一、数列的概念选择题
1.历史上数列的发展,折射出许多有价值的数学思想方法,对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…即121a a ==,当n ≥3时,
12n n n a a a --=+,此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被
4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,则20S 的值为( ) A .24
B .26
C .28
D .30
2.在数列{}n a 中,10a =
,1n a +,则2020a =( ) A .0
B .1
C
.D
3.已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且满足*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+,,则( )
A .63243a a a ≤-
B .2736+a a a a ≤+
C .7662)4(a a a a ≥--
D .2367a a a a +≥+
4.在数列{}n a 中,11a =,对于任意自然数n ,都有12n
n n a a n +=+?,则15a =( )
A .151422?+
B .141322?+
C .151423?+
D .151323?+
5.数列{}n a 的前n 项和记为n S ,()
*
11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥,12018a =,
22017a =,则100S =( )
A .2016
B .2017
C .2018
D .2019
6.已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--,则6a =( )
A .35
B .11-
C .35-
D .11
7.已知数列{}n a 的首项为1,第2项为3,前n 项和为n S ,当整数1n >时,
1
1
12()n
n
n S S S S 恒成立,则15S 等于( )
A .210
B .211
C .224
D .225
8.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .174
B .184
C .188
D .160
9.已知数列{}n a 满足: 12a =,11
1n n
a a +=-
,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则2017S =
( ) A .1007
B .1008
C .1009.5
D .1010
10.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .184
B .174
C .188
D .160
11.数列{}n a 中,()1121n
n n a a n ++-=-,则数列{}n a 的前8项和等于( ) A .32
B .36
C .38
D .40
12.已知在数列{}n a 中,112,1
n n n
a a a n +==+,则2020a 的值为( ) A .
1
2020
B .
1
2019
C .
11010
D .
11009
13.已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-??=-- ???
,若数列{}n b 是单调递减数列,则实数λ的
取值范围是( ) A .
10
1,
3
B .110,23??- ???
C .(-1,1)
D .1,12??
-
???
14.在数列{}n a 中,2
1
n n a n +=+,则{}n a ( ) A .是常数列
B .不是单调数列
C .是递增数列
D .是递减数列
15.已知数列{}n a 满足:11a =,145n n a a +=+,则n a =( ) A .8523
3n
?- B .1
852
3
3n -?- C .8543
3
n
?-
D .1
854
3
3
n -?- 16.已知数列{}n a 满足1N a *
∈,1,2+3,n
n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数
,若{}n a 为周期数列,则1a 的
可能取到的数值有( ) A .4个
B .5个
C .6个
D .无数个
17.在数列{}n a 中,11
(1)1,2(2)n
n n a a n a --==+≥,则3a =( ) A .0
B .
53
C .
73
D .3
18.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,
21,34,55,…即()()121F F ==,()()()12F n F n F n =-+- (3n ≥,
n *∈N ),此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用,若此数列的每一项被2除
后的余数构成一个新数列{}n a ,则数列{}n a 的前2020项的和为( ) A .1348
B .1358
C .1347
D .1357
19.在数列{}n a 中,11a =,()*
1
22,21
n n a n n N a -=≥∈-,则3
a =( )
A .6
B .2
C .
2
3 D .
211
20.已知数列{a n }满足112,0,2
121, 1.
2n n n n n a a a a a +?
≤?=??-≤?
若a 1=35,则a 2019 = ( )
A .
1
5
B .
25
C .
35
D .
45
二、多选题
21.已知数列0,2,0,2,0,2,
,则前六项适合的通项公式为( )
A .1(1)n
n a =+-
B .2cos
2
n n a π= C .(1)2sin
2
n n a π
+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
22.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( ) A .7S 最小
B .130S =
C .49S S =
D .70a =
23.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .2
3n S n n =- B .2392
-=n n n
S
C .36n a n =-
D .2n a n =
24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且35a =,73a =,则( ) A .12
d =
B .12
d =-
C .918S =
D .936S =
25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,218a =,512a =,则下列选项正确的是( ) A .2d =- B .122a =
C .3430a a +=
D .当且仅当11n =时,n S 取得最大值
26.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )
A .若100S =,则50a >,60a <;
B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;
C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;
D .若89S S <,则78S S <.
27.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则( ) A .若59S >S ,则150S > B .若59S =S ,则7S 是n S 中最大的项 C .若67S S >, 则78S S >
D .若67S S >则56S S >.
28.公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =,n S 为{}n a 前n 项和,则下列结论正确的
是( ) A .110S =
B .10n n S S -=(110n ≤≤)
C .当110S >时,5n S S ≥
D .当110S <时,5n S S ≥
29.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )
A .1d =-
B .413a a =
C .n S 的最大值为8S
D .使得0n S >的最大整数15n =
30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (
)*
n N ∈,公差0d ≠,6
90S
=,7a 是3a 与9
a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-
B .1
20a =-
C .当且仅当10n =时,n S 取最大值
D .当0n
S <时,n 的最小值为22
31.下列命题正确的是( )
A .给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B .若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列
C .若a ,b ,c 成等差数列,则111,,a b c
可能成等差数列 D .若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12++n n a a 也是等差数列 32.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )
A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);
B .2n n a a d +-=(d 为常数,
*n N ∈);
C .(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ; D .{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++(*n N ∈).
33.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22
B .d =-2
C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值
D .当S n >0时,n 的最大值为21
34.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <
B .70a >
C .{}n S 中5S 最大
D .49a a <
35.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >
B .170S <
C .1819S S >
D .190S >
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一、数列的概念选择题 1.B 解析:B 【分析】
先写出新数列的各项,找到数列的周期,即得解. 【详解】
由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b , 此数列的各项求得:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1……,则其周期为6, 其中1+1+2+3+1+0=8,
则201819201812S S b b S b b =++=++381126=?++=, 故选:B.
2.A
解析:A 【分析】
写出数列的前几项,找寻规律,求出数列的周期,问题即可解. 【详解】
10a =
,1n a +1n =
时,2a 2n =
时,3a 3n =
时,4
a ;
∴ 数列{}n a 的周期是3
20206733110a a a ?+∴===
故选:A. 【点睛】
本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时,周期数列的解题方法:根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求有关项的值或者前n 项的和.
3.C
解析:C 【分析】
由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-,然后可得
3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-,即可推出选项C 正确.
【详解】
因为*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+,,
所以12133n n n n S S S S -+-≤--,所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-,
所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-
所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选:C 【点睛】
本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系,解答的关键是由条件得到
11n n n n a a a a -+-≤-,属于中档题.
4.D
解析:D 【分析】
在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ,得1n -个等式,累加后再利用错位相减
法求15a . 【详解】
12n n n a a n +=+?,
12n n n a a n +-=?,
12112a a ∴-=?, 23222a a -=?,
34332a a -=?
11(1)2n n n a a n ---=-?,
以上1n -个等式,累加得123
11122232(1)2n n a a n --=?+?+?++-?①
又
2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=?+?+?++-?+-?②
①- ②得23
112222(1)2n n n a a n --=++++--?
12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--?=-?--,
(2)23n n a n ∴=-?+ ,
151515(152)231323a ∴=-?+=?+,
故选:D 【点睛】
本题主要考查了累加法求数列通项,乘公比错位相减法求数列的和,由通项公式求数列中的项,属于中档题.
5.A
解析:A 【分析】
根据题意,由数列的递推公式求出数列的前8项,分析可得数列{}n a 是周期为6的数列,且1234560a a a a a a +++++=,进而可得1001234S a a a a =+++,计算即可得答案. 【详解】
解:因为12018a =,22017a =,()
*
11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥,
则321201720181a a a =-=-=-, 432(1)20172018a a a =-=--=-, 543(2018)(1)2017a a a =-=---=-, 654(2017)(2018)1a a a =-=---=, 76511(2017)2018a a a a =-=--==, 8762201812017a a a a =-=-==,
…,所以数列{}n a 是周期数列,周期为6, 因为12560a a a a ++???++=,所以
()100125697989910016S a a a a a a a a =++???++++++
12342016a a a a =+++=.
故选:A . 【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用,关键是分析数列各项变化的规律,属于基础题.
6.A
解析:A 【分析】
直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2
11n
n a n
=--,所以626(1)(61)35a =--=.
故选:A 【点睛】
本题考查了根据通项公式求数列的项,属于基础题.
7.D
解析:D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==,说明数列是等差数列,然后求解数列的和即可. 【详解】 解:结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知,11122n n n S S S a +-+-=,
得到1122n n a a a +-==,故数列{}n a 为首项为1,公差为2的等差数列,则12(1)21n a n n =+-=-,所以1529a =,
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==, 故选:D . 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用,考查数列求和,是基本知识的考查.
8.A
解析:A 【分析】
根据已知条件求得11n n n a a -=--,利用累加法求得19a . 【详解】 依题意:
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,
所以11n n n a a -=--(2n ≥),且13a =,
所以()()()
112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=
+=+.
所以191918
31742
a ?=+=. 故选:A
本小题主要考查累加法,属于中档题.
9.D
解析:D 【分析】
根据题设条件,可得数列{}n a 是以3为周期的数列,且313
2122
S =+-=,从而求得2017S 的值,得到答案. 【详解】
由题意,数列{}n a 满足: 12a =,11
1n n
a a +=-, 可得23411
1,121,1(1)2,22
a a a =-
==-=-=--=,
可得数列{}n a 是以3为周期的数列,且3132122
S =+-= 所以20173
672210102
S =?+=. 故选:D. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式的应用,其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列,是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
10.B
解析:B 【分析】
根据高阶等差数列的知识,结合累加法求得数列的通项公式,由此求得19a . 【详解】
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,
所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=,
所以()()()
112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()1213n n =-+-+
++()()()1111332
2
n n n n -+?--=
+=+.
所以191918
31742
a ?=+=. 故选:B 【点睛】
本小题主要考查数列新定义,考查累加法,属于基础题.
解析:B 【分析】
根据所给数列表达式,递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加,即可求得2n n a a ++,即隔项和的形式.进而取n 的值,代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-,① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+,②
由()1n ?-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-?-++,
取1,5,9n =及2,6,10n =,易得13572a a a a +=+=,248a a +=,6824a a +=, 故81234836S a a a a a =++++???+=. 故选:B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用,对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键,属于中档题.
12.C
解析:C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=,即可求出. 【详解】
11n n n a a n +=
+,即11n n
a n a n +=+, 12
321123
21123
21
212
32n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
????
??=??????--2n
=, 202021
20201010
a ∴=
=. 故选:C.
13.A
解析:A 【分析】
由题1n n b b +>在n *
∈N 恒成立,即16212n
n λ??-<+ ???
,讨论n 为奇数和偶数时,再利用数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列,1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立,
即()1
22112+1222n
n n n λλ-????-->-- ? ?
????
恒成立,
即16212n
n λ??-<+ ???
, 当n 为奇数时,则()6212n
n λ>-+?恒成立,
()212n n -+?单调递减,1n ∴=时,()212n n -+?取得最大值为6-,
66λ∴>-,解得1λ>-;
当n 为偶数时,则()6212n
n λ<+?恒成立,
()212n n +?单调递增,2n ∴=时,()212n n +?取得最小值为20,
620λ∴<,解得103
λ<
, 综上,1013
λ-<<. 故选:A. 【点睛】
关键点睛:本题考查已知数列单调性求参数,解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ??
-<+ ???
恒成立,需要讨论n 为奇数和偶数时的情况,这也是容易出错的地方. 14.D
解析:D 【分析】
由21
111
n n a n n +=
=+++,利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】
在数列{}n a 中,21
111
n n a n n +=
=+++, 由反比例函数的性质得:{}n a 是*n N ∈时单调递减数列, 故选:D
15.D
解析:D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】
当1n =时,11a =,显然AC 不正确,
当2n =时,21459a a =+=,显然B 不符合,D 符合
故选:D
16.B
解析:B 【分析】
讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时,数列{}n a 为周期数列,然后说明当19a ≥时,分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列,即可得解. 【详解】
已知数列{}n a 满足1N a *
∈,1,2
+3,n
n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数
. ①若11a =,则24a =,32a =,41a =,54a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
②若12a =,则21a =,34a =,42a =,51a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
③若13a =,则26a =,33a =,46a =,
,以此类推,可知对任意的n *∈N ,
2n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
④若14a =,则22a =,31a =,44a =,52a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
⑤若15a =,则28a =,34a =,42a =,51a =,64a =,,以此类推,可知对任意
的2n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列; ⑥若16a =,则23a =,36a =,43a =,
,以此类推,可知对任意的n *∈N ,
2n n a a +=,
此时,{}n a 为周期数列;
⑦若17a =,则210a =,35a =,48a =,54a =,,以此类推,可知对任意的2
n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列; ⑧若18a =,则24a =,32a =,41a =,54a =,,以此类推,可知对任意的2
n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列.
下面说明,当19a ≥且1N a *
∈时,数列{}n a 不是周期数列.
(1)当(
34
12,2a ?∈?
且1N a *
∈时,由列举法可知,数列{}n a 不是周期数列; (2)假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*?∈≥∈?
且1N a *∈时,数列{}n a 不是周期数列,那么当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
?∈≥∈?
时.
若1a 为正偶数,则(11
22,22
k k a a +?=
∈?,则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列,从而可知,数列{}n a 不是周期数列; 若1a 为正奇数,则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++??=+∈++???且2a 为偶数,
由上可知,数列{}n a 从第二项开始不是周期数列,进而可知数列{}n a 不是周期数列.
综上所述,当19a ≥且1N a *
∈时,数列{}n a 不是周期数列.
因此,若{}n a 为周期数列,则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选:B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导,对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证,对于这类问题,我们首先应弄清问题的本质,然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决.
17.B
解析:B 【分析】
由数列的递推关系式以及11a =求出2a ,进而得出3a . 【详解】
11a =,21123a a ∴=+
=,321523
a a -=+= 故选:B
18.C
解析:C 【分析】
由题意可知,得数列{}n a 是周期为3的周期数列,前3项和为1102++=,又
202067331=?+,由此可得答案
【详解】
解:由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,各项除以2的余数,可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,???,
所以数列{}n a 是周期为3的周期数列,前3项和为1102++=, 因为202067331=?+,
所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347?+= 故选:C
19.C
解析:C 【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】
()*
1
22,21
n n a n n N a -=
≥∈-,1
1a =,212221
a a ∴=
=-,3222
213a a =
=-. 故选:C. 【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项,考查计算能力,属于基础题.
20.B
解析:B 【分析】
根据数列的递推公式,得到数列的取值具备周期性,即可得到结论. 【详解】
∵112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +?
≤?=??-≤?
,又∵a 135=,∴a 2=2a 1﹣1=235?-115=,
a 3=2a 225
=
, a 4=2a 3=22455
?
=, a 5=2a 4﹣1=245?
-135
=, 故数列的取值具备周期性,周期数是4, 则2019a =50443a ?+=32
5
a =, 故选B . 【点睛】
本题主要考查数列项的计算,根据数列的递推关系是解决本题的关键.根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口.
二、多选题 21.AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,取前六项得:,满足条件; 对于选项B ,取前六项得:,不满足条件; 对于选项C ,取前六项得:,
解析:AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,1(1)n
n a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;
对于选项B ,2cos 2
n n a π
=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC
22.BCD 【分析】
由是等差数列及,求出与的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】
设等差数列数列的公差为. 由有,即 所以,则选项D 正确.
选项A. ,无法判断其是否有最小
解析:BCD 【分析】
由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=,求出1a 与d 的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】
设等差数列数列{}n a 的公差为d .
由13522,a a S +=有()111254
2252
a a a d d ?+=++,即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.
选项A. ()71176
773212S a d a d d ?=+
=+=-,无法判断其是否有最小值,故A 错误. 选项B. 1
13
137131302
a S a a +=?==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =,故C 正确. 故选:BCD 【点睛】
关键点睛:本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用,解答本题的关键是由条件
13522,a a S +=得到160a d +=,即70a =,然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,
属于中档题.
23.BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】
解:设等差数列的公差为, 因为,, 所以,解得, 所以, , 故选:BC
解析:BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,
所以1
132302
36
a d a d ??+=???+=?,解得133a d =-??=?, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,
21(1)3(1)393222
n n n n n n n
S na d n ---=+=-+=
, 故选:BC
24.BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前项和公式,求出,可判断C ,D ,由等差数列基本量运算,可得公差,判断出A ,B . 【详解】 因为, 所以.
因为,,所以公差. 故选:BD
解析:BD
【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式,求出9S ,可判断C ,D ,由等差数列基本量运算,可得公差,判断出A ,B . 【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=, 所以()199998
3622
a a S +?=
==. 因为35a =,73a =,所以公差731
732
a a d -==--. 故选:BD
25.AC 【分析】
先根据题意得等差数列的公差,进而计算即可得答案. 【详解】
解:设等差数列的公差为, 则,解得. 所以,,,
所以当且仅当或时,取得最大值. 故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列的
解析:AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-,进而计算即可得答案. 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 则52318312a a d d =+=+=,解得2d =-.
所以120a =,342530a a a a +=+=,11110201020a a d =+=-?=, 所以当且仅当10n =或11时,n S 取得最大值. 故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算,前n 项和n S 的最值问题,是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况:
(1)当10,0a d ><时,n S 有最大值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定;
(2)当10,0a d <>时,n S 有最小值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定;
26.ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】
对于A :因为正数,公差不为0,且,所以公差, 所以,即,
根据等差数列的性质可得,又, 所以,,故A 正
解析:ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】
对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()
02
a a S +=
=,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,
所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +?=
==>,116891616()16()
022
a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为1158
15815()15215022
a a a S a +?=
==>,则80a >, 116891616()16()022
a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <,
所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;
对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的
正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题.
27.BC 【分析】
根据等差数列的前项和性质判断. 【详解】
A 错:;
B 对:对称轴为7;
C 对:,又,;
D 错:,但不能得出是否为负,因此不一定有. 故选:BC . 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列
解析:BC 【分析】
根据等差数列的前n 项和性质判断. 【详解】
A 错:67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+<;
B 对:n S 对称轴为
n =7;
C 对:6770S S a >?<,又10a >,887700a S a d S ??<<>;
D 错:6770S S a >?<,但不能得出6a 是否为负,因此不一定有56S S >. 故选:BC . 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和性质,(1)n S 是关于n 的二次函数,可以利用二次函数性质得最值;(2)1n n n S S a -=+,可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小;(3)1()
2
n n n a a S +=
,因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负. 28.BC 【分析】
设公差d 不为零,由,解得,然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为, 所以, 即, 解得, ,故A 错误; ,故B 正确;
若,解得,,故C 正确;D 错误; 故选:BC
解析:BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =,解得192
a d =-,然后逐项判断.
【详解】 设公差d 不为零, 因为
38a a =,
所以1127a d a d +=+, 即1127a d a d +=--, 解得192
a d =-,
11191111551155022S a d d d d ??
=+=?-+=≠ ???
,故A 错误;
()()()()()()221101110910,10102222
n n n n n n d
d na d n n n a n n S S d ----=+
=-=-+=-,故B 正确; 若11191111551155022S a d d d d ??
=+=?-
+=> ???
,解得0d >,
()()2
2510525222
n d d d n n S n S =
-=--≥,故C 正确;D 错误; 故选:BC 29.BCD 【分析】
设等差数列的公差为,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得,再逐项判断即可得解. 【详解】
设等差数列的公差为, 由题意,,所以,故A 错误; 所以,所以,故B 正确; 因为, 所以当
解析:BCD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1
2
15d a =-??=?,再逐