专题04 估算法-2019年高考数学30分钟拿下选择、填空题

方法探究数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：（1）在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.（2）借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.（3）处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.（4）有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.（5）线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.（6）数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.（7）解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中.（8）立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法. 经典示例【例1】（集合中的数形结合）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【备考警示】对于点集问题，常表示的是某曲线上的点的集合，所以通过画图可以顺利解决此类问题.【例2】（函数中的数形结合）对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩,设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+恰有三个零点，则实数k 的取值范围是A ．(−2,1)B ．[0,1]C ．[−2,0)D ．[−2,1)【答案】D【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1x x x f x x x x ⎧+--+≥⎪=⎨---+<⎪⎩，即24,23()1,23x x x f x x x +≤-≥⎧=⎨--<<⎩或.其图象如图所示，所以由()y f x k =+恰有三个零点可得，−1<−k ≤2，所以−2≤k <1.故选D.【备考警示】一般情况下，这种问题常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．【例3】（线性规划中的数形结合）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1060y y x y x 表示的平面区域的面积为 .【答案】16【备考警示】对于线性规划中的区域面积问题，正确地画出平面区域的面积是正确求解的关键. 【例4】（向量中的数形结合）等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为 A ．45- B ．35- C ．45D ．35【答案】A【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x 轴和y 轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.【备考警示】涉及向量的坐标或几何意义时常通过画图进行解决反而更快捷.【例5】（解析几何中的数形结合）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________． 【答案】233【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点， 则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=，点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =， 由222c a b =+得2c b =，所以22333c b e a b===． 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c. 【备考警示】对于解析几何问题，常需要边读题边画图，找出基本量之间的基本关系才可以找准突破口. 拓展变式1． 函数f (x )=2x＋lg(x ＋1) −2的零点有 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【答案】B由图象可知h (x )=2−2x和g (x )=lg(x ＋1)有且只有一个交点，即f (x )=2x＋lg(x ＋1)−2与x 轴有且只有一个交点，即函数f (x )仅有一个零点．2．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1060y y x y x 表示的平面区域的面积为 .【答案】163．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(,3)PA x y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=--=+-2333)222-≥-，当3(0,)2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 终极押题 一、选择题1．已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，{|10}B x x =∈<*N ，则A B =I A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{2,3}D ．{1}【答案】B【解析】依题意得，{|23}A x x =-<<，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9B =，所以A B =I {1,2}，故选B. 2．已知复数z 满足(34i)1i z --=+，则复数z 的虚部为A ．1i 25B ．725-C ．125D ．725【答案】C3．如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为A ．14 B ．13 C ．12D ．23【答案】B【解析】因为最大圆的面积为2π39π⨯=，阴影部分的面积为22π2π13π⨯-⨯=，所以豆子落入图中阴影部分的概率为3π19π3=，故选B ． 4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线过圆22:460Ωx y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为A ．132B ．32C ．133D ．3【答案】A5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“诵课倍增”就是其中一首：有个学生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，问君每日读多少？某老师据此编写了一道数学题目：一本书共有1533页，一位同学9天读完，所读页数逐日增加一倍，问这位同学第5天所读的页数为 A ．24 B ．48 C ．64D ．96【答案】B6．已知一个简单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．24π48+B ．453416π2++C ．12π12+D ．333416π2++【答案】D【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为3，高为4的41圆锥与底面为直角边长为3的等腰直角三角形，高为4的三棱锥组成的组合体，所以圆锥的母线长为5，如图，在三棱锥OBC P -中，侧棱PO 垂直于底面，5==PC PB ，23=BC ，所以该几何体的表面积为211π35π344⨯⨯⨯+⨯⨯+3321⨯⨯+4621⨯⨯+22)223(52321-⨯⨯=333416π2++，故选D.7．函数()(22)cos x xf x x -=-在区间[,]-ππ上的图象大致为【答案】B8．已知x ，y 满足约束条件135250430x x y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为A ．2-B ．4C ．75D ．6【答案】C【解析】由题画出可行域如图所示，可知直线3z x y =+过点221,5A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，目标函数取得最大值，即max 75z =，故选C ．9．执行如图所示的程序框图，若输入1,3m n ==，输出的x =1.625，则空白判断框内应填的条件为A ．||n m -＜1B ．||n m -＜0.5C ．||n m -＜0.2D ．||n m -＜0.1【答案】C10．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为23，在底面ABC △中，60C ∠=︒，3AB =，则此直三棱柱的外接球的表面积为 A ．43πB ．16π3C ．16πD ．32π3【答案】C【解析】设底面ABC △的外接圆半径为x ，由正弦定理得322sin 32ABx C===，所以1x =，所以外接球半径22231()22R =+=，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为2π4S R ==16π.故选C.【思路点晴】几何体底面常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其他不规则图形的外心，可利用正弦定理来求.若长方体的长、宽、高分别为a b c 、、，则其体对角线长为222a b c ++，长方体的外接球球心是其体对角线的中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别作这个面的垂线，交点即为球心.若三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径22212R a b c =++.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于,M N 两点，若MR l ⊥，垂足为R ，且NRM NMR ∠=∠，则直线MN 的斜率为A ．8±B ．4±C ．22±D ．2±【答案】C12．已知关于x 的方程3|28|4x x mx -+=有且仅有2个实数根，则实数m 的取值范围为A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞U【答案】D二、填空题 13．41(31)2x x-+的展开式中，常数项为________________. (用数字作答)【答案】10【解析】依题意，由排列组合知识可知，常数项为1224311C 3C ()1102+⋅⋅⋅-⋅=.14．设,x y ∈R ，向量(,2),(1,),(2,6)x y ===-a b c ，且,⊥∥a c b c ，则|+|=a b __________．【答案】52【解析】由题意得21206(6,2)x x ⊥⇒-=⇒=⇒=a c a ，6203y y ⇒--=⇒=-∥b c(1,3)⇒=-b ，所以222|+|2401050|+|=+⋅+=+=⇒=a b a a b b a b 52.【名师点晴】本题考查向量的基本运算，涉及方程思想、数形结合思想和转化与化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等难题.15．已知圆1C ：224430x y x y ++--=，点P 为圆2C ：224120x y x +--=上且不在直线12C C 上的任意一点，则12PC C △的面积最大值为___________． 【答案】4516．已知锐角三角形ABC 的外接圆半径为33BC ，且3AB =，4AC =，则BC =________________. 【答案】13【解析】因为2sin BC R A =（R 为锐角三角形ABC 的外接圆半径），所以3sin 22BC A R ==．因为A 为锐角，所以3A π=，于是22234234cos 133BC π=+-⨯⨯=，所以13BC =，故选D ． 你用了几分钟？有哪些问题？。

估算试题及答案
一、选择题
1. 以下哪个选项是估算的正确方法？
A. 用精确值代替近似值
B. 四舍五入法
C. 直接忽略小数部分
D. 任意选择一个数
答案：B
2. 估算下列数值的近似值：
3.1415926
A. 3
B. 3.1
C. 3.14
D. 3.2
答案：C
二、填空题
1. 如果一个数的近似值是10，那么这个数的精确值范围可能是____到____。

答案：9.5到10.49
2. 估算一个数的平方根，若原数是64，那么估算值最接近____。

答案：8
三、计算题
1. 估算下列算式的值：
(1) 23.67 × 4.89
(2) 3.14 × 7.2
答案：
(1) 约等于 115
(2) 约等于 22
四、简答题
1. 请简述估算在日常生活中的应用。

答案：估算在日常生活中的应用非常广泛，例如在购物时估算总价，估算烹饪时食材的用量，或者在进行快速计算时估算结果，以便快速做出决策。

专题05 数形结合法方法探究数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：（1）在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.（2）借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.（3）处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.（4）有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.（5）线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.（6）数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.（7）解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中.（8）立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法.经典示例【例1】（集合中的数形结合）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【备考警示】对于点集问题，常表示的是某曲线上的点的集合，所以通过画图可以顺利解决此类问题. 【例2】（函数中的数形结合）对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩,设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+恰有三个零点，则实数k 的取值范围是A ．(−2,1)B ．[0,1]C ．[−2,0)D ．[−2,1)【答案】D【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1x x x f x x x x ⎧+--+≥⎪=⎨---+<⎪⎩，即24,23()1,23x x x f x x x +≤-≥⎧=⎨--<<⎩或.其图象如图所示，所以由()y f x k =+恰有三个零点可得，−1<−k ≤2，所以−2≤k <1.故选D.【备考警示】一般情况下，这种问题常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．【例3】（线性规划中的数形结合）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+16yyxyx表示的平面区域的面积为 . 【答案】16【备考警示】对于线性规划中的区域面积问题，正确地画出平面区域的面积是正确求解的关键. 【例4】（向量中的数形结合）等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A．45-B．35-C．45D．35【答案】A【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.【备考警示】涉及向量的坐标或几何意义时常通过画图进行解决反而更快捷.【例5】（解析几何中的数形结合）已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点为A ，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为_______________．【答案】233【解析】如图所示，作AP MN⊥，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线by xa=上的点，且(,0)A a，||||AM AN b==，而AP MN⊥，所以30PAN∠=，点(,0)A a到直线by xa=的距离22||1APba=+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =， 由222c a b =+得2c b =，所以2333c e a b===． 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c. 【备考警示】对于解析几何问题，常需要边读题边画图，找出基本量之间的基本关系才可以找准突破口. 拓展变式1． 函数f (x )=2x＋lg(x ＋1) −2的零点有 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【答案】B由图象可知h (x )=2−2x和g (x )=lg(x ＋1)有且只有一个交点，即f (x )=2x＋lg(x ＋1)−2与x 轴有且只有一个交点，即函数f (x )仅有一个零点．2．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+16yyxyx表示的平面区域的面积为 .【答案】163．已知ABC△是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PA PB PC⋅+的最小值是A．2-B．32-C．43-D．1-【答案】B【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A，(1,0)B-，(1,0)C，设(,)P x y，所以(3)PA x y=-，(1,)PB x y=---，(1,)PC x y=--，所以(2,2)PB PC x y+=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=--=+-2333)222-≥-，当3(0,)2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 终极押题 一、选择题1．已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，{|10}B x x =∈<*N ，则A B =A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1}【答案】B【解析】依题意得，{|23}A x x =-<<，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9B =，所以A B ={1,2}，故选B.2．已知复数z 满足(34i)1i z --=+，则复数z 的虚部为A ．1i 25B ．725-C ．125D ．725【答案】C3．如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为A ．14 B ．13 C ．12D ．23【答案】B【解析】因为最大圆的面积为2π39π⨯=，阴影部分的面积为22π2π13π⨯-⨯=，所以豆子落入图中阴影部分的概率为3π19π3=，故选B ． 4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线过圆22:460Ωx y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为A ．132B ．32C ．13D ．3【答案】A5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“诵课倍增”就是其中一首：有个学生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，问君每日读多少？某老师据此编写了一道数学题目：一本书共有1533页，一位同学9天读完，所读页数逐日增加一倍，问这位同学第5天所读的页数为 A ．24 B ．48 C ．64D ．96【答案】B6．已知一个简单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．24π48+B ．453416π2++C ．12π12+D ．333416π2++【答案】D【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为3，高为4的41圆锥与底面为直角边长为3的等腰直角三角形，高为4的三棱锥组成的组合体，所以圆锥的母线长为5，如图，在三棱锥OBC P -中，侧棱PO 垂直于底面，5==PC PB ，23=BC ，所以该几何体的表面积为211π35π344⨯⨯⨯+⨯⨯+3321⨯⨯+4621⨯⨯+22)223(52321-⨯⨯=333416π2++，故选D.7．函数()(22)cos x xf x x -=-在区间[,]-ππ上的图象大致为【答案】B8．已知x，y满足约束条件135250430xx yx y≤-⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则目标函数3z x y=+的最大值为A．2-B．4C．75D．6【答案】C【解析】由题画出可行域如图所示，可知直线3z x y=+过点221,5A⎛⎫-⎪⎝⎭时，目标函数取得最大值，即max75z=，故选C．9．执行如图所示的程序框图，若输入1,3m n==，输出的x=1.625，则空白判断框内应填的条件为A．||nm-＜1 B．||nm-＜0.5C．||nm-＜0.2 D．||nm-＜0.1【答案】C10．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为3ABC △中，60C ∠=︒，3AB =棱柱的外接球的表面积为A ．43πB ．16π3C ．16πD ．32π3【答案】C 【解析】设底面ABC △的外接圆半径为x ，由正弦定理得322sin 3AB x C ===，所以1x =，所以外接球半径22231()22R =+=，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为2π4S R ==16π.故选C.【思路点晴】几何体底面常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其他不规则图形的外心，可利用正弦定理来求.若长方体的长、宽、高分别为a b c 、、，则其体对角222a b c ++长方体的外接球球心是其体对角线的中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别作这个面的垂线，交点即为球心.若三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径22212R a b c =++.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于,M N 两点，若MR l ⊥，垂足为R ，且NRM NMR ∠=∠，则直线MN 的斜率为 A ．8±B ．4±C ．22±D ．2±【答案】C12．已知关于x 的方程3|28|4x x mx -+=有且仅有2个实数根，则实数m 的取值范围为A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】D二、填空题13．4(31)2x x +的展开式中，常数项为________________. (用数字作答)【答案】10【解析】依题意，由排列组合知识可知，常数项为1224311C 3C ()1102+⋅⋅⋅-⋅=.14．设,x y ∈R ，向量(,2),(1,),(2,6)x y ===-a b c ，且,⊥∥a c b c ，则|+|=a b __________．【答案】52【解析】由题意得21206(6,2)x x ⊥⇒-=⇒=⇒=a c a ，6203y y ⇒--=⇒=-∥b c(1,3)⇒=-b ，所以222|+|2401050|+|=+⋅+=+=⇒=a b a a b b a b 52.【名师点晴】本题考查向量的基本运算，涉及方程思想、数形结合思想和转化与化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等难题.15．已知圆1C ：224430x y x y ++--=，点P 为圆2C ：224120x y x +--=上且不在直线12C C 上的任意一点，则12PC C △的面积最大值为___________．【答案】4516．已知锐角三角形ABC 的外接圆半径为33BC ，且3AB =，4AC =，则BC =________________. 13【解析】因为2sin BC R A =（R 为锐角三角形ABC 的外接圆半径），所以3sin 22BC A R ==．因为A 为锐角，所以3A π=，于是22234234cos 133BC π=+-⨯⨯=，所以13BC =D ． 你用了几分钟？有哪些问题？。

2019年高考数学试题及答案word版一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为多少？A. 0B. 2C. 5D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=3，求该数列的第5项a5。

A. 13B. 16C. 19D. 223. 计算三角函数值：sin(π/6) + cos(π/3)。

A. 1B. √3/2C. √2D. 24. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆C的半径。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线l的方程为y=2x+3，且点P(1,2)在直线l上，则直线l的斜率是多少？A. 1/2B. 2C. 3D. 46. 已知复数z=3+4i，求|z|的值。

A. 5B. √7C. √13D. √257. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。

A. 0B. 1/3C. 1D. 2/38. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，求向量a与向量b的数量积。

A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。

）9. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)。

________________。

10. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，求双曲线C的离心率e。

________________。

11. 计算二项式展开式(1+x)^5的第3项。

________________。

12. 已知抛物线y=x^2-4x+4，求抛物线的顶点坐标。

________________。

三、解答题（本题共3小题，共52分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）13. （本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证f(x)在区间[1,2]上单调递增。

专题03 特例法方法探究特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果.特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但使用时一定要注意：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、填空题的最佳策略.近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！ 经典示例【例1】（利用特殊值）若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是 A ．22a b >B ．a b a b +<+C ．a b +>D ．()20a b c -≥【答案】D2【名师点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断. 【备考警示】本题在选取a ，b 的值时，一定要满足条件a b >，才可以正确求解. 【例2】（利用特殊函数）下列有关函数单调性的说法，不正确的是 A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数 【答案】C 【解析】方法一：取函数()f x x =，为增函数，取函数()2g x x =-，为减函数，则()()f x g x x +=-，为减函数，故C 不正确.选C.当然，本题选取其他符合题意的函数也可，比如(),()f x x g x x ==-等. 方法二：设任意实数12x x <，根据()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()12f x f x <，12()()g x g x >，设()()()h x f x g x =+，当12x x <时，()()()()][()()212211h x h x f x g x f x g x ⎡⎤-=+-+=⎣⎦()2[f x - ()()()121][]f x g x g x +-，由于()()210f x f x ->，()()210g x g x -<，所以()()21h x h x -的符号不确定，即()()()h x f x g x =+的单调性不确定，故选C ．【方法点睛】根据函数单调性定义，可以进行证明并得到下面结论：在公共的定义域内，增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数.在解选择题、填空题时我们可以根据此结论直接对常见函数进行单调性的判断.3【备考警示】很明显，方法一要比方法二更简洁，比利用结论更直观.【例3】（利用特殊数列）已知数列{}n a 是等比数列，其公比为q ，则“1q >”是“数列{}n a 为单调递增数列“的”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【名师点睛】一般地，等比数列{}n a 为单调递增数列的充要条件是10,1a q >>或10,01a q <<<．等差数列{}n b 为单调递增数列的充要条件是公差0d >．【备考警示】等比数列的通项公式为11n n a a q -=，故其单调性不仅取决于1a 的符号，还要考虑()0,1q ∈还是()1,q ∈+∞．所以本题直接求解比较困难，而选取特殊值，构造特殊数列会简单快捷得多.【例4】（利用特殊位置）在三棱锥A BCD -中，底面为直角三角形，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________． 【答案】43【解析】如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则4AB =， 设AD x =，则BD ，又BD 边上的高1CH =，4当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，此时1132V x =⨯⋅=当28x =时，体积V 最大，且最大值为43. 【名师点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示成关于x 的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.【备考警示】几何问题的特殊位置一般是垂直、平行、对称或中点处等，做题时多往这几方面考虑. 拓展变式1．已知()π2sin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则“x ∀∈R ，()()πf x f x +=”是“2ω=”的 A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【名师点睛】在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性问题．【方法技巧】熟练应用找特殊值进行验证是解决此类问题的快速有效方法.2．已知椭圆221:11615x y C +=的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线,PM PN ，其中切点为,M N ，则四边形PMFN 面积的最大值为 A． BCD ．5【答案】A【解析】如图所示，5【名师点睛】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．【规律总结】圆锥曲线中的最值问题，如果涉及动点问题，就要找点的特殊位置，比如本题，当P 点为椭圆的右顶点时，|PF |取得最大值a +c ． 终极押题 一、选择题1．已知集合2{|40}A x x x =-<，{|22}B x x =∈-<≤Z ，则A B =A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】B【解析】解240x x -<，即(4)0x x -<，得04x <<，所以{|04}A x x =<<，又{1,0,1,2}B =-，故{1,2}AB =.故选B.2．已知复数z 满足(2i)4i z z +=+，则z = A ．1i -B ．12i -6C ．1i +D ．12i +【答案】C3．已知命题p ：(0,π)x ∀∈，tan sin x x >；命题q ：0x ∃>，22x x >，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】D【解析】因为π(,π)2x ∈时，tan 0x <，sin 0x >，故tan sin x x >不成立，所以命题p 为假命题； 当3x =时，2332>，故命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题.故选D. 4．已知角α的终边经过点(2,)P m （0m ≠），若sin α=，则3πsin(2)2α-= A ．35- B ．35C ．45D ．45-【答案】B【解析】由题意得||OP ==O 为坐标原点），所以sin α==，解得21m =，即2211sin 55m α==，所以3πππsin(2)sin(22π)sin(2)cos 2222αααα-=+-=+=21312sin 1255α=-=-⨯=．故选B ．5．在等差数列}{n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若10010a a a k ++= ，则=kA ．496B ．469C ．4915D ．5000【答案】C【解析】因为数列}{n a 是等差数列，所以d n d n a a n )1()1(1-=-+=，7因为10010a a a k ++= ，所以d d a d a a a a a a k 4914)2899(29910010011100121110=⨯+-⨯+=+⋅⋅⋅+++=， 又d k a k )1(-=，所以d d k 4914)1(=-，所以4915=k .故选C. 6．已知0.32(log 3)a =， 1.13(log 2)b =，lg10.3c =，则 A ．c a b << B ．b c a << C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B7．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于A ．π12+B ．5π123+ C ．π4+D ．5π43+【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，其中上方是一个底面半径为1，高为1的圆锥，中间部分是一个半径为1的半球，下方是一个正四棱柱，且该正四棱柱的底面是边长为2的正方形，高为3，所以圆锥的体积211ππ1133V =⨯⨯=，半球的体积32142ππ1233V =⨯⨯=，正四棱柱的体积 232312V =⨯=，所以该几何体的体积123π2π12π1233V V V V =++=++=+．故选A.8．函数223()2xx x f x --=的大致图象为【答案】CA．7 B．14C．28 D．49【答案】C【解析】由程序框图可知,输出的是98,a的最大公约数,根据98,a的最大公约数是a,可知a是98的约数,7,14,49都是98的约数,28不是98的约数,故选C.10．M公司与N公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到N公司目前的现状，M公司代表对项目洽谈的顺89序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有 A ．240种 B ．188种 C ．156种D ．120种【答案】D故符合题意要求的安排方案共有363648120++=种．故选D ． 方法二：（1）丙、丁在第1、2两位，则甲只能在第3位，不同的安排方案有213213A A A 12=种； （2）丙、丁在第2、3两位，则甲只能在第1位，不同的安排方案有213213A A A 12=种；（3）丙、丁在第3、4两位，则甲可以在第1位或第2位，不同的安排方案有213223A A A 24=种； （4）丙、丁在第4、5两位，则甲可以在第1位或第2位或第3位，不同的安排方案有213233A A A 36=种； （5）丙、丁在第5、6两位，则甲可以在第1位或第2位或第3位，不同的安排方案有213233A A A 36=种．综上，不同的安排方案有1212243636120++++=种．故选D ． 方法三：由于甲在前3位与后3位的可能性相同，故不同的安排方案有25251A A 1202=种．故选D ．1011．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ<）的最小正周期为π，且图象过点7π(,1)12-，要得到函数π()sin()6g x x ω=+的图象，只需将函数()f x 的图象A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度【答案】B12．若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数2()ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】D【解析】由题意得，()1g x kx '=-，函数21()32g x kx x =-+为函数2()ln f x x x x =+的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-在(0)+∞，上有解，所以方程1ln 1k x x x=++在(0)+∞，上有解，记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x -'=+-=+，当1x >时，2210x x->，ln 0x >，所以()0p x '>，函数()p x 单调递增；当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，所以()0p x '<，函数()p x 单调递减.所以()(1)2p x p ≥=.故由方程1ln 1k x x x=++有解可得2k ≥.故选D. 二、填空题13．设向量(1,1)=-a ，(0,1)=b ，(,2)x =c ，若向量2-+a b c 与2-a b 垂直，则实数x = .11【答案】1-【解析】由已知得2-+a b c (2,3)x =-+，2-a b (1,1)=--，因为向量2-+a b c 与2-a b 垂直，所以(2,3)(1,1)0x -+--=，所以10x --=，即1x =-.14．已知实数,x y 满足约束条件3240380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为 .【答案】1215．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，离心率87=e ，抛物线x y 322-=的焦点是椭圆的左顶点，则椭圆 的标准方程为 . 【答案】1156422=+y x 【解析】因为抛物线x y 322-=的焦点坐标为)0,8(-，所以8=a ，因为87=e ，所以878==c a c ，即7=c ，所以1549642=-=b ，所以椭圆的标准方程为1156422=+y x . 16．在锐角ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c，222sin sin sin sin B A C A C =+，a =，且最短边10=b ，则c = .【答案】412你用了几分钟？有哪些问题？本文档仅供文库使用。

方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论. 经典示例【例1】（范围估算）已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243b -⎛⎫=⎪⎝⎭，3ln5c =，则这三个数从大到小的顺序是______． 【答案】a b c >>【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方法，需要大家熟练掌握.【例2】（极端值估算）函数()21010x x f x x --=的图象大致为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例3】（数值估算）已知实数,x y满足条件2xyy x≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y=+从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点(),x y构成的平面区域的面积为A．74B．94C．92D．1【答案】A方法二：四边形ABCO 的面积是△OAD 去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比1大，比S △OAD ＝12×2×2＝2小，故选C 项．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【备考警示】特别是像这种求面积需要求几部分的和的时候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下选出正确答案.【例4】（推理估算）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2.则此棱锥的体积是A ．26 B ．36 C ．23D ．22【答案】A【解析】方法一：易得△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的. 拓展变式1．已知0.30.31.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【解析】因为()0.30.30,1a =∈，0.31.21b =>， 1.2log 0.30c =<，所以c a b <<，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.2．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点()0,1A 在圆上，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D3．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6D ．215 【答案】D【解析】依题意可计算11332633E ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯⨯=四边形，而E A B C D A B C DF E V V ->多面体＝6，观察各选项可知选D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单. 终极押题 一、选择题1．设集合2{|ln(6)}A x y x x ==+-, {2,0,4}B =,则A B =A ．{2,0,4}B ．{2,0}C ．{2,0,1}D ．{2,1}【答案】B2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若999S =，717a =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】依题意，9559999911S a a =⇒=⇒=，而717a =，故数列{}n a 的公差为75375a a -=-，故选C ．3．已知复数z 满足10(1i)42i 1z +=--，则在复平面内复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】由10(1i)42i 1z +=--可得1045i (2i 1)(1i)1i z =-=-+-++，在复平面内复数z 对应的点为(5,1)-，位于第二象限．故选B ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,3),(3,5),(1,2)A B C -，则向量CA 与CB 的夹角的余弦值为 A ．1010B ．31010 C ．55D ．255【答案】B【解析】依题意，(3,1),(4,3)CA CB ==，故,CA CB 的夹角的余弦值为3413310cos ,10||||105CA CB CA CB CA CB ⋅⨯+⨯===⨯，故选B ．5．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为A．0.9，45 B．0.9，35 C．0.1，35 D．0.1，45 【答案】B6．执行下面的程序框图，输出的结果为A．9 B．18C．27 D．36【答案】C7．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”该问题实际描述的是：有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？已知1斛米的体积约为62.1立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（四舍五入取整数）A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛【答案】D【解析】由三视图得，粮仓的形状是一个如图所示的放倒的直四棱柱，其体积为(714127289=⨯⨯+=V 立方尺），又44162.1714≈，所以粮仓可以储存的粟米约为441斛，故选D ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B ，C 两点，若160BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为A ．2B ．5C ．3D ．2【答案】C【解析】不妨设点B 在x 轴的上方，易得点B 的坐标为2(,)bc a，由160BFC ∠=︒可得23tan 3023b ac =︒=，即23230e e --=，结合1e >，解得3e =．故选C ． 9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0, 0π2ωϕ><<)，12()()10f f x x ==,，若12min –||x x 12=，且3(3)2f =-，则ωϕ+= A ．5π3B ．4π3 C ．2π3D ．π3【答案】B10．某公园经常会在周末举办丰富多彩的娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到该公园，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁【答案】A【解析】由题意可知，若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；若乙中奖，则甲、丙、丁均预测正确，不符合题意；若丙中奖，则丙、丁预测正确，不符合题意；若丁中奖，则乙、丁预测正确，不符合题意.故选A ．11．已知正三棱锥的外接球的半径为1，若正三棱锥的高为32，则该正三棱锥的侧面积为 A ．253916B ．93916C ．823πD ．1323π【答案】B12．已知(0,)x ∀∈+∞，|lg |x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,lg e]-∞B ．(,lg e lg(lg e)]-∞-C ．(1,1]-D ．(,1]-∞【答案】B【解析】当1x ≥时，|lg |x x m +≥可化为lg x x m +≥，则min (lg )1m x x ≤+=； 当01x <<时，|lg |x x m +≥可化为lg x x m -+≥，即lg 0x x m -+≤恒成立， 令()lg f x x x m =-+，01x <<，则lge()1f x x'=-+，易知当lg e x =时，函数()f x 有极大值，也是最大值，故max ()(lg e)lg e lg(lg e)0f x f m ==-+≤，即lge m ≤-lg(lg e).因为e lg e lg(lg e)lglg(e ln10)lg101lg e-==⋅<=，所以实数m 的取值范围为(,lg e lg(lg e)]-∞-，故选B ．二、填空题 13．261(2)x x -的展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】60 【解析】由2661231661C (2)()2(1)C r r r r r r r r T x x x---+=⋅⋅-=-.令12304r r -=⇒=，则常数项为644462(1)C 41560--=⨯=.14．已知()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x g x a ＝－，则不等式1()3g x ≤－的解集是 .【答案】],3-∞（15．已知实数,x y 满足约束条件2,1,10,x y y x x +≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则32x y x y ++的取值范围为 . 【答案】4[,2]3【解析】依题意，136353532222y y x y x x y y y x y x x x+⋅+⋅-+===-++++.作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.y x表示平面区域内的点(,)x y 与定点(0,0)连线的斜率，观察可知，13y x ≤≤，则325y x ≤+≤，所以55132y x ≤≤+，所以453232y x≤-≤+，故32x y x y ++的取值范围为4[,2]3.16．已知第一象限内的点M 与第四象限内的点N 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若,,M F N 三点共线，且2+3tan 0OMN S MON ∠=△（O 为坐标原点），则抛物线C 的方程为_______________.【答案】24y x =你用了几分钟？有哪些问题？。

方法探究直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果.直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（1n n a a d +-=或1n na q a +=）、性质（若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+或m n p q a a a a =）、通项公式（1(1)n a a n d =+-或11n n a a q -=）、前n 项和公式（等差数列1(1)2n n n d S na -=+、1()2n n a a n S +=，等比数列1(1)1n n a q S q -=-）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态. 经典示例【例1】（利用相关概念、运算法则）3i1i+=+ A ．12i +B ．12i - C ．2i +D ．2i - 【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+i 1i 3i 2i 1i 2-+==-+，故选D ． 【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．【备考警示】本题直接从复数运算法则出发即可顺利求解.【例2】（利用公式）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前项和为，已知3676344S S ==,，则=．【答案】32【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．【备考警示】高考常将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系；二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质等.所以此类问题只需根据所学内容直接进行求解计算即可. 拓展变式1．设向量,a b 满足||22=a ，|2|=b ，且·1=a b ，则||2-=a bA ．23B ．C ．22D ． 【答案】A【解析】因为222|2|4484812-=-⋅+=-+=a b a a b b ，所以|2|23-=a b ，故选A.2．在正项等比数列{}n a 中，已知21016a a =，488a a +=，则． 【答案】【解析】由题意得48210484816418a a a a a a q a a ==⎧⇒==⇒=⎨+=⎩.终极押题 一、选择题1．已知全集*{|9,}U x x x =≤∈N ，集合{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =，则()U AB =ðA ．B ．{7,8}C ．{7,8,9}D ．{1,2,3,4,5,6} 1．【答案】C【解析】由题意，得{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,2,3,4,5,6}A B =，所以(){7,8,9}U A B =ð，故选C ．2．若复数满足(34i)|43i |z -⋅=+，是虚数单位，则的虚部为A ．B ．45 C ．D ．45-2．【答案】B3．已知直线，分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．【答案】A【解析】若“直线和直线相交”，则“平面和平面相交”是真命题，其逆命题是假命题，故答案是充分不必要条件，故选A.4．若(,)2απ∈π，3cos 2sin()4ααπ=-，则sin 2α的值为A ．1718-B ．1718C ．118-D ．1184．【答案】A5．在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是A ．(4,10]B ．(2,)+∞C ．(2,4]D ．(4,)+∞ 5．【答案】A【解析】当1i =时，3282,28x x -≤≤当2i =时，3(32)282,1x x --≤≤当3i =时，3[3(32)2]2x --->82, 4.x >所以410x <≤.6．在ABC △中， 60=∠BAC ，2=AB ，1=AC ，F E ,为边BC 的三等分点，则AE AF ⋅等于A ．35B ．45C ．910D ．8156．【答案】A7．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的左、右焦点分别为12F F 、，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为4(3)P ,，则此双曲线的方程为A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=7．【答案】C【解析】由已知条件得：122||2r F F c ==(为圆的半径)，即r c =，又||5r OP ==，且双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以点(3,4)P 在b y x a =上，所以222543c b a a b c ⎧⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎩，解得345a b c ===⎧⎪⎨⎪⎩，所以双曲线方程为221916x y -=. 8．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为A ．16πB ．C ．D ．8．【答案】B【思路点晴】本题通过三视图考查三棱锥的外接球的表面积，首先根据三视图画出直观图，确定三棱锥中点、线、面的位置关系，然后找到三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，从而计算得到外接球的表面积.本题主要考查学生将平面几何图形转化为空间几何图形的能力，考查空间想象能力. 9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且，，成等比数列，若11a =，为数列{}n a 的前项和，则2163n n S a ++的最小值为 A ．4 B ．3 C ．232-D ．2 9．【答案】A【解析】由已知有23113a a a =，所以有2111(2)(12),2(0)a d a a d d d +=+=≠，所以12(1)n a n =+-=2(121)21,2n n n n S n +--==，所以221689(1)24311n n S n n a n n ++==++-≥+++，当且仅当911n n +=+，即2n =时等号成立.故选A.10．如图是函数2()f x x ax b =++的部分图象，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是A ．)21,41(B ．)1,21( C ．(1,2)D ．(2,3) 10．【答案】B【思路点晴】本题主要考查函数图象及函数零点.零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()f a 与 ()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么函数()f x 在开区间(),a b 内至少存在一个零点，即至少有一点（a b ξ<<）使()0f ξ=.解决函数零点问题，可以运用数形结合思想、转化思想、函数与方程思想.11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (，，，*d ∈N )，则b da c++是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=…，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为 A ．227B ．6320C ．7825D ．1093511．【答案】A【解析】由题意：第一次用“调日法”后得165是的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<， 第二次用“调日法”后得4715是的更为精确的过剩近似值，即4716155<π<，第三次用“调日法”后得6320是的更为精确的过剩近似值，即47631520<π<， 第四次用“调日法”后得11022=357是的更为精确的过剩近似值，即4722157<π<，故选A. 【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点，属于中档题. 本题易错的地方是：没有读懂题意，题目中“第一次用“调日法”后得165是的更为精确的过剩近似值”中的165等于31+4910+15，那第二次、第三次、第四次都是用b da c++这个公式计算的.在2017年高考考纲中增加了“数学文化”，主要考查学生的读题和计算能力. 12．已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[3,3]x ∈-ππ时，方程()()f x g x =的根的个数是 A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 12．【答案】B【思路点晴】本题主要考查了导数的综合应用，函数图象的画法等，属于中档题.求解时，先对函数(),()f x g x 的性质进行分析，()f x 既是奇函数，又是反比例函数，()g x 是奇函数，可用导数的方法求出()g x 在各个区间上的单调性，得到它们的图象，由图象观察有个交点，故方程()()f x g x =有个根，另外考查了函数的图象与方程的根的关系. 二、填空题13．如图是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20)内的频数是__________．13．【答案】30【解析】由频率分布直方图的性质可知：样本数据在区间[)15,20内的频率是10.150.0450.3-⨯-⨯=，故样本数据在区间[)15,20内的频数是0.310030⨯=，应填.14．若为抛物线24y x =上任意一点，且点在轴上的射影为点，点(4,5)M ，则PQ 与PM 长度之和的最小值为__________． 14．【答案】341-【名师点睛】利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等进行相互转化，是抛物线中化曲为直求最值的一种常见且有效的方法.15．若，满足不等式2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则z x y =-的取值范围是__________．15．【答案】[2,2]-【解析】在直角坐标系内作出不等式组2,6,20x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示，由图可知目标函数z x y =-取得最大值时的最优解为点(4,2)B ，即m a x 422z =-=，取得最小值的最优解为点(2,4)C ，即min 242z =-=-，所以z x y =-的取值范围是[2,2]-.16．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC △面积的最大值为__________． 16．【答案】255你用了几分钟？ 有哪些问题？。

专题04 估算法方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论. 经典示例【例1】（范围估算）已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243b -⎛⎫=⎪⎝⎭，3ln5c =，则这三个数从大到小的顺序是______． 【答案】a b c >>【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方法，需要大家熟练掌握.【例2】（极端值估算）函数()21010x x f x x--=的图象大致为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例3】（数值估算）已知实数,x y满足条件2xyy x≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y=+从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点(),x y构成的平面区域的面积为A．74B．94C．92D．1【答案】A【解析】画出002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如图，平移直线y x z =-+，从经过点A ，到与直线BC 重合，目标函数z x y =+从最小值连续变化到1，满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为四边形ABCO.方法一：直接计算出面积为17244AOD BCD ABCO S S S =-=-=△△四边形，故选A ． 方法二：四边形ABCO 的面积是△OAD 去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比1大，比S △OAD ＝12×2×2＝2小，故选C 项．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【备考警示】特别是像这种求面积需要求几部分的和的时候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下选出正确答案.【例4】（推理估算）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2.则此棱锥的体积是A ．26 B ．36 C ．23D ．22【答案】A【解析】方法一：易得△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以1332346V <⨯⨯=，观察选项可排除B ，C ，D ，故选A.【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的. 拓展变式1．已知0.30.31.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【解析】因为()0.30.30,1a =∈，0.31.21b =>， 1.2log 0.30c =<，所以c a b <<，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.2．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点()0,1A 在圆上，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D3．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6D ．215 【答案】D【解析】依题意可计算11332633E ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯⨯=四边形，而E A B C D A B C DF E V V ->多面体＝6，观察各选项可知选D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单. 终极押题 一、选择题1．设集合2{|ln(6)}A x y x x ==+-, {2,0,4}B =,则A B =A ．{2,0,4}B ．{2,0}C ．{2,0,1}D ．{2,1}【答案】B【解析】由题意，知260x x +->即(2)(3)0x x +-<，解得23x -<<，所以{|23}A x x =-<<,又{2,0,4}B =,所以{2,0}A B =.故选B.2．已知复数z 满足10(1i)42i 1z +=--，则在复平面内复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,3),(3,5),(1,2)A B C -，则向量CA 与CB 的夹角的余弦值为 A ．1010B ．31010 C ．55D ．255【答案】B【解析】依题意，(3,1),(4,3)CA CB ==，故,CA CB 的夹角的余弦值为3413310cos ,10||||105CA CB CA CB CA CB ⋅⨯+⨯===⨯，故选B ．4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为A ．0.9，45B ．0.9，35C ．0.1，35D ．0.1，45【答案】B5．在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若3sin 2sin A B =，43b c =，则cos B = A ．154B ．34C ．31516D ．1116【答案】D【解析】因为3sin 2sin A B =，所以由正弦定理得32a b =，又因为43b c =，所以643a b c ==，令2,3,4a m b m c m ===，所以由余弦定理得222416911cos 22416m m m B m m +-==⨯⨯，故选D.6．执行下面的程序框图，输出的结果为A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C7．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”该问题实际描述的是：有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？已知1斛米的体积约为62.1立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（四舍五入取整数）A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛【答案】D【解析】由三视图得，粮仓的形状是一个如图所示的放倒的直四棱柱，其体积为(714127289=⨯⨯+=V 立方尺），又44162.1714≈，所以粮仓可以储存的粟米约为441斛，故选D ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B ，C 两点，若160BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为A ．2B ．5C ．3D ．2【答案】C9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0, 0π2ωϕ><<)，12()()10f f x x ==,，若12min –||x x 12=，且3(3)2f =-，则ωϕ+= A ．5π3B ．4π3 C ．2π3D ．π3【答案】B【解析】设f (x )的最小正周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1–x 2|min =12，得12π2π422T T ω=⇒=⇒==,由f (3) =32-，得sin 3π()ϕ+=32-，即3sin 2ϕ=.又0π2ϕ<<，∴π3ϕ=，则ωϕ+=4π3，故选B ．10．某公园经常会在周末举办丰富多彩的娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到该公园，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁【答案】A11．已知正三棱锥的外接球的半径为1，若正三棱锥的高为32，则该正三棱锥的侧面积为 A ．253916B ．93916C ．823πD ．1323π【答案】B【解析】如图，V ABC -是符合题意的正三棱锥，H 为V 在底面内的射影，O 为球心，设底面边长为a ，则22333323BH BD a a ==⨯=，由222BO BH OH =+可得22331()(1)32a =+-，解得32a =，设AC 的中点为D ，由222VD VH DH =+可得22233()()24VD =+，解得394VD =，于是该三棱锥的侧面积为1339939322416S =⨯⨯⨯=．故选B ．12．已知(0,)x ∀∈+∞，|lg |x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,lg e]-∞B ．(,lg e lg(lg e)]-∞-C ．(1,1]-D ．(,1]-∞【答案】B二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若999S =，717a =，则数列{}n a 的公差为 .【答案】3【解析】依题意，9559999911S a a =⇒=⇒=，而717a =，故数列{}n a 的公差为75375a a -=-． 14．已知()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x g x a ＝－，则不等式1()3g x ≤－的解集是 .【答案】],3-∞（ 【解析】由()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数得()=y g x 为奇函数，当=0x 时，()002=0g a ＝－，所以=1a ，则令()21=3x g x ＝－得=2x ，所以()2=3g ，所以1()3g x ≤－等价于()1()2g x g ≤－，又当0x ≥时，()21xg x ＝－为增函数，所以当x ∈R 时，()y g x =为增函数，所以12x ≤－，解得3x ≤，所以不等式的解集为],3-∞（. 15．已知实数,x y 满足约束条件2,1,10,x y y x x +≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则32x y x y ++的取值范围为 . 【答案】4[,2]3【解析】依题意，136353532222y y x y x x y y y x y x x x +⋅+⋅-+===-++++.作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.y x 表示平面区域内的点(,)x y 与定点(0,0)连线的斜率，观察可知，13y x ≤≤，则325y x≤+≤，所以55132y x ≤≤+，所以453232y x≤-≤+，故32x y x y ++的取值范围为4[,2]3. 16．已知第一象限内的点M 与第四象限内的点N 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若,,M F N 三点共线，且2+3tan 0OMN S MON ∠=△（O 为坐标原点），则抛物线C 的方程为_______________.【答案】24y x =你用了几分钟？有哪些问题？。

[ 介绍学习] 专题 01-直接法 -2019 年高考数学 ( 理)30 分钟拿下选择、填空题[k12]方法研究直接法在选择题中的详细应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、有关观点、性质、公式、公义、定理、法例等基础知识，经过谨慎推理、正确运算、合理考证，从而直接得出正确结论，而后比较题目所给出的选项“对号入坐”，从而确立正确的选择支．这种选择题常常是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．因为填空题和选择题对比，缺乏选择支的信息，因此常用到直接法进行求解 . 直接法是解决选择、填空题最基本的方法，合用范围广，只需运算正确必能获得正确答案，解题时要多角度思虑问题，擅长简化运算过程，迅速正确获得结果 .直接法详细操作起来就是要熟习试题所要考察的知识点，从而能迅速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比方，数列试题，很显然能看到是等差数列仍是等比数列或是二者的综合，假如是等差数列或等比数列，那就迅速将等an 1q ）、性质（若差数列或等比数列的定义（a n 1a n d或a nm n pq，则amanapaq或amanapaq）、通项公式（ana1(n 1)d或n 1）、前 n 项和公式（等差数列S n na1n(n 1)d、S n(a1 a n ) n，a n a1q22[k12]a1 (1q n )等比数列S n1q）等搬出来看能否合用；假如不可以直接看出，只好看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转变了，也可迅速进入状态 .经典示例【例1】（利用有关观点、运算法例）3i1iA ．12i B．1 2iC．2i D．2 i【答案】 D【分析】由复数除法的运算法例有：3i 3+i 1 i2 i ，应选D．1i2【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法其实是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若 z1，z2互为共轭复数，则 z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，经过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．【备考警告】此题直接从复数运算法例出发即可顺利求解 . 【例 2】（利用公式）等比数列{ a n}的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S37, S663，则a8 =．44【答案】 32最新 K12[k12]【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个办理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有必定量的运算，但思路简短，目注明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻表现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应存心识地去应用．但在应用性质时要注意性质建立的前提条件，有时需要进行适合变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，常常采纳“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．【备考警告】高考常将填空题分红两种种类：一是定量型，要修业生填写数值、数集或数目关系；二是定性型，要求填写的是拥有某种性质的对象或许填写给定的数学对象的某种性质等 . 因此此类问题只需依据所学内容直接进行求解计算即可 .拓展变式1．设向量a, b知足|a | 2 2，| b | 2 ，且ab·1 ，则| a 2b | A．2 3B．12C．22D．8【答案】 A【分析】因为 | a 2b |2 a 24a b 4b28 4 812 ，因此 | a2b |23 ，故选 A.2 ．在正项等比数列a n中，已知 a2a1016 ， a4a，则88．q【答案】 1【分析】由题意得a4 a8 a2 a10 164q 1 .a4a88a4 a8终极押题一、选择题1．设会合A { y | y 2x, x R}，B{ x | x2 1 0} ，则AUBA．(1,1)B．(0,1)C．( 1, )D．(0,)1．【答案】 C【分析】由题意得 A{ y | y 0} ， B { x | 1 x1} A U B( 1,) ，故选 C.【易错点晴】此题主要考察会合的基本运算，属于较易题型，但简单出错 .研究一个会合，我们第一要看清楚它的研究对象，是实数仍是点的坐标仍是其余的一些元素，这是很要点的一步；第二步常常是化简会合，如解一元二次不等式，我们第一用十字相乘法分解因式，再求得不等式的解集 .在解分式不等式的过程中，要注意分母不可以为零 .此外，要注意元素与会合之间是属于和不属于的关系，会合与会合之间是包括关系 .2．若复数z知足1z i i 2017，此中A．1 iC．1 i2．【答案】 A【分析】 z i 2017 (1 i) i(1 i) 1 i 3．设向量a, b知足|a | 2 2，| b | A．2 3C．2 2i为虚数单位，则B．1 iD．1 iz 1 i ，应选A.2，且 ab· 1 ，则| aB．12D．8z2b |3．【答案】 A【分析】因为 | a 2b |2 a 24a b 4b28 4 8 12 ，因此 | a 2b | 2 3 ，故选 A.421，则4．已知a 23， b 45， c 253A．b a c B．a b cC．b c a D．c a b4．【答案】 A【分析】由题意得应选 A.224411c b a c ，b 4543 2 3 a，且 a 231632535．《张丘建算经》是我国南北朝期间的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才初次出现．书中有这样一个问题，粗心为：某女子擅长织布，后一天比前一天织的快，并且每日增添的数目同样，已知第一天织布 5 尺，一个月（按 30 天计算）总合织布 390 尺，问每日增添的数目为多少尺？该问题的答案为A．C．8293229尺B．16尺29尺D．1尺25．【答案】 B【分析】设增量为d，则 S3030 530229d 390 d1629，应选 B. 6．已知抛物线y24x 上有两点 A, B 到焦点的距离之和为7 ，则点 A, B 到y轴的距离之和为A．8B．7C．6D．56．【答案】 D【名师点睛】关于抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的要点是利用抛物线的定义将到焦点的距离转变为到准线的距离，着重对基础知识的考察，属于中档题.解决此题时，第一依据抛物线的方程求出焦点和准线方程，再利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出点 A, B 到y轴的距离之和.x1,7．若不等式组y3,表示的平面地区经过平面直角坐2x y 2 0标系中的四个象限，则实数的取值范围是A．( ,4)B．[1,2]C．[2,4]D．(2, )7．【答案】 D8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为[k12]A．8B．43C．8D．8 28．【答案】 C【分析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积S 2 2 4 ，高 h 2 ，故体积 V Sh8 ，应选C.9．已知函数 f x Asin x（0 ，π）的部分图象如图所2示，将函数 f x 的图象向右平移7π个单位长度后获得函24数 g x 的图象，若函数 g x 在区间π(π,)上的值域为331,2 ，则等于A．πB．π64[k12]C．2πD．7π3129．【答案】 B【名师点睛】此题学生简单经验性的以为 A 2,但此时在π2内无解，因此A 2 .已知函数y Asin x B( A0,0) 的图象求分析式：(1)A y max y min, B y max y min .22(2)由函数的周期 T 求 ,T2π.(3)利用“五点法”中相对应的特别点求，一般用最高点或最低点求 .10．(x 1)5(x 2)的睁开式中 x2的系数为A．25B．5C．15D．2010．【答案】 C【分析】因为 ( x1)5 ( x 2)x(x 1)52( x 1)5，含有 x 2项的组成为[k12]xC 45 x 2C 35 x 211．已知函数围为15x 2，因此睁开式中x 2的系数为15，应选C.f ( x) ln x ax 2 ax恰有两个零点，则实数a的取值范A ． ( ,0)B ． (0,)C ． (0,1) U (1, )D ． (,0)U 111．【答案】 C12．已知定义在 (0, )上的 函数 f (x) 满 足： ①f ( x)； ②f ( x)f ( x)2 f (x)(此中 f( x) 是 f (x) 的导函数， e 是自然对数的底数)，则 f (1)的取值范围为f (2)A ．(12 ,1)B ．(12, 1)2e eeeC ． (e,2e)D ． (e,e 3 )12．【答案】 B【分析】结构函数 g( x)f ( x))，则e x, x (0,g ( x)f ( x)e xf ( x)e xf ( x) f ( x)，由已知f ( x) f ( x)，因此g (x) 0在(e x )2e x(0,)上恒建立，则函数 g( x) 在 (0,)上单一递加，因此g(2) ，即f (1)f (2)，因此依据f (1)f (2) 有g(1) ee 2 ，又因为f ( x)ee 2f (1) ef (1) 1f ( x)，f (2)e2，即f (2)e ；再结构函数h( x)(e x )2, x ( 0, )[k12]g ( x)f ( x)(e x ) 2 f ( x) 2(e x ) 2f ( x) 2 f ( x)，由已知f ( x) 2 f (x)，因此(e x )4(e x ) 2h (x)在 (0,)上恒建立，则函数 h( x) 在 (0,)上单一递减，因此 h(1)f (1)f (2)f (1)f (2)h(2)，即 e2e 4 ，又因为f ( x)0，因此依据 e2e 4有 f f(2)(1)e e 2f (1)11f (1)14，即f (2)e 2，因此 e 2f (2)e ，应选 B.【方法点晴】此题要点考察利用导数研究函数的单一性，此外，此题考察导数中结构函数这一类问题， 依据题中条件及选项的提示， 结构合理的函数， 从而利用导数研究所结构的函数的单一性， 能够求出需要的取值范围.结构函数法在导数和数列问题中被宽泛应用，主要考察学生的转变思想， 考察学生剖析问题、 解决问题的能力 .二、填空题13 ． 在 正 项 等 比 数列 a n中 ， 已 知 a 2a 1016 ， a 4a 88 ， 则q．13．【答案】 1【分析】由题意得a 4a 8a 2a1016a 4 a 8 8a 4 a 8 4 q 1.14．履行如下图的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的 x 为．[k12]14．【答案】115．已知球O被平面所截得的截面圆的面积为，且球心O到平面的距离为 15 ，则球O的表面积为__________．15．【答案】64π【分析】由平面所截得的截面圆的面积为，知截面圆的半径是 1，则球 O 的半径 R12 ( 15)2 4 ，因此球O的表面积为S 4πR264π，故答案为64π.【名师点睛】此题考察的知识点是球的表面积公式，由与球心距离为 d 的平面截球所得的截面圆的面积是 S ，我们易求出截面圆的半径 r ，依据球心距、截面圆半径、球半径组成直角三角形，联合勾股定理，我们易求出该球的半径，即 R2 r 2 d 2，从而求出球的表面积.[k12]16．已知直线 y 2b 与双曲线x2 22y2 1(a 0, b 0)的左支、右支分别a b交于 B 、C 两点，A 为右极点， O 为坐标原点，若 AOCBOC，则该双曲线的离心率为 __________．16．【答案】192你用了几分钟？有哪些问题？。