“若p, 则q”的形式, 并判断其真假：(1)等腰三角形的两个底角相等．(2)当x＝2或x＝4时, x2－6x＋8＝0；(3)正方形是矩形又是菱形；(4)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)若一个三角形是等腰三角形, 则两个底角相等, 真命题．(2)若x ＝2或x ＝4, 则x 2－6x ＋8＝0, 真命题．(3)若一个四边形是正方形, 则它既是矩形, 又是菱形, 为真命题．(4)若一个方程为x 2－x ＋1＝0, 则这个方程有两个实数根, 为假命题．12．[2014·南昌高二检测]已知命题p ：|x 2－x |≥6, q ：x ∈Z , 若p 假q 真, 求x 的值．解：因为p 假q 真, 所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6，x ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x 2－x >－6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <3，x ∈R ，x ∈Z ，故x 的值为－1,0,1,2.03课堂效果落实1.下列命题：①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋；③中国公民都有受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤有人既能写小说, 也能搞发明创造⑥任何一个数除0都等于0.其中是全称命题的有( )A．1个B．2个C．3个D．不少于4个解析：②、③、④、⑥都含有全称量词．答案：D2．下列全称命题中真命题的个数为()①末位是0的整数, 可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1 B．2C．3 D．0解析：①②③均为全称命题且均为真命题, 故选C.答案：C3．[2014·温州高二检测]下列命题不是“存在x0∈R, x20>3”的表述方法的是()A．有一个x0∈R, 使得x20>3成立B．对有些x0∈R, 使得x20>3成立C．任选一个x∈R, 使得x2>3成立D．至少有一个x0∈R, 使得x20>3成立解析：C答案已经是全称命题了．答案：C4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成特称命题为__________________．解析：“有些”即存在．答案：∃x0∈R, x0<0, (1＋x0)(1－9x20)>05．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．(1)存在一个实数, 使等式x2＋x＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x 轴相交；(3)若对所有的正实数, 不等式m ≤x ＋1x 都成立, 则m ≤2； (4)如果对任意的正整数n , 数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a , b 为常数), 那么数列{a n }为等差数列．解：(1)特称命题．∵x 2＋x ＋8＝(x ＋12)2＋314>0,∴命题为假命题． (2)全称命题, 假命题．如存在y ＝x 2＋x ＋1与x 轴不相交． (3)全称命题． ∵x 是正实数, ∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1时“＝”成立)．即x ＋1x 的最小值是2, 而m ≤x ＋1x , 从而m ≤2. 所以这个全称命题是真命题． (4)全称命题．∵S n ＝an 2＋bn , ∴a 1＝a ＋b .当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －a (n －1)2－b (n －1)＝2na ＋b －a ,又n ＝1时, a 1＝a ＋b 也满足上式, 所以a n ＝2an ＋b －a (n ∈N *)．从而数列{a n }是等差数列, 即这个全称命题也是真命题．04课后课时精练一、选择题1．给出下列命题：①存在实数x0>1, 使x20>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a, 使关于x的方程ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：只有②是全称命题．答案：C2．“存在集合A, 使∅A”, 对这个命题, 下面说法中正确的是()A．全称命题、真命题B．全称命题、假命题C．特称命题、真命题D．特称命题、假命题解析：当A≠∅时, ∅A, 是特称命题, 且为真命题．答案：C3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．对任意非正数c, 若a≤b＋c, 则a≤bC．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋6<0成立解析：C、D是特称命题, A是假命题．答案：B4．特称命题“存在实数x0使x20＋1<0”可写成()A．若x∈R, 则x2＋1<0B．∀x∈R, x2＋1<0C．∃x0∈R, x20＋1<0D．以上都不正确解析：特称命题“存在一个x0∈R, 使p(x0)成立”简记为“∃x0∈R, 使p(x0)成立”．答案：C5．[2014·大连高二检测]下列命题中假命题的个数为()①∀x∈R,2x－1>0 ②∀x∈N*, (x－1)2>0③∃x0∈R, lg x0>1 ④∃x0∈R, tan x0＝2⑤∃x0∈R, sin2x0＋sin x0＋1＝0A．1 B．2C．3 D．4解析：本题考查全称命题和特称命题的真假判断．①中命题是全称命题, 易知2x－1>0恒成立, 故是真命题；②中命题是全称命题, 当x＝1时, (x－1)2＝0, 故是假命题；③中命题是特称命题, 当x＝100时, lg x＝2, 故是真命题；④中命题是特称命题, 依据正切函数定义, 可知是真命题．⑤(sin x0＋12)2＋34≥34>0成立, 可知为假命题．答案：B6．若对于∀x∈R, x2≥a＋2|x|恒成立, 则实数a的取值范围是()A．a<－1 B．a≤－1C．a>－1 D．a≥－1解析：对于∀x∈R, x2≥a＋2|x|恒成立,即a≤x2－2|x|恒成立．令f(x)＝x2－2|x|, x∈R,则f(－x)＝f(x)．当x ≥0时, f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1, 故a ≤－1. 答案：B 二、填空题7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________________________．答案：∀x ≤0, x 3≤08．[2014·西安高二检测]若∃x ∈R , 使x ＋1x ＝m 成立, 则实数m 的取值范围是________．解析：依题意, 关于x 的方程x ＋1x ＝m 有实数解, 由基本不等式得x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2, ∴m ≥2或m ≤－2. 答案：(－∞, －2]∪[2, ＋∞)9．下列命题中, 是全称命题或特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？解析：④为特称命题, ①②③为全称命题, 而⑤不是命题． 答案：①②③④ 三、解答题10．判断下列命题是否是全称命题或特称命题, 若是, 用符号表示, 并判断其真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)存在一条直线, 其斜率不存在；(3)对所有的实数a , b , 方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x0, 使得1x20－x0＋1＝2.解：(1)是全称命题, 是真命题；(2)是特称命题, 用符号表示为“∃直线l, l的斜率不存在”, 是真命题；(3)是全称命题, 用符号表示为“∀a, b∈R, 方程ax＋b＝0都有唯一解”, 是假命题．(4)是特称命题, 用符号表示为“∃x0∈R,1x20－x0＋1＝2”, 是假命题．11. [2014·唐山高二检测]已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m, 使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x, 使不等式m－f(x)>0成立, 求实数m的取值范围．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x), 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立, 只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立, 此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立, 只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4, ∴f(x)min＝4,∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4, ＋∞)．12．(1)若全称命题“任意x∈[－1, ＋∞), x2－2ax＋2≥0恒成立”为真命题, 求a的取值范围；(2)若特称命题“存在x 0∈R , 使log 2(ax 20＋x 0＋2)<0”为真命题, 求a 的取值范围．解：(1)当x ∈[－1, ＋∞)时, x 2－2ax ＋2≥0恒成立, 等价于二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象在x 轴的上方, 只需满足Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a ≤－1，f (－1)≥0，即4a 2－8<0或⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－8≥0，a ≤－1，2a ＋3≥0，所以－2<a <2或－32≤a ≤－2,所以a 的取值范围是[－32, 2)．(2)log 2(ax 20＋x 0＋2)<0⇔0<ax 20＋x 0＋2<1, 即存在x 0∈R , 使0<ax 2＋x 0＋2<1成立．当a ＝0时, －2<x 0<－1满足题意, 即存在实数x 0满足题意；当a ≠0时, ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，8a －1<0，即0<a <14或a <0. 综上所述, a <14, 即所求a 的取值范围是(－∞, 14)．03课堂效果落实1.命题“x ＝±1是方程|x |＝1的解”中, 使用逻辑联结词的情况是( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“或”C ．使用了逻辑联结词“且”D ．使用了逻辑联结词“或”与“且” 答案：B2．以下判断正确的是()A．命题p是真命题时, 命题“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”为真命题时, 命题p一定是真命题C．命题“p∧q”为假命题时, 命题p一定是假命题D．命题p是假命题时, 命题“p∧q”不一定是假命题解析：若“p∧q”为真, 则p、q二者皆真, 若“p∧q”为假, 则p、q中至少有一个为假, 故选B.答案：B3．已知命题p：∅⊆{0}, q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”“p 且q”形式的命题中真命题有________个．解析：p为真命题, q为假命题, “p或q”为真命题, “p且q”为假命题．答案：14．分别用“p∧q”“p∨q”填空．(1)命题“6是自然数且是偶数”是________形式．(2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．答案：(1)p∧q(2)p∨q(3)p∨q5．已知命题p：0不是自然数, q：π是无理数, 写出命题“p∨q”, “p∧q”, 并判断其真假．解：p∧q：0不是自然数且π是无理数．假命题；p∨q：0不是自然数或π是无理数．真命题.04课后课时精练一、选择题1．“xy ≠0”是指( )A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x , y 至少一个不为0D ．x , y 不都是0解析：xy ≠0当且仅当x ≠0且y ≠0. 答案：A2．已知命题p ：2＋2＝5, 命题q ：3>2, 则下列判断正确的是( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 或q ”为真C ．“p 且q ”为真, “p 或q ”为假D ．以上均不对解析：显然p 假q 真, 故“p 或q ”为真, “p 且q ”为假, 故选B.答案：B3．p ：点P 在直线y ＝2x －3上, q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上, 则使“P ∧q ”为真命题的一个点P (x , y )是( )A ．(0, －3)B ．(1,2)C ．(1, －1)D ．(－1,1)解析：点P (x , y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中, 只有C 正确． 答案：C4．下列命题中既是p ∧q 形式的命题, 又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是4和－1C ．集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形解析：“有两个角是45°的三角形是等腰三角形, 而且是直角三角形”, 是“p且q”的形式且为真．答案：D5．若命题p：∃x∈R, x2＋2x＋5<0, 命题q；∀a, b∈R, a2＋b2≥2ab, 则下列结论正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对解析：p是假命题, q是真命题, 故p∨q为真．答案：B6．[2014·南宁高二检测]下列命题, 其中假命题的个数为()①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b, 则a＋c＞b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①“5＞4”为真, 故“5＞4或4＞5”为真命题；②“9≥3”表示为“9＞3(真)或9＝3”, 故“9≥3”为真命题；③若“a ＞b, 则a＋c＞b＋c”也是真命题；④也是真命题．答案：A二、填空题7．若p：2是8的约数, q：2是12的约数．则“p∨q”为________；“p∧q”为________．(填具体的语句内容)．答案：2是8的约数, 或者是12的约数'2既是8的约数, 又是12的约数8．[2014·郑州高二检测]已知p(x)：x2＋2x－m>0, 如果p(1)是假命题, p (2)是真命题, 则实数m 的取值范围是________．解析：∵p (1)是假命题, p (2)是真命题,∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤0，8－m >0，解得3≤m <8. 答案：[3,8)9．对于函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)．有命题p ：f (x ＋2)是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是________．解析：对于①, f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数, 故p 为假命题．对于②, f (x ＋2)＝x 2是偶函数, 则p 为真命题：f (x )＝(x －2)2在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 则q 为真命题, 故“p ∧q ”为真命题．对于③, f (x )＝cos(x －2)显然不是(2, ＋∞)上的增函数, 故q 为假命题．故填②.答案：② 三、解答题10．分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”形式的复合命题的真假．(1)P ：3>3 q ：3＝3； (2)p ：∅{0} q ：0∈∅；(3)p ：A ⊆A q ：A ∩A ＝A ；(4)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图象与x 轴有公共点； q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实根．解：(1)∵p 假q 真, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为假； (2)∵p 真q 假, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为假； (3)∵p 真q 真, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为真；(4)∵p 假q 假, ∴“p ∨q ”为假, “p ∧q ”为假．11．[2014·沈阳高二检测]对命题p ：“1是集合{x |x 2<a }中的元素”, q ：“2是集合{x |x 2<a }中的元素”, 则a 为何值时, “p 或q ”是真命题？a 为何值时, “p 且q ”是真命题？解：由1是集合{x |x 2<a }中的元素, 可得a >1, 由2是集合{x |x 2<a }中的元素, 可得a >4, 即使得p , q 为真命题的a 的取值集合分别为P ＝{a |a >1}, T ＝{a |a >4}．当p , q 至少一个为真命题时, “p 或q ”为真命题, 则使“p 或q ”为真命题的a 的取值范围是P ∪T ＝{a |a >1}；当p , q 都为真命题时, “p 且q ”才是真命题, 则使“p 且q ”为真命题的a 的取值范围是P ∩T ＝{a |a >4}．12．已知P ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真, p 且q 为假, 求m 的取值范围．解：若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, 则－m 2≤－1, ∴m ≥2, 即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零, 则Δ＝16(m －2)2－16<0, 解得1<m <3, 即q ：1<m <3.因为“p 或q ”为真, “p 且q ”为假, 所以p 、q 一真一假,当p 真q 假时, 由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1， 得m ≥3,当p 假q 真时, 由⎩⎨⎧m <21<m <3， 得1<m <2.综上, m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}．03课堂效果落实1. [2014·福建高考]命题“∀x∈[0, ＋∞), x3＋x≥0”的否定是()A. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x<0B. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x≥0C. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0<0D. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0≥0解析：本题考查含有量词的命题的否定, 意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“∀”改为存在量词“∃”, 并把结论加以否定, 故选C.答案：C2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是() A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数, 不能被5整除解析：全称命题的否定是特称命题, 而A, B是全称命题, 所以A, B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”, 所以D错, C正确, 故选C.答案：C3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题, 那么() A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．p 与q 的真假相同解析：∵“非p ”为真命题, ∴p 为假命题．又∵p 或q 为真命题, ∴q 为真命题．故选B.答案：B4．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a }, 命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }, 则“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式的复合命题中的假命题的个数是________．解析：因命题p 、q 均为假命题, 所以“p ∨q ”“p ∧q ”为假命题, “綈p ”为真命题．答案：25．写出下列命题的否定, 并判断其真假：(1)三角形的内角和为180°；(2)∃x 0∈R , x 20＋1＝0；(3)∀x ∈R , x 2－3x ＋2＝0.(4)至少有两个实数x 0, 使x 30＋1＝0.(5)∃x 0, y 0∈N , 如果x 0＋|y 0|＝0, 则x 0＝0且y 0＝0.解：(1)此命题为全称命题, 其否定为：存在一个三角形, 它的内角和不等于180°, 是假命题．(2)此命题为特称命题, 其否定为：∀x ∈R , x 2＋1≠0, 是真命题．(3)此命题为全称命题, 其否定为：∃x 0∈R , x 20－3x 0＋2≠0, 是真命题．(4)此命题为特称命题, 其否定为：至多有一个实数x 0, 使x 30＋1≠0, 是假命题．(5)此命题为特称命题, 其否定为：∀x, y∈N, 如果x＋|y|＝0, 则x＝0或y＝0, 是假命题．04课后课时精练一、选择题1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个解析：“至多有三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况, 其反面为“4个、5个……”即至少四个．答案：B2．[2014·湖北高考]命题“∀x∈R, x2≠x”的否定是()A. ∀x∉R, x2≠xB. ∀x∈R, x2＝xC. ∃x∉R, x2≠xD. ∃x∈R, x2＝x解析：本题考查全称命题的否定, 意在考查考生对基本概念的掌握情况．全称命题的否定是特称命题：∃x∈R, x2＝x, 选D.答案：D3．[2014·西安高二检测]如果命题“綈(p∨q)”为假命题, 则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题解析：因为命题“綈(p∨q)”为假命题, 所以p∨q为真命题, 所以p、q一真一假或都是真命题．答案：C4．[2014·天津高考]已知命题p：∀x>0, 总有(x＋1)e x>1, 则綈p 为()A. ∃x0≤0, 使得(x0＋1)e x0≤1B. ∃x0>0, 使得(x0＋1)e x0≤1C. ∀x>0, 总有(x＋1)e x≤1D. ∀x≤0, 总有(x＋1)e x≤1解析：命题p为全称命题, 所以綈p为∃x0>0, 使得(x0＋1)e x0≤1.故选B.答案：B5．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R, 总有|x|≥0；q：x ＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A. p∧綈qB. 綈p∧qC. 綈p∧綈qD. p∧q解析：由题意知, 命题p为真命题, 命题q为假命题, 故綈q为真命题, 所以p∧綈q为真命题．答案：A6．已知全集S＝R, A⊆S, B⊆S, 若命题p：2∈(A∪B), 则命题“綈p”是()A. 2∉AB. 2∈∁S BC. 2∉A∩BD. 2∈(∁S A)∩(∁S B)解析：∵p＝2∈(A∪B), ∴2∈A或2∈B,∴綈p：2∉A且2∉B, 即2∈∁S A∩∁S B.答案：D二、填空题7. 已知命题p：“∀x∈[1,2], x2－a≥0”, 命题q：“∃x0∈R, x20＋2ax0＋2－a＝0”, 若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是________．解析：命题p：“∀x∈[1,2], x2－a≥0”为真, 则a≤x2, x∈[1,2]恒成立, ∴a≤1；命题q：“∃x0∈R, x20＋2ax0＋2－a＝0”为真, 则“4a2－4(2－a)≥0, 即a2＋a－2≥0”, 解得a≤－2或a≥1.若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．答案：{a|a≤－2或a＝1}8. 已知命题p：∃x∈R, 使sin x＝52；命题q：∀x∈R, 都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题, 其中正确的是________．解析：因为对任意实数x, |sin x|≤1, 而sin x＝52>1, 所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0, 所以q为真．因而②③正确．答案：②③9．[2014·青岛高二检测]若命题“∃x0∈R, x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题, 则实数a的取值范围为________．解析：依题意可得“∀x∈R, x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题, 所以Δ＝(a－1)2－4≤0, 所以－1≤a≤3.答案：[－1,3]三、解答题10．写出下列含有一个量词的命题p的否定綈p, 并判断它们的真假：(1)p：关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)p：有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)对任意实数x1, x2, 若x1<x2, 则tan x1<tan x2；(4)∃T0∈R, 使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.解：(1)綈p：有些关于x的方程ax＝b无实数根, 如0x＝1, 所以p为假命题, 綈p为真命题．(2)綈p：任意正整数都有1和它本身以外的约数, 如2只有1和它本身这两个约数, 所以p为真命题, 綈p为假命题．(3)綈p：存在实数x1, x2, 若x1<x2, 则tan x1≥tan x2.原命题中若x1＝0, x2＝π, 有tan x1＝tan x2, 故为假命题, 所以綈p 为真命题．(4)綈p：∀T∈R, 有|sin(x＋T)|＝|sin x|.原命题为真命题, 如T0＝2kπ(k∈Z), 所以綈p为假命题．11．已知命题p：∀m∈[－1,1], 不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q：∃x, 使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题, 綈q是真命题, 求a的取值范围．解：根据p或q是真命题, 綈q是真命题, 得p是真命题, q是假命题．∵m ∈[－1,1], ∴m 2＋8∈[22, 3]．因为∀m ∈[－1,1], 不等式a 2－5a －3≥m 2＋8,所以a 2－5a －3≥3, ∴a ≥6或a ≤－1.故命题p 为真命题时, a ≥6或a ≤－1.又命题q ：∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2<0,∴Δ＝a 2－8>0, ∴a >22或a <－22,从而命题q 为假命题时, －22≤a ≤22,所以命题p 为真命题, q 为假命题时, a 的取值范围为－22≤a ≤－1.12．[2014·衡水高二测试]已知命题p ：“∀x ∈R , ∃m 0∈R 使4x ＋2x ·m 0＋1＝0”, 若命题綈p 是假命题, 求实数m 0的取值范围．解：该题可利用綈p 假, 则p 为真, 求原命题为真时m 0的取值范围．令t ＝2x >0, 则方程4x ＋2x ·m 0＋1＝0变为t 2＋m 0·t ＋1＝0有正解, 假设方程有两个正根t 1, t 2.∵t 1·t 2＝1>0, t 1、t 2同号,∴t 1＋t 2>0, 故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 20－4≥0，－m 0>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 0≤－2或m 0≥2，m 0<0， ∴m 0≤－2, 即实数m 0的取值范围是(－∞, －2]．03课堂效果落实1.[2014·长春高二检测]x >3的一个充分不必要条件是( )A. x >0B. x <0C. x>5D. x<5解析：x>5⇒x>3,x>3D⇒/x>5.答案：C2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：x2＋(y－2)2＝0, 即x＝0且y＝2, ∴x(y－2)＝0.反之, x(y－2)＝0, 即x＝0或y＝2, x2＋(y－2)2＝0不一定成立．答案：B3．对任意实数a、b、c, 给出下列命题：①“x<－1”是“x2－1>0”的充分条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中, x<－1⇒x2－1>0；x2－1>0D⇒/x<－1, 故①为真命题．②中, a与a＋5同为无理数或同为有理数, 故②为真命题．③中, 显然a>bD⇒/a2>b2, 故③为假命题．④中, a<5D⇒/a<3, 而a<3⇒a<5, 故④为真命题．答案：C4．[2014·福州高二测试]若“x2－2x－8>0”是x<m的必要不充分条件, 则m的最大值为________．解析：不等式解集为(－∞, －2)∪(4, ＋∞), 题目等价于(－∞, m)是其真子集, 故有m≤－2, 即m的最大值为－2.答案：－25．设命题p：x>1或x<－3, q：5x－6>x2, 则綈p是綈q的什么条件？解：∵p：x>1或x<－3,∴綈p：－3≤x≤1.又∵q：5x－6>x2即2<x<3, ∴綈q：x≤2或x≥3,∴綈p⇒綈q, 但綈q⇒/綈p,∴綈p是綈q的充分不必要条件．04课后课时精练一、选择题1．[2013·福建高考]已知集合A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 则“a＝3”是“A⊆B”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当a＝3时, A＝{1,3}, A⊆B；反之, 当A⊆B时, a＝2或3, 所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件, 选A.答案：A2. [2014·湖北高考]设U为全集．A, B是集合, 则“存在集合C使得A⊆C, B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件解析：由韦恩图易知充分性成立．反之, A ∩B ＝∅时, 不妨取C ＝∁U B , 此时A ⊆C .必要性成立．故选C.答案：C3. [2013·浙江高考]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0, ω>0, φ∈R ), 则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：f (x )是奇函数时, φ＝π2＋k π(k ∈Z )；φ＝π2时, f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin ωx , 为奇函数．所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件, 选B.答案：B4．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12, 则实数m 的取值范围是( )A. [－43, 12] B. [－12, 43] C. (－∞, －12)D. [43, ＋∞)解析：由题易知不等式|x －m |<1的解集为{m |m －1<x <m ＋1}, 从而有{m |m －1<x <m ＋1}(13, 12),∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥12m －1<13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>12m －1≤13解得－12≤m ≤43, 故选B. 答案：B5．[2014·广东高考]在△ABC 中, 角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c , 则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件解析：设R 为△ABC 外接圆的半径．由正弦定理可知, 若a ≤b , 则2R sin A ≤2R sin B ⇒sin A ≤sin B , 故“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充分条件；若sin A ≤sin B , 则a 2R ≤b 2R ⇒a ≤b , 故“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的必要条件．综上所述, “a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充要条件．故答案为A.答案：A6. [2014·唐山模拟]已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；q ：∃x ∈R , |x ＋1|≤x , 则( )A ．(綈p )∨q 为真命题B ．p ∧(綈q )为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：由于函数y ＝2x 是单调递增函数, ∴a >b 时, 2a >2b , 反之2a >2b 时, a >b , 故p 是真命题, 而不存在实数x , 使|x ＋1|≤x , 故q 是假命题．∴p ∨q 为真命题．答案：D 二、填空题7. 下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－2<x<1.其中, 可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1, ①显然不能使－1<x<1一定成立, ②③满足题意．④中当x＝－1.5时, x2显然大于1, ∴④不行．答案：②③8．设p、r都是q的充分条件, s是q的充分必要条件, t是s的必要条件, t是r的充分条件, 那么p是t的________条件, r是t的________条件．解析：由题意有：s⇔q⇐p⇓⇑t⇒r答案：充分不必要充要9．有以下四组命题：(1)p：(x－2)(x－3)＝0, q：x－2＝0；(2)p：同位角相等；q：两直线平行；(3)p：x<－3；q：x2>9；(4)p：0<a<1；q：y＝a x为减函数．其中p是q的充分不必要条件的是_______, p是q的必要不充分条件是________, p是q的充要条件的是________．解析：(1)x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0, 但(x－2)(x－3)＝0D⇒/x－2＝0, 所以p是q的必要不充分条件．(2)同位角相等⇔两直线平行, 所以p是q的充要条件,(3)x<－3⇒x2>9, 但x2>9D⇒/x<－3,所以p是q的充分不必要条件．(4)0<a<1⇔y＝a x是减函数, 所以p是q的充要条件．答案：(3) (1) (2)(4) 三、解答题10．下列各题中, p 是q 的什么条件？ (1)p ：lg x 2＝0, q ：x ＝1；(2)p ：b ＝c , q ：a ·b ＝a ·c (a , b , c ≠0)； (3)p ：x ≥1且y ≥1, q ：x ＋y ≥2； (4)p ：x , y 不全为0, q ：x ＋y ≠0.解：(1)当lg x 2＝0时, x 2＝1, 即x ＝±1, 则p ⇒/q , q ⇒p , 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)易知p ⇒q .而a ·b ＝a ·c (a , b , c ≠0), 即a ·(b －c )＝0, 可得b ＝c 或a ⊥(b －c ), 即q ⇒/p , 所以p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q , 而q ⇒/ p , ∴p 是q 的充分不必要条件．(4)綈p ：x ＝0且y ＝0, 綈q ：x ＋y ＝0, ∵綈p ⇒綈q , 而綈q ⇒/ 綈p , ∴p ⇐q 且p ⇒/ q , ∴p 是q 的必要不充分条件．11．[2014·江苏高二检测]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1, x ∈[34, 2]}, B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A , 命题q ：x ∈B , 并且命题p 是命题q 的充分条件, 求实数m 的取值范围．解：化简集合A ,由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716,∵x ∈[34, 2], ∴y min ＝716, y max ＝2. ∴y ∈[716, 2], ∴A ＝{y |716≤y ≤2}． 化简集合B , 由x ＋m 2≥1, ∴x ≥1－m 2, B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件, ∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716, ∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞, －34]∪[34, ＋∞)．12．证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a＝1.证明：先证充分性：若a ＝1, 则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1.∵f (x )的定义域为R , 且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x －112x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x＋1＝－f (x )．∴函数f (x )是奇函数．再证必要性：①若函数f (x )是奇函数, 则f (－x )＝－f (x )． ∴a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1,∴a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1,∴a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2, ∴2(a －1)(2x ＋1)＝0, ∴a ＝1.综上所述：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a＝1.03课堂效果落实。

新人教A版高中数学选修2-1全册课时同步分层练习1、命题2、四种命题四种命题间的相互关系3、充分条件与必要条件4、简单的逻辑联结词5、全称量词与存在量词6、曲线与方程7、椭圆及其标准方程8、椭圆的简单几何性质9、椭圆的标准方程及性质的应用10、双曲线及其标准方程11、双曲线的简单几何性质12、抛物线及其标准方程13、抛物线的简单几何性质14、空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算15、空间向量的数量积运算16、空间向量的正交分解及其坐标表示17、空间向量运算的坐标表示18、空间向量与平行关系19、空间向量与垂直关系20、空间向量与空间角1、命题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．x2＋y2＝0B [对于A ，是疑问句，不是命题；对于C ，D ，不能判断真假，不是命题；对于B ，是陈述句且能判断真假，是命题．]2．下列命题中是假命题的是( ) A ．a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a ⊥b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b D ．若α＝60°，则cos α＝12B [因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，所以a ＝b 不一定成立，故选B.] 3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( ) A ．两条直线 B ．一个平面C ．垂直D ．两条直线垂直于同一个平面D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．] 4．下列四个命题中，真命题是( ) A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2C ．1a ＜1b⇒a ＞bD ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dD [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3C [由题意知，Δ＝a 2－4<0，故a ＝0符合题意．] 二、填空题6．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p ：________， 结论q ：________．它是________命题(填“真”或“假”)．a >0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a >0时，设a ＝1，把(0，0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p ，则q ”的形式为________．若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p ，则q 的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．] 8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；(3)正弦值相等的两个角的终边相同．[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．[能力提升练]1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )A ．余弦值B ．第二象限C ．一个角是第二象限角D ．没有条件C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.] 3．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．② [①若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0， 因此b ＝c 不正确；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△AOB 为等边三角形，因此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②.]4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)． ①若a ＞0，b ＞0，则a ＋b2≥ab ；②若a ＋b2≥ab ，则a ＞0，b ＞0；③若a ≠b ，则a ＋b2＞ab ；④若a ＋b2＞ab ，则a ≠b .①④ [①中，由基本不等式可得：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b2≥ab ，正确；②中，当a ＝b＝0时，满足a ＋b2≥ab ，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ，b 都为正数时成立，否则不成立，错误；④中，由a ＋b2＞ab ，平方得(a －b )2＞0，虽然a ≠b ，正确，故填①④.]5．已知p ：5x －1＞a ，q ：x ＞1，请确定实数a 的取值范围，使得(1)“若p ，则q ”为真命题；(2)“若q ，则p ”为真命题．[解] (1)命题“若p ，则q ”即为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．(2)命题“若q ，则p ”即为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a ≤4，故实数a 的取值范围为(－∞，4]．2、四种命题 四种命题间的相互关系(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数C [若命题为“若p ，则q ”，命题的逆否命题为“若¬q ，则¬p ”，所以原命题的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”．故选C.]2．命题“已知a ，b 都是实数，若a ＋b ＞0，则a ，b 不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b ＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 全为0，则a ＋b ≤0”为真命题，故选C.]3．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( ) A ．原命题为真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” B ．原命题为真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0” C ．原命题为假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” D ．原命题为假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”B [逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.]4．命题“若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是增函数D ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是增函数A [命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若¬q ，则¬p ”．“f (x )在其定义域内是减函数”的否定是“f (x )在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f (x )在其定义域内是增函数”．]5．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福 D ．不拥有的人们不幸福D [“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，它的逆否命题为：如果这个人没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的，即“不拥有的人们就不幸福”，故选D.]二、填空题6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________．若x ≤－2或x ≥2，则x 2≥4 [命题“若x 2<4，则－2<x <2的逆否命题为“若x ≤－2，或x ≥2，则x 2≥4”．]7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．[1，2] [逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.] 8．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”是________命题(填“真”“假”)．假 [命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0时，x ＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题．]三、解答题9．写出命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解] ∵原命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”， ∴它的逆命题是：若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0，是真命题； 否命题是：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2，是真命题； 逆否命题是：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题． 10．证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.[证明] 若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝(a －b )－1＝0成立，∴根据逆否命题的等价性可知：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1成立．[能力提升练]1．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是( ) A ．逆命题为“周期函数不是单调函数” B ．否命题为“单调函数是周期函数” C ．逆否命题为“周期函数是单调函数” D ．以上三者都不正确D [原命题的逆命题是“非周期函数是单调函数”，故A 不正确；原命题的否命题是“非单调函数是周期函数”，故B 不正确；原命题的逆否命题是“周期函数不是单调函数”，故C 不正确．]2．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(0，2]C ．[－1，1)D ．[0，2]D [由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为________．1 [易判断原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．逆命题：若一个四边形对角线互相垂直，则该四边形为菱形，为假命题．故原命题的否命题也是假命题．]4．下列命题中为假命题的是________(填序号)．①“若k >0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．① [对于①，“若k >0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题为“若k ≤0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，当k ≤0时，Δ＝4－4k >0.所以方程有实根，所以①为假命题．对于②，“若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题是“若a ＝0或b ＝0，则a ·b ＝0”，所以②是真命题．对于③，“梯形不是平行四边形”是真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③为真命题．]5．已知数列{a n}是等比数列，命题p：若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列，请写出命题p的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．[解]命题p的逆命题：已知数列{a n}是等比数列，若数列{a n}是递增数列，则a1<a2<a3；命题p的否命题：已知数列{a n}是等比数列，若a1≥a2或a2≥a3，则数列{a n}不是递增数列；命题p的逆否命题：已知数列{a n}是等比数列，若数列{a n}不是递增数列，则a1≥a2或a2≥a3.设数列{a n}的公比为q，若a1<a2<a3，则有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题与命题p是等价命题，命题p的否命题与命题p的逆命题也是等价命题，所以命题p的逆命题、否命题与逆否命题都是真命题．3、充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]2．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C[|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1A [由函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称可得－m2＝1，即m ＝－2，且当m＝－2时，函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，故选A.]4．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件．s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由题可知，p ⇒q ⇒r ⇔s ，则p ⇒s ，sp ，故s 是p 的必要不充分条件．]5．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]D [由x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件得(－1，4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题6．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．充分不必要 [A ＝{x |x (x －1)<0}＝{x |0<x <1}B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．]7．“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件．充分不必要 [当a >0时，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2＋1－14a ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，此时y ＝x ＋1 在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．] 8．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． [3，＋∞) [由x (x －3)<0得0<x <3，由2x －3<m 得x <12(m ＋3)，由p 是q 的充分不必要条件知{x |0<x <3}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12（m ＋3）， 所以12(m ＋3)≥3，解得m ≥3.]三、解答题9．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围． [解] 设q 、p 表示的范围分别为集合A 、B ， 则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6 ， 即a 的取值范围为[－1，6]．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究数列{a n }是等差数列的充要条件． [解] 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ， ∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＝2为常数． 又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c .∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2， ∴c ＝－1.反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，∴{a n }为等差数列， ∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.[能力提升练]1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a ≥b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3A [由a ≥b ＋1>b ，从而a ≥b ＋1⇒a >b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a >b a ≥b ＋1，故A 正确．]2．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a <1C [一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a<0，即a <0，则充分不必要条件的范围应是集合{a |a <0}的真子集，故选C.]3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件． 充分不必要 [∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．]4．已知f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________．(3，＋∞) [因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4，f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件， 所以2－t <－1，即t >3.]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p ，即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p 2－p p ＋q＝p .所以－p ＝pq ，即q ＝－1.所以数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.4、简单的逻辑联结词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用了逻辑联结词，共有3个，故选C.]2．已知p ：x ∈A ∩B ，则¬p 是( ) A ．x ∈A 且x B B ．x A 或x B C ．x A 且x BD ．x ∈A ∪BB [x ∈A ∩B ，即x ∈A 且x ∈B ，故¬p 是x A 或x B .] 3．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，¬p 为假 B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为真C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，¬p 为假D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假D [∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假，应选D.] 4．给出命题p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1.那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )D [对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p 为真．对于q ，当x <0时，不等式1x <1恒成立；当x >0时，不等式的解集为{x |x >1}．故不等式1x<1的解集为{x |x <0或x >1}．故命题q 为假命题．结合各选项知，只有(¬p )∨(¬q )为真．故选D.]5．已知p ：|x －1|≥2，q ：x ∈Z ，若p ∧q ，¬q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x Z }C ．{x |x ＜－1或x ∈Z }D ．{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }D [p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z ，由p ∧q ，¬q 同时为假命题知，p 假q 真，∴x 满足－1＜x ＜3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }．]二、填空题6．已知命题s ：“函数y ＝sin x 是周期函数且是奇函数”，则 ①命题s 是“p ∧q ”形式的命题； ②命题s 是真命题；③命题¬s ：函数y ＝sin x 不是周期函数且不是奇函数； ④命题¬s 是假命题．其中，叙述正确的是________(填序号)①②④ [命题s 是“p ∧q ”形式的命题，①正确；命题s 是真命题，②正确；命题¬s ：函数y ＝sin x 不是周期函数或不是奇函数，③不正确；命题¬s 是假命题，④正确．]7．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p ：“甲的成绩超过9环”，命题q ：“乙的成绩超过8环”，则命题“p ∨(¬q )”表示________．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环 [¬q 表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p ∨(¬q )”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．]8．已知命题p ：{2}∈{1，2，3}，q ：{2}⊆{1，2，3}．给出下列结论：①“p ∨q ”为真；②“p ∨q ”为假；③“p ∧q ”为真；④“p ∧q ”为假；⑤“¬p ”为真；⑥“¬q ”为假．其中正确结论的序号是________．①④⑤⑥ [由题意知，p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真，“¬q ”为假，故①④⑤⑥正确．]三、解答题9．已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，命题q ：2∈{x |x 2<a }．(1)若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．[解]若p为真命题，则1∈{x|x2<a}，故12<a，即a>1；若q为真命题，则2∈{x|x2<a}，故22<a，即a>4.(1)若“p∨q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p∧q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，¬)表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．[解](1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为¬p∧¬q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧¬q；②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为¬p∧q.所以命题t表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.法二：¬u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是¬r，从而命题u表示为¬(¬p∧¬q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)∨(p∧q)．[能力提升练]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨qA[依题意，¬p：“甲没有降落在指定范围”，¬q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p )∨(¬q )．]2．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )A [对于命题p ：因为a ·b ＝0，b ·c ＝0，所以a ，b 与b ，c 的夹角都为90°，但a ，c 的夹角可以为0°或180°，故a ·c ≠0，所以命题p 是假命题；对于命题q ：a ∥b ，b ∥c ，说明a ，b 与b ，c 都共线，可以得到a ，c 的方向相同或相反，故a ∥c ，所以命题q 是真命题．选项A 中，p ∨q 是真命题，故A 正确；选项B 中，p ∧q 是假命题，故B 错误；选项C 中，¬p 是真命题，¬q 是假命题，所以(¬p )∧(¬q )是假命题，故C 错误；选项D 中，p ∨(¬q )是假命题，所以D 错误．]3．p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p ∧q 为假命题，则x 的取值范围是________． (－∞，－1]∪[3，＋∞) [p 为真时，由1x －3<0得x <3，q 为真时，由x 2－4x －5<0得－1<x <5，若p ∧q 为假命题，则p 为假命题或q 为假命题，所以x ≥3或x ≤－1或x ≥5，即x ≤－1或x ≥3.]4．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(5－2a )x是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，－2] [p 为真时，Δ＝4a 2－16<0，即－2<a <2，q 为真时，5－2a >1，即a <2，由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知，p 和q 一真一假，即p 真q 假或p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <2，解得a ≤－2.] 5．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若p ∨q 与¬q 同时为真命题，求实数a 的取值范围．[解] 若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，－a >－1，（－1）2－2a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，a <1，2－2a >0，解得a ≤－1. 若命题q 为真，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0≤a <4.因为p ∨q 与¬q 同时为真命题，所以p 真且q 假．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．5、全称量词与存在量词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题为特称命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0D [A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是特称命题，故选D.]2．下列命题为真命题的是( ) A ．x ∈R ，cos x <2 B ．x ∈Z ，log 2(3x －1)<0 C ．x >0，3x>3D ．x ∈Q ，方程2x －2＝0有解A [A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13<x <23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2Q ，所以D 是假命题．故选A.]3．命题“x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0C [原命题的否定为“x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”，故选C.]4．命题p ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若¬p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4]B ．[0，4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [当a ＝0时，不等式恒成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4，则¬p ：a <0或a >4.] 5．已知命题p ：x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧¬q C ．¬p ∧qD ．¬p ∧¬qB [∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴¬p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2<b 2，∴命题q 为假命题，∴¬q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧¬q 为真命题，¬p ∧q 为假命题，¬p ∧¬q 为假命题．故选B.] 二、填空题 6．下列命题：①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称命题的为________，是特称命题的为____________． (填序号)②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]7．命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是____________________．有些偶函数的图象关于y 轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y 轴不对称”．]8．已知命题：“x 0∈[1，2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__________．[－8，＋∞) [当x ∈[1，2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，∴3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8.] 三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)x 0，y 0∈Z ，3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．[解] 法一：由题意知：x 2＋2ax ＋2－a >0在[1，2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：¬p ：x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0. 解得a ≤－3. 故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．已知命题p ：对任意x ∈R ，都有cos x ≤1，则命题p 的否定为( ) A ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≤1 B ．对任意x ∈R ，都有cos x ＞1 C ．存在x 0∈R ，使得cos x 0＞1 D ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≥1C [根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.]2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C [f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a ，当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值， ∴x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．]3．命题“n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为________．n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为“n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0”．]4．命题p ：x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ [0≤x ≤π，则π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1；而命题p ：x ∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32.] 5．已知命题p ：x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0，命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0，若p 假q 真，求实数a 的取值范围．[解] 因为命题p 是假命题，所以命题¬p ：x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0是真命题，则(a －1)2－4>0， 解得a <－1或a >3.因为命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0是真命题． 所以当a ＝0时，－3<0，不满足题意； 当a <0时，(－2a )2＋12a >0，所以a <－3.当a >0时，函数y ＝ax 2－2ax －3的图象开口向上，一定存在满足条件的x 0，故a <－3或a >0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．6、曲线与方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”包括“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”和“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”两个方面，所以“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的必要不充分条件，故选B.]2．方程y ＝－3－x 2表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．一条射线 C ．半个圆D ．一条直线C [方程y ＝－3－x 2可化为x 2＋y 2＝3(y ≤0)，故选C.]3．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－3y 2＝4 B ．x 2＋3y 2＝4 C ．x 2－3y 2＝4(x ≠±1) D ．x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)D [由点B 与点A (－1，1)关于原点对称，得点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得k AP ·k BP ＝y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13(x ≠±1)，化简得x 2＋3y 2＝4，且x ≠±1.故动点P的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．]4．已知点P 是直线x －2y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．x －2y －5＝0C ．x －2y －7＝0D ．x －2y ＋7＝0D [设P (x 0，y 0)，则x 0－2y 0＋3＝0 (*)．又设Q (x ，y )，由|PM |＝|MQ |，知点M 是线段PQ 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x 0＋x 2，2＝y 0＋y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2－x ，y 0＝4－y .(**)．将(**)代入(*)，得(－2－x )－2(4－y )＋3＝0，即x －2y ＋7＝0.故选D.]5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2. 即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2.] 二、填空题6．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________． 点(1，2) [由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以方程(x －1)2＋y －2＝0表示点(1，2)．]7．设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要 [由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线的一部分，则丙⇒丁，但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]8．已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．y 2＝4x [由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由。

（人教A版）高中数学选修1-2（全册）课时同步练习汇总[课时作业][A组基础巩固]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72 015的末两位数字为()A．01B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 015＝4×503＋3，所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.答案：B2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．答案：C3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：等比数列中积――→类比等差数列中的和 ∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 答案：D4．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应4个图形：那么4个图表中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2)B ．(1)，(3)C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)． 答案：C5．n 个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 015到2 017箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→D ．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2015到2 017为→↓，故应选D. 答案：D6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．解析：观察知第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴第7个三角形数为7×(7＋1)2＝28.答案：287．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n .答案：x(2n －1)x ＋2n9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论．解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直――→类比侧面垂直．直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两相互垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD ”．10．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解析：当n ＝1时，a 1＝1 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：a n ＝1n(n ＝1,2，…)． [B 组 能力提升]1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －a B ．a 100＝－b ，S 100＝2b －a C ． a 100＝－b ，S 100＝b －a D ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析：∵a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b . 且a 7＝a 6－a 5＝a ，a 8＝b ，…，∴数列{a n }具有周期性，周期为6，且S 6＝0 则a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a . 答案：A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等； ③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等． A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合． 答案：B3．已知x >0，由不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…我们可以得出推广结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.解析：由观察可得：x ＋a x n ＝n x xx n n n ++个式子＋axn ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1a n n ＝n ＋1，则a ＝n n . 答案：n n4．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5<210，8＋2＋12－2<210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210.答案：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210 5．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？ 并证明你的猜想．解析：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos (2α＋60°)2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝⎛⎭⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.6．已知椭圆具有以下性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则 N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).[课时作业] [A 组 基础巩固]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确． 答案：C2．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B ，∴a <b ，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提． 答案：B3．“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案：B4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式 解析：B 、C 、D 是合情推理，A 为演绎推理． 答案：A5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( ) A ．类比推理 B ．归纳推理 C ．演绎推理D ．一次三段论解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 答案：C6．下面几种推理：①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°；②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人； ③由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式其中是演绎推理的是________．解析：①是三段论，②④是归纳推理，③是类比推理． 答案：①7．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2<0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2，所以0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案：[0,2]8．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥09．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥F A，求证：ED ＝AF.证明：同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥F A，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论10．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)<0.对任意正数a，b，若a<b，求证：af(b)<bf(a)．证明：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由题设条件知F (x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．若0<a<b，则F(a)>F(b)，即af(a)>bf(b)．又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴af(a)<bf(a)，且bf(b)>af(b)．所以bf(a)>af(b)．[B组能力提升]1．设a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．无错误解析：小前提中“x >0”条件不一定成立，不满足利用基本不等式的条件． 答案：B2．已知函数f (x )＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A ＝12sin2α，B ＝1＋α24α，则( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A 与B 的大小不确定解析：作y ＝kx 及f (x )＝|sin x |的图象依题意，设y ＝kx 与y ＝f (x )相切于点M 设M (α，|sin α|)，α∈(π，32π)．由导数的几何意义，f ′(α)＝|sin α|α，则－cos α＝－sin αα,∴α＝tan α. 由A ＝12sin 2α＝sin 2α＋cos 2α4sin αcos α＝tan 2α＋14tan α∴A ＝1＋α24α＝B .答案：C3．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是________．解析：写成三段论的形式：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变大前提 (a 2＋a ＋1)x >3，a 2＋a ＋1>0小前提 x >3a 2＋a ＋1结论 答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．4．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 016)＝________.解析：令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)① 令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2) ∴f (x )＝－f (x ＋3)， ∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)，∴f (x )＝f (x ＋6)，即f (x )周期为6， ∴f (2 016)＝f (6×336＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12,即f (2 016)＝12.答案：125．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )， (1)求证：f (x 2)＝2f (x )． (2)求f (1)的值．(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围． 证明：(1)∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，x 、y ∈(0，＋∞)． ∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )． (2)令x ＝1，则f (1)＝2f (1)∴f (1)＝0. (3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f [x (x ＋3)]，且f (4)＝2. 又f (x )在(0，＋∞)上单调递增．所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n }是等比数列．(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立． 证明：(1)∵a n ＋1＝4a n －3n ＋1 ∴a n ＋1－(n ＋1)＝4a n －4n ，n ∈N *. 又a 1－1＝1所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)可知，a n －n ＝4n －1，于是a n ＝4n －1＋n 故S n ＝4n －13＋n (n ＋1)2.(3)S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋(n ＋1)(n ＋2)2－4⎣⎡⎦⎤4n －13＋n (n ＋1)2. ＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0，故S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *恒成立.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 答案：B2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1bD ．－1b解析：f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ，则证明的依据应是( ) A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔(a －c )·(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C4．在不等边△ABC 中，a 为最大边，要想得到 A 为钝角的结论，对三边a ，b ，c 应满足的条件，判断正确的是( ) A ．a 2<b 2＋c 2 B ．a 2＝b 2＋c 2 C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：要想得到A 为钝角，只需cos A <0，因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以只需b 2＋c 2－a 2<0，即b 2＋c 2<a 2. 答案：C5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a ≤b解析：a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x <0时，0<b <1. ∴a >b . 答案：A 6．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 解析：∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－ 45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.答案：－37．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤9．设a ，b 大于0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 故原不等式a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f (x ＋12)为偶函数．证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称． ∴f (x ＋1)＝f (－x ) ，则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称，∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b .则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a (x －12)2＋c －a4，∴f (x ＋12)＝ax 2＋c －a4为偶函数．[B 组 能力提升]1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B2．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B3．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD (侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1， 只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 因为CC 1⊥B 1D 1，只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1， 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)4．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －a |<1⇔a －1<x <a ＋1，由题意知(12，32)⊆(a －1，a ＋1)，则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32(且等号不同时成立)，解得12≤a ≤32.答案：12≤a ≤325．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3. ③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac . ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C . ⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解析：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.(3)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．用反证法证明：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．” 答案：D2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾∴a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D3．(1)已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，(2)已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1，以下结论正确的是( ) A ．(1)与(2)的假设都错误 B ．(1)与(2)的假设都正确 C ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D ．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p ＋q >2；(2)的假设正确． 答案：D4．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，①又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2.∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 至少有一个不小于2.答案：D5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至少有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°. 答案：B6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”． 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：显然①、②不能推出，③中a ＋b >2能推出“a ，b 中至少有一个大于1”否则a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．④中取a ＝－2，b ＝0，推不出． 答案：③8．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设________．设全体质数为p 1，p 2，…，p n ，令p ＝p 1p 2…p n ＋1.显然，p 不含因数p 1，p 2，…，p n .故p 要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p 1，p 2，…，p n 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个． 解析：由反证法的步骤可得．答案：质数只有有限多个 除p 1，p 2，…，p n 之外9．用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立． 10．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解之得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立．故方程f (x )＝0没有负实根．[B 组 能力提升]1．已知直线a ，b 为异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线． 答案：C2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 解析：“a 、b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为03．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n . 答案：04．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14，证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1，所以1－a >0.由基本不等式(1－a )＋b 2≥(1－a )b >12同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12以上三个不等式相加(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32. 这是不可能的．故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.5．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .证明数列{c n }不是等比数列． 证明：假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝⎛⎭⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p.②当p ，q 异号时，p q ＋qp <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ， 所以p q ＋qp >2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数． A ．①②③B ．③②①C．②③①D．②①③解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．答案：D2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．答案：D3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．答案：D4．求证：3＋7<2 5.证明：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7<25，只需证明(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，即21<5，只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．答案：B5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是()开始第1次第2次第3次A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．答案：C6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为()A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.答案：A7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是() A．a，b至少有一个不为0B ．a ，b 至少有一个为0C ．a ，b 全不为0D ．a ，b 中只有一个为0解析：“a ，b 全为0”的反设应为“a ，b 不全为0”，即“a ，b 至少有一个不为0”． 答案：A8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2. 答案：C9．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：在等比数列{a n }中，q ＝2≠1， 设首项为a 1≠0，则S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15a 1，又a 2＝a 1q ＝2a 1， 故S 4a 2＝15a 12a 1＝152. 答案：C10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)11．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP ，用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP 12.2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415……若 6＋a b＝6 a b(a ，b 均为实数)，猜想，a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35. 答案：6 35 13．观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为____________．解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，所以第n 个式子可为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)214. 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．若定义在区间D 上的函数f (x )对于 D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：332三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解：由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.17．(12分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式． 解析：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x (23－1)x ＋23，…，由此归纳可得f n(x )＝x(2n －1)x ＋2n(x ＞0)． 18．(12分)设函数f (x )＝lg |x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )． 证明：0＜ab ＜1. 证明：f (x )＝lg |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，(x ≥1)，－lg x ，(0＜x ＜1). ∵0＜a ＜b ，f (a )＞f (b )．∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上， 又由于0＜a ＜b ，故必有a ∈(0,1)． 若b ∈(0,1)，显然有0＜ab ＜1； 若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )＞0， 有－lg a －lg b ＞0， ∴lg(ab )＜0，∴0＜ab ＜1.19．(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角． 解析：(1) b a< cb.证明如下： 要证b a< c b ，只需证b a <c b. ∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2<ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：解法一：假设角B 是钝角，则cos B <0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．解法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b >0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．20．(13分)(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明|f ′(x )|≤2A .解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)解：当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)．故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1. 令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1， 则A 是|g (t )|在[－1,1]上的最大值， g (－1)＝α，g (1)＝3α－2， 且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝⎛⎭⎫1－α4a ＝－(α－1)28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1,1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|， 所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)>g ⎝⎛⎭⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α－|g (－1)|＝(1－α)(1＋7α)8α>0.所以A ＝⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1， 所以|f ′(x )|≤1＋α<2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .21．(14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.解析：(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5，又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5.(2)当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列．∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)知a 1＝1.又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.(3)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 答案：D2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0， b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B3．已知复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )A ．1或－1B ．1C ．－1D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.答案：C4．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.答案：A5．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：B6．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3) i(x ∈R)，则x ＝________.解析：∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，。

2014-2015学年度第十二周高二数学测练卷一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1．若p ：x 2﹣4x ＋3＞0；q ：x 2＜1，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设命题:p 函数x y 1=在定义域上为减函数；命题:q ,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b+=，以下说法正确的是 A ．p ∨q 为真 B ．p ∧q 为真 C ．p 真q 假 D ．p ，q 均假3．“46k <<”是“方程22164x y k k +=--表示椭圆”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点,且AB =3,则C 的方程为( ) (A) 22x +y 2=1 (B) 23x +22y =1 (C) 24x +23y =1 (D) 25x +24y =1 5．下列命题的说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320,x x -+= 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ,则2320x x -+≠”．B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题:,p x R ∀∈210,x x ++> 则:,p x R ⌝∃∈210.x x ++≤D ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题．6．命题“若0x >,则20x >”的否命题是（ ）．A ．若20x >,则0x >B ．若0x >,则20x ≤C ．若20x ≤,则0x ≤D ．若0x ≤,则20x ≤7．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是（ ）A ．存在01,23>+-∈x x R xB ．存在01,23≥+-∈x x R xC ．不存在01,23≤+-∈x x R xD ．对任意的01,23>+-∈x x R x8．下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1≠x ，则0232≠+-x x ”的逆否命题是“若0232=+-x x ，则1=x ” B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x 十1≠0，则p ⌝：x ∃∈R ，012=++x xD ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件9．已知命题p ：200,10x R mx ∃∈+≤，命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>若q p ∨为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．22≤≤-mB ．2-≤m 或2≥mC ．2-≤mD ．2≥m10．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.[－2,0)C.(－2,0)D.(0,2)11．若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）[10,6]- （B ）(6,2]- （C ）[2,10]- （D ）(2,10)-12．下列命题中假命题有 （ ）①m R ∃∈，使2431()(2)m m f x m x m-+=++是幂函数； ②R θ∃∈，使3sin cos 5θθ=成立； ③a R ∀∈，使220ax y a ++-=恒过定点；④0x ∀>，不等式24a x x+≥成立的充要条件2a ≥. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13．设21F F ，分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，3=OM ，则P 点到椭圆左焦点距离为________．14．已知椭圆C ：2212516x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．15．设(5,0)M -,(5,0)N ,△MNP 的周长是36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为16．已知：对∀x ＞0，a≤x+恒成立，则a 的取值范围为 ．高二数学第十二周训练卷答题卡13. 14.15. 16.三、解答题（共70分）17．已知命题p ：11[1,3],()102x x m -∀∈+-<， 命题q ：2(0,),40x mx x ∃∈+∞+-=.若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围.18．已知0208:2≤--x x p ；)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若p ⌝是q ⌝的必 要非充分条件，求实数m 的取值范围．19．已知命题A “2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”．（1）写出命题A 的否定；（2）若命题A 是假命题，求出实数a 的取值范围.20．设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为）（03,F -,且过点）（02,D .（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点），（211A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.22．设p ：“,R x ∈∃012=+-ax x ”，q ：“函数ax x y 22-=12++a 在),0[+∞∈x 上的值域为),1[+∞”，若“q p ∨”是假命题，求实数a 的取值范围．—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————参考答案1．B2．D3．C4．C5．D6．D7．A8．B ．9．D10．C11．（C ）12．B13．414．2015．+=1（y≠0）．16．a≤2．17．1[,0)16- 18．9≥m19．(1) 01)1(,2≥+-+∈∀x a x R x(2) 31≤≤-a 20．22205x y ＋＝1或2246565x y ＋＝1 21．(1) 1422=+y x . (2) 14142122=-+-）（）（y x . 22．20a -<<.。

高二数学课时作业新人教A版选修2_1课时作业1命题课时作业2四种命题间的相互关系课时作业3充分条件与必要条件课时作业4且或非课时作业5全称量词存在量词含有一个量词的命题的否定课时作业6曲线与方程求曲线的方程课时作业7椭圆及其标准方程课时作业8椭圆的简单几何性质课时作业9直线与椭圆的位置关系课时作业10双曲线及其标准方程课时作业11双曲线的简单几何性质课时作业12抛物线及其标准方程课时作业13抛物线的简单几何性质课时作业14空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算课时作业15空间向量的数量积运算课时作业16空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业17空间向量运算的坐标表示课时作业18空间向量与平行垂直关系课时作业19利用空间向量求角和距离课时作业1 命 题|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列语句不是命题的有( )①若a >b ,b >c ,则a >c ；②x >2；③3<4；④函数y ＝a x (a >0,且a ≠1)在R 上是增函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①③是可以判断真假的陈述句,是命题；②④不能判断真假,不是命题． 答案：C2．(陕西高考)设z 是复数,则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0,则z 是实数B ．若z 2<0,则z 是虚数C ．若z 是虚数,则z 2≥0D ．若z 是纯虚数,则z 2<0解析：实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设z ＝a ＋b i(a ,b ∈R ),则z 2＝a 2－b 2＋2ab i,由z 2≥0,得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0,故选项A 为真,同理选项B 为真；而选项C 为假,选项D 为真．答案：C3．已知a ,b 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则a ⊥α,b ⊥β, 则下列命题中,假命题是( )A ．若a ∥b ,则α∥βB ．若α⊥β,则a ⊥bC ．若a ,b 相交,则α,β相交D ．若α,β相交,则a ,b 相交解析：由已知a ⊥α,b ⊥β,若α,β相交,a ,b 有可能异面．答案：D4．命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D．这个四边形是平行四边形解析：把命题改写成“若p,则q”的形式后可知C正确．故选C.答案：C5．已知下列命题：(1)已知平面向量a,b,若a·b＝0,则a⊥b；(2)已知平面向量a,b,若a∥b,则a＝λb(λ∈R)；(3)若两个平面同时垂直于一条直线,则这两个平面平行；(4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同,则该几何体是正方体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：对于(1),当a,b中有一个为零向量时,a⊥b不成立,故(1)是假命题；对于(2),当b＝0,a≠0时,a＝λb不成立,故(2)是假命题；(3)为真命题；对于(4),几何体还可以是球,故(4)为假命题．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列语句中是命题的有________(写出序号),其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中,若∠A＝∠B,则sin A＝sin B；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题；②是假命题,0既不是正数也不是负数；③是假命题,没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句,不是命题．答案：②③④④7．给出下面三个命题：①函数y＝tan x在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③若a>b>1,则0<log a b<1.其中是真命题的是________．(填序号)解析：①是假命题,反例：x＝2π＋π6和x＝π4,tan⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝33,tanπ4＝1,2π＋π6>π4,但tan⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tanπ4.②是假命题,反例：y＝1x是奇函数,但其图象不过原点．③是真命题,由对数函数的图象及单调性可知是真命题．答案：③8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________．解析：∵ax2－2ax－3>0不成立,∴ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时,－3≤0恒成立；当a≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a<0.综上,－3≤a≤0.答案：[－3,0]三、解答题(每小题10分,共20分)9．判断下列语句是否为命题,并说明理由．(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解析：(1)是陈述句,能判断真假,是命题．(2)是陈述句,能判断真假,是命题．(3)不是陈述句,不是命题．(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题．10．判断下列命题的真假：(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N,则x3>x2成立；(3)若m>1,则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．解析：(1)假命题．反例：1≠4,5≠2,而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时,x3>x2不成立．(3)真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0,所以方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆． |能力提升|(20分钟,40分)11．给出下列三个命题①若a ≥b >－1,则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ,则 m (n －m )≤n 2； ③设P 1(x 1,y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点,圆O 2以Q (a ,b )为圆心且半径为1,当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时,圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①因为a ≥b >－1,所以a ＋1≥b ＋1>0. 所以a 1＋a －b 1＋b ＝a －b (1＋a )(1＋b )≥0, 所以a 1＋a ≥b 1＋b.故①为真命题． ②因为正整数m ,n 满足m ≤n ,有m >0,n －m ≥0, 所以m (n －m )≤m ＋(n －m )2＝n 2. 故②为真命题．③的实质是点P 1(x 1,y 1)在⊙O 1上,又P 1(x 1,y 1)也在⊙O 2上,但两圆相交于点P 1并不能保证两圆相切．故③为假命题．答案：B12．命题“若x ∈R ,则x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立”是真命题,则实数a 的取值范围为________．解析：要使x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立,则有Δ＝(a －1)2－4≤0,解得－1≤a ≤3.答案：[－1,3]13．判断下列命题的真假,并说明理由：(1)函数y ＝a x 是指数函数；(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2有唯一解．解析：(1)当a>0且a≠1时,函数y＝a x是指数函数,所以是假命题．(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1,当a＝1时,方程无解；当a≠1时,方程有唯一解,所以是假命题．14．将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时,方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x,y为非零自然数,当y－x＝2时,y＝4,x＝2.解析：(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题．(2)若a>－1,则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根,是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题．(4)已知x,y为非零自然数,若y－x＝2,则y＝4,x＝2,是假命题．课时作业2 四种命题四种命题间的相互关系|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．命题“若p,则綈q”的逆命题是( )A．若綈q,则p B．若綈p,则綈qC．若綈q,则綈p D．若p,则綈q解析：命题“若p,则綈q”中,p是条件,綈q是结论,将原命题的条件和结论互换即得逆命题“若綈q,则p”．答案：A2．命题“若|a|＝|b|,则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．4解析：原命题是假命题,则逆否命题也是假命题．逆命题：若a＝b,则|a|＝|b|,是真命题．因此否命题也是真命题．所以四个命题中真命题的个数为2.答案：C3．与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( )A．能被3整除的整数,一定能被6整除B．不能被3整除的整数,一定不能被6整除C．不能被6整除的整数,一定不能被3整除D．不能被6整除的整数,能被3整除解析：即写命题“若一个整数能被6整除,则一定能被3整除”的逆否命题．答案：B4．若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( )A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确解析：设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”．故q 与r为互逆命题．答案：A5．原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|＝|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A．真,假,真 B．假,假,真C．真,真,假 D．假,假,假解析：因为原命题为真,所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|,当z1＝1,z2＝－1时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是假的,故否命题也是假的．故选B.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形；②若一个四边形对角互补,则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④,③和⑥①和⑥,②和⑤①和③,④和⑤7．给出以下命题：①“正多边形都相似”的逆命题；②“若m >0,则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．解析：①逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”,是假命题． ②因为Δ＝1＋4m ,若m >0,则Δ>0,所以x 2＋x －m ＝0有实根,即原命题为真命题,所以逆否命题也为真命题．答案：②8．已知命题“若m －1<x <m ＋1,则1<x <2”的逆命题为真命题,则m 的取值范围是________．解析：由已知得,若1<x <2成立,则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2]三、解答题(每小题10分,共20分)9．写出命题“末位数字是偶数的整数能被2整除”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．解析：因为原命题是：“若一个整数的末位数字是偶数,则它能被2整除”．所以逆命题：若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数,真命题．否命题：若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除,真命题．逆否命题：若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶数,真命题．10．写出命题：“若x －2＋(y ＋1)2＝0,则x ＝2且y ＝－1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假．解析：逆命题：若x ＝2且y ＝－1,则x －2＋(y ＋1)2＝0,真命题； 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0,则x ≠2或y ≠－1,因为逆命题为真,所以否命题为真；逆否命题：若x ≠2或y ≠－1, 则x －2＋(y ＋1)2≠0,显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题． |能力提升|(20分钟,40分)11．命题“设a ,b ,c ∈R ,若a >b ,则ac 2>bc 2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( )A ．0个B ．1个C．2个 D．4个解析：若c＝0,则ac2>bc2不成立,故原命题为假命题．由等价命题同真同假,知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”为真命题,由等价命题同真同假,知原命题的否命题也为真命题,所以共有2个真命题,故选C.答案：C12．在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A∩B≠A,则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B,则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A,则A∪B＝B”；全为真命题．答案：413．设M是一个命题,它的结论是q：x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根,M的逆否命题的结论是綈p：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.(1)写出M；(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．解析：(1)设命题M表述为：若p,则q,那么由题意知其中的结论q为：x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式綈p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3,故綈p的否定形式即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3,则x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．(2)M的逆命题为：若x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根,则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.逆否命题为：若x1,x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根,则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3,则x1,x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．14．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0,则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0,则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1,则a2－4b2－2a＋1＝0”．因为a＝2b＋1,所以a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0, 所以命题“若a＝2b＋1,则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确．课时作业3 充分条件与必要条件充要条件|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．设φ∈R,则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时,函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数,而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时,φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．答案：A2．设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A．丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙D⇒/丙,如图．综上,有丙⇒甲,但甲D⇒/丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件．答案：A3．已知：p：1x－2≥1.q：|x－a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )A．(2,3] B．[2,3]C．(2,3) D．(－∞,3]解析：p ：1x －2≥1⇔2<x ≤3, q ：|x －a |<1⇔a －1<x <a ＋1,因为p 是q 的充分不必要条件,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤2，a ＋1>3，解得2<a ≤3.故选A.答案：A4．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若直线a ,b 相交,设交点为P ,则P ∈α,P ∈b . 又a ⊂α,b ⊂β,所以P ∈α,P ∈β,故α,β相交．反之,若α,β相交,则a ,b 可能相交,也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A5．设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：对于A,当a ＝－b 时,a |a |≠b |b |；对于B,注意当a ∥b 时,a |a |与b|b |可能不相等；对于C ,当a ＝2b 时,a |a |＝2b |2b |＝b |b |；对于D,当a ∥b ,且|a |＝|b |时,可能有a ＝－b ,此时a |a |≠b |b |.综上所述,使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b . 答案：C二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②b 2－4ac <0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0解集为R 的充要条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为____________．解析：①x >2且y >3时,x ＋y >5成立,反之不一定,如x ＝0,y ＝6. 所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0,故②为假命题； ③当a ＝2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则a 1＝21,∴a ＝2.因此,“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0,∴xy ＝1且x >0,y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立,xy ＝1必成立,反之不然．因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知,真命题是④.答案：④7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,s 是r 的必要条件,q 是r 的充分条件,q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件 ②p 是q 的充分条件而不是必要条件 ③r 是q 的必要条件而不是充分条件 ④r 是s 的充分条件而不是必要条件则正确命题序号是________．解析：由p 是r 的充分条件而不是必要条件,可得p ⇒r ,由s 是r 的必要条件可得r ⇒s ,由q 是r 的充分条件得q ⇒r ,由q 是s 的必要条件可得s ⇒q ,故可得推出关系如图所示：据此可判断命题①②正确．答案：①②8．条件p ：1－x <0,条件q ：x >a ,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 解析：p ：x >1,若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q ,但q D ⇒/p ,也就是说,p 对应集合是q 对应集合的真子集,所以a <1.答案：(－∞,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9．下列各题中,判断p 是q 的什么条件．(1)p ：|x |＝|y |,q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形,q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分,q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解析：(1)因为|x |＝|y |D x ＝y ,但x ＝y ⇒|x |＝|y |,所以p 是q 的必要条件,但不是充分条件．(2)因为△ABC 是直角三角形D⇒△ABC 是等腰三角形,△ABC 是等腰三角形D ⇒△ABC 是直角三角形, 所以p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件． (3)因为四边形的对角线互相平分D⇒四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分,所以p 是q 的必要条件,但不是充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ,即r ＝|c |a 2＋b 2, 所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来,若c 2＝(a 2＋b 2)r 2,则|c |a 2＋b 2＝r 成立, 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ,即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,故p 是q 的充要条件．10．已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0),q ：实数x 满足x 2－6x ＋8>0,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．解析：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0,a >0}＝{x |a <x <3a ,a >0}, B ＝{x |x 2－6x ＋8>0}＝{x |x >4或x <2}．∵p 是q 的充分不必要条件,∴AB . 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥4，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a >0，解得a ≥4或0<a ≤23. 故实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0<a ≤23}． |能力提升|(20分钟,40分)11．不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件是( )A ．a <1B ．a <0C ．0<a <1D ．a ≤1解析：要使不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空,当a ＝0时,不等式为－2x ＋1<0,其解集为x >12；当a >0时,Δ＝4－4a >0,即0<a <1；当a <0时,满足不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空．所以不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的充要条件为a <1.所以不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件应该比a <1的范围大． 故选D.答案：D12．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1,则a 的取值范围是________．解析：根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系,应有(－2,－1){x |(a ＋x )(1＋x )<0},故有a >2.答案：(2,＋∞)13．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0,且a ≠1)有意义,q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真,求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解析：(1)因为命题p 为真,则对数的真数－2t 2＋7t －5>0,解得1<t <52. 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q的充分条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2,所以只需a ＋2≥52,解得a ≥12. 则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 14．设x ,y ∈R ,求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明：充分性：如果xy ≥0,则有xy ＝0和xy >0两种情况,当xy ＝0时,不妨设x ＝0,得|x ＋y |＝|y |,|x |＋|y |＝|y |,所以等式成立．当xy >0,即x >0,y >0或x <0,y <0.又当x >0,y >0时,|x ＋y |＝x ＋y ,|x |＋|y |＝x ＋y ,所以等式成立．当x <0,y <0时,|x ＋y |＝－(x ＋y ),|x |＋|y |＝－x －y ＝－(x ＋y ),所以等式成立,总之,当xy ≥0时,|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ,y ∈R ,得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2,即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |,所以|xy |＝xy ,所以xy ≥0.综上可知,“xy ≥0”是“等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立”的充要条件． 课时作业4 且(and) 或(or) 非(not)|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．若命题“p 且q ”为假,且綈p 为假,则( )A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假解析：綈p 为假,则p 为真,而p ∧q 为假,得q 为假．答案：B2．已知p ：|x －1|≥2,q ：x ∈Z ,若p ∧q ,綈q 同时为假命题,则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3,x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3,x ∉Z }C ．{x |x <－1或x ∈Z }D ．{x |－1<x <3,x ∈Z }解析：由p ∧q ,綈q 同时为假,可知p 假,q 真,由|x －1|≥2可得x ≥3或x ≤－1,而p为假q 为真,所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <3，x ∈Z ，即{x |－1<x <3,x ∈Z }．故选D .答案：D3．设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p ：若a ·b ＝0,b ·c ＝0,则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：对于命题p ：因为a ·b ＝0,b ·c ＝0,所以a ,b 与b ,c 的夹角都为90°,但a ,c 的夹角可以为0°或180°,故a ·c ≠0,所以命题p 是假命题；对于命题q ：a ∥b ,b ∥c 说明a ,b 与b ,c 都共线,可以得到a ,c 的方向相同或相反,故a ∥c ,所以命题q 是真命题．则p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是真命题,綈q 是假命题,所以(綈p )∧(綈q )是假命题,p ∨(綈q )是假命题,故选A.答案：A4．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”,应表示为(綈p )∨(綈q )．故选A.答案：A5．已知p ：函数y ＝sin 12x 的最小正周期是π,q ：函数y ＝tan x 的图象关于直线x ＝π2对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：很明显p 和q 均是假命题,所以綈q 为真,p ∧q 为假,p ∨q 为假,故选C.答案：C二、填空题(每小题5分,共15分)6．命题“若a <b ,则2a <2b ”的否命题是________,命题的否定是________．解析：命题“若p ,则q ”的否命题是“若綈p ,则綈q ”,命题的否定是“若p ,则綈q ”． 答案：若a ≥b ,则2a ≥2b 若a <b ,则2a ≥2b .7．已知命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴,q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期．下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的序号是________．解析：因为y ＝|sin x |的周期为T ＝π,且对称轴为x ＝k π2(k ∈Z ),所以x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴,故p真q假．所以p∨q为真,綈q为真,p∧q为假,綈p为假,故①④为真命题．答案：①④8．已知条件p：(x＋1)2>4,条件q：x>a,且綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围是________．解析：由綈p是綈q的充分不必要条件,可知綈p⇒綈q,但綈qD⇒/綈p. 由一个命题与它的逆否命题等价,可知q⇒p但pD⇒/q. 又p：x>1或x<－3,可知{x|x>a}{x|x<－3或x>1},所以a≥1.答案：[1,＋∞)三、解答题(每小题10分,共20分)9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题．(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)若x∈{x|x<1或x>2},则x是不等式(x－1)·(x－2)>0的解．解析：(1)“p且q”形式的命题,其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形,q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“p或q”形式的命题,其中p：若x∈{x|x<1},则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解,q：若x∈{x|x>2},则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解．10．写出下列命题的p∨q,p∧q,綈p的形式,并判断其真假：(1)p：2是有理数；q：2是实数；(2)p：5不是15的约数；q：5是15的倍数；(3)p：空集是任何集合的子集；q：空集是任何集合的真子集．解析：(1)p∨q：2是有理数或2是实数,真命题；p∧q：2是有理数且2是实数,假命题；綈p：2不是有理数,真命题．(2)p∨q：5不是15的约数或5是15的倍数,假命题；p∧q：5不是15的约数且5是15的倍数,假命题；綈p：5是15的约数,真命题．(3)p∨q：空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集,真命题；p∧q：空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集,假命题；綈p：空集不是任何集合的子集；假命题．|能力提升|(20分钟,40分)11．已知p：x＋1>2,q：5x－6>x2,则綈p是綈q的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设集合A ＝{x |x ＋1≤2}＝{x |x ≤1},B ＝{x |5x －6≤x 2}＝{x |x ≤2或x ≥3},由于A B ,所以綈p 是綈q 的充分不必要条件,故选A.答案：A12．已知命题p ：“任意x ∈[1,2],x 2－a ≥0”,命题q ：“存在x ∈R ,x 2＋(a －1)x ＋1<0”．若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,则实数a 的取值范围为________．解析：由已知得p 为真时,a ≤1,q 为真时,a <－1或a >3,因为p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 与q 中一真一假,若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，－1≤a ≤3，可得－1≤a ≤1；若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a <－1或a >3，可得a >3,综上可知,a ∈[－1,1]∪(3,＋∞)．答案：[－1,1]∪(3,＋∞)13．分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”及“綈p ”形式,并判断真假．(1)p ：2n －1(n ∈Z )是奇数,q ：2n －1(n ∈Z )是偶数；(2)p ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),q ：a 2＋b 2≥0；(3)p ：集合中的元素是确定的,q ：集合中的元素是无序的．解析：(1)p ∨q ：2n －1(n ∈Z )是奇数或是偶数；(真) p ∧q ：2n －1(n ∈Z )既是奇数又是偶数；(假)綈p ：2n －1(n ∈Z )不是奇数．(假)(2)p ∨q ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),或a 2＋b 2≥0；(真) p ∧q ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),且a 2＋b 2≥0；(假)綈p ：a 2＋b 2≥0(a ∈R ,b ∈R )．(真)(3)p ∨q ：集合中的元素是确定的或是无序的；(真) p ∧q ：集合中的元素是确定的且是无序的；(真)綈p ：集合中的元素是不确定的．(假)14．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4,由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ＝4a 2－16<0,所以－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数,所以3－2a >1,所以a <1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，所以1≤a <2.(2)若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，所以a ≤－2.综上可知,所求实数a 的取值范围为(－∞,－2]∪[1,2)．课时作业5 全称量词 存在量词 含有一个量词的命题的否定 |基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．命题“∃x 0∈R ,x 30－2x 0＋1＝0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ,x 30－2x 0＋1≠0B ．不存在x ∈R ,x 3－2x ＋1≠0C ．∀x ∈R ,x 3－2x ＋1＝0D ．∀x ∈R ,x 3－2x ＋1≠0解析：特称命题的否定是全称命题,故排除A ；由命题的否定要否定结论,故排除C ；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”,故排除B.答案：D2．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1,－1,0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ,使x 20≤x 0；④∃x 0∈N *,使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①,这是全称命题,由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0,所以2x 2－3x ＋4>0恒成立,故①为真命题；对于②,这是全称命题,由于当x ＝－1时,2x ＋1>0不成立,故②为假命题；对于③,这是特称命题,当x 0＝0或x 0＝1时,有x 20≤x 0成立,故③为真命题；对于④,这是特称命题,当x 0＝1时,x 0为29的约数成立,所以④为真命题．答案：C3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ,使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ,使1x>2 解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时,x 2＝0,所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0,所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ,都有1x<0,所以D 是假命题． 答案：B4．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0,命题q ：∃x 0∈R ,sin x 0－cos x 0＝2,则下列判断中正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：因为2x 2＋2x ＋12＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0,所以p 是假命题． 又sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4≤2,故q 是真命题． 所以选D.答案：D5．若命题“∀x ∈(1,＋∞),x 2－(2＋a )x ＋2＋a ≥0”为真命题,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－2]B ．(－∞,2]C ．[－2,2]∪(1,＋∞)D ．(－∞,－2]∪[2,＋∞)解析：抛物线y ＝x 2－(2＋a )x ＋2＋a 开口向上,对称轴为x ＝2＋a 2,且Δ＝[－(2＋a )]2－4(2＋a )＝a 2－4.根据题意得Δ＝a 2－4≤0或 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0，2＋a2<1，解得－2≤a ≤2或a <－2, 所以a ≤2.故选B. 答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．四个命题：①∀x ∈R ,x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ,x 2＝2；③∃x ∈R ,x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．解析：①当x ＝1时,x 2－3x ＋2＝0,故①为假命题；②因为x ＝±2时,x 2＝2,而±2为无理数,故②为假命题；③因为x 2＋1>0(x ∈R )恒成立,故③为假命题；④原不等式可化为x 2－2x ＋1>0,即(x －1)2>0,当x ＝1时(x －1)2＝0,故④为假命题．答案：07．命题“∀x ∈R,3x 2－2x ＋1>0”的否定是________． 解析：“∀x ∈M ,p (x )”的否定为“∃x 0∈M ,綈p (x 0)”． ∴其否定为∃x 0∈R,3x 20－2x 0＋1≤0. 答案：∃x 0∈R,3x 20－2x 0＋1≤08．设命题p ：∀x ∈R ,x 2＋ax ＋2<0,若綈p 为真,则实数a 的取值范围是________． 解析：綈p ：∃x 0∈R ,x 20＋ax 0＋2≥0,因为綈p 为真,所对应抛物线开口向上,所以a ∈R . 答案：R三、解答题(每小题10分,共20分)9．判断下列语句是全称命题,还是特称命题． (1)0不能作除数；(2)有一个实数a ,a 不能取对数； (3)任何数的0次方都等于1吗？解析：(1)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题． (2)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题．(3)不是命题．10．用“∀”“∃”写出下列命题的否定,并判断真假． (1)二次函数的图象是抛物线；(2)在直角坐标系中,直线是一次函数的图象； (3)有些四边形存在外接圆； (4)∃a ,b ∈R ,方程ax ＋b ＝0无解．解析：(1)∃f (x )∈{二次函数},f (x )的图象不是抛物线．它是假命题． (2)在直角坐标系中,∃l ∈{直线},l 不是一次函数的图象．它是真命题． (3)∀x ∈{四边形},x 不存在外接圆．它是假命题． (4)∀a ,b ∈R ,方程ax ＋b ＝0至少有一解．它是假命题．|能力提升|(20分钟,40分)11．(宁夏银川一中月考)命题p ：∀x ∈R ,ax 2＋ax ＋1≥0,若綈p 是真命题,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞,0]∪[4,＋∞) D．(－∞,0)∪(4,＋∞)解析：当a ＝0时,不等式恒成立；当a ≠0时,要使不等式恒成立,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4. 综上,0≤a ≤4,则命题p ：0≤a ≤4,则綈p ：a <0或a >4.答案：D12．已知函数f (x )为定义在(－∞,3]上的减函数,若f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对任意x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________．解析：由函数的单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立,然后转化为函数的最值问题,⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤(3＋sin x )min ，a 2－a ≥(sin x ＋cos 2x ＋1)max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94，。

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（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步练习+章节检测卷汇总第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180°; ②2>3; ③偶数是自然数; ④x>2; ⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤解析: ①②③是命题, ④中x>2无法判断真假, ⑤是感叹句, 所以④⑤不是命题．答案: A2．下列命题中, 是真命题的是( )A．a>b, c>d⇒ac>bdB．a<b⇒a2<b2C.1a<1b⇒a>bD．a>b, c<d⇒a－c>b－d解析: 可以通过举反例的方法说明A, B, C为假命题．答案: D3．下列命题中真命题的个数为( )①若x2＝1, 则x＝1;②若x＝y, 则x＝y;③若a＞b, 则a＋c＞b＋c;④梯形的对角线一定不垂直．A．1 B．2 C．3 D．4解析: 只有③正确．答案: A4．给出下列命题:①四个非零实数a, b, c, d满足ad＝bc, 则a, b, c, d成等比数列;②若整数a能被2整除, 则a是偶数;③在△ABC中, 若A>30°, 则sin A>1 2 .其中为假命题的序号是( )A．② B．①② C．②③ D．①③解析: ①中, 若a＝－1, b＝52, c＝2, d＝－5满足ad＝bc, 但a, b, c, d不成等比数列, 故是假命题; ③中, 若150°<A<180°, 则sin A<12, 故是假命题．答案: D5．下列命题中, 是真命题的是( )A．若a3＋b3＝0, 则a2＋b2＝0B．若a＞b, 则ac＞bcC．若M∩N＝M, 则N⊆MD．若M⊆N, 则M∩N＝M解析: A.取a＝1, b＝－1, 推不出a2＋b2＝0, A不成立; B.c≤0时, 不成立; C.M∩N ＝M⇒M⊆N, C不成立; D成立．答案: D二、填空题6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”, 写成“若p, 则q”的形式为________．解析: 条件是整数的末位数字是4, 结论是它一定能被2整除．答案: 若一个整数的末位数字是4, 则它一定能被2整除7．已知下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy＝0, 则|x|＋|y|＝0;③若a＞b, 则ac2＞bc2;④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．解析: ①②③④全为假命题．答案: 48．给出下列三个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行．其中, 是真命题的是________(填序号)．答案: ②三、解答题9．判断下列命题的真假．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)有最大值;(2)正项等差数列的公差大于零;(3)函数y＝1x的图象关于原点对称．解: (1)假命题．当a＞0时, 抛物线开口向上, 有最小值．(2)假命题．反例: 若此数列为递减数列, 如数列20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 它的公差是－3.(3)真命题．y＝1x是奇函数, 所以其图象关于(0, 0)对称．10．把下列命题改写成“若p, 则q”的形式, 并判断真假, 且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)与同一直线平行的两个平面平行．解: (1)“若两个实数乘积为1, 则这两个实数互为倒数”, 它是真命题．p: 两个实数乘积为1; q: 两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数, 则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p: 一个函数为奇函数; q: 函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行, 则这两个平面平行”．它是假命题, 这两个平面也可能相交．p: 两个平面与同一条直线平行; q: 两个平面平行．B级能力提升1．已知a、b为两条不同的直线, α、β为两个不同的平面, 且a⊥α, b⊥β, 则下列命题中的假命题是( )A．若a∥b, 则α∥βB．若α⊥β, 则a⊥bC．若a、b相交, 则α、β相交D．若α、β相交, 则a、b相交解析: 易知选项A、B、C都正确, 对于D, α、β相交时, a、b一定不平行, 但不一定相交, 有可能异面, 故D为假命题．答案: D2．给定下列命题:①若k＞0, 则方程x2＋2x－k＝0有实数根;②若a＞b＞0, c＞d＞0, 则ac＞bd;③对角线相等的四边形是矩形;④若xy＝0, 则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．解析: 易知①②④正确, 对于③, 对角线相等且平分时的四边形是矩形, 只满足相等不是矩形．故③错误．答案: ①②④3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题, 是真命题还是假命题? 说明理由．解: 这是一个可以判断真假的陈述句, 所以是命题, 且是真命题．函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根, 也就是方程2x＝x2的实数根, 即函数y＝2x, y＝x2的图象的交点的横坐标, 易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点, 所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．已知命题p: “若ab＝1, 则a＋b≥2”, 则下列说法正确的是( )A．命题p的逆命题是“若ab≠1, 则a＋b<2”B．命题p的逆命题是“若a＋b<2, 则ab≠1”C．命题p的否命题是“若ab≠1, 则a＋b<2”D．命题p的否命题是“若a＋b≥2, 则ab＝1”解析: “若p, 则q”的逆命题是“若q, 则p”, 否命题是“若⌝p, 则⌝q”.答案: C2．设a, b是向量, 命题“若a＝－b, 则|a|＝| b|”的逆命题是( )A．若a≠－b, 则|a|≠| b |B．若a＝－b, 则|a|≠| b |C．若|a|≠| b |, 则a≠－bD．若|a|＝| b |, 则a＝－b解析: 原命题的条件是a＝－b, 作为逆命题的结论; 原命题的结论是|a|＝| b |, 作为逆命题的条件, 即得逆命题, “若|a|＝| b |, 则a＝－b.”答案: D3．设m∈R, 命题“若m>0, 则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根, 则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根, 则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m≤0解析: “方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”; “m>0”的否定即“m≤0”, 故命题“若m>0, 则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m≤0”．答案: D4．下列四个命题中, 真命题为( )①“若x＋y＝0, 则x, y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1, 则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案: C5．与命题“在等差数列{a n}中, 若m＋n＝p＋q, 则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是( )A．在等差数列{a n}中, 若m＋n≠p＋q, 则a m＋a n≠a p＋a qB．在等差数列{a n}中, 若a m＋a n＝a p＋a q, 则m＋n＝p＋qC．在等差数列{a n}中, 若a m＋a n≠a p＋a q, 则m＋n≠p＋qD．在等差数列{a n}中, 若m＋n≠p＋q, 则a m＋a n＝a p＋a q答案: B二、填空题6．命题“若AB＝AC, 则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．解析: 逆否命题: “若△ABC不是等腰三角形, 则AB≠AC”, 为真命题．答案: 真命题7．下列命题:①“若xy＝1, 则x、y互为倒数”的逆命题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“若ac2＞bc2, 则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析: ①“若xy＝1, 则x, y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数, 则xy＝1”, 是真命题; ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”, 是真命题; ③“梯形不是平行四边形”本身是真命题, 所以其逆否命题也是真命题; ④“若ac2＞bc2, 则a＞b”的逆命题是“若a＞b, 则ac2＞bc2”, 是假命题．所以真命题是①②③.答案: ①②③8．有下列四个命题:①“若x＋y＝0, 则x、y互为相反数”的否命题;②“若x＞y, 则x2＞y2”的逆否命题;③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案: 1三、解答题9．判断命题“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解: 因为m>0, 所以12m>0, 所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价, 所以“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．10．已知函数f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数, a, b∈R, 对命题“若a＋b≥0, 则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题, 判断其真假, 并证明你的结论;(2)写出逆否命题, 判断其真假, 并证明你的结论．解: (1)逆命题: 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),则a＋b≥0, 真命题．假设a＋b<0, 则a<－b, b<－a.因为f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,所以f(a)<f(－b), f(b)<f(－a),所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾,所以逆命题为真命题．(2)逆否命题: 若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b), 则a＋b<0, 真命题．因为原命题与其逆否命题等价,所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0, 所以a≥－b, b≥－a.又因为f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,所以f (a )≥f (－b ), f (b )≥f (－a )．所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ),即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．B 级 能力提升1．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n , n ∈N ＋, 则{a n }为递减数列”, 关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性的判断依次如下, 正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假 解析: a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题, 所以其否命题和逆否命题也都是真命题．答案: A2．设原命题: 若a ＋b ≥2, 则a , b 中至少有一个不小于1, 则原命题为________命题, 逆命题为________命题(填“真”或“假”)．解析: 逆否命题为: a , b 都小于1, 则a ＋b <2是真命题．所以原命题是真命题, 逆命题为: 若a , b 中至少有一个不小于1, 则a ＋b ≥2, 例如a ＝3, b ＝－3满足条件a , b 中至少有一个不小于1, 但此时a ＋b ＝0, 故逆命题是假命题．答案: 真 假3．设0<a <1, 0<b <1, 0<c <1, 求证: (1－a )b , (1－b )c , (1－c )a 不同时大于14. 证明: 假设(1－a )b >14, 所以（1－a ）b >12, (1－b )c >14, 所以（1－b ）c >12, (1－c )a >14, 所以（1－c ）a >12. 相加得32<（1－a ）b ＋（1－b ）c ＋（1－c ）a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32左右矛盾, 故假设不成立．所以(1－a )b , (1－b )c , (1－c )a 不同时大于14.第一章 常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件A 级 基础巩固一、选择题1．“x >0”是“3x 2>0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．既是充分条件又是必要条件解析: x >0显然能推出3x 2>0, 而3x 2>0, 不能推出x >0.答案: A2． “α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件解析: “α＝π6＋2k π(k ∈Z)”⇒“cos 2α＝12”, “cos 2α＝12”⇒/ “α＝π6＋2k π”(k ∈Z)．因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z), 所以选A. 答案: A3．“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析: 由ln(x ＋1)<0得－1<x <0, 故“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件． 答案: B4．已知集合M ＝{2, m }, N ＝{1, 2, 3}, 则“m ＝3”是“M ⊆N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 若m＝3, 则M＝{2, 3}, 显然M⊆N; 但当M⊆N时, m＝1或m＝3, 故“m＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．答案: A5．设x、y是两个实数, 命题: “x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1答案: B二、填空题6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1, 则a的取值范围是________．解析: 由已知, 得{x|－2＜x＜－1}{x|(x＋a)(x＋1)＜0},所以－a＜－2⇒a＞2.答案: a＞27．设α、β、γ为平面, m、n、l为直线, 则对于下列条件:①α⊥β, α∩β＝l, m⊥l;②α∩γ＝m, α⊥β, γ⊥β;③α⊥γ, β⊥γ, m⊥α;④n⊥α, n⊥β, m⊥α.其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．答案: ②④8．“x＝1”是“方程x3－3x＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)．答案: 充分三、解答题9．已知p, q都是r的必要条件, s是r的充分条件, q是s的充分条件．那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?解: (1)因为q⇒s, s⇒r⇒q, 所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q, q⇒s⇒r, 所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p, 所以p是q的必要条件．10．已知命题p: α＝β; 命题q: tan α＝tan β, 判断p是q的什么条件?解: 当α＝β＝π2时, 显然tan α与tan β无意义, 即p ⇒/ q , 故p 不是q 的充分条件; 又α＝π4, β＝5π4时, tan α＝tan β, 所以q ⇒/ p , 所以p 不是q 的必要条件,综上, p 既不是q 的充分条件, 也不是必要条件．B 级 能力提升1．对任意实数a , b , c , 在下列命题中, 真命题是( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案: B2． “函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案: a ＝1(或a ＝－1)3．已知a 、b 为不等于0的实数, 判断“ab＞1”是“a ＞b ”的什么条件, 并证明你的结论．解: 由条件“a b ＞1”可得a －bb＞0, 若b ＞0, 则a ＞b ;若b ＜0, 则a ＜b , 所以“a b＞1”“a ＞b ”,“a b＞1”不是“a ＞b ”的充分条件． 反过来, a ＞b ⇔a －b ＞0, 也不能推出a b ＞1⇔a －b b ＞0, “ab＞1”也不是“a ＞b ”的必要条件．所以“ab＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件, 也不是“a ＞b ”的必要条件．第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件A级基础巩固一、选择题1．已知集合A为数集, 则“A∩{0, 1}＝{0}”是“A＝{0}的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 因为“A∩{0, 1}＝{0}”得不出“A＝{0}”, 而“A＝{0}” 能得出“A∩{0, 1}＝{0}”,所以“A∩{0, 1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案: B2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 由于“x2＞2 013”时, 一定有“x2＞2 012”, 反之不成立,所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件．答案: A3．在等比数列{an}中, a1＝1, 则“a2＝4”是“a3＝16”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 数列{an}中, a1＝1, a2＝4, 则a3＝16成立, 反过来若a1＝1, a3＝16, 则a2＝±4, 故不成立, 所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．答案: A4．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析: (m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0,即(m ＋2)(4m －2)＝0. 所以m ＝－2, 或m ＝12.故为充分不必要条件． 答案: B5．已知条件p : x 2－3x －4≤0; 条件q : x 2－6x ＋9－m 2≤0, 若p 是q 的充分不必要条件, 则m 的取值范围是( )A ．[－1, 1]B ．[－4, 4]C ．(－∞, －4]∪[4, ＋∞)D ．(－∞, －1]∪[1, ＋∞)解析: p : －1≤x ≤4, q : 3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0),依题意, ⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4. 答案: C 二、填空题6．给定空间中直线l 及平面α, 条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．解析: “直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”． 答案: 充要条件7．已知α, β角的终边均在第一象限, 则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件” “充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．解析: 若α＝370°>β＝30°, 而sin α<sin β, 所以“α>β”推不出“sinα>sin β”, 若sin 30°>sin 370°, 而30°<370°, 所以sin α>sin β推不出α>β.答案: 既不充分也不必要条件8．已知p : x 2－4x －5>0, q : x 2－2x ＋1－λ2>0, 若p 是q 的充分不必要条件, 则正实数λ的取值范围是________．解析: 命题p 成立, x 2－4x －5>0, 得x >5或x <－1; 命题q 成立, x 2－2x ＋1－λ2>0(λ>0)得x >1＋λ或x <1－λ, 由于p 是q 的充分不必要条件, 所以1＋λ≤5, 1－λ≥－1, 等号不能同时成立, 解得λ≤2, 由于λ>0, 因此0<λ≤2.答案: (0, 2] 三、解答题9．已知条件p : |x －1|＞a 和条件q : 2x 2－3x ＋1＞0, 求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解: 依题意a ＞0.由条件p : |x －1|＞a 得x －1＜－a , 或x －1＞a , 所以x ＜1－a , 或x ＞1＋a , 由条件q : 2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12, 或x ＞1.要使p 是q 的充分不必要条件, 即“若p , 则q ”为真命题, 逆命题为假命题, 应有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1, 则p : x ＜0, 或x ＞2, 此时必有x ＜12, 或x ＞1.即p ⇒q , 反之不成立．所以, 使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝1.10．已知ab ≠0, 求证: a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明: (1)必要性．因为a ＋b ＝1, 所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝ (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性．因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0, 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0, 所以a ≠0且b ≠0.因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0.所以a ＋b －1＝0, 即a ＋b ＝1.综上可知, 当ab ≠0时, a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案: C2．设集合A ＝{x |x (x －1)＜0}, B ＝{x |0＜x ＜3}, 那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．解析: 由于A ＝{x |0＜x ＜1}, 则A ⊆B , 所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件． 答案: 充分不必要3．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}, S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m , 使x ∈P 是x ∈S 的充要条件? 若存在, 求出m 的范围． (2)是否存在实数m , 使x ∈P 是x ∈S 的必要条件? 若存在, 求出m 的范围． 解: (1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件, 则P ＝S . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10, 所以P ＝[－2, 10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m , 所以S ＝[1－m , 1＋m ]．要使P ＝S , 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，所以这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件, 则S ⊆P . 由|x －1|≤m , 可得1－m ≤x ≤m ＋1,要使S ⊆P , 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.故m ≤3时, x ∈P 是x ∈S 的必要条件．第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词A 级 基础巩固一、选择题1．已知命题p : 3≥3, q : 3>4, 则下列判断正确的是( ) A ． p ∨q 为真, p ∧q 为真, 綈p 为假 B ．p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为真 C ．p ∨q 为假, p ∧q 为假假, 綈p 为假 D ．p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为假解析: 因为p 为真命题, q 为假命题, 所以p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为假, 应选D.答案: D2．已知p, q为两个命题, 则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析: “p∨q”为假, 则p与q均是假命题, 綈 p为真命题, 又因为綈p为真命题, 则p为假命题．但若q为真命题, 则推不出p∨q是假命题．答案: A3．已知p: ∅⊆{0}, q: {1}∈{1, 2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中, 真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析: 容易判断命题p: ∅⊆{0}是真命题, 命题q: {1}∈{1, 2}是假命题, 所以p∧q 是假命题．p∨q是真命题, 綈p是假命题．答案: A4．已知命题p: a2＋b2<0(a, b∈R); 命题q: (a－2) 2＋|b－3|≥0(a, b∈R), 下列结论正确的是( )A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析: 显然p假q真, 故“p∨q”为真, “p∧q”为假, “綈p”为真, “綈q”为假．答案: A5．命题p: “方程x2＋2x＋a＝0有实数根”; 命题q: “函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”, 若“p∧q”为假命题, 且“p∨q”为真命题, 则实数a的取值范围是( ) A．a>0 B．a≥0C．a>1 D．a≥1解析: 命题p: “方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0, 即a≤1, 则綈p: a>1;命题q: “函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a>0, 即a<0或a>1, 则綈q: 0≤a≤1.由“p∧q”为假命题, “p∨q”为真命题, 得p, q一真一假;若p真q假, 则0≤a≤1; 若p假q真, 则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.答案: B二、填空题6．命题p : 方向相同的两个向量共线, q : 方向相反的两个向量共线, 则命题“p ∨q ”为________________．解析: 方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线, 即“方向相同或相反的两个向量共线”．答案: 方向相同或相反的两个向量共线7．命题“若a ＜b , 则2a ＜2b”的否命题为________________, 命题的否定为________________．解析: 命题“若a ＜b , 则2a ＜2b”的否命题为“若a ≥b , 则2a ≥2b ”, 命题的否定为“若a ＜b , 则2a ≥2b”． 答案: 若a ≥b , 则2a ≥2b 若a ＜b , 则2a ≥2b8．对于函数: ①f (x )＝|x ＋2|; ②f (x )＝(x －2)2; ③f (x )＝cos(x －2)有命题p : f (x ＋2)是偶函数; 命题q : f (x )在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数．能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是________．答案: ② 三、解答题9．已知p : x 2－x ≥6, q : x ∈Z , 若p ∧q 和綈q 都是假命题, 求x 的取值集合． 解: 因为綈q 是假命题, 所以q 为真命题．又p ∧q 为假命题, 所以p 为假命题． 因此x 2－x <6且x ∈Z , 解之得－2<x <3且x ∈Z , 故x ＝－1, 0, 1, 2, 所以x 的取值集合是{－1, 0, 1, 2}． 10．设p : 实数x 满足x2－4ax ＋3a 2＜0, 其中a ＞0, 命题q : 实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1, 且p ∧q 为真, 求实数x 的取值范围;(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件, 求实数a 的取值范围． 解: (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0, 又a ＞0, 所以a ＜x ＜3a .当a ＝1时, 1＜x ＜3, 即p 为真时, 实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0, 得2＜x ≤3, 则q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3. 若p ∧q 为真, 则p 真且q 真, 所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q , 且綈q綈p .设A ＝{x |綈p }, B ＝{x |綈q }, 则A B ,又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a },B ＝{x |綈q }＝{x ≤2或x ＞3},则0＜a ≤2, 且3a ＞3,所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.B 级 能力提升1．已知命题: p 1: 函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数;p 2: 函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数,则在命题q 1: p 1∨p 2, q 2: p 1∧p 2,q 3: (綈p 1)∨p 2和q 4: p 1∧(綈p 2)中, 真命题是( )A ．q 1, q 3B ．q 2, q 3C ．q 1, q 4D ．q 2, q 4答案: C2．已知命题p : x 2＋2x －3＞0; 命题q :13－x＞1, 若綈q 且p 为真, 则x 的取值范围是____________________________________．解析: 因为綈q 且p 为真, 即q 假p 真, 而q 为真命题时, x －2x －3＜0, 即2＜x ＜3, 所以q 假时有x ≥3或x ≤2.p 为真命题时, 由x 2＋2x －3＞0, 解得x ＞1或x ＜－3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 答案: (－∞, －3)∪(1, 2]∪[3, ＋∞)3．已知命题p : 方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根, 命题q : 关于x 的不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R, 若“p 或q ”与“非q ”同时为真命题, 求实数a 的取值范围．解: 命题p : 方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根, 等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2＞－2，（x 1＋1）（x 2＋1）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a ＞－2，2－2a ＞0，解得a ≤－1. 命题q : 关于x 的不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R, 等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0. 因为“p 或q ”与“非q ”同时为真命题, 即p 真且q 假,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＜0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞, －1],由于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4, 所以0≤a ＜4.第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中, 不是全称命题的是( ) A ．任何一个实数乘以0都等于0 B ．自然数都是正整数 C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数 解析: D 选项是特称命题． 答案: D2．下列命题中特称命题的个数是( ) (1)至少有一个偶数是质数． (2)∃x 0∈R, log2x 0>0. (3)有的实数大于零．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析: (1)中含有存在量词“至少”, 所以是特称命题． (2)中含有存在量词符号“∃”, 所以是特称命题． (3)中含有存在量词“有的”, 所以是特称命题． 答案: D3．下列命题不是“∃x 0∈R, x 20>3”的表述方法的是( ) A ．有一个x 0∈R, 使x 20>3 B ．对有些x 0∈R, 使x 20>3 C ．任选一个x 0∈R, 使x 20>3D ．至少有一个x 0∈R, 使x 20>3解析: 选项C 中“任选一个”是全称量词, 没有“∃”的含义． 答案: C4．下列特称命题中, 假命题是( ) A ．∃x 0∈R, x 20－2x 0－3＝0B ．至少有一个x 0∈Z, x 0能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一直线D ．∃x 0∈{x |x 是无理数}, x 20是有理数解析: 垂直于同一直线的两个平面是平行的, 所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．答案: C5．若存在x 0∈R, 使ax 20＋2x 0＋a ＜0, 则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ≤1 C ．－1＜a ＜1 D ．－1＜a ≤1答案: A 二、填空题6．若命题p : “∀x ∈[0, 1], a ≥e x”为真命题, 则a 的取值范围是________． 解析: 因为函数y ＝e x在[0, 1]上为增函数, 所以1≤y ≤e,若p 为真, 则a ≥(e x)max ＝e. 答案: [e, ＋∞)7．给出四个命题: ①末位数是偶数的整数能被2整除; ②有的菱形是正方形; ③存在实数x , x ＞0; ④对于任意实数x , 2x ＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．答案: ②③8．若∀x ∈R, f (x )＝(a 2－1)x是单调减函数, 则a 的取值范围是________． 解析: 依题意有:0＜a 2－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞0，a 2－1＜1，⇔⎩⎨⎧a ＜－1或a ＞1，－2＜a ＜2，⇔－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2. 答案: (－2, －1)∪(1, 2) 三、解答题9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题, 然后写出命题的否定, 并判断其真假．(1)有些素数是奇数;(2)所有的矩形都是平行四边形;(3)不论m 取何实数, 方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根; (4)∃x 0∈R, x 20＋2x 0＋5>0.解: (1)是特称命题, 其否定为: 所有的素数都不是奇数, 假命题． (2)是全称命题, 其否定为: 存在一个矩形, 不是平行四边形, 假命题． (3)是全称命题, 其否定为: 存在实数m , 使得x 2＋2x －m ＝0没有实数根,因为Δ＝4＋4m <0, 即当m <－1时, 一元二次方程没有实根, 所以其否定是真命题． (4)是特称命题, 其否定为: ∀x ∈R, x 2＋2x ＋5≤0, 因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4, 所以命题的否定是假命题．10．关于x 的函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋2a 对于任意a ∈[－1, 1]的值都有y >0, 求实数x 的取值范围．解: 设f (a )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a , 则有f (a )＝(2－x )a ＋x 2－x , a ∈[－1, 1], 因为a ∈[－1, 1]时, y ＝f (a )>0恒成立, 则(1)当x ＝2时, f (a )＝2>0显然成立;(2)当x ≠2时, 由f (a )>0在a ∈[－1, 1]上恒成立, 得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2>0，x 2－2x ＋2>0，解得x >2或x <－ 2. 综上可得: x >2或x <－ 2.B 级 能力提升1．四个命题: ①∀x ∈R, x 2－3x ＋2＞0恒成立; ②∃x ∈Q, x 2＝2; ③∃x ∈R, x 2＋1＝0; ④∀x ∈R, 4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案: A2．若命题“∃x ∈R, 使得x 2＋(1－a )x ＋1＜0”是真命题, 则实数a 的取值范围为______________．解析: 由题意可知, Δ＝(1－a )2－4＞0, 解得a ＜－1或a ＞3.答案: (－∞, －1)∪(3, ＋∞)3．若∀x ∈R, 函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点, 求实数a 的取值范围．解: (1)当m ＝0时, f (x )＝x －a 与x 轴恒相交, 所以a ∈R.(2)当m≠0时, 二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立, 即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式, 恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0, 解得－1≤a≤1.综上所述, 当m＝0时, a∈R;当m≠0, a∈[－1, 1]．第一章常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定A级基础巩固一、选择题1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数解析: 全称命题的否定是特称命题, 所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．答案: C2．已知命题p: 任意的x∈R, x＞sin x, 则p的否定形式为( )A．綈p: 存在x∈R, x＜sin xB．綈p: 任意x∈R, x≤sin xC．綈p: 存在x∈R, x≤sin xD．綈p: 任意x∈R, x＜sin x答案: C3．命题“∀x∈R, ∃x∈N*, 使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R, ∃x∈N*, 使得n<x2B．∀x∈R, ∀x∈N*, 使得n<x2C ．∃x ∈R, ∃x ∈N*, 使得n <x 2D ．∃x ∈R, ∀x ∈N*, 使得n <x 2解析: ∀的否定是∃, ∃的否定是∀, n ≥x 2的否定是n <x 2. 答案: D4．命题“∃x 0∈R, 使得f (x 0)＝x 0”的否定是( ) A ．∀x ∈R, 都有f (x )＝x B ．不存在x ∈R , 使得f (x )≠x C ．∀x ∈R, 都有f (x )≠x D ．∃x ∈R, 使得f (x 0)≠x 0解析: 命题的否定为∀x ∈R, 都有f (x )≠x . 答案: C5．已知命题p : ∀x ∈R, x 2－2x ＋1＞0; 命题q : ∃x ∈R, sin x ＝1.则下列判断正确的是( )A ．綈q 是假命题B ．q 假命题C ．綈p 是假命题D ．p 是真命题答案: A 二、填空题6．已知命题p : ∃x ∈R, x 2－3x ＋3 ≤0, 则綈p 为________． 答案: ∀x ∈R, x 2－3x ＋3＞07．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________． 解析: 由题意知, 原命题的否定是“过平面外一点与已知平行的直线中, 有些直线是不在同一平面内的”．答案: “过平面外一点与已知平面平行的直线中, 有些直线是不在同一平面内的” 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1, 若命题“∃x 0>0, f (x 0)<0”为真, 则m 的取值范围是________．解析: 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，所以m <－2.答案: (－∞, －2) 三、解答题9．已知命题p : “至少存在一个实数x 0∈[1, 2], 使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真, 试求参数a 的取值范围．解: 由已知得綈p : ∀x ∈[1, 2], x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立． 所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ,则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0， 解得a ≤－3,因为綈p 为假, 所以a ＞－3, 即a 的取值范围是(－3, ＋∞)．10．已知命题p : ∀m ∈[－1, 1], 不等式a 2－5a －3≥m 2＋8; 命题q: ∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2＜0.若p 或q 是真命题, 綈q 是真命题, 求a 的取值范围．解: 根据p 或q 是真命题, 綈q 是真命题, 得p 是真命题, q 是假命题． 因为m ∈[－1, 1], 所以 m 2＋8∈[22, 3], 因为∀m ∈[－1, 1], 不等式a 2－5a －3≥ m 2＋8,所以a 2－5a －3≥3, 所以a ≥6或a ≤－1. 故命题p 为真命题时, a ≥6或a ≤－1. 又命题q : ∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2＜0, 所以Δ＝a 2－8＞0, 所以a ＞22或a ＜－22,从而命题q 为假命题时, －22≤a ≤22, 所以命题p 为真命题, q 为假命题时,a 的取值范围为－22≤a ≤－1.B 级 能力提升1．已知命题p : “a ＝1”是“∀x ＞0, x ＋ax≥2”的充要条件, 命题q : ∃x 0∈R, x 2＋x －1＞0.则下列结论中正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题;B ．命题“p ∧綈q ”是真命题;C ．命题“綈p ∧q ”是真命题;D ．命题“綈p ∨綈q ”是假命题． 答案: C2．已知命题p : ∀x ＞0, 总有(x ＋1)e x＞1, 则綈p 为________． 解析: 利用全称命题的否定是特称命题求解．“∀x ＞0, 总有(x ＋1)e x＞1”的否定是“∃x 0＞0, 使得(x 0＋1)e x 0≤1”． 答案: ∃x 0＞0, 使得(x 0＋1)ex 0≤13．写出命题“已知a ＝(1, 2), 存在b ＝(x , 1), 使a ＋2b 与2a －b 平行”的否定, 判断其真假并给出证明．解: 命题的否定: 已知a ＝(1, 2), 则对任意的b ＝(x , 1), a ＋2b 与2a －b 都不平行, 是一个假命题．证明如下: 假设存在b ＝(x , 1)使a ＋2b 与2a －b 平行, 则a ＋2b ＝(1, 2)＋2(x , 1)＝(2x ＋1, 4)．2a －b ＝2(1, 2)－(x , 1)＝(2－x , 3)． 因为a ＋2b 与2a －b 平行,所以存在λ∈R , 使得a ＋2b ＝λ(2a －b )． 即(2x ＋1, 4)＝λ(2－x , 3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，⇒2x ＋1＝43(2－x )．解得x ＝12.这就是说存在b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1使a ＋2b 与2a －b 平行, 故已知命题为真命题, 其否定为假命题．第二章 圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程A 级 基础巩固一、选择题1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )解析: 对于A, x 2＋y 2＝1表示一个整圆; 对于B, x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝0, 表示两条相交直线; 对于D, 由lg x ＋lg y ＝0知x ＞0, y ＞0.答案: C2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线D ．四条直线解析: 由已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.答案: B3．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( ) A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析: 由x 2＋xy ＝x , 得x (x ＋y －1)＝0, 即x ＝0或x ＋y －1＝0. 由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线． 答案: C4．方程y ＝|x |x 2表示的曲线为图中的( )A B C D解析: y ＝|x |x 2, x ≠0, 为偶函数, 图象关于y 轴对称, 故排除A, B. 又因为当x >0时, y ＝1x>0;当x <0时, y ＝－1x>0, 所以排除D.答案: C5．若曲线C 上存在点M , 使M 到平面内两点A (－5, 0), B (5, 0)距离之差的绝对值为8, 则称曲线C 为“好曲线”, 以下不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析: 因为M 到平面内两点A (－5, 0), B (5, 0)距离之差为8,所以M 的轨迹是以A (－5, 0), B (5, 0)为焦点的双曲线的右支, 方程为x 216－y 24＝1(x ≥4)．A: 直线x ＋y ＝5过点(5, 0), 满足题意;B: x 2＋y 2＝9的圆心为(0, 0), 半径为3, 与M 的轨迹没有交点, 不满足题意;。

第3章 3.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量答案： A2．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定 解析： 由加法法则知：a ＋b 与a －b 可以是菱形的对角线． 答案： A3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ， OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．3B ．0 C.13D ．1解析： ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M 、A 、B 、C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，x ＝13.故选C.答案： C4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析： 当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2； 当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1； 当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面． 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.解析： ∵A 、B 、C 、D 共面，∴OA →＝OB →＋λB C →＋μBD →＝OB →＋λ(O C →－OB →)＋μ(O D →－OB →) ＝(1－λ－μ) OB →＋λO C →＋μOD →＝(λ＋μ－1) BO →－λCO →－μDO →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，∴2x ＋3y ＋4z ＝(λ＋μ－1)＋(－λ)＋(－μ) ＝－1. 答案： －16．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析： ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即O B →－OA →＝k (OC →－O A →)， ∴(k －1) OA →＋OB －kOC →＝0，又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0， 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ， 则λ＋m ＋n ＝0. 答案： 0三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 分别为BC 、PD 的中点，求满足M N →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．解析： MN →＝MC →＋CD →＋DN →＝12BC →＋BA →＋12DP → ＝12AD →－AB →＋12(AP →－AD →) ＝－AB →＋12AP →，∴x ＝－1，y ＝0，z ＝12.8.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 1中点，N 是BD中点，判断MN →与D 1C →是否共线？解析： ∵M ，N 分别是AD 1，BD 的中点，四边形ABCD 为平行四边形，连结AC ，则N 为AC 的中点．∴MN →＝A N →－A M →＝12A C →－12AD 1→＝12(A C →－AD 1→)＝12D 1C →∴MN →与D 1C →共线．尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点， 且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AGAH＝m .若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．解析： 连结BD ，BG ， ∵AB →＝PB →－PA →且AB →＝DC →， ∴DC →＝PB →－PA →. ∵PC →＝PD →＋DC →，∴PC →＝PD →＋PB →－PA →＝－PA →＋PB →＋PD →. ∵PH HC ＝12， ∵PH →＝13PC →＝13(－PA →＋PB →＋PD →)＝－13PA →＋13PB →＋13 PD →.又∵AH →＝PH →－PA →， ∴AH →＝－43PA →＋13PB →＋13PD →.∵AGAH＝m ， ∴AG →＝mAH →＝－4m 3PA →＋m 3 PB →＋m 3PD →.∴BG →＝－A B →＋AG →＝PA →－PB →＋AG →，∴BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4m 3PA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－1PB →＋m 3PD →.又∵B ，G ，P ，D 四点共面， ∴1－4m3＝0，∴m ＝34.。