2017-2018届江西省宜春市高三模拟考试理科数学试题及答案

2017-2018学年江西省宜春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U=R集合A={x|log2（x﹣1）}，B={y|y=2x}，则（C U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（1，2）2．复数Z=（a∈R）在复平面内对应的点在虚轴上，则a=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．已知a1=，数列{a n+3}是公比为的等比数列，则a8=（）A． B．﹣C．D．﹣4．已知p：cosα≠0是α≠2kπ（k∈Z）的充分必要条件，q：设随机变量ζ～N（0，1），若P（ξ≥）=m，则P（﹣＜ξ＜0）=﹣m，下列是假的为（）A．p∧q B．p∨q C．￢p∧q D．￢p∨q5．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4 B．7 C．10 D．126．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ=（）A．B．﹣C．D．﹣7．当双曲线C不是等轴双曲线我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”，则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”离心率为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为，则实数k的取值范围为（）A．[16，64] B．[16，32）C．[32，64）D．（32，64）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．某校文化艺术节要安排六个节目，其中高一年级准备3个节目，高二年级准备2个节目，高三年级准备1个节目，则同一年级的节目不相邻的安排种数为（）A．72 B．84 C．120 D．14411．已知点P在直径为的球面上，过点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，若PA=PB，则PA+PB+PC的最大值为（）A．B． +1 C． +2 D．312．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．B．（）C．（，1）D．（，1）二、填空题13．已知向量||=1，||=2，若|﹣|=，则向量，的夹角为．14．设圆C的圆心是抛物线y=x2的焦点，且与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程是．15．设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是．16．若数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1=（﹣1）n+1，b n=，n∈N*，且a1=2，设数列{a n}的前n项和为S n，则S61=．三、解答题17．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（sin2B+sin2C）=3sin2A+2sinBsinC．（1）若sinB=cosC，求tanC的值；（2）若a=2，△ABC的面积S=，且b＞c，求b，c的值．已知在这89人随机抽取1人，抽到无酒驾习惯的概率为，（1）将如表中空白部分数据补充完整；（2）若从有酒驾习惯的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽取2人，记抽到女性的人数为X，求X得分布列和数学期望．19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（a∈R）．（1）若对∀x∈（0，+∞），恒有不等式f（x）≥g（x），求a得取值范围；（2）证明：对∀x∈（0，+∞），有lnx＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延线与⊙O的切线DE交于点E．（1）求证：=（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求BF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．2016年江西省宜春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R集合A={x|log2（x﹣1）}，B={y|y=2x}，则（C U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：由A中log2（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴A=（1，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，1]，由B中y=2x，得到y＞0，即B=（0，+∞），则（∁U A）∩B=（0，1]．故选：B．2．复数Z=（a∈R）在复平面内对应的点在虚轴上，则a=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：Z===在复平面内对应的点在虚轴上，∴=0，≠0，解得a=﹣2．则a=﹣2．故选：B．3．已知a1=，数列{a n+3}是公比为的等比数列，则a8=（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：a1==2，数列{a n +3}是公比为的等比数列，首项为+3=4．∴a n +3=．则a 8+3=4×，解得a 8=．故选：D ．4．已知p ：cos α≠0是α≠2k π（k ∈Z ）的充分必要条件，q ：设随机变量ζ～N （0，1），若P （ξ≥）=m ，则P （﹣＜ξ＜0）=﹣m ， 下列是假的为（ ）A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢p ∧qD ．￢p ∨q 【考点】的真假判断与应用．【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及正态分布的概率关系分别判断两个的真假结合复合之间的关系进行判断即可．【解答】解：若cos α≠0则α≠k π+，则α≠2k π不成立，反之若α=k π+满足α≠2k π，但cos α=0，故cos α≠0是α≠2k π（k ∈Z ）的既不充分也不必要条件，故p 是假， 若随机变量ζ～N （0，1），则函数关于x=0对称，若P （ξ≥）=m ，则P （ξ≥）=P （ξ≤﹣）=m ，则P （﹣＜ξ＜0）= [1﹣P （ξ≥）﹣P （ξ≤﹣）=（1﹣2m ）=﹣m ，故q 是真， 则p ∧q 是假，p ∨q ，￢p ∧q ，￢p ∨q 都是真， 故选：A ．5．已知变量x ，y 满足，则2x +y 的最大值为（ ）A ．4B ．7C ．10D ．12【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=2x +y 得y=﹣2x +z ， 平移直线y=﹣2x +z ，由图象可知当直线y=﹣2x +z 经过点A 时，直线y=﹣2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由，解得，即A （4，2），代入目标函数z=2x +y 得z=2×4+2=10．即目标函数z=2x +y 的最大值为10．故选：C．6．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同，求出ω=2，然后根据分别求出两个函数的对称中心，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：若f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同即，则ω=2，即f（x）=2sin（2x+）由2x+=kπ，即x=﹣，即f（x）的对称中心为（﹣，0）即g（x）的对称中心为（﹣，0），则g（﹣）=cos（2×（﹣）+φ）=cos（kπ﹣+φ）=±cos（φ﹣）=0，即φ﹣=kπ+，则φ=kπ+，k∈Z当k=﹣1，φ=﹣π+=﹣，故选：D．7．当双曲线C不是等轴双曲线我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”，则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设双曲线的标准方程为﹣=1（a ＞0，b ＞0），则其“伴生椭圆”的方程为+=1．由=，运用a ，b ，c 的关系，可得b=2a ，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设双曲线的标准方程为﹣=1（a ＞0，b ＞0），则其“伴生椭圆”的方程为+=1．由=，可得=5，即有b=2a ，其“伴生椭圆”的离心率e===．故选：D ．8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[16，64]B ．[16，32）C ．[32，64）D ．（32，64）【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，a 的值，当a=32时由题意此时不满足条件32≤k ，退出循环，输出S 的值为，从而可解得k 的取值范围． 【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，S=执行循环体，S=log 24=1，a=4由题意，此时满足条件4≤k ，执行循环体，S=1×log 48，a=8由题意，此时满足条件8≤k，执行循环体，S=1×log48×log816，a=16由题意，此时满足条件16≤k，执行循环体，S=1×log48×log816×log1632==，a=32由题意，此时不满足条件32≤k，退出循环，输出S的值为．则实数k的取值范围为：[16，32）．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为三棱柱去掉一个三棱锥，分别计算体积即可．【解答】解：由三视图得到几何体如图体积为=10；故选C．10．某校文化艺术节要安排六个节目，其中高一年级准备3个节目，高二年级准备2个节目，高三年级准备1个节目，则同一年级的节目不相邻的安排种数为（）A．72 B．84 C．120 D．144【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将高一年级准备3个节目全排列，②、因为高一年级准备3个节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分2步进行分析：1、先将高一年级准备3个节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为高一年级准备3个节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个高二年级准备1个节目节目和高三年级准备1个节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后高二年级准备1个节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个高二年级准备2个节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，高三年级准备1个节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：C．11．已知点P在直径为的球面上，过点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，若PA=PB，则PA+PB+PC的最大值为（）A．B． +1 C． +2 D．3【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知，PA，PB，PC两两垂直，点P在直径为的球面上，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，得到2PB2+PC2=2，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到PA+PB+PC的最大值．【解答】解：∵PA，PB，PC两两垂直，点P在直径为的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴2=PA2+PB2+PC2，又PA=PB，∴2PB2+PC2=2，设PB=cosα，PC=sinα，则PA+PB+PC=2PB+PC=2cosα+sinα=sin（α+φ）≤．则PA+PB+PC的最大值为，故选：A．12．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．B．（）C．（，1）D．（，1）【考点】导数的几何意义．【分析】根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=3x2﹣2x，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）则，解得；．∴实数a的取值范围是（，1）故选：C二、填空题13．已知向量||=1，||=2，若|﹣|=，则向量，的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意先求出=1，再根据向量的夹角公式计算即可．【解答】解：向量||=1，||=2，|﹣|=，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=1+4﹣2=3，∴=1，∴cos＜，＞===，∵向量，的夹角的范围为（0，π），∴向量，的夹角为，故答案为：．14．设圆C的圆心是抛物线y=x2的焦点，且与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程是x2+（y﹣1）2=8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线x+y+3=0相切，∴圆C的半径为点C到直线x+y+3=0的距离d==2．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=8．故答案为：x2+（y﹣1）2=8．15．设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是[5，+∞）．【考点】二项式定理．【分析】由题意可得f（x）=•x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，]上的最大值，可得m的范围．【解答】解：由题意可得f（x）=•x6•=•x3．由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2在区间[，]上恒成立，由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，即m的范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞）．16．若数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1=（﹣1）n+1，b n=，n∈N*，且a1=2，设数列{a n}的前n项和为S n，则S61=527．【考点】数列的求和．【分析】b n+1a n+b n a n+1=（﹣1）n+1，b n=，n∈N*，a1=2，可得：a2=﹣1．n=2k=0．n=2k（k∈N*）时，2a2k+a2k+1=2．﹣1（k∈N*）时，2a2k+a2k﹣1可得a2k+1﹣a2k=2，a2k+2﹣a2k=﹣1，因此数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差分别为2，﹣1．即可得出．【解答】解：∵b n+1a n+b n a n+1=（﹣1）n+1，b n=，n∈N*，a1=2，∴b1=2，b2=1，b2a1+b1a2=0，a2=﹣1．=0．n=2k﹣1（k∈N*）时，2a2k+a2k﹣1n=2k（k∈N*）时，2a2k+a2k+1=2．∴a2k+1﹣a2k=2，a2k+2﹣a2k=﹣1，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差分别为2，﹣1．∴S61=（a1+a3+…+a61）+（a2+a4+…+a60）=+（﹣1）×30+（﹣1）=527．故答案为：527．三、解答题17．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（sin2B+sin2C）=3sin2A+2sinBsinC．（1）若sinB=cosC，求tanC的值；（2）若a=2，△ABC的面积S=，且b＞c，求b，c的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理求出cosA的值，进而求出sinA的值，（1）已知等式左边sinB换为sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanC 的值即可；（2）由cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的方程，再利用三角形面积公式列出关于b与c的方程，联立求出b与c的值即可．【解答】解：△ABC中，∵3（sin2B+sin2C）=3sin2A+2sinBsinC，∴3（b2+c2）=3a2+2bc，即cosA==，∴sinA==，（1）由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC=cosC，整理得：sinC=cosC，则tanC=；（2）∵cosA=，∴由余弦定理得：4=b2+c2﹣bc①，由三角形面积公式及已知面积S=，得到bc•=②，联立①②，且b＞c，解得：b=，c=．已知在这89人随机抽取1人，抽到无酒驾习惯的概率为，（1）将如表中空白部分数据补充完整；（2）若从有酒驾习惯的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽取2人，记抽到女性的人数为X，求X得分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由已知得89位司机中有57人无酒驾习惯，从而求出女性司机中有26人无酒驾习惯，进而求出女性司机共有34人，男性司机有55人，其中有酒驾习惯的人数为24人．由此能将表中空白部分数据补充完整．（2）因为从有酒驾的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人，所以男性抽出6人，女性抽出2人，X可取的值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）∵在这89人随机抽取1人，抽到无酒驾习惯的概率为，∴89位司机中有57人无酒驾习惯，∴女性司机中有：57﹣31=26人无酒驾习惯，∴女性司机共有：26+8=34人，∴男性司机有：89﹣34=55人，其中有酒驾习惯的人数为：55﹣31=24人．（2）因为从有酒驾的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人，所以男性抽出8×=6人，女性抽出8﹣6=2人，所以X可取的值为0，1，2；…X服从超几何分布，P（x=0）==，P（x=1）==，P（x=0）==，…XE（X）=2×=…19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点E，连结DE，证明SD⊥平面SAB，只需证明SD⊥SE，AB⊥SD；（2）求出F到平面SBC的距离，由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，可得E到平面SBC 的距离，从而可求AB与平面SBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．连结SE，则又SD=1，故ED2=SE2+SD2所以∠DSE为直角，所以SD⊥SE，由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．因为AB∩SE=E，所以SD⊥平面SAB…6分（2）解：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，作FG⊥BC，垂足为G，则FG=DC=1．连结SG，则SG⊥BC又FG⊥BC，SG∩FG=G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC，即F到平面SBC的距离为．由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为．设AB与平面SBC所成的角为α，则…12分．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，左顶点（﹣4，0），求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．【解答】解：（1）∵左顶点为A（﹣4，0），∴a=4，又∵e=，∴c=2，又∵b2=a2﹣c2=16﹣4=12，…∴椭圆方程为：=1．…（2）直线的方程为y=k（x+4），由，消元得，化简得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，∴，…∴D（，），又∵点P为AD的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），…直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，则k OP•k EQ=﹣1，即﹣，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0）…21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（a∈R）．（1）若对∀x∈（0，+∞），恒有不等式f（x）≥g（x），求a得取值范围；（2）证明：对∀x∈（0，+∞），有lnx＞﹣．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）问题转化为证a≤2lnx+x+，（x＞0），令h（x）=2lnx+x+，（x＞0）则a≤h （x）min，根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为证明f（x）•（lnx）＞﹣，由f′（x）=lnx+1，确定函数的单调性，得到当x＞0时f（x）≥f（）=﹣，令ω（x）=﹣（x＞0），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）当x＞0时，要证f（x）≥g（x），只需证：xlnx≥（﹣x2+ax﹣3），只需证a≤2lnx+x+，（x＞0），令h（x）=2lnx+x+，（x＞0）则a≤h（x）min，由h′（x）=，知函数h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=4，故的取值范围是（﹣∞，4]；（2）证明：要证lnx＞﹣，只要证f（x）•（lnx）＞﹣，由f′（x）=lnx+1，知f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．于是，当x＞0时f（x）≥f（）=﹣，①…令ω（x）=﹣（x＞0），则ω′（x）=，∴在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，于是，ω（x）≤ω（1）=﹣=②…显然，不等式①，②中的等号不能同时成立．故当x＞0时，f（x）＞g（x）即lnx＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延线与⊙O的切线DE交于点E．（1）求证：=（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求BF的值．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接CD，证明△ABD∽△DCE，即可证明：=（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求出DE，证明△DCE∽△BFD，即可求BF的值．【解答】（1）证明：连接CD，则∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，=，∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．∵∠DCE是四边形ABCD的外角，∴∠DCE=∠ABD，∴△ABD∽△DCE，∴=．（2）解：∵=，BD=3，∴BD=CD=3，∠CBD=∠BCD，∵DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，∴∠CDE=∠CBD，DE2=EC•EA=16，∴DE=4，∴∠CDE=∠BCD，∴DE∥BC，∴∠E=∠ACB=∠ADB，∴△DCE∽△BFD，∴，∴BF==．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2，即：1﹣x2＜0或或，解出即可；（2）g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空⇔（|x ﹣1|+|x+3|）min＜m，利用绝对值不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2即：1﹣x2＜0或或，解得x＞1或x＜﹣1，或∅，或x＞1或x＜0．∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}，综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．（2）∵g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x），∴|x﹣1|+|x+3|＜m．因此g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空．令h（x）=|x﹣1|+|x+3|，即h（x）=（|x﹣1|+|x+3|）min＜m，由|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|=4，∴h（x）min=4，∴m＞4．2016年8月1日。

2017-2018学年江西省宜春市上高二中高三（下）月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁U P=（）A．[，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）2．已知=1﹣ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，则m+ni=（）A．1+2i B．2+i C．1﹣2i D．2﹣i3．已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=sinx，当x∈[2，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）+f（4）=（）A． B．1 C．3 D．4．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？5．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（）A．B．C．D．6．二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A．3或B．C．3 D．3或7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A．10+4+4B．10+2+4C．14+2+4D．14+4+48．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．2809．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．5010．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+11．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．7πC．D．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，且与共线，则x的值为．14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，ς2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=．15．已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD=．三、解答题（共6个题，共70分）17．已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．18．国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．（1）求三棱锥S ﹣FAC 的体积；（2）求直线BD 与平面FAC 所成角的正弦值．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x ﹣y +=0相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求•的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． 21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2（e 是自然对数的底数a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）若k 为整数，a=1，且当x ＞0时，f ′（x ）＜1恒成立，其中f ′（x ）为f （x ）的导函数，求k 的最大值．请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4几何证明选讲]22．如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧上，点A 为弧的中点，做AD ⊥BC 于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ． （Ⅰ）证明：AE=BE（Ⅱ）若AC=9，GC=7，求圆O 的半径．[选修4-4极坐标与参数方程]23．已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10．曲线 c 1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c 1的普通方程；（Ⅱ）若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．[选修4-4不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（下）5月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁U P=（）A．[，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．【分析】先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到C U P=[，+∞）．故选A．2．已知=1﹣ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，则m+ni=（）A．1+2i B．2+i C．1﹣2i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求得m，n的值，则答案可求．【解答】解：∵==1﹣ni，∴，解得．∴m+ni=2+i．故选：B．3．已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=sinx，当x∈[2，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）+f（4）=（）A． B．1 C．3 D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据f （x ）为偶函数，便有f （﹣）=f （），而根据f （x ）的解析式即可得出答案．【解答】解：∵∈[0，2），4∈[2，+∞），∴根据f （x ）的解析式及f （x ）为偶函数得：f （﹣）+f （4）=f （）+f （4）=sin +log 24=+2．故选：D ．4．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M 为（ ）A ．k ＜7？B ．k ≤6？C ．k ≤8？D ．k ＜8？【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=2；第二次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=3；第三次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=4；第四次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=5；第五次执行循环体，S=1，不满足结束循环的条件，故k=6；第六次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=7；第七次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=8；第八次执行循环体，S=，满足结束循环的条件， 故退出的循环的条件，应为：k ＜8？， 故选：D5．如图所示，函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x 2+x +1上，则f （x ）=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f （x ）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f （x ）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f （x ）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f （x ）离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x 2+x +1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f （x ）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx +φ=，得ωx=﹣φ②；把①代入②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x 2+x +1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．6．二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A．3或B．C．3 D．3或【考点】二项式系数的性质．【分析】二项式（a＞0）的展开式的通项公式T2==a2x2．由于第二项的系数为﹣，可得=﹣，即a2=1，解得a，再利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：二项式（a＞0）的展开式的通项公式T2==a2x2．∵第二项的系数为﹣，∴=﹣，∴a2=1，a＞0，解得a=1．当a=1时，则dx===3．故选：C．7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A．10+4+4B．10+2+4C．14+2+4D．14+4+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出几何体的直观图，再根据面积公式求解．【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为四棱锥，直观图如图：底面是上、下底边长分别为2、4，高为2的梯形，=（2+4）×2=6；S梯形=×2×2+×2×2+×4×2+×2×=4+4+2，S侧面=10+4+2．S全故选B8．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．9．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．==．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：C．11．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．7πC．D．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．【解答】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得S=﹣×1×1=故选：A二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，且与共线，则x的值为﹣2．【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据平面向量的坐标运算以及两向量共线的坐标表示，列出方程求出x的值．【解答】解：∵向量，∴﹣=（2﹣x，2），又与共线，∴（2﹣x）×（﹣1）﹣2x=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，ς2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=0.16．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，ς2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，ς2），∴μ=2，∵P（ξ≤4）=0.84，∴P（ξ≥4）=1﹣0.84=0.16，∴P（ξ≤0）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16，故答案为：0.16．15．已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是a≥．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意，f（x）在区间上是增函数可化为在恒成立，从而再化为最值问题．【解答】解：∵f（x）在区间上是增函数，∴在恒成立，即在恒成立，∵﹣x+在上是减函数，∴，∴即．故答案为：a≥．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知及，可得AC=CD，由余弦定理可解得CD，进而可求AC，即可得解sinB，由正弦定理即可计算ADsin∠BAD=BDsinB的值．【解答】解：∵∠DAC=90°，=，可得：AC=CD，又∵AB=6，，∴在△ABC中，由余弦定理可得：36=（CD）2+（+CD）2﹣2×CD×（+CD）×，∴整理可得：CD2+2CD﹣90=0，解得：CD=3，AC=6，∵AB=AC=6，∴sinB=sinC==，∴在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠BAD=BDsinB=×=．故答案为：．三、解答题（共6个题，共70分）17．已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；对数的运算性质；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设出等比数列{a n}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b n=a n•log2a n，利用错位相减法求得S n，代入（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1），分离变量m，由单调性求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的{a n}首项为a1，公比为q．由题意可知：，解得：或，∵数列为单调递增的等比数列，∴a n=2n；（Ⅱ）b n=a n•log2a n =n•2n，∴S n=b1+b2+…+b n=1•21+2•22+…+n•2n，①2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②，得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）•2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，即=对于n≥2恒成立，∵=，∴数列{}为递减数列，则当n=2时，的最大值为．∴m≥．则实数m得取值范围为[，+∞）．18．国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）求出物理与化学的平均值，代入回归直线方程，然后求解即可．（2）推出ξ的可能值，求出概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）由已知可得，，因为回归直线y=1.5x﹣35过点样本中心，所以，∴3m﹣2n=80，又m+n=160，解得m=80，n=80．（2）在每场比赛中，比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ的可能值为：0，1，2，3．获得一枚荣誉奖章的概率P=1﹣=，ξ～B（3，），P（ξ=0）==；P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，ξ故预测Eξ=nP=3×=．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．（1）求三棱锥S﹣FAC的体积；（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【分析】（1）由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半，取AB的中点O，连接SA，利用体积公式求三棱锥S﹣FAC的体积；（2）求出D到平面AFC的距离，即可求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．【解答】解：（1）由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半．取AB的中点O，连接SO，则SO⊥底面ABCD，SO=，==，∵S△DAC∴三棱锥S﹣FAC的体积==；（2）连接OD，OC，则OC=OD=，∴SC=SD=3，△SAD中，SA=AD=2，F为SD的中点，∴AF==．△SCD中，SC=SD=3，CD=2，∴9+4CF2=2（9+4），∴CF=，△FAC中，cos∠AFC==，∴sin∠AFC=，=×××=∴S△AFC设D到平面AFC的距离为h，则，∴h=，∴直线BD与平面FAC所成角的正弦值÷=20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B 两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，，即b=又a2=b2+c2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0∴∴x1+x2=，x1x2=①∴=x1x2+y1y2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E（x2，﹣y2）∴直线AE的方程为令y=0可得x=∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）∴==1∴直线AE与x轴交于定点（1，0）21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2（e是自然对数的底数a∈R）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若k为整数，a=1，且当x＞0时，f′（x）＜1恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的增区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a．若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的增区间为（lna，+∞）；（2）由于a=1，所以f′（x）＜1⇔（k﹣x）（e x﹣1）＜x+1，当x＞0时，e x﹣1＞0，故（k﹣x）（e x﹣1）＜x+1⇔k＜+x﹣﹣﹣﹣①，令g（x）=+x（x＞0），则g′（x）=+1=函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0可得e a=a+2，所以，g（a）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（a）．故整数k的最大值为2．请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4几何证明选讲]22．如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，做AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G．（Ⅰ）证明：AE=BE（Ⅱ）若AC=9，GC=7，求圆O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明：∠ABF=∠BAD，即可证明AE=BE（Ⅱ）由△ABG∽△ACB，求出AB，直角△ABC中由勾股定理知BC，即可求圆O的半径．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB，∵点A为弧的中点，∴=，∴∠ABF=∠ACB…又∵AD⊥BC，BC是圆O的直径，…∴∠BAD=∠ACB，∴∠ABF=∠BAD，∴AE=BE …（Ⅱ）由△ABG∽△ACB知AB2=AG•AC=2×9∴AB=3…直角△ABC中由勾股定理知BC=3…∴圆的半径为…[选修4-4极坐标与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线c1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．【分析】（1）用x，y表示出cosα，sinα利用cos2α+sin2α=1消参数得到曲线C1的普通方程；（2）先求出曲线C的普通方程，使用参数坐标求出点M到曲线C的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴cosα=，sinα=，∴曲线C1的普通方程是：．（Ⅱ）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．点M到曲线C的距离为，（）．∴α﹣φ=0时，，此时．[选修4-4不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数的值域．【分析】（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|，即|m﹣2|=4，解得实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集M=（﹣∞，m﹣2]或[m+2，+∞），结合[2，4]⊆M，可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|因为函数f（x）的值域为[﹣4，4]，所以|m﹣2|=4，即m﹣2=﹣4或m﹣2=4所以实数m=﹣2或6．…（2）f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|当2≤x≤4时，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2|⇔|x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，解得：x≤m﹣2或x≥m+2，即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞），∵[2，4]⊆M，∴m+2≤2⇒m≤0或m﹣2≥4⇒m≥6所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．…2016年11月24日。

江西省宜春市 2018届高三模拟考试 数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若（a －4i ）i=b －i ，（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数z=a+bi 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合M ={xlx 2－2x －8≤0），集合N={x|（1n2）l －x ＞1}，则集合M I （C R N ）等于（ ）A ．[-2,1]B ．（1,+∞）C ．[-l,4）D ．（1,4]3．设k=0(sin cos )x x dx π-⎰，若8280128(1)kx a a x a x a x -=+++K ，则a 1+a 2+a 3+…+a 8=（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2564．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．32 B ．16C ．24D ．485．双曲线2222x y a b+=1（a>0，b>0）的右焦点是抛物线y 2=8x 拘焦点F ，两曲线的一个公共点为P ，且|PF| =5，则此双曲线的离心率为（ ）A．2BC ．2 D．36．若函数f （x ）=sin 2xcos ϕ+cos 2x sin ϕ（x ∈R ），其中ϕ为实常数，且f（x ）≤f （29π）对任意实数R 恒成立，记p=f （23π），q=f （56π），r=f （76π），则p 、q 、r 的大小关系是（ ）A ．r<p<qB ．q<r<pC ．p<q<rD ．q<p<r7．实数x ，y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数Z=x －y 的最小值为-2，则实数m 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．函数()2tan f x x x =-在(,)22ππ-上的图像大致为（ ）9．已知数列{a n }满足a n =n ·p n （n ∈N +，0< p<l ），下面说法正确的是（ ） ①当p=12时，数列{an}为递减数列；②当12<p<l 时，数列{a n }不一定有最大项；③当0<p<12时，数列{a n }为递减数列；④当1pp-为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项 A ．①② B ．③④C ．②④D ．②③10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD=DC=1，AB=3，动点P 在以点C 为圆心且直线BD 相切的圆内运动．．．．，(,)AP AD AB R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r，则αβ+的取值范围是（ ） A ．4(0,)3 B ．5(0,)3C ．4(1,)3D ．5(1,)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上。

江西省宜春市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设全集，，则A .B .C . [1,2)D . [1,2]2. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）在（2x+a）5的展开式中，含x4项的系数等于160，则（ex+2x）dx等于（）A . e2+3B . e2+4C . e+1D . e+24. （2分） (2016高一上·右玉期中) 已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . b＞c＞aC . c＞a＞bD . c＞b＞a5. （2分）(2014·浙江理) 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A . 90cm2B . 129cm2C . 132cm2D . 138cm26. （2分） (2017·临川模拟) 我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0 ，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0 ，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A . x4+x3+2x2+3x+4B . x4+2x3+3x2+4x+5C . x3+x2+2x+3D . x3+2x2+3x+47. （2分） (2016高二下·大庆期末) 已知函数f（x）=2sin（ωx+ ）（ω＞0）的图象与y=2的图象的两相邻交点的距离为π，要得到y=2sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象（）A . 向右平移B . 向左平移C . 向左平移D . 向右平移8. （2分）(2020·化州模拟) 设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数在上有两个零点,则的值为（）A .B .C .D .10. （2分）以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·淮北月考) 抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A . 2B .C .D . 112. （2分）设a,b是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则是的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·烟台模拟) 若的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为________．14. （1分）已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+ ，则f（log 5）的值等于________．15. （1分）已知点P是双曲线C：（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+x2=1上的动点，且，若|PM|的最小值为，则双曲线C的离心率为________.16. （1分） (2016高一下·锦屏期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若a2=b2+c2﹣bc，则角A=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分） (2016高二上·莆田期中) 已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2= ，anbn+1+bn+1=nbn ．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{bn}的前n项和．18. （10分）(2018·安徽模拟) 近年电子商务蓬勃发展，年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，其中对商品和快递都满意的交易为次.附：（其中为样本容量）（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意对商品不满意合计（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望 .19. （10分）(2014·福建理) 在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．20. （10分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知过点的动直线与抛物线：相交于两点．当直线的斜率是时， .（1）求抛物线的方程；（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．21. （15分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值；（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．22. （10分）(2017·张掖模拟) 在直角坐标系xOy中，已知曲线（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：ρ=2sinθ．（1）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．23. （10分）(2018·广元模拟) 选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式有解，记实数的最大值为 .（1）求的值；（2）正数满足，求证： .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。