基于传递函数方法的约束层阻尼梁动力学分析
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１５ ９９年 Ｋ ｒｉ 次 用 复 模 量 法 建 立 了 三 层 简 支 ｅｗｎ首 梁 的理论 ，９ ５年 Ｄｔ ａｔ 考 虑 了阻 尼 层 的剪 切 效 １６ ｉｒｎｏ ａ 应 ， 立 了 约 束 阻 尼 梁 的六 阶微 分 方 程 。此 后 Ｄ Ｋ． 建 ． Ｒ ｏ２ 析 了在不 同边 界条 件 下 约 束 阻 尼 梁 的 固有 频 ａＬ分 率 和损 耗 因子 。 目前对 于 约束 阻 尼 梁 的研 究方 法 主要 有 两种 ： 析／ 解析法 和 有 限元 法 Ｊ 解 半 。解 析法 假 设 约
求解复杂变系数 的微分方程组 ， 更适宜分析粘 弹性材料力学性能 随频率变化 的结构动力学 问题 。
，
关键词 ：传递函数方法 ， 约束层 阻尼梁 ， 粘弹性 ， 动力学分析
中 图分 类 号 ：０ ２ ３７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
振动 和 噪声 的控 制 问题 十 分 复 杂 ， 也 是 目前 工 但
ｌ 山山 山
ｌ
山Ｊ山 ，
３
１
山，
Ｍ
束阻尼梁系统作简谐运动 ＝ ｅ ｊ ，］ 其 中 Ａ“ ｅｏ ｔ２４ ， Ａ为常 系数 ， 过边界 条件 得到 关 于 ｋ 通 和 ｎ 的二元 非 线性 方程 组 ， 到 系 统 的 固有 频 率 。此 种 方 法 确 定 的 得 方程 组是 非线 性 的 ， 式 复 杂 ， 易 求 解 ， 当粘 弹 性 形 不 且 。 复模 量 随频 率 变 化 时 ， 析 更 为 困难 。有 限元 法 一 般 分 分为三层夹心结构 和约束层阻尼复合单元两种 。文 献 ［ ，］ ６７ 都使用两节点八 自由度夹层梁单元分 析了约 束层阻尼梁的动力学特性 ， 每一个节点有 ４个 位移分 量， 包括 全梁 横 向位移 ， 面转 角 ０基 层纵 向位移 ｕ 截 ， ． 和约束 层纵 向位 移 ｕ 。关 于 阻尼 层粘 弹 性材 料 的动 力 ： 学模 型 ， 文献 ［ ］ ８ 中进行 了详 细 的总结 。 主要采 用传 递 函数 方 法 研究 约 束 层 阻尼 梁 的动 力 学 问题 。首 先通 过 Ｈ ｍｉｏ 理建 立 了 约束 层 阻尼 梁 ａ ｌｎ原 ｔ 的六阶微分方程 ， 然后使用传递 函数方法 将动力学 方程 和边 界条 件 改 写 成 状 态 空 间 方 程 的形 式 ， 过 与 通 文献 算例 进行对 比 ， 验证 了本 文计算 结果 的正 确性 。
基金项 目：国家 ８ ３ ６ 资助项 目（ ０ ２ Ａ ０ ０６ ห้องสมุดไป่ตู้２０Ａ ０ １ ） ０
收稿 日期 ：２０ ０ ６一ｌ ０一ｏ 修改稿收到 日期 ：０ ６— ９—１ ９ ２０ ０ ８ 第一作者 李恩奇 男 ， 博士生 ，９ ８年生 １７
图 ２ 约束阻尼梁变形 图
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图 １ 约 束 阻尼 梁 载荷 图 ・
不 失一 般性 ， 约束 阻尼 梁有 以下基本 假设 ： １ 约束 层 阻尼梁 服从 小变 形假 设 ， 各层 具 有 相 ） 且 同 的挠 度 ； ２ 各层 之 间没有 滑移 ， 间位移 连续 ； ） 层
３ ）基层 和约束 层 的剪 切效应小 ， 曲变形 服从 弯 Ｅ ｌｒ ｕｅ 梁假 设 ； ４ ）粘弹性阻尼层只考虑其剪切变形 ：忽略纵 向 ， 刚度 （ ｅｗｎ假设 ） Ｋ ｒｉ ； ５ ）忽 略纵 向振 动和转 动惯 量 的影 响。 由粘 弹性 约束 阻尼 梁 的变形关 系 图 ２可 知
７ ６
ｌ一 ／ ＝ Ｃ 一 ｈ Ｙ １ ＂ ３ Ｗ ２２
振 动 与 冲 击
（ ） １
２０ ０７年第 ２ ６卷
因此 系统 的变形能 为
（＋３曲 丢Ｄ ｕ弯＝ 。 ） （ ］ 或 ＝ ￣＿ （＋３伸 丢 （” ） ２ ¨ｆｇｒｍ缸 。 ｕ拉＝ 伽一 ｝（ ＾ｙＬ 缸 。 ） ） ２ Ｄ ＿
筑等 领域 ， 究 阻尼 层 结 构 的 振 动 控 制 效 果 具 有 重 要 研
的现 实意义 。
（） ２ 和约束层 （ ） ３ 组成。设基层 和约束层厚度分别为 ｈ 、，弹性模量为 Ｅ 、，组合弯曲刚度 Ｄ＝ Ｅ， ＋ ， 。ｈ ， 。 ， Ｅ （ 。 Ｅ 。
，） 阻尼层厚 度 为 ｈ ， 剪 切 模 量 为 Ｇ 梁 长 度 为 ， ３； ：复 ； 单位长度质量为 ｍ（ 。梁承受载荷如图 １ ） 所示 ， 其中 是 弯矩 ， Ｑ是 横 向剪 力 ， 是 层 间力 矩 ， 两 端 分 别 梁
业部 门最 为关 心 的问题 之 一 。在 原有 结 构 上增 加 粘 弹 性 阻尼 材料 ， 构成 的阻 尼层 结 构具 有 减 振 降噪 的功能 ， 现 已被 广泛应 用 于航空 航 天 、 航海 、 交通 运 输 和 土木 建
１ 约束阻尼梁动力学方程
典 型 的约 束 层 阻 尼 梁 由基 层 （ ） 粘 弹 性 阻 尼 层 １、
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振 第２ ６卷第 ２期
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴＩ ＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫ
基 于传 递 函数方 法 的 约束 层 阻 尼梁 动 力学 分析
李恩奇 ， 雷勇军 ， 唐 国金 ， 李道奎
（ 国防科学技术大学航天与材料工程学院 ， 长沙 ４ ０ ７ ） １０ ３
摘 要 主要采用传递函数方法对约束层阻尼梁进行动力学分析。首先应用 Ｈ ｍｌｎ ａ ｉ 原理推导出梁的六阶微分 ｔ ｏ
方程和边界条件 ， 然后引入状态 向量 ， 使用 分布参数传递 函数 方法建立 系统的状态 空间方程 ， 得到 了系统 的固有频率 、 损
耗因子和频响曲线。算 例韵 计算 结果和相关文献比较 ， 吻合 良好 ， 表明该方 法的正确性 。且传递 函数方法计算简捷 ， 无需
。
１５ ９９年 Ｋ ｒｉ 次 用 复 模 量 法 建 立 了 三 层 简 支 ｅｗｎ首 梁 的理论 ，９ ５年 Ｄｔ ａｔ 考 虑 了阻 尼 层 的剪 切 效 １６ ｉｒｎｏ ａ 应 ， 立 了 约 束 阻 尼 梁 的六 阶微 分 方 程 。此 后 Ｄ Ｋ． 建 ． Ｒ ｏ２ 析 了在不 同边 界条 件 下 约 束 阻 尼 梁 的 固有 频 ａＬ分 率 和损 耗 因子 。 目前对 于 约束 阻 尼 梁 的研 究方 法 主要 有 两种 ： 析／ 解析法 和 有 限元 法 Ｊ 解 半 。解 析法 假 设 约
求解复杂变系数 的微分方程组 ， 更适宜分析粘 弹性材料力学性能 随频率变化 的结构动力学 问题 。
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关键词 ：传递函数方法 ， 约束层 阻尼梁 ， 粘弹性 ， 动力学分析
中 图分 类 号 ：０ ２ ３７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
振动 和 噪声 的控 制 问题 十 分 复 杂 ， 也 是 目前 工 但
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束阻尼梁系统作简谐运动 ＝ ｅ ｊ ，］ 其 中 Ａ“ ｅｏ ｔ２４ ， Ａ为常 系数 ， 过边界 条件 得到 关 于 ｋ 通 和 ｎ 的二元 非 线性 方程 组 ， 到 系 统 的 固有 频 率 。此 种 方 法 确 定 的 得 方程 组是 非线 性 的 ， 式 复 杂 ， 易 求 解 ， 当粘 弹 性 形 不 且 。 复模 量 随频 率 变 化 时 ， 析 更 为 困难 。有 限元 法 一 般 分 分为三层夹心结构 和约束层阻尼复合单元两种 。文 献 ［ ，］ ６７ 都使用两节点八 自由度夹层梁单元分 析了约 束层阻尼梁的动力学特性 ， 每一个节点有 ４个 位移分 量， 包括 全梁 横 向位移 ， 面转 角 ０基 层纵 向位移 ｕ 截 ， ． 和约束 层纵 向位 移 ｕ 。关 于 阻尼 层粘 弹 性材 料 的动 力 ： 学模 型 ， 文献 ［ ］ ８ 中进行 了详 细 的总结 。 主要采 用传 递 函数 方 法 研究 约 束 层 阻尼 梁 的动 力 学 问题 。首 先通 过 Ｈ ｍｉｏ 理建 立 了 约束 层 阻尼 梁 ａ ｌｎ原 ｔ 的六阶微分方程 ， 然后使用传递 函数方法 将动力学 方程 和边 界条 件 改 写 成 状 态 空 间 方 程 的形 式 ， 过 与 通 文献 算例 进行对 比 ， 验证 了本 文计算 结果 的正 确性 。
基金项 目：国家 ８ ３ ６ 资助项 目（ ０ ２ Ａ ０ ０６ ห้องสมุดไป่ตู้２０Ａ ０ １ ） ０
收稿 日期 ：２０ ０ ６一ｌ ０一ｏ 修改稿收到 日期 ：０ ６— ９—１ ９ ２０ ０ ８ 第一作者 李恩奇 男 ， 博士生 ，９ ８年生 １７
图 ２ 约束阻尼梁变形 图
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图 １ 约 束 阻尼 梁 载荷 图 ・
不 失一 般性 ， 约束 阻尼 梁有 以下基本 假设 ： １ 约束 层 阻尼梁 服从 小变 形假 设 ， 各层 具 有 相 ） 且 同 的挠 度 ； ２ 各层 之 间没有 滑移 ， 间位移 连续 ； ） 层
３ ）基层 和约束 层 的剪 切效应小 ， 曲变形 服从 弯 Ｅ ｌｒ ｕｅ 梁假 设 ； ４ ）粘弹性阻尼层只考虑其剪切变形 ：忽略纵 向 ， 刚度 （ ｅｗｎ假设 ） Ｋ ｒｉ ； ５ ）忽 略纵 向振 动和转 动惯 量 的影 响。 由粘 弹性 约束 阻尼 梁 的变形关 系 图 ２可 知
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ｌ一 ／ ＝ Ｃ 一 ｈ Ｙ １ ＂ ３ Ｗ ２２
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（ ） １
２０ ０７年第 ２ ６卷
因此 系统 的变形能 为
（＋３曲 丢Ｄ ｕ弯＝ 。 ） （ ］ 或 ＝ ￣＿ （＋３伸 丢 （” ） ２ ¨ｆｇｒｍ缸 。 ｕ拉＝ 伽一 ｝（ ＾ｙＬ 缸 。 ） ） ２ Ｄ ＿
筑等 领域 ， 究 阻尼 层 结 构 的 振 动 控 制 效 果 具 有 重 要 研
的现 实意义 。
（） ２ 和约束层 （ ） ３ 组成。设基层 和约束层厚度分别为 ｈ 、，弹性模量为 Ｅ 、，组合弯曲刚度 Ｄ＝ Ｅ， ＋ ， 。ｈ ， 。 ， Ｅ （ 。 Ｅ 。
，） 阻尼层厚 度 为 ｈ ， 剪 切 模 量 为 Ｇ 梁 长 度 为 ， ３； ：复 ； 单位长度质量为 ｍ（ 。梁承受载荷如图 １ ） 所示 ， 其中 是 弯矩 ， Ｑ是 横 向剪 力 ， 是 层 间力 矩 ， 两 端 分 别 梁
业部 门最 为关 心 的问题 之 一 。在 原有 结 构 上增 加 粘 弹 性 阻尼 材料 ， 构成 的阻 尼层 结 构具 有 减 振 降噪 的功能 ， 现 已被 广泛应 用 于航空 航 天 、 航海 、 交通 运 输 和 土木 建
１ 约束阻尼梁动力学方程
典 型 的约 束 层 阻 尼 梁 由基 层 （ ） 粘 弹 性 阻 尼 层 １、
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振 第２ ６卷第 ２期
动
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冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴＩ ＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫ
基 于传 递 函数方 法 的 约束 层 阻 尼梁 动 力学 分析
李恩奇 ， 雷勇军 ， 唐 国金 ， 李道奎
（ 国防科学技术大学航天与材料工程学院 ， 长沙 ４ ０ ７ ） １０ ３
摘 要 主要采用传递函数方法对约束层阻尼梁进行动力学分析。首先应用 Ｈ ｍｌｎ ａ ｉ 原理推导出梁的六阶微分 ｔ ｏ
方程和边界条件 ， 然后引入状态 向量 ， 使用 分布参数传递 函数 方法建立 系统的状态 空间方程 ， 得到 了系统 的固有频率 、 损
耗因子和频响曲线。算 例韵 计算 结果和相关文献比较 ， 吻合 良好 ， 表明该方 法的正确性 。且传递 函数方法计算简捷 ， 无需
