2019年高考数学一轮复习专题讲座解三角形与平面向量在高考中的常见题型及解析-精编试题
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专题讲座2 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见
题型与求解策略
1．已知|a|＝3，|b|＝2，(a ＋2b)·(a－3b)＝－18，则a 与b 夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析：选B.(a ＋2b)·(a－3b)＝－18， 所以a 2－6b 2－a·b＝－18， 因为|a|＝3，|b|＝2， 所以9－24－a·b＝－18， 所以a·b＝3，
所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝36＝1
2，
所以〈a ，b 〉＝60°.
2．(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝Asin(πx ＋φ)的部分图像如图所示，点B ，C 是该图像与x 轴的交点，过点C 的直线与该图像交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →
)的值为( )
A ．－1
B ．－12
C.12
D ．2
解析：选D.注意到函数f(x)的图像关于点C 对称，因此C 是线段DE 的中点，BD →＋BE →
＝
2BC →.又BE →－CE →＝BE →＋EC →＝BC →，且|BC →|＝12T ＝12×2ππ＝1，因此(BD →＋BE →)·(BE →－CE →
)
＝2BC →
2＝2.
3．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________． 解析：
如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝AB
sin ∠ADB
，
所以sin ∠ADB ＝
2
2
.所以∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC
sin B
＝BC
sin ∠BAC ，所以AC ＝ 6.
答案： 6
4．(2015·高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 解析：f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x ＝ω对称，
所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π
4＋2k π，
k ∈Z.
又ω－(－ω)≤2π
ω2，即ω2≤π
2
，
所以ω2＝π
4
，
所以ω＝
π2
. 答案：π2
5.
已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)
⎝ ⎛⎭
⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的图像的一部分如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时， 求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．
解：(1)由题图知A ＝2，T ＝8， 因为T ＝2π
ω＝8，
所以ω＝π
4
.
又图像经过点(－1，0)，
所以2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＋φ＝0. 因为|φ|<π2，所以φ＝π
4
.
所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋π4.
(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2)
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋π2＋π4 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x.
因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，
所以－3π2≤π4x ≤－π
6
.
所以当π4x ＝－π6，即x ＝－2
3时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；
当π
4
x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值－2 2. 6．(2015·高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m ＝(a ，3b)与n ＝(cos A ，sin B)平行． (1)求A ；
(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．
解：(1)因为m∥n，所以asin B －3bcos A ＝0， 由正弦定理，得sin Asin B －3sin Bcos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0＜A ＜π，所以A ＝π
3
.
(2)法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π
3
，
得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为12bcsin A ＝33
2
.
法二：由正弦定理，得7sin
π3
＝2
sin B ，
从而sin B ＝
217
. 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝27
7.
故sin C ＝sin(A ＋B)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin Bcos π3＋cos Bsin π3＝321
14.
所以△ABC 的面积为12absin C ＝
33
2
.
1．已知函数f(x)＝2cos 2x ＋23sin xcos x (x∈R)．
(1)当x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2时，求函数f(x)的递增区间；
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f(C)＝2，若向量m ＝(1，sin A)与向量n ＝(2，sin B)共线，求a ，b 的值．
解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2
＋2k π，k ∈Z ，
解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6. (2)由f(C)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，
而C∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π
3.因为向量m ＝(1，
sin A)与向量n ＝(2，sin B)共线，所以sin A sin B ＝1
2
.
由正弦定理得a b ＝1
2
，①
由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos π
3，
即a 2＋b 2－ab ＝9.②
联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.
2．(2015·高考福建卷)已知函数f(x)＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x
2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图像向右平移π
6个单位长度，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到函数g(x)
的图像，且函数g(x)的最大值为2. ①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g(x 0)＞0. 解：(1)因为f(x)＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x
2
＝53sin x ＋5cos x ＋5 ＝10sin(x ＋π
6
)＋5，
所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π.
(2)①将f(x)的图像向右平移π
6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图像，再向下平移a(a ＞
0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x ＋5－a 的图像． 又已知函数g (x)的最大值为2， 所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g(x)＝10sin x －8.
②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g(x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，
即sin x 0＞4
5
.
由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，
当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.
因为y ＝sin x 的周期为2π，
所以当x∈(2kπ＋α0，2k π＋π－α0)(k∈Z)时， 均有sin x ＞4
5
.
因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π
3
＞1，
所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞4
5.
即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g(x 0)＞0.。
