第九章方差分析及回归分析

方差分析与回归分析在统计学中，方差分析和回归分析都是常用的统计方法，用于研究不同变量之间的关系。

虽然两种分析方法的目的和应用领域有所不同，但它们都有助于我们深入理解数据集，并从中获得有关变量之间关系的重要信息。

一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异的统计方法。

方差分析的主要思想是通过比较组间方差与组内方差的大小来判断样本均值之间的差异是否具有统计学意义。

方差分析通常包括以下几个基本步骤：1. 设置假设：首先我们需要明确研究的问题，并设置相应的零假设和备择假设。

零假设通常表示各组均值相等，备择假设表示各组均值不全相等。

2. 计算统计量：利用方差分析的原理和公式，我们可以计算出F值作为统计量。

F值表示组间均方与组内均方的比值，用于判断样本均值之间的差异是否显著。

3. 判断显著性：通过查找F分布表，我们可以确定相应的拒绝域和临界值。

如果计算出的F值大于临界值，则可以拒绝零假设，认为样本均值存在显著差异。

4. 后续分析：如果方差分析结果显示样本均值存在显著差异，我们可以进行进一步的事后比较分析，比如进行多重比较或构建置信区间。

方差分析广泛应用于生物医学、社会科学、工程等各个领域。

通过方差分析可以帮助我们研究和理解不同组别之间的差异，并对实验设计和数据分析提供重要的指导和支持。

二、回归分析回归分析（Regression Analysis）是一种用于探究自变量与因变量之间关系的统计方法。

回归分析的目标是建立一个可信度高的数学模型，用以解释和预测因变量的变化。

回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种类型。

线性回归基于一条直线的关系来建立模型，非线性回归则基于其他曲线或函数形式的关系进行建模。

进行回归分析的主要步骤如下：1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的数据。

确保数据的准确性和完整性。

2. 确定模型：根据数据的特点和研究的目标，选择适当的回归模型。

方差分析与回归分析在统计学中，方差分析（ANOVA）和回归分析（Regression Analysis）都是常见的统计分析方法。

它们广泛应用于数据分析和实证研究中，有助于揭示变量之间的关系和影响。

本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较，让读者更好地理解它们的应用和区别。

一、方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较两个或更多组别的均值是否存在显著差异。

它通过计算组内变异和组间变异的比值来判断不同组别间的差异是否具有统计显著性。

在方差分析中，通常有三种不同的情形：单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平对收入的影响，可以将教育水平作为自变量分为高中、本科和研究生三个组别，然后进行方差分析来检验组别之间的收入差异是否显著。

双因素方差分析适用于有两个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平和不同工作经验对收入的影响，可以将教育水平和工作经验作为自变量，进行方差分析来研究其对收入的影响程度和相互作用效应。

多因素方差分析适用于有多个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平、工作经验和职位对收入的影响，可以将教育水平、工作经验和职位作为自变量，进行方差分析来探究它们对收入的联合影响。

方差分析的基本原理是计算组内变异和组间变异之间的比值，即F 值。

通过与临界F值比较，可以确定差异是否显著。

方差分析的结果通常会报告组间平均差异的显著性水平，以及可能存在的交互作用。

二、回归分析回归分析是一种统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

它通过建立一个数学模型来描述自变量对因变量的影响程度和方向。

回归分析分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。

简单线性回归适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。

例如，我们想要研究体重与身高之间的关系，可以将身高作为自变量、体重作为因变量，通过拟合一条直线来描述二者之间的关系。

多元线性回归适用于有多个自变量和一个因变量的情况。

*第9章 回归分析及方差分析9.1 回归分析的概念客观世界中普遍存在着变量之间的关系，大致可以分为两类：变量间的关系⎩⎨⎧==度与湿度等．压与年龄、气象中的温如人的体重与身高、血系）：非确定性关系（相关关等；；（函数关系）：确定性关系y)f(x,z )( x f y这种非确定性关系大量存在．比如人的身高x 大时一般地说其体重Y 也倾向于大．但身高x 相同的人其体重Y 也不完全相同．又比如，气象中空气的湿度Y 与温度x 有关．温度不同，湿度也会不同．但即使在温度x 相同的情况下，空气的湿度也不完全相同．这两个例子中变量x 和Y 的关系也是相关关系．研究变量间相关关系的统计分析方法称为回归分析．以上的例子中，x 通常称为自变量，Y 通常称为因变量或响应变量．当自变量x 的值确定之后，因变量Y 的值还不能完全确定，把它看作随机变量．若x 的值确定，对应的随机变量Y 的值虽不能完全确定，但Y 的数学期望应随之确定，它是x 的函数，记作)(x μ，称为Y 关于x 的回归函数． 自变量x 与因变量Y 之间的关系可描述为模型：εμ+=)(x Y ， (1) 其中ε是随机误差，满足0)(=εE ．模型(1)中只有一个自变量，基于这个模型的统计分析称为一元回归分析． 若)(x μ是x 的线性函数，即x x 10)(ββμ+=， 模型(1)可化为：εββ++=x Y 10， (2)其中0β是常数项，1β称为回归系数． 模型(2)称为一元线性回归模型，基于(2)的统计分析称为一元线性回归分析．回归函数)(x μ是未知的．回归分析的任务就是，用所获得的关于x 和Y 的观察值估计)(x μ，讨论有关的假设检验与区间估计问题，并利用对于)(x μ的估计进行预报等． 为了确定)(x μ的形式可根据专业知识或经验，也可通过画散点图获得帮助．对于变量) ,(Y X 作n 次观察，得到n 对观察值),( , ),,( ),,(2211n n y x y x y x ． 将每对观察值) , 2, ,1( ), ,(n i y x i i = 所对应的点在直角坐标系中描出，得到散点图．由于i y 中包含了随机误差，因此其观察值i y 在)(i x μ周围波动．点),( , ),,( ),,(2211n n y x y x y x 分布在曲线)(x Y μ=附近． 若散点图如图1所示，则可将)(x μ取为x 的线性函数； 若散点图如2所示，则将)(x μ取为x 的线性函数显然是不妥当的．这种情况将在后面详细讨论．图1 散点图Ⅰ 图2 散点图Ⅱ线性回归的应用⎩⎨⎧在给定的范围取值．的取值范围，使水平下，控制自变量控制问题：在一定置信取值的情况；时，随机变量取某一值水平下，估计出当预测问题：在一定置信Y 0x Y x x9.2 一元线性回归本节考虑一元线性回归模型：εββ++=x Y 10， (1)其中0β和1β都是未知参数．0β和1β是直线x x 10)(ββμ+= 的截距和斜率．还假定0)(=εE ，0)(2>=σεVar ． 2σ称为误差方差，它也是未知参数．对于一元线性回归，估计)(x μ的问题就转化为求0β和1β的估计问题．用适当的统计方法获得0β和1β的估计值0ˆβ和1ˆβ之后，对于给定的x 就可用x 10ˆˆββ+作为x x 10)(ββμ+= 的估计． 称x x 10ˆˆ)(ˆββμ+=为Y 关于x 的经验回归函数． 方程：x Y 10ˆˆˆββ+=， (2) 称为Y 关于x 的（经验）线性回归方程，或（经验）回归方程， 其图形称为（经验）回归直线．在一元线性回归分析中主要解决三个问题：(i) 对未知参数0β、1β和2σ作点估计，由此获得回归方程； (ii) 对回归系数1β作假设检验；(iii) 对于自变量x 的给定值0x ，对相应的因变量Y 的取值0Y 作预测． 一、0β和1β的估计及其性质 1. 0β和1β的最小二乘估计对于自变量x 和因变量y 的n 对观察值) ,( , ), ,( ), ,(2211n n y x y x y x （这里要求 , , ,21n x x x 不全相同），由式(1)知： )n , 2, 1,i ( ,10 =++=i i i x Y εββ， (3)其中i ε是对i Y 观察时的随机误差． 假设n εεε , , ,21 两两不相关且与(1)中的ε同分布，0)(=i E ε，)n , 2, 1,i ( ,0)(2 =>=σεi Var ． 把式(3)和关于i ε的假设放在一起称为模型(3)． 下面用最小二乘法求0β和1β的估计．假设0β和1β的估计已经求出，记为0ˆβ和1ˆβ． 得到回归函数x 10ββ+ 在i x 点的估计：)n , 2, 1,i ( ,ˆˆˆ10 =+=ii x Y ββ， 称i Y ˆ 为回归值，也称为预测值．（iY ˆ实际上是 图1 最小二乘原理示意图图9.2.1。

方差分析和回归分析方差分析和回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法。

它们分别用于比较多个样本之间的差异以及建立变量之间的函数关系。

本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较。

一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较多个样本均值是否存在差异的统计方法。

方差分析通过比较组间和组内的方差来判断样本均值是否存在显著差异。

方差分析需要满足一些基本假设，如正态分布假设和方差齐性假设。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析是指只有一个自变量（因素）对因变量产生影响的情况。

多因素方差分析则包含两个或两个以上自变量对因变量的影响，可以用于分析多个因素交互作用的效应。

方差分析的步骤包括建立假设、计算各组均值和方差、计算F值和判断显著性等。

通过方差分析可以得到组间显著性差异的结论，并进一步通过事后多重比较方法确定具体哪些组之间存在显著差异。

二、回归分析回归分析（Regression Analysis）是一种用于分析自变量和因变量之间关系的统计方法。

回归分析通过建立一种数学模型，描述自变量对因变量的影响程度和方向。

回归分析可用于预测、解释和探索自变量与因变量之间的关系。

回归分析可以分为线性回归和非线性回归。

线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系的情况，可以用一条直线进行拟合。

非线性回归则考虑了自变量和因变量之间的非线性关系，需要采用曲线或其他函数来进行拟合。

回归分析的步骤包括建立模型、估计参数、检验模型的显著性、预测等。

回归模型的好坏可以通过拟合优度、回归系数显著性以及残差分析等指标进行评估。

三、方差分析与回归分析的比较方差分析和回归分析都是常用的统计方法，但它们有一些区别。

主要区别包括：1. 目的不同：方差分析用于比较多个样本之间的差异，判断样本均值是否存在显著差异；回归分析则用于建立自变量和因变量之间的函数关系，预测和解释因变量。

2. 自变量个数不同：方差分析一般只有一个自变量（因素），用于比较不同组别之间的差异；回归分析可以包含一个或多个自变量，用于描述自变量对因变量的影响关系。

方差分析与回归分析习题答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第九章 方差分析与回归分析习题参考答案1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响.（0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9)8.02F =）解：r=3,12444n n 321=++=++=n n ,T=120 ,12001212022===n T C 计算统计值?7228.53,38A A A e e SS f F SS f ==≈……方差分析表结论:由于0.018.53(2,9)8.02,A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响.2.2700=10.523.56=≈结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 3．为了研究某商品的需求量Y 与价格x 之间的关系，收集到下列10对数据：2231,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====∑∑∑∑∑（1）求需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程； （2）计算样本相关系数；（3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. 解：引入记号10, 3.1,5.8n x y ===∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为（2）样本相关系数32.80.955634.3248l r-==≈≈- 在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)Ren S FF n S -=-计算统计值22(32.8)15.967.66,74.167.66 6.44R xy xx e yy R S l l S l S ==-≈=-≈-=故需求量Y 与价格x 之间的线性回归关系特别显着.4. 随机调查10个城市居民的家庭平均收入(x)与电器用电支出(y)情况得数据（单位：千元）如下:(1) 求电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程； (2) 计算样本相关系数； (3) 作线性回归关系显着性检验;(4) 若线性回归关系显着,求x =25时, y 的置信度为的预测区间. 解：引入记号10,27,1.9n x y ===∴电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程为（2）样本相关系数 0.9845l r==≈在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)Rn S FF n S -=-e计算统计值2243.6354 5.37,5.54 5.370.17xy xx yy s l l s l s ==≈=-≈-=R e R故家庭电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归关系特别显着. 相关系数检验法 01:0;:0H R H R =≠故家庭电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归关系特别显着. (4) 因为0xx =处,0y 的置信度为1α-的预测区间为其中00.025垐 1.42640.123225 1.6536,(8) 2.31,0.1458y t σ=-+⨯====代入计算得当x =25时, y 的置信度为的预测区间为。