例4 如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.
求证: ∠BAC=2∠DBC.
A
BAC的平分线,来获
取角的数量关系. B
12 D
E
C
解:作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示,则
1=2= 1 BAC. 2
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
A
12 D
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠ 2= ∠DBC.
B
E
C
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
方法总结 在涉及等腰三角形的有关计算和证明中,常用的作辅助线的 方法是作顶角的角平分线,而后利用等腰三角形三线合一的 性质,可以实现线段或角之间的相互转化.
针对训练
3.在直角坐标系中,点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称,
则a,m的值分别为( C )
A. 3,-2
B. -3,-2
C. 3,2
D. -3,2
考点三 线段垂直平分线的性质和判定
例3 在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使 BD=DE,已知AB+BD=DC. 求证:E点在线段AC的垂直平分线上.
五、等边三角形的性质及判定 1.性质 ⑴等边三角形的三边都相等;
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都 等于___6_0_°___; ⑶是轴对称图形,对称轴是三条高所在的直线;
⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高 互相重合,简称“三线合一”.
2.判定 ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形. ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形. ⑶有一个角是60°的等__腰__三__角__形___是等边三角形.