最新课题34基本不等式

赵爽：弦图
3
探究点1 探究基本不等式 1.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或 不等关系吗？
D
C GF HE A
B 4
D
设AE=a,BE=b,
GF
HE
A
a Z.x.x. K
b
a2 b2 B
C 则正方形ABCD的面积 是___a_2+_b_2__， 这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
当 x = 1600 即x = 40 x
时y有最小值297600
所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价 最低，最低造价是297600元
24
练习：
做一个体积为32 m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长 与宽取什么值时用纸最少？
2 x
y
25
7.若2x 2y 1,则x y的取值范围是多少？
21
高考方向标：
1、当x>0时， x 1 的最小值为
2 ，此时x= 1
。
x
2、(04重庆）已知 2x1 3y 2(x 0, y 0)
则x y 的最大值是
6。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3x 3y 的最小值是（D ）
2
)
22
【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积 为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元， 池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价 最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化， 即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到 了均值不等式定理。
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大

3.4 基本不等式 ab ≤2b a + [教学目标]1. 探索并了解基本不等式的证明过程。

2. 从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，或由结论到条件。

3. 能利用基本不等式进行简单的应用。

4. 通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。

5. 通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。

[重 点]： 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式2b a ab +≤。

[难 点]：从不同角度探索基本不等式的证明过程。

[教学方法]：启发、引导、讲解。

[教学准备]：Z+Z 课件[教学过程]：一、 导入新课（多媒体展示24届国际数学家大会会标）问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？（引导学生作出其几何图形，多媒体展示该几何图形。

）问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？ 答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。

（多媒体动态演示变化过程，引导学生注意何时相等。

）问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练习，请同学们用不等式表示上述不等关系。

为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为b a ,。

答：四个全等的直角三角形的面积之和为ab 2，大正方形的面积为22b a +,则 ab b a 222≥+当直角三角形变为等腰直角三角形,即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点时有ab b a 222=+。

问：如何证明 ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。

答：由()02222≥-=-+b a ab b a ，所以ab b a 222≥+ 当且仅当()02=-b a ，即b a =时取等号。

[板书]：一般的，对于任意实数b a ,，都有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。

问：当0,0>>b a 时，以a ，b 代替此式中b a ,的可得到一个什么样的关系式？ 答：ab b a 2≥+二、.新课探究[板书]：若0,0>>b a ，则2b a ab +≤，当且仅当b a =时取等号。

3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。

三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。

难点：基本不等式成立的条件及应用。

教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。

由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。

对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明