动态规划讲解大全含例题及答案

动态规划练习题[题1] 多米诺骨牌（DOMINO）问题描述：有一种多米诺骨牌是平面的，其正面被分成上下两部分，每一部分的表面或者为空，或者被标上1至6个点。

现有一行排列在桌面上：顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9；底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。

顶行和底行的差值是2。

这个差值是两行点数之和的差的绝对值。

每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换，即上部变为下部，下部变为上部。

现在的任务是，以最少的翻转次数，使得顶行和底行之间的差值最小。

对于上面这个例子，我们只需翻转最后一个骨牌，就可以使得顶行和底行的差值为0，所以例子的答案为1。

输入格式：文件的第一行是一个整数n（1〈=n〈=1000〉，表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。

接下来共有n行，每行包含两个整数a、b（0〈=a、b〈=6，中间用空格分开〉。

第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数（0表示空）。

输出格式：只有一个整数在文件的第一行。

这个整数表示翻动骨牌的最少次数，从而使得顶行和底行的差值最小。

[题2] Perform巡回演出题目描述:Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的,乐团指挥L.Y.M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里,音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市(乐团可多次在同一城市演出).由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表,每一时间,每一方向,航班表循环的周期都可能不同.现要求寻找一张花费费用最小的演出表.输入: 输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n(2<=n<=10)和k(1<=k<=1000)开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市,n是终点Harp市,接下来有n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格,第一组n-1份航班表对应从城市1到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的n-1行是从城市2到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去.每份航班又一个整数d(1<=d<=30)开始,表示航班表循环的周期,接下来的d个非负整数表示1,2...d天对应的两个城市的航班的价格,价格为零表示那天两个城市之间没有航班.例如"3 75 0 80"表示第一天机票价格是75KOI,第二天没有航班,第三天的机票是80KOI,然后循环:第四天又是75KOI,第五天没有航班,如此循环.输入文件由n=k=0的场景结束.输出:对每个场景如果乐团可能从城市1出发,每天都要飞往另一个城市,最后(经过k天)抵达城市n,则输出这k个航班价格之和的最小值.如果不可能存在这样的巡回演出路线,输出0.样例输入: 样例输出：3 6 4602 130 150 03 75 0 807 120 110 0 100 110 120 04 60 70 60 503 0 135 1402 70 802 32 0 701 800 0[题3] 复制书稿（BOOKS）问题描述：假设有M本书（编号为1，2，…M），想将每本复制一份，M本书的页数可能不同（分别是P1，P2，…PM）。

动态规划典型案例解析及计算过程梳理动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将问题分解为子问题来解决复杂问题的算法策略。

它通常用于优化问题，通过将问题的解决方案划分为相互重叠的子问题来降低计算复杂度。

下面将通过几个典型案例，详细解析动态规划的应用及其计算过程。

1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的动态规划问题。

它的定义是：F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。

我们需要计算第n个斐波那契数。

通过动态规划的思想，可以将该问题划分为子问题，即计算第n-1和第n-2个斐波那契数。

可以使用一个数组来保存已经计算过的斐波那契数，避免重复计算。

具体的计算过程如下：1. 初始化一个长度为n+1的数组fib，将fib[0]设置为0，fib[1]设置为1。

2. 从i=2开始遍历到n，对于每个i，计算fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]。

3. 返回fib[n]作为结果。

通过上述过程，我们可以快速地得到第n个斐波那契数。

这个案例展示了动态规划的重要特性，即将问题分解为子问题进行求解，并利用已经计算过的结果来避免重复计算。

2. 背包问题背包问题是另一个常见的动态规划问题。

问题的定义是：有一组物品，每个物品有自己的重量和价值，在限定的背包容量下，如何选择物品使得背包中的总价值最大化。

通过动态规划的思想，背包问题可以被划分为子问题。

我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。

具体的计算过程如下：1. 初始化一个大小为n+1行，m+1列的二维数组dp，其中n为物品数量，m为背包容量。

将所有元素初始化为0。

2. 从i=1开始遍历到n，对于每个i，从j=1开始遍历到m，对于每个j，进行如下判断：- 若当前物品的重量大于背包容量j，则dp[i][j] = dp[i-1][j]，即不选择当前物品；- 若当前物品的重量小于等于背包容量j，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)，即选择当前物品或不选择当前物品所能获得的最大价值。

第9章动态规划应用举例习题详解（习题）9. 1有一部货车每天沿着公路给四个零售店卸下6箱货物，如果各零售店出售该货物所得利润如表9-1所示，试求在各零售店卸下几箱货物，能使获得总利润最大？其值是多少？9.2设有某种肥料共6个单位重量，准备供给四块粮田用。

其每块田施肥数量与增产粮食数字关系如表9-2所示。

试求对每块田施多少单位重量的肥料，才使总的增产粮食最多。

粮田增肥1234000001202518282424539473605761654756578745857090806907395859.3某公司打算向它的三个营业区增设六个销售店，每个营业区至少增设一个。

从各区赚取的利润（单位为万元）与增设的销售店个数有关，其数据如表9-3所示。

销售店增加数A区利润B区利润C区利润9.4某工厂有100台机器，拟分四个周期使用，在每一周期有两种生产任务。

据经验，把机器q 台投入第一种生产任务，则在一个生产周期中将有;n/3台机器作废；余下的机器全部投入第二种生产任务，则有1/10台机器作废。

如果干第一种生产任务每台机器可收益10, 干第二种生产任务每台机器可收益7。

问怎样分配机器，使总收益最大？9. 5设有三种资源，每单位的成本分别为a、b. co给定的利润函数为n(xi, yi,z),(/ = 1,2,•••,«)现有资金为W,应购买各种资源多少单位分配给"个行业，才能使总利润最大。

试给出动态规划的公式，并写出它的一维递推关系式。

9. 6某厂生产一种产品，估计该产品在未来4个月的销售量分别为400、500、300、200件。

该项产品的生产准备费用每批为500元，每件的生产费用为1元，存储费用每件每月为1 元。

假定1月初的存货为100件，4月底的存货为零。

试求该厂在这4个月内的最优生产计划。

9.7某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭，生产以万只为单位。

根据以往记录，一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3万、2万只。

动态规划算法详解及经典例题⼀、基本概念（1）⼀种使⽤多阶段决策过程最优的通⽤⽅法。

（2）动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。

⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

假设问题是由交叠的⼦问题所构成，我们就能够⽤动态规划技术来解决它。

⼀般来说，这种⼦问题出⾃对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包括了同样问题的更⼩⼦问题的解。

动态规划法建议，与其对交叠⼦问题⼀次重新的求解，不如把每⼀个较⼩⼦问题仅仅求解⼀次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的）。

这样就能够从表中得到原始问题的解。

（3）动态规划经常常使⽤于解决最优化问题，这些问题多表现为多阶段决策。

关于多阶段决策：在实际中，⼈们经常遇到这样⼀类决策问题，即因为过程的特殊性，能够将决策的全过程根据时间或空间划分若⼲个联系的阶段。

⽽在各阶段中。

⼈们都须要作出⽅案的选择。

我们称之为决策。

⽽且当⼀个阶段的决策之后，经常影响到下⼀个阶段的决策，从⽽影响整个过程的活动。

这样，各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，常称之为策略。

因为各个阶段可供选择的决策往往不⽌⼀个。

因⽽就可能有很多决策以供选择，这些可供选择的策略构成⼀个集合，我们称之为同意策略集合（简称策略集合）。

每⼀个策略都对应地确定⼀种活动的效果。

我们假定这个效果能够⽤数量来衡量。

因为不同的策略经常导致不同的效果，因此，怎样在同意策略集合中选择⼀个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果。

经常是⼈们所关⼼的问题。

我们称这种策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。

（4）多阶段决策问题举例：机器负荷分配问题某种机器能够在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。

在⾼负荷下⽣产时。

产品的年产量g和投⼊⽣产的机器数量x的关系为g=g(x)，这时的年完善率为a，即假设年初完善机器数为x，到年终时完善的机器数为a*x(0<a<1)；在低负荷下⽣产时，产品的年产量h和投⼊⽣产的机器数量y的关系为h=h(y)。

动态规划解析第一题导弹拦截本题第一问实际上是给出数列a1..a n,求最长非递增序列的长度，{容易想到以n来划分子问题，即分别求a1..a n-1, a1..a n-2, …, a1,中最长非递增序列长度，但各级子问题之间不易建立转化关系}将子问题具体一些，我们可以用f[k]表示数列a1..a k中以a k结尾的最长非递增序列的长度，题目所求即为max{f[1..n]}。

转移方程为f[n]=max{f[k]}+1;(0<=k<n,a[n]<=a[k] )设a[0]= -maxint,f[0]=0;第二问可以用贪心做，设拦截前k个导弹用o2个系统，其最后拦截的高度分别为l[1]..l[o2],则拦截第k+1个导弹时，找能够拦截这枚导弹的系统中最后拦截高度最小的，若没有这样的系统则新增一个系统。

附源程序：const max = 10000;type arr = array[0..max]of integer;var d,l : arr;i,j,k,m,n,o1,o2,t : longint;procedure input;beginfillchar(d,sizeof(d),0);fillchar(l,sizeof(l),0);writeln('input:');i:=0;repeati:=i+1;read(d[i]);until eoln;t:=i;o1:=0; o2:=0;end;procedure output;beginwriteln('Output:');writeln(o1);writeln(o2);end;procedure main1;beginl[t]:=1;for i:=t-1 downto 1 do begink:=0;for j:=i+1 to t doif (l[j]>k)and(d[i]>=d[j]) then k:=l[j];l[i]:=k+1;end;for i:=1 to t doif l[i]>o1 then o1:=l[i];end;procedure main2;beginfor i:=0 to t do l[i]:=maxint;o2:=1;for i:=1 to t do begink:=0;for j:=1 to o2 doif (l[j]>=d[i])and(l[j]<=l[k]) then k:=j;if k=0 then begino2:=o2+1;k:=o2;end;l[k]:=d[i];end;end;begininput;main1;main2;output;end.第二题 石子合并设f[i,j](i<=j)表示将第i 堆到第j 堆石子合并为一堆所得的最大分数（最小时类似）。

常见动态规划题⽬详解1.爬楼梯题⽬描述：假设你正在爬楼梯。

需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。

你有多少种不同的⽅法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是⼀个正整数。

⽰例 1：输⼊： 2输出： 2解释：有两种⽅法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶2. 2 阶⽰例 2：输⼊： 3输出： 3解释：有三种⽅法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶2. 1 阶 + 2 阶3. 2 阶 + 1 阶实现代码：class Solution {public:int climbStairs(int n) {vector<int> a(n);a[0] = 1;a[1] = 2;if(n == 1){return 1;}if(n == 2){return 2;}for(int i = 2; i < n;i++){a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];}return a[n - 1];}};2.变态跳台阶题⽬描述：⼀只青蛙⼀次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。

求该青蛙跳上⼀个n级的台阶总共有多少种跳法。

实现代码：class Solution {public:int jumpFloorII(int number) {if(number == 0){return 0;}int total = 1;for(int i = 1; i < number; i++){total *= 2;}return total;}};3.n年后⽜的数量题⽬描述：假设农场中的母⽜每年会产⽣⼀头⼩母⽜，并且永远不会死。

第⼀年农场中只有⼀头成熟的母⽜，第⼆年开始，母⽜开始⽣⼩母⽜，每只⼩母⽜三年之后成熟⼜可以⽣⼩母⽜，给定整数N，求N年后母⽜的数量。

实现代码：class solution{　public: int f(int n){ if(n < 1){ return 0; } if(n == 1|| n== 2||n == 3){ return n; } int res = 3; int pre = 2; int prepre = 1; int tmp1=0; int tmp2 = 0; for(int i = 4;i < n;i++){ tmp1 = res; tmp2 = pre; res = pre + prepre; pre = tmp1; prepre = tmp2; } return res; }};4.矩形覆盖题⽬描述：我们可以⽤2*1的⼩矩形横着或者竖着去覆盖更⼤的矩形。

例1 求解下列整数规划得最优解:()123123max 45634510..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.解 （1）建立动态规划模型:阶段变量: 将给每一个变量 赋值瞧成一个阶段, 划分为3个阶段, 且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量 表示从第 阶段到第3阶段约束右端最大值, 则 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 得值(1,2,3)k =、 状态转移方程: 阶段指标: 基本方程；()(){}()3113,2,1044()max ,()0.s k k k k k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+⎪⎨⎪=⎩≤≤ 其中1233,4, 5.a a a === 用逆序法求解: 当3k =时，()(){}{}33333443330055max 6max 6,ssx x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=≤≤≤而 表示不超过 得最大整数。

因此, 当 时, ；当 时, 可取0或1；当 时, 可取0, 1, 2,由此确定 现将有关数据列入表4.1中当 时, 有()(){}(){}22222332322220044max 5max 54,ssx x f s xf s xf s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而 。

所以当 时, ；当 时, ；当 时 。

由此确定 。

现将有关数据列入表4.2中、当时,有()(){}(){}11111221211110033max 4max 43,ssx x f s x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤例5 用动态规划方法解下列非线性规划问题⎩⎨⎧=≥≤++⋅⋅=3,2,1 0 max 3213221i x c x x x x x x z i 解: 解决这一类静态规划问题, 需要人为地赋予时间概念, 从而将该问题转化为多阶段决策过程。

力扣优秀题解——动态规划动态规划（Dynamic programming，简称DP）是一种常见的求解优化问题的方法。

它与分治算法类似，都是通过将大问题分解成若干个小问题来求解的。

不同的是，DP解决的问题通常是有重叠子问题和最优子结构特征的，即在求解过程中会反复计算相同的子问题，并且每个子问题都具有最优解，可以通过这些最优解推导出全局最优解。

力扣中的很多题目都可以使用动态规划来解决，比如最长公共子序列、股票买卖、打家劫舍等等。

下面针对这些题目进行详细解析。

一、最长公共子序列题目描述：给定两个字符串text1 和text2，返回它们的最长公共子序列。

如果不存在公共子序列，返回0。

示例：输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

解题思路：最长公共子序列问题是比较经典的DP问题。

设字符串text1和text2的长度分别为m 和n，令dp[i][j]表示text1[0:i]和text2[0:j]的最长公共子序列长度，为方便起见，text1和text2的下标从1开始。

当text1[i-1] == text2[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，即text1[0:i-1]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度加上1。

当text1[i-1] != text2[j-1]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，即考虑text1[0:i-1]和text2[0:j]的最长公共子序列长度与text1[0:i]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度，两者取最大值。

最终的答案即为dp[m][n]。

代码实现：class Solution: def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int: m, n = len(text1), len(text2) dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if text1[i - 1] == text2[j - 1]: dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) return dp[m][n]二、股票买卖题目描述：给定一个数组prices，其中prices[i]是一支给定股票第i天的价格。