裂项相消法求和
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1、 特别是对于?
??
??
?
+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =???
? ??-+111n n a a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项：
1
11)1(1+-=+n n n n
)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n
])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n
!)!1(!n n n n -+=?
)!
1(1
!1)!1(+-=+n n n n
例1 求数列1
{}(1)
n n +的前n 和n S ．
例2 求数列1
{}(2)
n n +的前n 和n S ．
例3 求数列1
{}(1)(2)
n n n ++的前n 和n S ．
例4 求数列???++???++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
例5：求数列311?，421?，5
31
?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S
例6、 求和)
12)(12()2(5343122
22+-++?+?=n n n S n
一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，
则
21321(1)
(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++
+?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n
n n a a +-=?+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n
n a n =+-
解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1
3n +，得
111
21
3333n n n n n a a +++=++
， 则
11121
3333
n n n n n a a +++-=+，故 11223211
2232
111122122()()()(
)33333
333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此1
1(13)
2(1)2113133133223n n n n n
a n n ---=++=+-
-?， 则211
33.322
n n n a n =
??+?- 练习
1.已知数列{}n a 的首项为
1，且
*12()
n n a a n n N +=+∈写出数列
{}n a 的通项公式.
答案：12
+-n n
练习2.已知数列
}
{n a 满足31=a ，
)
2()1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.
答案：裂项求和
n a n 1
2-
=
评注：已知a a =1,)
(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分
a
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列
}
{n a 中,
>n a 且
)(21n n n a n a S +=
,求数列}{n a 的通项公式.
解:由已知
)(21n n n a n a S +=
得)(2111---+-=n n n n n S S n
S S S ,
化简有
n
S S n n =--2
12,由类型(1)有
n
S S n ++++= 32212
,
又11a S =得11=a ,所以
2)
1(2
+=
n n S n ,又0>n a ,
2)
1(2+=
n n s n ,
则
2)
1(2)1(2--+=
n n n n a n
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若
1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==?∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故
1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
?????=-+-+??+?+??=-?????=???
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
例5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且
()0
112
21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的
通项公式是n a =________.
解：已知等式可化为：
[]0
)1()(11=-++++n n n n na a n a a
0>n a (*
N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即
1
1+=+n n
a a n n
∴2≥n 时，
n
n a a n n 1
1-=-
∴
112211a a a a a a a a n n n n n ????=
--- =121121??--?- n n n
n =n 1. 评注：本题是关于
n
a 和
1
+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到
n
a 与
1
+n a 的更为明显的关系式，从而求出
n
a .
练习.已知
1
,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.
答案：
=n a )
1()!1(1+?-a n -1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
,
11-+=+n na a n n 转化为
),
1(11+=++n n a n a 若令
1
+=n n a b ,则问题进一步转化为
n
n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列
的通项公式.