高中数学 3.4 基本不等式(第1课时)练习

第2课时 基本不等式的应用题.1．利用基本不等式求函数或代数式的最值 预习交流1利用基本不等式求最值的关键是什么？ 2．利用基本不等式解决实际应用问题 预习交流2应用基本不等式求解实际应用问题的一般步骤是什么？ 3．利用基本不等式解决恒成立问题 预习交流3“不等式恒成立求参数取值范围”问题的常见解法是什么？预习交流1：提示：基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正，二定，三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．预习交流2：提示：(1)理解题意，设出变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值； (4)还原为实际问题，写出正确答案．预习交流3：提示：常见解法有以下两种：(1)直接将参数从不等式中分离出来变成k ≥f (x )(或k ≤f (x ))，从而转化成f (x )求最值． (2)如果参数不能分离，而x 可以分离，如g (x )≥f (k )(或g (x )≤f (k ))，则f (k )恒大于g (x )的最大值或恒小于g (x )的最小值，然后解关于参数k 的不等式．其中关键是f (x )或g (x )的最值的求解，这时经常采用基本不等式求最值．一、利用基本不等式求函数的最值求解下列问题：(1)求f (x )＝x ＋42x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的最小值；(2)求f (x )＝13x (1－4x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <14的最大值． 思路分析：将x ＋42x －1变形为x ＋2x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12，然后利用基本不等式a ＋b ≥2ab 变形求解；将13x (1－4x )变形为f (x )＝112[4x ·(1－4x )]，然后根据ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求得4x ·(1－4x )的最大值，从而得到原函数的最大值．设x ＞0，则函数y ＝x －1＋22x ＋1的最小值等于__________． 1．在利用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出均值不等式的形式再进行求解．2．凑项的技巧通常有：添项、拆项、统一变量、“1”的代替、恒等式的巧用等，通过这些凑项方法，获得定值，从而可利用基本不等式求出最值．二、利用基本不等式求代数式的最值已知正数a ，b 满足1a ＋1b＝3.(1)求a ＋b 的取值范围；(2)求ab 的取值范围．思路分析：一种思路是根据1a ＋1b＝3，用a 表示b ，然后代入要求最值的式子中，消去b ，再通过变形，利用基本不等式求得最值；另一种思路是先将1a ＋1b＝3变形为a ＋b ＝3ab ，再运用基本不等式，将a ＋b 与ab 进行转化，根据需要求得a ＋b 或ab 的取值范围．1．设x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为__________．2．设x ，y ∈R ＋且1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值为__________．1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．2．含有多个变量的条件最值问题，一般方法是采取减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；如果条件等式中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．三、基本不等式在实际问题中的应用某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．思路分析：总运费与购买的次数有关，每次购买x 吨，所以购买次数为400x，从而可建立总费用与x 的函数关系，利用基本不等式求出函数的最小值，同时可求出取得最小值时x 的值．建造一个容积为18 m 3，深为2 m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价为200元和150元，那么池的最低造价为__________元．1．解实际应用题要注意以下几点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量取值范围)内求．2．有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值．四、不等式恒成立问题设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )．A ．0B ．4C ．－4D ．－2思路分析：将参数k 与变量a ，b 进行分离，即把参数k 放到不等式的一边，不等式的另一边是关于变量a ，b 的代数式，然后只需求出关于变量a ，b 的代数式的最值，即可得到参数k 的取值范围，从而得出k 的最小值．当x ＞－1时不等式x ＋1x ＋1＞a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 1．不等式恒成立问题往往与函数或代数式的最值有关，通过函数或代数式的最值，即可得到恒成立时参数的取值范围．一般地有以下几种情况：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥[f (x )]max ； (2)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞[f (x )]max ； (3)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤[f (x )]min ； (4)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜[f (x )]min .2．如果欲求范围的参数与其他变量混合在一起，可以首先进行参数分离，即把欲求取值范围的参数分离到不等式的一边，然后只需考察不等式另一边的函数或代数式的最值或取值范围即可．1．(2012浙江高考，文9)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )． A ．245 B ．285C ．5D ．62．设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．23．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．( )．A ．3B ．8C ．5D ．64．若x ＞0，则y ＝xx 2＋2的最大值为__________．5．若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0，(1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.答案：活动与探究1：解：(1)由于f (x )＝x ＋42x －1＝x ＋2x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12，又x ＞12，所以由基本不等式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12·2x －12＋12＝22＋12， 当且仅当x －12＝2x －12，即x ＝12＋2时，函数取得最小值22＋12.(2)由于0＜x ＜14，所以f (x )＝13x (1－4x )＝112[4x ·(1－4x )]≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1－4x 22＝148， 当且仅当4x ＝1－4x ，即x ＝18时函数取得最大值148.迁移与应用：12 解析：y ＝x －1＋22x ＋1＝x －1＋1x ＋12＝x ＋12＋1x ＋12－32≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－32＝12，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以函数的最小值等于12.活动与探究2：解：(解法一)由1a ＋1b ＝3得a ＋b ＝3ab ，所以b ＝a3a －1，并且由于a ＞0，b ＞0，可得a ＞13.(1)a ＋b ＝a ＋a 3a －1＝a ＋133a －1＋13＝a －13＋133a －1＋23≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133a －1＋23＝43，当且仅当a －13＝133a －1，即a ＝23时等号成立，所以a ＋b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. (2)ab ＝a ·a3a －1＝a 2－13a ＋13a －19＋193a －1＝13a ＋19＋193a －1＝13a －19＋193a －1＋29≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －19·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫193a －1＋29＝49，当且仅当13a －19＝193a －1，即a ＝23时取等号，所以ab 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫49，＋∞. (解法二)由1a ＋1b ＝3得a ＋b ＝3ab .①由于ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即4(a ＋b )≤3(a ＋b )2，所以a ＋b ≥43，即a ＋b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. ②由于a ＋b ≥2ab ，所以3ab ≥2ab ，即9(ab )2≥4ab ，所以ab ≥49，即ab 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫49，＋∞. 迁移与应用：1．3＋2 2 解析：因为x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋xy≥3＋22y x ·x y ＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2y 时，1x ＋1y取得最小值3＋2 2.2．16 解析：因为x ，y ∈R ＋且1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋2y x ·9x y ＝16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，x ＋y 的最小值为16. 活动与探究3：20 解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，故一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元．而400x ·4＋4x ≥2400x ·4·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．迁移与应用：5 400 解析：设水池底的长为x m ，宽为y m ，则有2xy ＝18，解得xy ＝9. 这时水池的造价为p ＝200xy ＋150×2(2x ＋2y )，即p ＝1 800＋600(x ＋y )，于是p ≥1 800＋600×2xy ＝1 800＋600×29＝5 400，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立， 故池的最低造价为5 400元．活动与探究4：C 解析：因为a ＞0，b ＞0，所以不等式可化为k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab＝a 2＋2ab ＋b 2ab ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，即－(a ＋b )2ab的最大值为－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值是－4.迁移与应用：a ＜1 解析：令f (x )＝x ＋1x ＋1，由于x ＞－1， 则f (x )＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1－1＝1，即函数f (x )的最小值是1，因此要使不等式x ＋1x ＋1＞a 恒成立，应有a ＜1. 当堂检测1．C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．2．D 解析：因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，所以40≥24xy ，即xy ≤100，所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，故lg x ＋lg y 的最大值是2.3．C 解析：依题意设y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，而当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，于是k 1＝20，k 2＝45，因此y 1＝20x ，y 2＝45x ，∴y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥216＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，∴仓库应建在离车站5千米处．4．24 解析：由于y ＝x x 2＋2＝1x ＋2x ，而x ＞0，所以x ＋2x ≥22，于是1x ＋2x≤122＝24，故y ＝xx 2＋2的最大值为24. 5．(1)解：由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0有(x 2＋y 2＋5)·(x 2＋y 2－4)≤0，因为(x 2＋y 2＋5)＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4.(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.。

基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有( ) A ．当x <0时，x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1－x ≤－2· （－x ）·1－x＝－2，故x <0时的最大值是－2B ．当x >1时，x ＋2x －1≥2 x ·2x －1，当且仅当x ＝2x －1取等号，解得x ＝－1或2，又由x >1，所以取x ＝2，故x >1时的最小值为2＋22－1＝4C ．由于x 2＋9x 2＋4＝x 2＋4＋9x 2＋4－4≥2 （x 2＋4）·9x 2＋4－4＝2，故x 2＋9x 2＋4的最小值是2D ．当x ，y >0，且x ＋4y ＝2时，由于2＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，所以xy ≤12，又1x ＋1y≥21x ·1y ＝2xy ≥212＝4，故当x ，y >0，且x ＋4y ＝2时，1x ＋1y 的最小值为4 解析：对于A 项，根据基本不等式，可判定是正确的； 对于B 项，当x >1时，x －1＋2x －1＋1≥2 （x －1）·2x －1＋1＝22＋1，当且仅当x －1＝2x －1取等号，即x ＝2＋1时，最小值为22＋1，所以B 项不正确； 对于C 项，由于x 2＋9x 2＋4＝x 2＋4＋9x 2＋4－4≥2 （x 2＋4）·9x 2＋4－4＝2， 当且仅当x 2＋4＝9x 2＋4，即x 2＋4＝3时，此时不成立，所以C 项不正确； 对于D 项，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是x ＝4y ，第二次是x ＝y ，所以不正确．答案：BCD2．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ， 即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， 所以a 2＋b 2≥2. 答案：C3．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2＞bc B.a ＋d2＜bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d ＞0且不相等，所以b ＋c ＞2bc ，故a ＋d2＞bc .答案：A4．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2＞2|ab |解析：因为a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，所以a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 答案：A5．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b <a ＋b2<ab B.a ＋b2≥2aba ＋b≥ab C.a ＋b2>ab >2aba ＋bD.ab <2ab a ＋b <a ＋b2解析：a >b >0，a ＋b2>ab ，2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 从而a ＋b2>ab >2aba ＋b. 答案：C 二、填空题6．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a >1或a <－2(舍)， 所以y ＝log a x 是增函数， 又t ＋12≥t ，所以log at ＋12≥log a t ＝12log a t . 答案：≤7．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________(填序号)． 答案：①②③8．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，试判断12、a 、b 、2ab 、a 2＋b 2的大小顺序：_________________________________________________.解析：因为0＜a ＜b ，a ＋b ＝1， 所以a ＜12＜b ， ①2ab ＜a 2＋b 2， ② 下面寻找②中数值在①中的位置． 因为a 2＋b 2＞2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，a 2＋b 2＝a ·a ＋b 2＜a ·b ＋b 2＝(1－b )b ＋b 2＝b ，所以12＜a 2＋b 2＜b .又2ab ＜2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，2ab ＞2×12a ＝a ，所以a ＜2ab ＜12.所以a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b .答案：a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b三、解答题9．已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：对a 2＋b 2，b 2＋c 2，c 2＋a 2分别利用不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，即可比较出二者的大小．因为a 2＋b 2≥2ab ， 所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 又因为a ，b 都是非负实数， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，当且仅当b ＝c 时，等号成立，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，当且仅当a ＝c 时，等号成立．所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]＝2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，则abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.证明：因为 a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1， 所以1a ＋1b ≥21ab＝2c ，1b ＋1c ≥21bc＝2a ， 1a ＋1c≥21ac＝2b ，以上三个不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 因为a ，b ，c 为不全相等实数， 所以a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.B 级 能力提升1．(多选)设a ，b ∈R ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2abB ．a ＋1a≥2C ．b 2＋1≥2bD ．|b a |＋|a b|≥2解析：当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab 成立，故A 项正确；当a >0时，a ＋1a≥2，等号成立的条件是a ＝1，当a <0时，a ＋1a≤－2，等号成立的条件是a ＝－1，故B 项不正确；当b ∈R时，b 2＋1－2b ＝(b －1)2≥0，所以b 2＋1≥2b ，故C 项正确；⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a >0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b >0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＝2，等号成立的条件是当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ，即a 2＝b 2，故D 项正确． 答案：ACD2．有下列不等式：①a 2＋1>2a ；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≥2；④x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的是________(填序号)．解析：因为a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，所以a 2＋1≥2a ，故①不正确．对于②，当x >0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x <0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，所以②正确．对于③，若a ＝b ＝－1，则a ＋bab＝－2<2，故③不正确．对于④，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故④正确． 答案：②④3．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c .故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a2 b ＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.即。

课时作业24 基本不等式：ab ≤a ＋b 2时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是( D )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为( D ) A ．10 B.110C ．5 D.15解析：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100.且x >0，y >0.1x ＋1y ≥21xy ＝15. 3．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0.∴x ＋1x －2＝－[(－x )＋1(－x )]－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 的大小关系是( A ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：∵a >2，∴a －2>0，又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号． ∴m ≥4.∵b ≠0，∴b 2>0，∵2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴m >n .5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立． 6．已知x >1，y >1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( D )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4解析：因为x >1，y >1，所以log 2x >0，log 2y >0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2(xy )22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是215；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254. 解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254. 当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞. 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是①③④.(填序号) 解析：因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值； 解：(1)∵0<x <12，∴1－2x >0. y ＝14·2x ·(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22 ＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3 ≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3(x ＋y )4y＝1＋⎝⎛⎭⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x 4y， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 11．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4. 证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c )＝4＝右边， 当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．——能力提升类——12．若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 均为正数，P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则( A ) A ．P ≤G ≤H B ．P ≤H ≤GC ．G ≤H ≤PD ．H ≤G ≤P解析：因为a ，b 均为正数，所以a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立．又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，所以P ≤G ≤H . 13．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( C ) A ．8 B ．7C ．6D ．5解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.14．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值X 围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x. 令y ＝x ＋2×144x≤44(x >0)， 解得8≤x ≤36，则x 的取值X 围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2. 当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网．。

第1课时一、选择题1．函数f(x)＝的最大值为( ) A.　B．C.　D．1[答案]　B[解析]　令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝.当t＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝＝.∵t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为.2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( ) A．ab≤　B．ab≥C．a2＋b2≥2　D．a2＋b2≤3[答案]　C[解析]　∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴b＝2－a(0≤a≤2)，∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1.∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2.∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.3．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.　B．a2＋b2C．2ab　D．a[答案]　B[解析]　解法一：∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2，∴ab＜，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞.故选B.解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝，∵＞＞＞，∴a2＋b2最大．4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( ) A．8　B．4C．1　D．[答案]　B[解析]　根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥4.当a＝b＝时“＝”成立．故选B.5．设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则＋的最小值等于( )A．1　B．3C．2　D．4[答案]　C[解析]　＋＝(a＋b)＝1＋≥2，等号在a＝b＝1时成立．6．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( )A．0　B．1C．2　D．4[答案]　D[解析]　由等差、等比数列的性质得＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．[答案]　[解析]　∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(1－x)≤[]2＝，等号在x＝1－x，即x＝时成立，∴所求最大值为.8．已知t>0，则函数y＝的最小值是________．[答案]　－2[解析]　∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．三、解答题9．已知x>0，y>0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)若lg x＋lg y＝2，求5x＋2y的最小值．[解析]　(1)∵x>0，y>0，由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.又∵2x＋5y＝20，∴20≥2·，∴≤，∴xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．由，解得.∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u max＝1.(2)由已知，得x·y＝100，5x＋2y≥2＝2＝20.∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，y＝5时，等号成立．所以5x＋2y的最小值为20.10．求函数y＝的最小值，其中a>0.[解析]　当0<a≤1时，y＝＋≥2，当且仅当x＝±时，y min＝2.当a>1时，令＝t(t≥)，则有y＝f(t)＝t＋.设t2>t1≥>1，则f(t2)－f(t1)＝>0，∴f(t)在[，＋∞)上是增函数．∴y min＝f()＝，此时x＝0.综上，当0<a≤1，x＝±时，y min＝2；当a>1，x＝0时，y min＝.一、选择题1．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab　B．a＋b≥2C.＋>　D．＋≥2[答案]　D[解析]　a＝b时，A不成立；a、b<0时，B、C都不成立，故选D.2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是( ) A．a2＋b2　B．2C．2ab　D．a＋b[答案]　D[解析]　解法一：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( ) A．x＝　B．x≤C．x＞　D．x≥[答案]　B[解析]　∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )A.　B．－C．1　D．－1[答案]　A[解析]　由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)＝≤×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值为.二、填空题5．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．[答案]　6[解析]　＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.6．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是________．[答案]　1[解析]　∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝3－≤3－2＝1，等号在5－4x＝，即x＝1时成立．三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．[解析]　设一条直角边长为x cm，(0<x<10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)等号在x＝10－x即x＝5时成立，∴面积最大时斜边长L＝＝＝5(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析]　设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，故有y＝＋100x≥2＝24 000(元)．当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。

第一章 §3 3.2 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3[解析] a ＜0,则a ＋4a≥4不成立,故A 错；a ＝1,b ＝1,a 2＋b 2＜4ab ,故B 错；a ＝4,b ＝16,则ab ＜a ＋b2,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( B ) A ．x ≥2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 B ．x ＞2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x ＜2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x －2y ＞0,即x ＞2y ,且等号成立时(x －2y )2＝1,即x －2y ＝1,故选B ．3．已知正数a ,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( D ) A ．10 B ．25 C ．5D ．210[解析] a ＋b ≥2ab ＝210,等号在a ＝b ＝10时成立,故选D ． 4．已知0＜x ＜1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13 B ．12C ．34D ．23[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(3－3x )22＝13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时取等号．5．设0＜a ＜b ,且a ＋b ＝1,在下列四个数中最大的是( B )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2[解析] ∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,∴ab ＜14,∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0,a ＋b ＝1,∴a 2＋b 22＞12,∴a 2＋b 2＞12． ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0,∴b ＞a 2＋b 2,∴b 最大． 6．已知a ＞0,b ＞0,A ＝a ＋b2,B ＝ab ,C ＝2aba ＋b,则A ,B ,C 的大小关系为( D ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] 由基本不等式可知,A ≥B ,2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ,所以B ≥C ,当a ＝b 时等号成立．故选D ．二、填空题 7．若a ＜1,则a ＋1a －1与－1的大小关系是__a ＋1a －1≤－1__． [解析] 因为a ＜1,即a －1＜0, 所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(1－a )·11－a ＝2(当且仅当1－a ＝11－a,即a ＝0时取等号)．即a ＋1a －1≤－1．8．设x ＞0,则x 2＋x ＋3x ＋1的最小值为．[解析] 由x ＞0,可得x ＋1＞1．令t ＝x ＋1(t ＞1),则x ＝t －1,则x 2＋x ＋3x ＋1＝(t －1)2＋t －1＋3t ＝t ＋3t－1≥2t ·3t－1＝23－1,当且仅当t ＝3,即x ＝3－1时,等号成立．三、解答题9．当x 取什么值时,x 2＋1x2取得最小值？最小值是多少？[解析] x 2＋1x2≥2x 2·1x 2＝2,当且仅当x 2＝1x2,即x ＝±1时等号成立．∴x ＝1或－1时,x 2＋1x2取得最小值,最小值为2．10．已知x ,y 都是正数,且x ≠y ,求证：(1)x y ＋y x＞2； (2)2xyx ＋y＜xy ． [证明] (1)∵x ＞0,y ＞0,∴x y ＞0,y x＞0, ∴x y ＋y x ≥2x y ·y x ＝2,∴x y ＋yx ≥2． 由于当且仅当x y ＝y x,即x ＝y 时取“＝”,但x ≠y ,因此不能取“＝”． ∴x y ＋y x＞2．(2)∵x ＞0,y ＞0,x ≠y ,∴x ＋y ＞2xy ,∴2xy x ＋y ＜1,∴2xy ·xyx ＋y ＜xy ,∴2xyx ＋y＜xy ． B 组·素养提升一、选择题1．若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,当3x ＋4y 取得最小值时,x ＋2y 的值为( B ) A ．245B ．2C ．285D ．5[解析] ∵x ＋3y ＝5xy ,x ＞0,y ＞0,∴15y ＋35x ＝1,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2·3x 5y ·12y5x＝5, 当且仅当3x 5y ＝12y5x,即x ＝2y ＝1时取等号,∴当3x ＋4y 取得最小值时,x ＝2y ＝1,∴x ＋2y 的值为2,故选B ． 2．若正数x ,y 满足x 2＋3xy －1＝0,则x ＋y 的最小值是( B ) A ．23 B ．223C ．33D ．233[解析] 由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ．因为x ＞0,所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x＝229＝223(当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22时,等号成立)．故x ＋y 的最小值为223．3．(多选题)设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a ＋b ＝2,则必有( ABC ) A ．ab ＜1 B ．1＜a 2＋b 22C ．ab ＜a 2＋b 22D ．a 2＋b 22＜ab[解析] ∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,a ≠b ,∴ab ＜1,又∵a 2＋b 22＞a ＋b2,a ＋b ＝2,∴a 2＋b 22＞1,∴ab ＜1＜a 2＋b 22．4．(多选题)下列结论正确的是( AD ) A ．当x ＞0时,x ＋1x≥2B ．当x ＞2时,x ＋1x的最小值是2C ．当x ＜54时,y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x ＞0,y ＞0时,x y ＋y x≥2[解析] 在A 中,当x ＞0时,x ＞0,x ＋1x≥2,当且仅当x ＝1时取等号,结论成立；在B 中,当x ＞2时,x ＋1x≥2x ·1x＝2,当且仅当x ＝1时取等号,但x ＞2取不到1,因此x ＋1x 的最小值不是2,结论错误；在C 中,因为x ＜54,所以5－4x ＞0,则y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2×(5－4x )·15－4x ＋3＝1,当且仅当5－4x ＝15－4x,即x ＝1时取等号,结论错误；显然D 正确,故选AD ．二、填空题5．当x ＞0时,若2x ＋ax(a ＞0)在x ＝3时取得最小值,则a ＝__18__．[解析] ∵a ＞0,且2x ＋a x≥22x ·a x ＝22a ,当且仅当2x ＝a x ,即x ＝2a 2时,2x ＋a x取得最小值,∴2a2＝3,解得a ＝18．6．已知3a ＋2b ＝1,a ＞0,b ＞0,则2a ＋1b的最小值为．[解析] ∵3a ＋2b ＝1,∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (3a ＋2b )＝8＋4b a ＋3ab≥8＋212＝8＋43,当且仅当a ＝3－36,b ＝3－14时取到最小值．三、解答题7．设a ,b ,c 均为正数,且a ＋b ＋c ＝1．证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．[解析] 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ca , 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ． 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1,即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1,所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1,即ab ＋bc ＋ca ≤13．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ,b 2c ＋c ≥2b ,c 2a＋a ≥2c ,故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号), 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． 又a ＋b ＋c ＝1,所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．8．已知实数a ,b 满足a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2,且a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥m 恒成立,求实数m 的最大值．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2, 令a ＋1＝p ,b ＋1＝q ,则p ＞1,q ＞1, ∴a ＝p －1,b ＝q －1,p ＋q ＝4, ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝(p －1)2p＋(q －1)2q＝p ＋q －4＋1p ＋1q ＝4pq≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22＝1,∴m ≤1,所以实数m 的最大值为1．。

高中数学专题-基本不等式（第1课时）32**学习目标**1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.**要点精讲** 1．基本不等式：2a bab +³ (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。

2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）20,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2222(,)a b abab a b R +吵?；（3）22(,)2a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄；（5）2()(,)2a b ab a b R ++Ｎ。

4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212nn n a a a a a a n++鬃?鬃祝(n>1,n ÎN)；**范例分析**例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2a bab +³ ，你能解释2a b ab +≤（,a b R +∈）的几何意义吗？例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a>0,求证 a+12a ³； (2) 已知a>3,求证 a+473a ³-；例3. (1). 已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->(2). 已知0,0x y ≥≥，求证：()()21124x y x y +++≥。

3.4基本不等式：ab ≤a ＋b2基本不等式[提出问题]问题1：若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？ 提示：∵(a 2＋b 2)－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab .问题2：上述结论中，等号何时成立？ 提示：当且仅当a ＝b 时成立．问题3：若以a ，b 分别代替问题1中的a ，b ，可得出什么结论？ 提示：a ＋b ≥2ab .问题4：问题3的结论中，等何时成立？ 提示：当且仅当a ＝b 时成立． [导入新知] 1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[化解疑难]1．基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b2，即只能有ab ＜a ＋b2.2．从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．利用基本不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明：由基本不等式可得a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. [类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必需有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果．2．留意多次运用基本不等式时等号能否取到． [活学活用]设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 利用基本不等式求最值[例2] (1)已知m ，n (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值．[解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取得最大值64. (2)∵x ＞3， ∴x －3＞0，4x －3＞0，于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2x －3·4x －3＋3＝7，当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取得最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x＝2xy，即y ＝2x 时，等号成立，解得x ＝1－22，y ＝2－1，∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y 有最小值3＋2 2.法二：1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y(2x ＋y )＝3＋2x y ＋yx≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 以下同法一． [类题通法]1．利用基本不等式求最值，必需依据“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件：a >0，b >0.(2)二定：化不等式的一边为定值．(3)三相等：必需存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不行．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用](1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值； (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取得最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32.(3)∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x＋9＝y x＋9xy＋10.又∵x ＞0，y ＞0，∴y x＋9xy＋10≥2 y x ·9xy＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy， 即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.利用基本不等式解应用题[例3] 如图所示，利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． (2)设每间虎笼第为x m ，宽为y m. 法一：由条件知S ＝xy ＝24， 设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．[类题通法]在应用基本不等式解决实际问题时，应留意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)依据实际背景写出答案． [活学活用]某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，估计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从其次年开头每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式． (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16.∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．7.基本不等式应用中的易误点[典例] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5[解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2 2ab ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.[答案] C [易错防范]1．解答本题易两次利用基本不等式，如： ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴ab ≤a ＋b24＝1.又y ＝1a ＋4b ≥24ab ＝41ab，又ab ≤1， ∴y ≥411＝4. 但它们成立的条件不同，一个是a ＝b ，另一个是b ＝4a ，这明显是不能同时成立的，故不正确． 2．使用基本不等式求最值，其失误的真正缘由是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．3．在运用重要不等式时，还要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．[成功破障](福建高考)下列不等式肯定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1＞1(x ∈R)解析：选C 取x ＝12，则lg(x 2＋14)＝lg x ，故排解A ；取x ＝3π2，则sin x ＝－1，故排解B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排解D.[随堂即时演练]1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋1－x－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞ab B ．a ＞a ＋b2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞ b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立．答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y 最小值＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号． 又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2 abc 2ab＝2c ， ac b ＋ab c≥2 a 2bc bc ＝2a ，bc a ＋abc≥2 b 2acac＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c . [课时达标检测] 一、选择题1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：选D a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝3·x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．3．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：选B ∵a ，b 是实数， ∴2a＞0,2b＞0，于是2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2 2a ＋b＝2 23＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25，故选B.5．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0. ∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋1－x －1≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时，等号成立． 二、填空题6．已知x ，y 都是正数．(1)假如xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)假如x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值． (2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．答案：(1)215 (2)22547．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由于x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 8．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号)．解析：由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不能恒成立． 答案：①②③ 三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解：(1)2x ＋y ＝32x ＋y3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋4 ≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y时等号成立，即y 2＝4x 2. ∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43.∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1， 于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值为9.10．(1)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(2)已知x >0，求y ＝2－x －4x的最大值；(3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0.y ＝14·2x ·(1－2x )≤14·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ， 即x ＝14时，y 最大值＝116.(2)∵x >0，∴y ＝2－x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－4＝－2，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，y 的最大值为－2.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋， ∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x＋3x ＋y4y＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y ＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x4y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号． ∴1x ＋3y 的最小值为1＋32.11.如右图，某公园方案建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，求：(1)x 的取值范围；(2)最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x.令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36，则x 的取值范围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2.当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0， 即最少需要约34.0米铁丝网． 12．(1)已知x <－2，求函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值； (2)求y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值；(3)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围． 解：(1)∵x <－2，∴x ＋2<0，－(x ＋2)>0. ∴y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4 ＝－[－2(x ＋2)＋－1x ＋2]－4≤ －2－2x ＋2·－1x ＋2－4＝－22－4. 当且仅当－2(x ＋2)＝－1x ＋2(x <－2)，即x ＝－2－22时，y 取最大值－22－4. (2)令t ＝x 2＋4，则y ＝f (t )＝t ＋1t，由f (t )＝t ＋1t(t ≥2)的单调性，知y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上是增函数，∴t ＝2时，f (t )min ＝2＋12＝52，即当x 2＋4＝2，也就是x ＝0时，y min ＝52.(3)∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.又a >0，b >0， ∴a ＋b ≥6.即a ＋b 的取值范围为[6，＋∞]．。

3.4 基本不等式：√ab ≤（a+b ）2（一）[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 重要不等式及证明如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．请证明此结论． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”．知识点二 基本不等式1．内容： ab ≤a ＋b 2，其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b＝(a －b )2≥0.∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几何意义：如图所示，以长度为a ＋b 的线段AB 为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD ，DB ，易证Rt △ACD ∽ Rt △DCB ，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b2，显然它大于或等于CD ，即a ＋b2≥ab ，当且仅当点C 与圆心O 重合，即a ＝b 时，等号成立．知识点三 基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．题型一 利用基本不等式比较大小例1 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2 D.ab <a <a ＋b 2<b答案 B 解析 方法一 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b 2<b ，排除A ，C 两项．又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，排除D 项，故选B. 方法二 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b .反思与感悟 若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a ＞0，b ＞0，同时注意能否取等号．跟踪训练1 若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 对于A ，应该为a 2＋b 2≥2ab ，漏等号，故A 错误；对于B ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，但a ＋b ＜2ab ，故B 不成立；对于C ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，故C 不成立；对于D ，∵ab ＞0，则b a ＞0且a b ＞0，∴b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，取“＝”，故D 正确．题型二 用基本不等式证明不等式例2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c≥9. 证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 反思与感悟 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．跟踪训练2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立．1．若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab .∴四个数中最大的应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，∴a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ，∴a ＋b 最大．故选D.2．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8答案 B解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2. 3．不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________．答案 a ＝2解析 令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0，∴a ＝2.4．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则它们的大小关系是________．答案 R ＞Q ＞P解析 ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0，∴Q ＞P ，又Q ＝12(lg a ＋lg b )＝12lg ab ＝lg ab ＜lg a ＋b 2＝R ， ∴R ＞Q ＞P .1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 前者a ，b ∈R ，后者a ，b ∈R ＋；另外它们都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .2．在应用基本不等式比较大小或证明不等式时，要熟练运用基本不等式的几类变形，同时注意等号成立的条件．。

第1课时一、选择题1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M>N　B．M＝NC．M<N　D．与x有关[答案]　A[解析]　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴M>N.2．(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是( )A．>　B．2a>2bC．|a|>|b|　D．()a>()b[答案]　B[解析]　∵a<b，y＝2x单调递增，∴2a<2b，故选B．3．已知a<0，－1<b<0，则下列各式正确的是( )A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2C．ab2>ab>a　D．ab>ab2>a[答案]　D[解析]　∵－1<b<0，∴1>b2>0>b>－1，即b<b2<1，两边同乘以a得，∴ab>ab2>a.故选D．4．如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A．ab>ac　B．bc>acC．cb2<ab2　D．ac(a－c)<0[答案]　C[解析]　∵c<b<a，且ac<0，∴a>0，c<0.∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正确．∵b可能等于0，也可能不等于0.∴cb2<ab2不一定成立．5．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则( )A．a>b>c　B．a>c>bC．c>a>b　D．c>b>a[答案]　B[解析]　∵0<lge<1，∴b＝(lg e)2＝a2<a，c＝lg＝lge＝a<a.又∵b＝(lge)2<lg·lge＝lge＝c，∴b<c<a.6．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )A．lg(x2＋1)≥lg2x　B．x2＋1>2xC．≤1　D．x＋≥2[答案]　C[解析]　A中x>0；B中x＝1时，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故≤1；D中当x<0时，x＋≤0.二、填空题7．若a＞b，则a3与b3的大小关系是________．[答案]　a3＞b38．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．[答案]　x＜y[解析]　x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表： 方式轮船运输量(t)飞机运输量(t)效果种类 粮食300150石油250100现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解析]　设需安排x艘轮船和y架飞机，则，∴.10．设a>0，b>0且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小．[解析]　根据同底数幂的运算法则．＝a a－b·b b－a＝()a－b，当a>b>0时，>1，a－b>0，则()a－b>1，于是a a b b>a b b a.当b>a>0时，0<<1，a－b<0，则()a－b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有a a b b>a b b a.一、选择题1．下列命题正确的是( )A．若ac>bc，则a>b　B．若a2>b2，则a>bC．若>，则a<b　D．若<，则a<b[答案]　D[解析]　对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a、b均小于0或a<0，其不成立；对于C，若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a<b.2．(2014·四川理，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．>　B．<C．>　D．<[答案]　D[解析]　本题考查不等式的性质，－＝，cd>0，而ad－bc的符号不能确定，所以选项A、B不一定成立.－＝，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd，所以选项D成立．本题也可以对实数a、b、c、d进行适当的赋值逐一排查．3．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A．a<<b　B．a<b<C．b<a<　D．b<<a[答案]　B[解析]　a＝sin15°＋cos15°＝sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝sin61°，∴a<b，排除C、D两项．又∵a≠b，∴>ab＝sin60°×sin61°＝sin61°>sin61°＝b，故a<b<成立．4．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，比较A、B、C的大小结果为( ) A．A<B<C　B．B<A<CC．A<C<B　D．B<C<A[答案]　B[解析]　不妨设a＝－，则A＝，B＝，C＝2，由此得B<A<C，排除A、C、D，选B．具体比较过程如下：由－1<a<0得1＋a>0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，C－A＝－(1＋a2)＝－＝－>0，得C>A，∴B<A<C．二、填空题5．给出四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推得＜成立的是________．[答案]　①、②、④[解析]　＜⇔＜0，∴①、②、④能使它成立．6．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为________．[答案]　M＞N[解析]　∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N.三、解答题7．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析]　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360 t矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：，即.8．已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．[解析]　∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1，又a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．由，得.∴当a＝12，b＝6时，a＋b取最小值18.。

第一课时 不等式的基本性质[基础达标]1.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有 A.a d ＞b c B.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 解法一 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d ＜bc，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B. 解法二 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c ＞0.又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc .故选B.答案B2.如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A.ab >ac B.c (b －a )>0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0解析 由条件c <b <a ，ac <0，得a >0，c <0，但b 的正负情况不确定.解法一 取a ＝1，b ＝0，c ＝－1分别代入选项A ，B ，C ，D 中验证可知选项C 不成立. 解法二 由题意，知c <0，a >0，则选项A 一定正确；因为c <0，b －a <0，所以c (b －a )>0，所以选项B 一定正确；因为ac <0，a －c >0，所以ac (a －c )<0，所以选项D 一定正确，故选C(当b ＝0时，不成立).答案C3.已知a >b ，则下列不等式： ①a 2>b 2；②lg(a －b )>0；③1a －b >1a. 其中不一定成立的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于①，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，且a －b >0，但a ＋b 的正负无法确定；对于②，a －b >0，但a －b 与1的关系无法确定；对于③，1a －b －1a ＝b （a －b ）a ，且a －b >0，但ba 的正负无法确定，所以这三个不等式都无法确定是否成立.答案D4.当a ＞0时且a ≠1时，log a (1＋a )与log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 的大小关系为________.解析log a (1＋a )－log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a＝log a 1＋a1＋1a＝log a a ＝1，因此log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a .答案log a (1＋a )＞log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a5.已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小.解析m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y＝x ＋y xy －4x ＋y ＝（x ＋y ）2－4xy xy （x ＋y ）＝（x －y ）2xy （x ＋y ）， ∵x ，y 均为正数，∴x ＞0，y ＞0，xy ＞0，x ＋y ＞0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0即m ≥n .[能力提升]1.若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当0＜ab ＜1时，若b ＞0，则有a ＜1b ；若b ＜0，则a ＜0，从而有b ＞1a.“0＜ab＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的充分条件.反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a ＜1b 或b ＞1a，但ab ＜0.故选A.答案A2.已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能解析x 1＋x 2＜0⇒x 1＜－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 即f (x 1)＋f (x 2)＜0. 同理：f (x 2)＋f (x 3)＜0，f (x 1)＋f (x 3)＜0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]＜0. 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0. 答案B3.若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有A.1个B.2个C.3个D.4个解析1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案B4.若0<x <y <1，则下列不等式正确的是 A.4y<4xB.x 3>y 3C.log 4x <log 4yD.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析由0<x <y <1，则4y>4x，x 3<y 3，log 4x <log 4y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x>⎝ ⎛⎭⎪⎫14y.故选C. 答案C5.已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －db＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3答案D6.已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是 A.b a ＞c a B.b －ac＞0C.b 2c ＞a 2cD.a －cac＜0 解析 ∵c ＜b ＜a 且ac ＜0， ∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0，可得b a ＞ca，故A 恒成立.∵b ＜a ，∴b －a ＜0. 又c ＜0，∴b －ac＞0，故B 恒成立. ∵c ＜a ，∴a －c ＞0. 又ac ＜0，∴a －cac＜0，故D 恒成立. 当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立. 答案C7.以下四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中使1a <1b成立的充分条件是________.解析1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，依题设①②④能使b －a 与ab 异号.答案 ①②④8.设a ＞b ，(1)ac 2＞bc 2；(2)2a ＞2b ；(3)1a ＜1b；(4)a 3＞b 3；(5)a 2＞b 2中正确的结论有________.解析 若c ＝0，(1)错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，(3)(5)错. 答案 (2)(4)9.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________.解析 本题条件较多，若两两比较，需6次，很麻烦.但如果能找到一个合理的程序，则可以减少解题步骤.⎭⎪⎬⎪⎫③⇒d －b <c －a ②⇒c －a ＝b －d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b <b －d ，a －c <c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d <b ，a <c ，又由①，得a <c <d <b . 答案a <c <d <b10.若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab－(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab.∵a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 11.已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值X 围. 解析 由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， 得－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5. 设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3.∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎪⎨⎪⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403. ∴－1≤－53u ＋83v ≤20.∴f (3)∈[－1，20]. 12.已知a ＞0，a ≠1. (1)比较下列各组大小①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ；③a 5＋1与a 3＋a 2. (2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明.解析 (1)①a 2＋1＞a ＋a ；②a 3＋1＞a 2＋a ；③a 5＋1＞a 3＋a 2. (2)根据(1)可探讨，得am ＋n＋1＞a m ＋a n.(证明如下)a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m－1)(a n－1). 当a ＞1时，a m＞1，a n＞1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；当0＜a＜1时，0＜a m＜1，0＜a n＜1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；总之(a m－1)(a n－1)＞0，即a m＋n＋1＞a m＋a n.。

3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ,b ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立． 2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2为a ,b 的算术平均数,ab a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ,y 都是正数,(1)若x ＋y ＝s (和为定值),则当x ＝y 时,积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值),则当x ＝y 时,和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时,我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时,必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误,应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大,积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时,我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时,我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致,若不能同时取等号,则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ,x ∈(0,π2),两个都是正数,乘积为定值．但是由0<sin x <1,且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数,所以sin x ＋4sin x>1＋41＝5,等号不成立,取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧,当不能直接利用不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1, 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,取等号． 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0,求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32,求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2,求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0,y >0,且1x ＋9y＝1,求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值,当积或和不是定值时,通过变形使其和或积为定值,再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0,∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x ≥24x ·9x＝236＝12, 当且仅当4x ＝9x,即x ＝32时,f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32,∴3－2x >0,∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ,即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2,∴x －2>0,∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2,即x ＝4时,x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0,y >0,1x ＋9y＝1,∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4,y ＝12时等号成立． ∴当x ＝4,y ＝12时,x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值,观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立,不管题目是否要求写出符号成立的条件,都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2,求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0,y >0,且2x ＋3y ＝6,求xy 的最大值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2, 即ab ＝100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20, 当且仅当a ＝b ＝10时,a ＋b 取到最小值20. (2)∵x >0,y >0,2x ＋3y ＝6, ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32, 当且仅当2x ＝3y ,且2x ＋3y ＝6时等号成立, 即x ＝32,y ＝1时,xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元,而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升,司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时),y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x,x ∈[50,100]．所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6,x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703,当且仅当130×152x ＝13x6,即x ＝4570∈[50,100]时,等号成立．故当x ＝4570千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为525703元．解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行：(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m,则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元,则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10,即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”,所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2解析：∵a ,b ∈R ,且ab >0, ∴b a >0,a b >0, ∴b a ＋a b≥2b a ×ab＝2. 当且仅当b a ＝ab,即a ＝b 时取等号．3．设a ,b 为实数,且a ＋b ＝3,则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1,则当x ＝12时,x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34,当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0,b >0,c >0,求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号,即若a ≠b 时,则ab ≠a ＋b 2,即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 (1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件,a >0,b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件,即“＝”号成立．以上三点缺一不可．若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式．。

基本不等式中不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．1．基本不等式ab ≤a ＋b2基本不等式的使用条件：① 一正：a ＞0，b ＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；② 二定：ab 或a ＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当a ＝b 时取等号；即：等号能否取得．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b2可以引申出的常用结论(1)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋a b≤－2(a ，b 异号)； (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫或ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ＞0，y ＞0，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P ．(简记：“积定和最小”) (2)如果x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24．(简记：“和定积最大”)类型一、直接应用类此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．解答技巧一：直接应用【母题一】若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 【解析】由于x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81．【答案】81 【变式】1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4【解析】∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．【答案】C2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( ) A ．13 B ．12 C ．34D ．23【解析】∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．【答案】B3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为__________．【解析】∵3a ＋b＝9，∴a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，∴f (ab )＝3ab≤3．【答案】34．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．【解析】依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20．【答案】20类型二、配凑定值类(恒等变形类)此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．解答技巧二：拆项【母题二】已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．【解析】∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．【答案】－2解答技巧三：凑项【母题三】若x ＞2，则函数y ＝x ＋1x －2的最小值为________． 【解析】∵x ＞2，∴y ＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝3时取等号． 【答案】4 解答技巧四：凑系数【母题四】若0＜x ＜83，则函数y ＝x (8－3x )的最大值为________．【解析】∵x ＞2，∴y ＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当x ＝43时取等号． 【答案】163【变式】1．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2．当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．【答案】A2．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．则a ≤3，所以a 的最大值为3．【答案】33．(2014·潍坊一模)已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．【解析】a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b 2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b≥22．当且仅当a －b ＝2时，取等号．【答案】2 2 4．已知函数f (x )＝2xx 2＋6． (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 【解】(1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0．由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25．(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号． 由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞．类型三、条件最值类利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【母题五】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 【答案】4 【变式】1．本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9．当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】92．本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝4，则a ＋b 的最小值为________．【解析】由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1．∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ＋a4b＝1．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】13．若本例条件变为：已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．【解析】由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83．当且仅当a ＝2b ＝32时，取等号．【答案】834．本例的条件变为：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋ca＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 【答案】95．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2．a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 21⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95，当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．【答案】956．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【解析】∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1．∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)．【答案】C7．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4．【答案】B技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．思考方式还能以保留“和(a ＋b )”还是“积(ab )”来确定公式的运用方向．【变式】1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得2xy ＝－(x ＋2y )＋8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A ．23B ．223C ．33D ．233【解析】对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x，即x ＝22时等号成立)． 【答案】B3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】x 2＋y 2＋xy ＝1⇔(x ＋y )2－xy ＝1⇔(x ＋y )2－1＝xy ≤(x ＋y2)2，解得－233≤x ＋y ≤233． 【答案】233类型四、基本不等式的应用1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x，y 2＝0.8x ．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0．8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．【答案】52．创新题规定记号“⊙”表示一种运算，即a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊙k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊙xx的最小值为________．【解析】1⊙k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1．f (x )＝k ⊙x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．【答案】1；33．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9【解析】∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →， ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ×2a b＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．【答案】D4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3【解析】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)，则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1．【答案】B5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立．由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t ．设f (t )＝t ＋1t，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数y ＝x ＋mx(m ＞0)的单调性．1．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ．∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ．又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ． 【答案】A2．函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值是( )A ．2 3B ．2C ．3D ．5【解析】y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(x 2＋1)2＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1 x 2＋1＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x 2＋1)＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号． 【答案】C3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为________．【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时，等号成立． 【答案】94．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m ＝(2,1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为__________．【解析】依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18．【答案】185．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．【解】(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． ∴xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18．当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18．1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1＞1(x ∈R ) 【解析】当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 【答案】C2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72 B ．4 C ．92D ．5【解析】依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92．【答案】C3．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 ( )A ．43 B ．53 C ．2D ．54【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2．【答案】C4．已知a ＞b ＞0，则a 2＋16ba －b的最小值是________． 【解析】∵a ＞b ＞0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b a －b取得最小值16．【答案】165．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．1．函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值是( )A ．9B ．2 3C ．10D ．2【解析】∵x ＞－1，∴x ＋1＞0．∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋5＝9．当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．【答案】A2．(2015·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4．【答案】B3．(2015·西安模拟)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．32 C ．1D ．12【解析】由a x ＝b y＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3．又a ＞1，b ＞1，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．【答案】C4．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是_____________．【解析】∵1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝12，x ＝14时，等号成立． 【答案】C5．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20． (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．【解】(1)∵x ＞0，y ＞0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy ．∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10．∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1．∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1．(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25yx ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020．1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．52【解析】∵a ＞1，b ＞1，∴lg a ＞0，lg b ＞0．lg a ·lg b ≤lg a ＋lg b24＝lg ab 24＝1．当且仅当a ＝b ＝10时取等号．【答案】B3．已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m＋1n的最小值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．9D ．12【解析】易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n的最小值为9． 【答案】C4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝lgx2－x，若f (a )＋f (b )＝0，则3a ＋1b的最小值为_________．【解析】依题意得0＜a ＜2，0＜b ＜2，且lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ·b 2－b ＝0，即ab ＝(2－a )(2－b )，a ＋b 2＝1，3a ＋1b ＝a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3b a ＋a b ≥12(4＋23)＝2＋3，当且仅当3b a ＝ab ，即a ＝3－3，b ＝3－1时取等号，因此3a ＋1b的最小值是2＋3．【答案】2＋ 35．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52．而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．1．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．1a ＋1b＞2abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2＞2ab【解析】∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0．由基本不等式得b a ＋a b ≥2，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时等号成立． 【答案】C2． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．【答案】C3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．【解析】由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时等号成立，所以x ＋y 的最大值为233． 【答案】2334．已知x ＞0，y ＞0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．【答案】35．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是__________．【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·(4a＋3b)＝7＋(3ab＋4ba)≥7＋23ab·4ba＝7＋43，当且仅当3ab＝4ba时取等号．【答案】7＋4 3。

§3.4 基本不等式（第一课时）【教材分析】基本不等式是人教版必修 5 第 3 章 第 4 节第一课时内容。

本节课的主要学习任务是通过研究赵爽“弦图”中的面积关系，寻找相等关系和不等关系为思路启发研究不等关系，培养学生直观想象能力。

并从重要不等式中观察、抽象出基本不等式, 多角度探究、理解与证明基本不等式。

探究基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,不等式的证明是本节课的核心部分,也是本节课的重点，其中利用基本不等式解决最值问题为本节课的难点。

【学情分析】网课期间，停课不停学，使用万彩动画制作和钉钉平台直播授课。

本节课的情感目标为培养学生的数学学习兴趣，也利用了几何画板动态演示，学生可以从中直观感知猜想出不等关系。

通过基本不等式的证明中让学生感受数形统一的辩证性。

对于应用基本不等式解决最值问题中引发学生思考，及知识应用的升华。

【设计思想】基本不等式是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。

因此对于本节课的教学内容，我从在北京召开的第24届国际数学家大会的会标引入新课，告诉学生会标源于中国古代数学家赵爽的“弦图”作出的设计，以个别提问为主研究基本不等式，引导学生观察“弦图”的构成，思考利用面积关系研究问题。

多角度证明重要不等式。

通过重要不等式，学生类比得到基本不等式。

引导学生分析基本不等式的几何解释，感受几何直观与代数证明的紧密结合时，让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功，享受学习的乐趣。

【教学目标】 一、知识与技能1.2a b+的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题； 2.通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题、解决问题的能力，并能进行简单应用。