江苏省南通市海安县海安高级中学2020届高三数学模拟考试试题【含答案】

第1页（共26页）页）2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ． 2．（5分）复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有 辆．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ． 5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 ． 答对题数 4 8 9 10 人数分布11216．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为 ．7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．上述命题中为真命题的是 （填写所有真命题的序号）．8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8πα+= ．10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD=u u u r u u u r g ．11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知0a >，0b >，且111a b +=，则32ba b a ++的最小值等于 ．13．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点分别为两半圆上的动点（不含端点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u rg的最大值为 ．14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC ∆面积的最大值．16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u r g 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．19．（16分）已知函数()xf x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．（1）求1l ，2l 之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x m x f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20．（16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【选做题】.本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g．四.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 在曲线4cos :3sin (x C y θθθ=⎧⎪=⎨⎪⎩为参数）上，直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），求P 到直线l 距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y zyz zx xy x y z ++++…． 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上．（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置．26．在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r ，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：OA OB u u u r u u u rg的值； （2）证明：FM AB u u u u r u u u rg 为定值．2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I {|12}x x << ． 【解答】角：Q 集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， {|12}A B x x ∴=<<I ．故答案为：{|12}x x <<．2．（5分）复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 四 象限． 【解答】解：(1)1z i i i =-=+Q ，∴1z i =-，则复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限． 故答案为：四．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有 80 辆．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60)内的汽车的频率为(0.010.03)100.4+⨯=．∴时速在区间[40，60)内的汽车有0.420080⨯=（辆)．故答案为：80．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 35．【解答】解：Q 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球， 基本事件总数2510n C ==，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数11326m C C ==，∴摸出1个黑球和1个白球的概率63105m p n ===．故答案为：35．5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 225 ．答对题数 4 8 9 10 人数分布1121【解答】解：根据表中数据，计算平均数为1(489210)85x =⨯++⨯+=，方差为22222122[(48)(88)(98)2(108)]55s =⨯-+-+-⨯+-=．故答案为：225． 6．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为 25 ．【解答】解：第一次循环得到155T =⨯=，10i =； 第二次循环得到51050T =⨯=，15i =；第三次循环得到5015750T =⨯=，20i =； 第四次循环得到7502015000T =⨯=，25i =； 此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出25i =． 故答案为：25．7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．上述命题中为真命题的是 ①④①④ （填写所有真命题的序号）． 【解答】解：选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； 选项②错误，若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m 与n 可能平行可能相交； 选项③错误，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 与n 可能平行或异面； 选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若//m α，m β⊂，n αβ=I，则//m n ．故答案为：①④①④8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 16162529尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）【解答】解：设该妇子织布每天增加d 尺，由题意知，3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =尺． 故答案为：1629．9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8πα+= 213+ ．【解答】解：cos 2cos()4παα=+Q ，cos()2cos()8888ππππαα∴+-=++，cos()cos sin()sin 2cos()cos 2sin()sin 88888888ππππππππαααα∴+++=+-+， 化为：cos()cos 3sin()sin 8888ππππαα+=+，1tan()83tan 8παπ∴+=，Q 22tan 8tan1418tanπππ==-，解得tan218π=-．121tan()833(21)πα+∴+==-， 故答案为：213+． 10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD =u u u r u u u rg52- ．【解答】解：以A 为原点，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系， 设(,)O m n ，(,0)B a ，(0,)D b ，则(,)C a b ， 2OA =Q ，4OC =，5AC =，∴222222254()()16a b m n m a n b ⎧+=⎪+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：132am bn +=． 又(,)OB a m n =--u u u r ，(,)OD m b n =--u u u r，∴22135()()()422OB OD m m a n n b m n am bn =-+-=+-+=-=-u u u r u u u rg． 故答案为：52-．11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 5(2-，2)- ．【解答】解：关于x 的方程||()1x x a -=， 显然0x =方程不成立， 可得1||a x x =-，设1()||f x x x =-，则1,20()1,0x x x f x x x x ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪->⎩，画出()f x 的图象，可得当522a -<<-时，y a =和()y f x =的图象有3个交点，即关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，故答案为：5(2-，2)-．12．（5分）已知0a >，0b >，且111a b +=，则32b a b a ++的最小值等于 11 ． 【解答】解：已知0a >，0b >，且111a b+=，则1111323()2()b b a b a b a a b a b a ++=++++，33955211a b ab b a ab =+++=…，故答案为：1113．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点分别为两半圆上的动点（不含端点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u rg 的最大值为 4 ．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得(0,0)A ，(4,0)B ，(8,0)C ，以AB 为直径的半圆方程为22(2)4(0,0)x y x y -+=>>，以AC 为直径的半圆方程为22(4)16(0,0)x y x y -+=>>， 设(22cos ,2sin )M αα+，(44cos ,4sin )N ββ+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得(22cos BM BN α=-+u u u u r u u u rg ，2sin )(4cos αβg ，4sin )0β=，即有8cos 8(cos cos sin sin )0βαβαβ-++=，即为cos cos cos sin sin βαβαβ=+， 即有cos cos()βαβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即2αβ=， 则(22cos AM CN α=+u u u u r u u u r g ，2sin )(44cos αβ-+g，4sin )β 88cos 8cos 8(cos cos sin sin )αβαβαβ=--+++288cos 16cos 16cos 16cos αβββ=--+=-2116(cos )42β=--+，可得1cos 02β-=，即3πβ=，23πα=时，AM CN u u u u r u u u r g的最大值为4．故答案为：4．14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 (,2)-∞- ．【解答】解：关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3] 及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，可得323x x ax b -+<-的最小值， 即为3234x x ax -+<-， 可得243a x x x<--的最小值， 设24()3f x x x x=--，[1x ∈，3]， 导数为24()32f x x x '=-+， 可得12x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 23x <<时，()0f x '<，()f x 递减，又f （1）2=-，f （3）43=-，可得()f x 在[1，3]的最小值为2-， 可得2a <-．即有a 的范围是(,2)-∞-． 故答案为：(,2)-∞-．二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（1）(1tan )(1tan )2A B ++=Q tan tan 1tan tan A B A B ∴+=-g， tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+∴=-+=-=--，34C π∴=（2）ABC ∆Q 得外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2sin 2c R C ==， 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-， 代入数据可得2222a b ab =++ 22(22)ab ab ab +=+…， 222ab ∴+…，ABC ∴∆得面积11221sin 22222S ab C -==+g …， ABC ∴∆面积的最大值为：212-16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．【解答】解：（1）因为//EF 平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC ⋂平面ABD AB =， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =I ，AE 、DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED ．17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．【解答】解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =，FPN θ∠=，所以3tan NF θ=， 所以11(13tan )322APNSNA PF θ∆==+⨯g ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）在直角MEP ∆中，因为PE ，3EPM πθ∠=-，所以tan()3ME πθ=-， 所以11(33tan())1223APM S MA PE πθ∆==+-⨯g ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 所以31tan tan()3223APN APM S S S πθθ∆∆=+=+-+，[0θ∈，]3π，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）（注：定义域错误扣1分） （2）因为3133tan tan tan()3tan 322322(13tan )S πθθθθθ-=+-+=+++．⋯（9分） 令13tan t θ=+，由[0θ∈，]3π，得[1t ∈，4]，⋯⋯⋯⋯⋯（11分）所以23443433()23323t t S t tt-+=+=++⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）3433222333t t ⨯⨯⨯+=+…． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）当且仅当233t =时，即23tan 3θ-=时等号成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15分）此时，233AN =，323min S =+．答：当233AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为323+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（16分） 18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u rg 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1）3m =，椭圆22:19x E y +=，两个焦点1(22,0)F -，2(22,0)F设(,)K x y ，1(22,)F K x y =+u u u u r ，2(22,)F K x y =-u u u u r，2221212(22,)(22,)881KF KF FK F K x y x y x y y ==+-=+-=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u rg g g ，11y -Q 剟， ∴12KF KF u u u r u u u u rg 的范围是[7-，1]（4分）（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得12121212()()9()()0x x x x y y y y +-++-=，12121212()()190()()y y y y x x x x +-+=+-，即190OM lk k +=g ，故19OM l k k =-g ；（8分）（3）Q 直线l 过点(,)3m m ，∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且13k ≠． 设(P P x ，)P y ，设直线:()(0,0)3m l y k x m m k =-+≠≠，即:3m l y kx km =-+，由（2）的结论可知1:9OM y x k=-，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+，（10分）由()3my k x m =-+与19y x k=-，联立得222933(,)9191m km k m km M k k ---++．（12分）若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以02p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，479k ±=． 所以当479k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形．（16分）19．（16分）已知函数()xf x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．（1）求1l ，2l 之间的距离； （2）若存在x 使不等式()x mx f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【解答】解：（1）()x f x ae '=，1()g x x '=，()y f x =的图象与坐标轴的交点为(0,)a ， ()y g x =的图象与坐标轴的交点为(,0)a ， 由题意得(0)f g '='（a ），即1a a =，又0a >Q ，1a ∴=．（2分）()xf x e ∴=，()g x lnx =，∴函数()y f x =和()y g x =的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：10x y -+=，10x y --=，∴两平行切线间的距离为2（4分）（2）由()x mx f x ->，得x x mx e ->，故x m x xe <-在[0x ∈，)+∞有解，令()xh x x xe =-，则()max m h x <，当0x =时，0m <； 当0x >时，1()1()2xh x x e x'=-+Q ，0x >Q ，∴112222x x x x +=g …，1x e >， 1()22xx e x∴+>，故()0h x '<，即()h x 在区间[0，)+∞上单调递减， 故()(0)0max h x h ==，0m ∴<， 即实数m 的取值范围为(,0)-∞．（8分） （3）解法一：Q 函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()|()()|xF x f x g x e lnx =-=-，(0,)x ∈+∞，1()xF x e x∴'=-，设x t =为()0f x '=的解， 则当(0,)x t ∈，()0F x '<；当(,)x t ∈+∞，()0F x '>，()F x ∴在(0,)t 单调递减，在(,)t +∞单调递增，1()t t tt F x min e lnt e ln e t e ∴=-=-=+，f 'Q （1）10e =->，1()202f e '=-<，∴112t <<，故11() 2.25222t min F x e t e =+=+>+=， 即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．（16分） 解法二：由于函数()y f x =和()y g x =的偏差：()|()()|xF x f x g x e lnx =-=-，(0,)x ∈+∞， 令1()xF x e x =-，(0,)x ∈+∞；令2()F x x lnx =-，(0,)x ∈+∞， 1()1x F x e '=-Q ，211()1xF x x x-'=-=，1()F x ∴在(0,)+∞单调递增，2()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 11()(0)1F x F ∴>=，22()F x F …（1）1=， 12()()()2xF x e lnx F x F x ∴=-=+>，即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2（16分）20．（16分）设数列{}na 的前n 项和为nS ，23nnS a +=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}nb 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由23n n S a +=，① 得1123n n S a --+=，(2)n …，② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即11(2)3n n a a n -=…． 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即11()3n n a -=，*n N ∈．（2）①由11()3n n a -=，可得对于任意*n N ∈．有2111211111()()()333333n n n n n b b b b n ----+++⋯+=+-，③则22212311111()()()363333n n n n n b b b b n -----+++⋯+=+-，2n …，④ 则2311123111111()()()()233333n n n n n b b b b n -----+++⋯+=+-，2n …，⑤ 由③-⑤得21(2)n b n n =-…， 对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈．②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则1121214(1)333n n n n nn n n c c +-+---=-=， 所以当1n =时，1n nc c +=，即12c c =，当2n …时，1n n c c +<，即{}n c 在2n …且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>⋯，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈， 由于12345c c c c c =>>>>⋯， 可不妨设s p r <<，则2(*)psrc c c =+，即1112(21)2121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈，且s p r <<，则1s p -…且2p …， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -…，即12212333s p s p ----…， 因为12103r r r c --=>，所以11122(21)2121233333p s r p p s r p --------=+>，即122(21)2333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p …且*p N ∈，所以2p =或3p =， 当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r …时，21r c c <=， 此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意．当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==， 代入(*)式得19r c =．因为数列{}nc 在2n …且*n N ∈上单调递减，且519c =， 4r …，所以5r =．综上所述，数列{}nc 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g．【解答】证明：连结AC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠． ⋯⋯⋯⋯（3分） 因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =． 于是EAB ACD ∠=∠． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠． 所以ABE CDA ∆∆∽． 于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD =g g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 所以2AB BE CD =g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）四.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值．【解答】解：（1）由21[]32A =，det （A ）223110=⨯-⨯=≠，所以A 可逆， 设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则21103201a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ， 则21a c +=，20b d +=，320a c +=，321b d +=， 解得2a =，1b =-，3c =-，2d =，∴121[]32A --=-． （2）由AXB =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴12x y =⎧⎨=⎩．， （也可由AX B =得到214327x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即24327x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1)2x y =⎧⎨=⎩． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 在曲线4cos :3sin (x C y θθθ=⎧⎪=⎨⎪⎩为参数）上，直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），求P 到直线l 距离的最小值．【解答】解：直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），的普通方程为：60x y --=．P 到直线l 距离为：|4cos 3sin 6||5cos()6|22θθθα--+-=，其中3tan 4α=． 当cos()1θα+=时，表达式取得最小值：22．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y zyzzx xy x y z ++++…． 【解答】证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y y xyz zx z x y z +=+…① 同理可得 2y z xz yx x +…② 2z x xy yz y +…③当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得：111x y z yz zx xy x y z++++… 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上．（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值；（2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置．【解答】解：（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(4A ，0，0)，1(4,0,22)A ，1(0,4,22)B ， 因为113A M MB =，所以(1,3,22)M ，所以1(4,0,22)CA =u u u r ，(3,3,22)AM =-u u u u r，所以111439cos ,39||||2426CA AM CA AM CA AM -〈〉===-u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u r g ． 所以异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值为3939； （2）由(4A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0,0,22)C ， 得(4,4,0)AB =-u u u r，1(4,0,22)AC =-u u u u r，设平面1ABC 的法向量为(,,)n a b c =r，由100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g 得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为(1,1,2)n =r， 因为点M 在线段11A B 上，设(,4,22)M x x -，所以(4,4,22)AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒， 所以1|cos ,|sin302n AM 〈〉=︒=u u u ur r ，由||||||cos ,n AM n AM n AM =〈〉u u u u r u u u u r u u u ur r r r g ，得221|1(4)1(4)222|2(4)(4)82x x x x -+-+=-+-+gg g g g ，解得2x =或6x =，为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点(2,2,22)M 是线段11A B 的中点．26．在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：OA OB u u u r u u u rg的值； （2）证明：FM AB u u u u r u u u rg 为定值． 【解答】解：（1）设221212(,),(,)44x x A x B xQ 焦点(0,1)F∴221212(,1),(,1)44x x AF x FB x =--=-u u u r u u u rQ AF FB λ=uu u r u u u r ∴122221221212110114444x x x x x x x x λλλ-=⎧⎛⎫⎛⎫⎪-+-=⎛⎫⎨ ⎪ ⎪-=-⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩消得 ()121212104x x x x BR x x ⎛⎫-+=≠⎪⎝⎭Q 化简整理得， 124x x ∴=-221212144x x y y ∴==g∴12123OA OB x x y y =+=-u u u r u u u rg（定值） （2）抛物线方程为21142y x y x '=∴= ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为22121122112424x x y x x x y x x x =-+=-+和即221212 1211,1 24242x x x xy x x y x x M+⎛⎫=-=--⎪⎝⎭和联立解出两切线交点的坐标为∴2222221221212121(2)(,)02422x x x x x x x xFM AB x x+---=--=-=u u u u r u u u rg g （定值）。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =ð，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】直接求根据{1,2,4}U A =ð求出集合A 即可. 【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =ð， 则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________．【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=，故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。

【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18． 【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a =，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题.7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ． 【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的(π23x -()π4f =4sin 42π=.故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x 的取值范围是_________【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性．9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，4cos 5A ∴==， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯，3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______.1.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩，解得1x ≥．因此实数x1．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积．【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r 的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u ru u ur u uu r r r r， 由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B CA B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==，可得sin 5B =，同理可得sin 10C =，由正弦定理可得2sin135︒==r r，即有c a ==r r ，则4||||cos 455525a c c a ︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=u u rr r r ．故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________. 【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+u r 和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c . 【答案】(1) 3C π=(2) 【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 得：2()18AC AB BC AC ⋅+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而利用ABC ∆的面积为，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r 和(1,cos cos )n A B =r是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u rQ ，18()AC AB CB ∴=⋅-u u u r u u u r u u u r 2||AC AC AC =⋅=u u u r u u u r u u u r则||AC ==u u u rAC =因为ABC V 的面积为，所以1sin 2CA CB C ⋅=即1sin 23π⨯=解得CB =在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅22122=+-⨯54=，所以AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD． (7)分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD． (2)分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD． (5)分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC． (10)分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点6⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22. （1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P .（i ）求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O . 【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得22312122a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，， 所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ，①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()20124828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题．19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n ＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ； （2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（） 可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+②①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===， 41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③，由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间； （2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x =，列表分析min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e'=-=-，①若1a e ≤-则()ln 0af x x x'=-≥， 故()f x 在22(,)e e -内没有极值点；②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点；③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->，因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点；综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点；当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-.因为当1x >时，1ln 1(*)x x >-， 所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为19((22A B线段AB 的中点为5(,22A ，AB k故线段AB 中垂线的斜率为1AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5)2y x =-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d == 线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=【点睛】 本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u r u u u r （R λ∈），且向量PC uuu r 与BD u u u r .（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，写出,PC u u u r ，BD u u u r 的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r ，根据n PC n DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u r r u r ，进而得到00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u r r u r n PC n DC ，从而求出n r ，向量PB u r 的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos ,n PB <>r u r ，从而得PB 和平面PCD 所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由15cos ,15PC BD =u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0⋅=r u u u r n PC ，0⋅=r u u u r n PD ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-u u u r ，故10cos ,=⋅=u u u r r PB n PB n ，所以直线PB 与平面PCD 10.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a 的通项公式为1515225n n n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n N ∈，记1212n n n S C a C a =++…n n n C a +.（1）求1,S 2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除.【答案】(1) 11S =；23S =； (2) {}*|3,n n k k N =∈ 【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值； （2）通过化简得到213n n n S S S ++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+2121515225n n C C ⎡⎛⎛⎫+⎢ =⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎣…212151515n n n n n C C C ⎫⎛+--⎪ +⋅-+⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦ 1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=+-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 35355n n ⎡⎤+-⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即有1S1==；2S33==；（2）3322nnS n⎡⎤⎛⎛-⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，2332222nS n n+⎡⎤⎛⎛+-=+-+⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦333333222222n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎛⎛--⎥⎢⎥-⋅+-- ⎪⎪⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦13n nS S+=-，即213n n nS S S++=-，*n N∈，因此2nS+除以8的余数，完全由1,n nS S+除以8的余数确定，因为11,a=21a=，所以11111S C a==，12221223S C a C a=+=，3213918S S S=-=-=，432324321,S S S=-=-=543363855S S S=-=-=，654316521144,S S S=-=-=7535643255377S S=-=-=，87631131144987,S S S=-=-=987329613772584S S S=-=-=由以上计算及213n n nS S S++=-可知，数列{}n S各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而n S除以8的余数等价于n除以3的余数，所以3,n k=*k N∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．。

故答案为:10. 第1页共21页2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1.已知集合 A 1,0,3 , B {1,2,3},则 Al B ________________ 【答案】{3}【解析】由交集的定义AB ⑶，应填答案⑶.【答案】姮2【解析】由已知得 Z 2 1 i ,将其整理成 i1 Z -2 3. -i 2,即可求出模【详解】解:由题意知，Z 2 i2 i 1 i 1 3i 1 3. 1 i1 i 1 i22i 2所以：Z h 23 2尿V 222故答案为：.2【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模•本题的易错点在于化简时，错把i2计算• 3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为 12, 8, 10, 11, 的平均数为 ________【答案】10【解析】代入求解平均数的公式计算即可 【详解】解:平均数-12 8 10 11 9 10.5【点睛】 2 .已知复数Z 满足1 i Z2 i ,则复数Z 的模为当成了 1来9•则这组数• 2,0【解析】根据流程框图进行循环计算，跳出循环时b 的值即为所求 【详解】解:第一次循环:b 2,a 2；第二次循环:b 4,a 3•此时a 3不成立故答案为:4. 【点睛】本题考查了程序框图•对于循环结构是常考的题型，一般做法为根据框图，计算每次循环 的结果，注意,临界即跳出循环时的计算结果 •通常循环框图常和数列求和综合到一块 • 5 •在平面直角坐标系 XOy 中，已知双曲线χ2y 21的右焦点与抛物线2y 2px p 0的焦点重合，则 P 的值为 ______________ .【答案】2 2【解析】求出双曲线的右焦点2,0 ,令P\ 2即可求出P 的值•2【详解】 解双曲线c21 1 2,即右焦点为^2,0 .即抛物线y2 2px P 0的焦点为本题考查了平均数的计算•易错点为计算出错b 的值为所以^2'2 ,解得P 2丿2 .故答案为：2 2. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了抛物线的方程•易错点是误把P 当做了抛物线焦 点的横坐标•6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为 ________ . 【答案】0.4【解析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数 n 和这2只球颜色相同包含的基本 事件数m,由古典概型概率公式计算即可. 【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球.从中一次随机摸出2只球，基本事件总数 n= C I = 10, 这2只球颜色相同包含的基本事件个数m= C l C 2 = 4,m 4•••这2只球颜色相同的概率为 P= =0.4.n 10故答案为：0.4. 【点睛】本题考查古典概型概率的求法 ，考查运算求解能力，是基础题. 7 .现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为 1 ,高为4.若将它制作成一个总体积不变 的球，则该球的表面积为 ________ . 【答案】44 3 4【解析】 求出圆锥的体积，则由题意，设球的半径为r ,可得一r 3—,求出球的半径，进33而可求球的表面积. 【详解】4 3 4 2则4 r3 ,解得r「所以表面积为4 r 4故答案为：4 【点睛】本题考查了圆锥的体积，考查了球的体积，考查了球的表面积.结合方程的思想，根据题意 第3解:由题意知，圆锥的体积为-3I 2 4 ..设球的半径为r3页共21页求出球的半径•对于球的问题，一般都要首先明确半径的大小8.已知等比数列a n的前n项的和为S n ,aι 16 9®,则a3的值为__________________ .【答案】43【解析】由S6 9S3可得S3 q 1 9S3,进而可求出公比的值，即可求a s的值•【详解】解：S6 a1a2 a3 a°a§a6 d a? a? ^q3 a2q3a3q3S3 q3 1Q S6 9S3S3q3 1 9S3解得,q = 2 .所以a3 a^24.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和.等比数列问题，一般可采用基本量法进行求解，但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题，一般首先考虑利用性质简化计算.UiX r IrIJDr IJrill9.已知e ，∈2是夹角为60°的两个单位向量，a 3e∣2e? ， b 2e∣ ke? k R ，r r r且a (a b) 8则k的值为___________ .【答案】67【解析】由题意知；；b 3e1 2e23∈r1 2ee2 2e r1 ke r28 ,进而可求k的值.【详解】r r r r r r r r r r r r r解：a a b 3e 2e23e12e22e1ke23e12e2e1 2 k e23e⅛2 3k 8 6 & 2 2+k e2 3 3k 8 cos60o 2 2k 7k 11 8.2解得k 6.7故答案为：6.7【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题若题目中无向量的坐标，则在求数量积时，一般套用定义求解；若题目中已知了向量的坐标，求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系XOy中，已知圆C : x2y22x 8 0 ,直线6BC 【解析】由tan BADBC tanDACBAC ,可得BC613 15d 6 BC 1 - 13 15,进而l : y k X 1 ,k R 过定点A ,与圆C 交于点B, D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC 的周长为 ____________ . 【答案】5【解析】由题意得A(1,0),圆心为C 1,0 ,半径为r 3,由平行可知-EA ED ,化简后CB CD可得EA CE r ,进而可求三角形的周长• 【详解】解:当 X 1 时,y 0 与 k 无关则 A(1,0)∙圆 C :x2y 22x 8 x 1y 29所以，圆的圆心为C 1,0 ,半径为r 3.则由题意知,ED r CE故答案为:5. 【点睛】,考查了圆的标准方程•本题的关键在于，由平行得比例关 系•若联立直线与圆的方程，求解各点的坐标，这种思路也可以求出最后答案 ，但计算量太大•11.如图，已知两座建筑物 AB,CD 的高度分别为15m 和9m,且AB BC CD ,从 建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为 CAD ,测得tan CAD —,则B,C 间13可求B,C 间的距离.Q EA 与CB 平行EA ED 即EA 』 CB CD r r EA CE r则 AEC 的周长AC AE CEAC r 2 3 5.本题考查了直线过定点的问题 白勺距离 _____ m.【答案】12【详解】BC 解:由题意知tan BAD -AB CDBC~6^tan DAC BACBC 6tan DAC tan BAC 1 tan DAC tan BAC2BC239BC 180 0 ,解得BCBC6 j⅛,整理得1 -13 151512 或BC .Q BC CD 9， BC 122故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用•难点在于已知正切值的使用•有的同学可能由正切值求出正弦和余弦，结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解•由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大，因此这种思路计算量较大，效率不高而且容易做错•m12 •设曲线yx+1m 0在X t,t 1处的切线为I ,则点P 2t, 1 到I的最大距离为【答案】、.2【解析】求出切线方程为mx 2t 1 y 2mt m 0 ,从而则P 2t, 1 到I的距离可用t表示出来，结合基本不等式即可求解【详解】解:y'整理得mxd2 d22mt2mt2mt2则切线方程为0•则P2t,2m2 m2m41的距离2m,当且仅当1 2 即d 2.2m2t 1 2- 2t 1时等号成立【答案】{3,5} 第7页共21页【点睛】本题考查了切线的求解，考查了点到直线的距离，考查了基本不等式•求最值常见的思路 有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法 •本题的难点是对距离进行变形 整理•的取值范围是3【答案】三2【详解】5r ,t的情况•本题的难点是分界点能否取得的判断f k (x) InX 恰有3个不同的零点，贝U k 的取值集合为13.已知函数y c0s(3X) , Xt 5既有最小值也有最大值，则实数t【解析】由诱导公式可知3y cosSin X ,令 mX ,结合函数图像，讨论最大值为1和1两种情况2,进而求出 t的取值范围•解：y 3cos — 2Sin X 令m X •则由X -I t6可得Sin m, m•要使其既有最小值又有最大值若最大值为 13若最大值为 1,则t 2 ,解得t5•综上所述:-2 2故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式 ,考查了三角函数最值问题•本题的易错点是漏解,只考虑了最大值14. 已知函数f 1(x)X 1 , f k 1 (X) f 1(f k (X)) , k 5, k N•若函数【解析】由题意写出fι(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x)的解析式，根据图像的平移变换分别画出它们的图像，判断哪个函数图像与y In X图像有三个交点，即为所求.【详解】解:由题意知f1(x) X 1 , f2(x) IlX 1 I,f3(x) IIX 111,f4(χ) IIIlX 1 1 1 1,f5(χ) IIIlX 1111 1 •则其函数图像为∖r1*. 'I J. * I I i I . I I I I I 鼻⅛ n d I J i 2 ]■⅜ J < β 1 1 ]e4r/fL由图像可知，当k 3或5时,函数y f k(x) InX恰有3个不同的零点•故答案为：{3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换考查了函数的零点•若函数f(x) g(x) h(x),则函数f(x)的零点个数就等同于函数g(x), h(x)图像的交点个数•本题的难点是画含绝对值的函数图像•对于y f (x),首先画出y f(x)的图像,然后将X轴下方的图像向上翻折即可；对于y f(x)的图像,首先画出y f (x)的图像，然后将y轴右侧向左翻折、解答题15.在平面直角坐标系XOy中，设向量∖ 3sin x,sin X , cosx,sin X , X 0,(1)若a b ,求X的值；(2)求a b的最大值及取得最大值时X的值•5 3【答案】(1)或；(2)最大值一，X .6 6 2 3r r r r 1【解析】⑴求出∣a∣,∣b∣,由IalIbl可得ISi nx∣ ?,结合X [0,]可求出所求•r r 1⑵a b Sin 2x ,结合X [0,]和正弦函数的图像，即可分析出最值及取得6 2最大值时X的值•【详解】解：(1)因为a ( .3 sin x,sin x), b (cosx,sin x)所以∣a∣ 3sin2x sin2x 2∣si nx∣,∣b∣ . CQS X Si nx2 1r r 1因为∣a ∣ ∣b ∣,所以∣ Sinx∣ .因为X [0,],所以SinX 2（2）ab.3sin xcosxSin X Sin2x1 cos2x 1 Sin 2x 12 2 2 6 2因为X [0,],所以2x11, ,于；曰 1 . Sin 2x1 36 6 6 2 6 2 2所以当π π2x ,即X时，a b取最人值 36 2 3 2【点睛】本题考查了向量的模，考查了向量的数量积，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的最值•对于y ASin ωxφ型的函数，在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时，一般（2）平面EDB i ⊥平面B I BD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】⑴取B l D的中点F ,连OF l EF通过证明AC//EF从而证明线面平行.⑵通过AC BD ,B i B AC推出EF BB i, EF BD ,从而证明EF 平面B i BD , 进而可证面面垂直 . 【详解】证明：（1）在正方体ABCD A i B i C i D i中,设AC与BD相交于点0 ,则Q为BD的中点1取B i D 的中点F ,连OF, EF 所以QF∕∕BB i,QF -BB v2在正方体ABCD A i B i C i D i中，AA i∕∕BB i, AA i BB i.又点E是A i A的中点所以AE∕∕0F, AE OF .于是四边形AEFO是平行四边形从而AC//EF .又因为AC 平面EDB i ,EF 平面EDB i,所以AC//平面EDB i .A IB lC lD I中，E是棱A l A的中点.求证:都是采取整体的思想进行计算•⑵在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1B 平面ABCD ,而AC 平面ABCD ,所以B I B AC.又在正方体ABCD A I B I C I D I中，四边形ABCD为正方形所以AC BD.由⑴知，EF//AC ,于是EF BB-EF BD .又B1B 平面B l BD , BD 平面B1BD, B j B BD B ,所以EF 平面B1BD .又因为EF 平面EDB1 ,所以平面EDB1 平面B1BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了面面垂直的判定•线面平行或者面面平行的判定，一般都归结为证明线线平行；线面垂直或者面面垂直的判定，一般都归结为证明线线垂直•此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明，有时也可以建立空间直角坐标系，运用空间向量证明平行和垂直•2 217 .如图，在平面直角坐标系XOy中，已知代B两点分别为椭圆笃当1,a b 0a b的右顶点和上顶点，且AB , 7 ,右准线I的方程为X 4.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P ,交I于点Q若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程.2 2 _ _ _ _【答案】⑴仝y1;(2)、.3X y 2 3 0或3x y 2、、3 0.4 3【解析】(1)由右准线I 的方程为X 4以及AB 、、7可列出方程组2—4 Ca 2b 2 C 2解.a 2b 2得即可求出椭圆的方程 ⑵设PQ 的方程为y k(x 2),与椭圆方程联立，求出P 8k 264k 23 12k24k 2 3;联立y k(x 2) UUU 可得Q(4,2k),由OP OQ 可知OP X 4 IujOQ 0 ,从而可求出k,3 ,进而可求直线的方程• 【详解】 解:(1)设椭圆的焦距为 2c(c 0) •由题意得2-4 C2 ,2a b 2 2,解得a 4,b ■, a 2b 2■, 7C 2所以椭圆的标准方程为 (2)由题意得直线 PQ 不垂直于X 轴,设PQ 的方程为y k(x 2) y 联立x 2 4 k(x 2 y 3 2), 2 2 ,消y 得4k 3 X 1, 2 2 16k X 16k 12 0.又直线PQ 过点 A(2,0),则方程必有一根为 2则X P 8k 26 4k 23代入直线y k(x 2),得点 P 8k 26 4k 23 12k 产.联立 y k(xX 42),所以 Q(4,2k).又以PQ 为直径的圆过原点 ,所以OP OQ . IlJU UUir 8k 2 6 则OPOQ 4汁28k 2 24 4k 230 ,解得k 2所以直线PQ 的方程为.3x y 2-、3【点睛】本题考查了椭圆的准线方程，考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆相交问题，考查了向量的数量积•本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用 •一般若题目中已知圆过某 点,则一般等量关系为：圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直 18 •下图是一块平行四边形园地 ABCD ,经测量，EB 2.5m , FC 7.5m 时,EF 最短,其长度为 5. 3 .(3)当0 X 10,由二次函数的性质可求最值 ；当10≤x≤20时,由基本不等式可求最值【详解】1解:⑴当点F 与点C 重合时，由题设知，s BEC - S YABCD .41 1于是一EB h AB h ,其中h 为平行四边形AB 边上的高.2 41得EB -AB ,即点E 是AB 的中点.2⑵因为点E 在线段AB 上,所以0 X 20.当10≤ x≤20时,由(1)知点F 在线段BC 上.因为AB20m, BC 10m, ABC 120 所以 S Y ABCD AB BC SinABC 20 10 —100、3. 2AB 20m,BC 10m, ABC 120o•拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF (点将该园地分为面积之比为 3:1的左,X, EF y (单位：m).(2) 求y 关于X 的函数关系式; (3) 试确定点E,F 的位置，使直路EF 的长度最短.2 X 25x 25【答案】(1) E 是AB 的中点；(2)yχ2 10θ∞ 10010 X10;(3)当201【解析】(I)由S BE C S YABCD 41 1可知-EB h 4AB h,从而证明E 是AB 的中点. ⑵求出平行四边形的面积为 S YABCD100,3,进而可求S EBF 25 3 ,从而用X 可将BF 表示出来，利用余弦定理即可得到y 关于X 的函数关系式.当点F 与点C 重合时，试确定点 E 的位置; (1) F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度)，1由S EBF X BF sin1202 25 3得,BF .所以EBF中,由余弦定理得X得 CF 10 X .当 BE CF 时,EF .. 102 (2x 10)22 10 (2x 10) cos120当 BE CF 时,EF X 102(10 2x)22 10 (10 2x) cos60本题考查了函数模型的应用 ，考查了余弦定理，考查了基本不等式•本题的易错点是没有 讨论自变量的取值，从而造成了漏解•求最值时，常用的方法有：导数法、函数图像法、函数 单调性法、基本不等式法• 19.已知函数y f (X)的定义域为D ,若满足 X D,x f(x) f(x),则称函数f(χ)为’L 型函数”.(1)判断函数y e x 和y InX 是否为(L 型函数”，并说明理由；(2)设函数 f(x) (X 1)lnx (X 1)lna,a 0 ,记 g(x)为函数 f (x)的导函数• ①若函数 g(x)的最小值为1,求a 的值；②若函数 f(x)为“L 型函数 ”，求a 的取值范围.【答案】 (1) y e x不是,yIn X 是,理由见解析；(2)①a e ；②02a e . 【解析】(1)分别求出两个函数的定义域 ，判断 X D,xf(x) f (x)即可综上： 当E 距点B2.5m , F 距点C7.5m 时，EF 最短，其长度为5、. 3 .2X当且仅当X 2= 10000即X 10时，取等号 【点睛】y EFx 2100 X100.当0 X 10时,点F 在线段CD 上,由S 四边形EBCF-(X CF) 10 Sin60 2 25 3化简均为y EF 2 ∖ X 2 5x25.综上，y⑶当0 曰、【/是当X2 X 25x 2510χ210000100 X 210 X20X 10 时,y2 X 25x 2525 752 时,y min155、3,此时 CF 10 X当 10≤ x ≤20 时,y χ2 10000100 2,.'X 2X 210000100 10、3 X 22x 100 cos12010000所以由零点存在性定理得X 0 (1,a)使g X 00,又g(x)在(1,)上为增函数1⑵①求出g(x) f (x) InX 1 In a, x (O,),再求g (x),通过导数探究当 XX 取何值时，g(χ)取最小值，令最小值为1,即可求出a 的值•②由题意X (0, ),(X 1)f (X) (X 1)[(x 1)lnx (X 1)ln a] 0恒成立，分别讨论当0 a e 2和a e 2时,通过探究f(x)的单调性判断是否使得不等式恒成立，从而求出a 的取值范围.【详解】解:⑴对于函数y e x,定义域为R ,显然0 ee 0不成立，所以y e x 不是’L 型函数 对于函数y Inx ,定义域为(0,).当 0 X Hdlnx 0,所以(X 1)l nx 0,即 xlnx In X ; 当 X 1 时，Inx 0,所以(X 1)l nx 0,即 xl nx ln x . 所以 X (0,),都有xl nx Inx .所以函数y Inx 是型函数”.X 11⑵①因为 g(x) f (x) In XInaInX 1 Ina, x (0,)XX1 1 X 1所以g (x)22.当X (0,1)时，g(χ) 0所以g(x)在(0,1)上为减函数X X X当X (1,)时,g (x) 0,所以g(x)在(1,)上为增函数. 所以 g(x)min g(1) 2 In a .所以 2 In a 1,故 a e . ②因为函数f (x) (X 1)l nx (X 1)l na 为(L 型函数所以 X (0,),(x 1)f (x) (X 1)[(x 1)l nx (X 1)l n a] 0().(i)当 2 In a 0 ,即 0 a e 2时，由①得 g(x) 0,即 f (x) 0.所以f (X)在(0,)上为增函数,又 f (1) 0,当X (0,1)时,f (X) 0所以(X 1)f (X) 0；当 X [1,)时,f (x) 0,所以(X 1)f (X) 0.所以X (0,),适合()式.2 1(ii) 当 2 In a 0,即 a e 2时，g(1) 0,g(a) - 10.第15页共21页所以由零点存在性定理得X0 (1,a)使g X0 0,又g(x)在(1,)上为增函数所以当X 1,X o 时，g(x) 0,所以f (X)在1,X o 上为减函数又f(1) 0,所以当X 1,X o 时,f(x) 0,所以(X 1)f(x) 0,不适合()式. 综上得，实数a 的取值范围为0 a e 2∙ 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了函数的最值，考查了不等式恒成立问题.本题的难点在 于最后一问，学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题 20 .已知数列 a n 的首项为1,各项均为正数，其前n 项和为S n ,1设数列 b n 满足 b 1 1 , b n 1b n a n ,求证：- 2.、a n 1 i 1 b【解析】⑴令n 1,n2即可求出a 2 ,a 3的值;1当n 1时,-b 11•从而可证.【详解】【答案】(1)a 22,a 3 3;(2)证明见解析;(3)证明见解析.a n 1 a n ⑵由2 Sn —1 n an 1得2Sm a n a na n an —(n 2)两式相减进行整理可得 an 1 a n 1 a n a n a n 1(n ≥ 2),即可证明 a n 为等差数列. ⑶由⑵可知b n 1b n n , b n b n 1 n1(n 2)两式相减整理得 丄 b n 1 b n 1 (n 2),则b n1 丄丄丄b i b 1 b 2 b 3 1 丄 bib nbl b 2 b n b n 1 ,通过放缩即可证明；解:⑴令n 1得,2S∣a ? a 〔 a 2 a 1,又a 11,解得a 2 2；令n 2得,2S 2a 〔a 2,即 2a 1a 3 a 2a 22a 1a 32 ,从而a3 3.2S na n QnOW n N •(1) 求a 2,a 3的值;(2) 求证：数列 a n 为等差数列;(3)1a ∏ 1a ∏⑵因为2S ∏ a ∏ 1 a∏ ①;所以2S ∏ 1 Jn 2)② a∏ 1 a ∏①-②得,2a ∏ a ∏ 1a∏ a ∏ 1 a∏ a ∏a∏ 1 a ∏ a ∏ .因为数列 a ∏的各项均为正数，所以a ∏ 0.a ∏ 1 a ∏从而2 口 ∏ a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ 1去分母得,2 a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ a ∏ 1 a ∏ a ∏ 1 a ∏ 1 a∏ 1 a n 化简并整理得，a ∏a ∏1 2a ； a ∏a ∏ 0,即 2a ∏ a ∏ 1 a ∏1(∏ 2),所以 a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ι( n ≥ 2).所以数列 a n 为等差数列. (3)由(2)知,b ∏ 1b ∏ ∏ ③.当 ∏ 1 时,b 2b 1 1 ,又 b 1,所以 b 2 1.由③知,b ∏b ∏ 1 ∏ 1(∏ 2) ④.③-④得,b ∏1b ∏ b ∏b ∏ 1 1 (∏ 2)即b ∏b ∏ 1 b∏ 1 1(∏2),依题意,b ∏ 0 ,所以占b ∏ 1 b ∏ b ∏ 1(∏2).b 11 b2 b 3b∏1 b ib 3 b 1 b 4 b 2 b 5 b 3b ∏ b ∏ 2 b ∏ 1 b ∏1 b ibi b 2 b ∏ b ∏ 12.b ∏1b ∏12 a ∏ 1 ,当 ∏ 1时，11 ,原不等式也成立.b 1∏ 1综上得，- i 1 b 2云1 【点睛】 本题考查了由递推公式求项 ，考查了等差数列的定义，考查了放缩法，考查了数列求和.本 题难点在于整理出丄 b ∏ 1 b ∏1(∏ b ∏ 2),从而对所证式子进行化简.涉及到S n 和a ∏的递推公式时，一般代入公式a ∏S nT \进行求解. S n 1, n 2 21•已知 a，b R,若 M= ba3所对应的变换 TM 把直线2x-y=3变换成自身，试3求实数a, b.【答案】户■- J -- 【解析】【详解】 JC R = 十 αυ一 τ, = ⅛x + 3V.L*aμT 2x r-y f= l.∖2(-x+α})- (⅛x + 3y) = 3.即-一一 --_.■此直线即为-'-/ ■ .■- ■二—2 -口二 2.2C 7 — 3 二—1.则.-.22 •在极坐标系中，设P 为曲线C : 2上任意一点，求点P 到直线l : Si n-3的最大距离• 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程， 转化为求圆上的点到直线 I 距 离的最大值，求出圆心到直线 I 距离，即可求出结论. 【详解】 曲线C :2化直角坐标方程为 X 2 y 24表示圆,1 Sin— 3,- Sin 3 OCoS 3 ,322化为直角坐标方程为 ,3x y 6 0,6 圆C 上点P 到直线I 距离的最大值为 .【点睛】想，属于基础题本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值， 考查数形结合思设a b c 6 ,求证：.a bl ',厂2, 3 二.23 .设a, b, C为正实数,【答案】证明见解析2 2 2 2 2 2 2【解析】 根据柯西不等式 Xi% X 2y 2 X 3y 3 % X 2 X 3 y ι y 2 y 3 ,将原式进行配凑并结合已知条件 a b c 6加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a, b, C 为正实数，a b c 6，2 2所以,a . b 1 . c 2 .. a 1 ., b 11 . c 2 1a b 1 c 2 1 1 1 27于是λa ..尸 、、厂2, 3.3 ,当且仅当,a 、、L 、、厂2 ,即a 3，b 2，C 1时取等号，所以,a ..尸、、厂2, 3. 3 ,得证； 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题 24 •假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 P(O P 1).现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮 ,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰好用完3次投篮机会的概率是 -25(1)求P 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望E(X).3【答案】(1); (2)分布列见解析，期望为5【解析】 分析：(1)设事件A :恰用完3次投篮机会”则其对立事件 A ：前两次投篮均不应概率即可详解：(1)设事件A ：恰用完3次投篮机会”则其对立事件 A :前两次投篮均不中解得P 3.5(2)依题意，X 的所有可能值为0,1,2,3,213 125所以，PA 1 P A⑵X 的所有可能值为 250,1,2,3,计算其对依题意，PA 1 P A25，25所以m3 C k c ；k C ：k L点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现 关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算 25 •设 S 4k a 1 a 2 La 4k ( k N *),其中 ai 0,1( i 1,2,L ,4k ).当S 4k 除以4的余数是b ( b 0,1,2,3)时，数列a 1,a 2丄,a 4k 的个数记为m b .(1) 当k 2时，求m 1的值；(2) 求m3关于k 的表达式，并化简.2k 1【答案】(1) 64； (2)m 3 4【解析】(1) (1)根据定义，确定条件： 8个数的和除以4的余数是1,因此有1个1或5个1,其余为0,从而m C 8 C 564 ；(2)--:个数的和除以4的余数是3,因此有3个1,或7个1,或11个1,∙∙∙,或4k 1 个1 ,其余为0, m 3 C 43k CJ k Cr k L C4k 1,再根据组合数性质即可化简求值• 【详解】(1)当k 2时，数列a 1,a 2,a 3^L ,%中有1个1或5个1,其余为0, 所以 m C 8 C 8564 .(2)依题意，数列a 1, a 2,L ,a 4k 中有3个1,或7个1,或11个1,…， 或4k 1个1 ,其余为0,4k 1C4k第20页共21页X 的概率分布列为 数学期望E X24 ,125兰2竺3空空125 125 125 125至多”至少”等其他同理，得 m 1 C 41k C 45k C49kL C 44k k 3因为 C 4ik C 44k k ii 3,7,11,L ,4k 1 ，所以 m 1 m 31 3 9 4k 3 4k 1 4k 1m 3 C 4kC 4k C 4k L C 4k C 4k 2点睛】 本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题所以 m 34k 224k 22k 14。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题一、填空题1．设集合{}1,3A =，{}2230B x x x =--<，则A B =I ____________.【答案】{}1【解析】先解不等式2230x x --<,再求交集的定义求解即可. 【详解】由题,因为2230x x --<,解得13x -<<,即{}|13B x x =-<<, 则{}1A B =I , 故答案为:{}1 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.2．已知i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =________． 【答案】2i - 【解析】【详解】 解：i 12i z ⋅=+Q()212122i ii z i i i++∴===- 故答案为：2i - 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 3．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可. 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤． 【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则 一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56P =． 【考点】古典概型概率5．“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要【解析】由余弦的二倍角公式可得()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,即sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,即可判断命题的关系.【详解】 由()()22cos2cossin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,所以sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,所以“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要 【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用. 6．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ．【答案】-2 【解析】试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式 7．若幂函数()a f x x =的图象经过点)122，，则其单调递减区间为_______．【答案】(0,)+∞【解析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递减区间． 【详解】解：幂函数()a f x x =的图象经过点1(2,)2，则1(2)2a=， 解得2a =-；所以2()f x x -=，其中()(),00,x ∈-∞+∞U ；所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． 故答案为：(0,)+∞． 【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题． 8．若函数()sin 3f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 【答案】1【解析】利用辅助角公式化简可得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由题可分析||αβ-的最小值等于2π表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π,进而求解即可. 【详解】由题,()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 因为()0fα=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π, 所以142T π=,即2T π=,所以2212T ππωπ===,故答案为:1 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.9．已知函数()2241020ax x x f x x bx c x ⎧--≥=⎨++<⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB ＝BC ，则实数t 的值为_________． 【答案】52-【解析】由()f x 是偶函数可得0x >时恒有()()f x f x -=，根据该恒等式即可求得a ，b ，c 的值，从而得到()f x ，令()t f x =，可解得A ，B ，C 三点的横坐标，根据AB BC =可列关于t 的方程，解出即可． 【详解】解：因为()f x 是偶函数，所以0x >时恒有()()f x f x -=，即22241x bx c ax x -+=--， 所以2(2)(4)10a x b x c -+---=，所以204010a b c -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得2a =，4b =，1c =-；所以22241,0()241,0x x x f x x x x ⎧--=⎨+-<⎩…； 由2241t x x =+-，即22410x x t +--=，解得1x =-；故1A x =--1B x =- 由2241t x x =--，即22410x x t ---=，解得1x =．故1C x =1D x =． 因为AB BC =，所以B A C B x x x x -=-252t =-， 故答案为：52-． 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．10．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a 的个数为______． 【答案】1【解析】可看出2aa e ≠，这样根据A B ≠∅I即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1． 【详解】解：A B ≠∅Q I ， 2a ∴=或2aa e =，在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与2xy e =的图象，由图可知y x =与2xy e =无交点， 2aa e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1． 故答案为：1． 【点睛】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2xx e =无解，属于基础题．11．已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是【答案】3log 2【解析】通过设出A 点坐标，可得C 点坐标，通过BC ∥x 轴，可得B 点坐标，于是再利用OA OB k k =可得答案. 【详解】根据题意，可设点(),3aA a ，则(),9aC a ,由于BC ∥x 轴，故9a CB yy ==，代入3x y =，可得2B x a =，即()2,9aB a ，由于A 在线段OB 上，故OAOB kk =，即392a aa a=，解得3log 2a =.12．设点P 在函数()1e 2xf x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为_________)1ln 2-【解析】由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于y x =对称,则点P 到y x =的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值. 【详解】 由题,因为()1e 2xf x =与()()ln 2g x x =互为反函数,则图象关于y x =对称, 设点P 为(),x y ,则到直线y x =的距离为d =, 设()12xh x e x =-, 则()112xh x e '=-,令()0g x ¢=,即ln 2x =, 所以当(),ln 2x ∈-∞时,()0h x '<,即()h x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时,()0h x '>,即()h x 单调递增,所以()()min ln 21ln 2h x h ==-,则min d =, 所以PQ的最小值为)min 21ln 2d =-,故答案为)1ln 2- 【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.13．设()f x 为偶函数，且当(]2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．其中，正确命题的序号是_______． 【答案】①②③【解析】根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可. 【详解】解：当4a =时()()[)()()[)20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数∴可画出()f x 的图象，如下所示：可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确； 若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个， 即[]01m ∀∈，，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立又Q 当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =-- 0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，上恒成立a x ∴≤在[)2x ∈+∞，上恒成立 2a ∴≤由于偶函数()f x 的图象，如下所示：直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确； 对()1m ∀∈+∞，，偶函数()f x 的图象，如下所示：()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.14．已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,()()222111111111k x x kx k f x x x x x x x-++-==+=+++++++,令113t x x =++≥, 则()113k y t t-=+≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[)3,+∞上单调递减,则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,当10k -<,即1k <时,该函数在[)3,+∞上单调递增,则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()3213k f x +<≤, 所以223k +≤,解得14k <≤； 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件；当1k <时,()()122423k f x f x +≤+<,且()3213k f x +≤<, 所以2413k +≥,解得112k -≤<, 综上,142k -≤≤,故答案为:1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.二、解答题15．已知集合{}220A x x x =-->，集合(){}222550B x x k x k =+++<，k ∈R .（1）求集合B ；（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）[)(]3,23,4-⋃ 【解析】（1）由不等式22(25)50x k x k +++<可得(25)()0x x k ++<,讨论k -与52-的关系,即可得到结果；（2）先解得不等式220x x -->,由集合M 中有且仅有一个整数,当52k -<-时,则M 中仅有的整数为3-；当52k ->-时,则M 中仅有的整数为2-,进而求解即可. 【详解】解:（1）因为22(25)50x k x k +++<,所以(25)()0x x k ++<,当52k -<-,即52k >时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当52k -=-,即52k =时,B =∅； 当52k ->-,即52k <时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-⋃+∞, 当52k -<-,即52k >时,M 中仅有的整数为3-,所以43k -≤-<-,即(]3,4k ∈； 当52k ->-,即52k <时,M 中仅有的整数为2-, 所以23k -<-≤,即[)3,2k ∈-； 综上,满足题意的k 的范围为[)(]3,23,4-⋃ 【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.16．已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=. （1）求sin α的值； （2）求tan +2βα⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】（1）13（2 【解析】（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和()cos αβ+,再由()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得tan α和tan β,利用余弦的二倍角公式求得tan 2β,再由正切的和角公式求解即可. 【详解】 解:（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭,所以sin β 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故3,22ππαβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,所以cos()9αβ+===-, 所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+71193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得,1sin3α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos3α===,所以sintancosααα==,因为22222222cos sin1tan222cos cos sin22cos sin1tan222βββββββββ--=-==++且1cos3β=-,即221tan1231tan2ββ-=-+,解得2tan22β=,因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan02β>,所以tan2β=所以tan tan24tan1221tan tan122βαβαβα+⎛⎫+===⎪⎝⎭-⋅-【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.17．设数列{}n a，{}n b的各项都是正数，n S为数列{}n a的前n项和，且对任意n*∈N，都有22n n na S a=-，1b e=，21n nb b+=，lnn n nc a b=⋅（e是自然对数的底数）.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）n a n=，12nnb e-=（2）(1)21nnT n=-⋅+【解析】（1）当2n≥时,21112n n na S a---=-,与22n n na S a=-作差可得11(2)n na a n--=≥,即可得到数列{}n a是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对21n nb b+=取自然对数,则1ln2lnn nb b+=,即{}lnnb是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解；（2）由（1）可得1ln 2n n n n c a b n -==⋅,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:（1）因为0n a >,22n n n a S a =-,①当1n =时,21112a S a =-,解得11a =； 当2n ≥时,有21112n n n a S a ---=-,②由①-②得,()()2211112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥,又0n a >,所以11(2)n n a a n --=≥,即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故n a n =,又因为21n nb b +=,且0n b >,取自然对数得1ln 2ln n n b b +=,所以1ln 2ln n nb b +=, 又因为1ln ln 1b e ==,所以{}ln n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以1ln 2n n b -=,即12n n b e -=（2）由（1）知,1ln 2n n n n c a b n -==⋅,所以1221112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,③123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,④③减去④得:2112222n nn T n --=++++-⨯L()()121221212121n n n n n n n n -=-⨯=--⨯=---,所以(1)21nn T n =-⋅+【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.18．已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围； （2）求l 的最小值及此时sin θ的值；（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值. 【答案】（1）23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3sin θ=，l 93.（3）6πθ=时，面积S 取最小值为83【解析】（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,利用三角函数定义分别表示,,,NB MB ME AM ,且6AM MB +=,即可得到l 关于θ的解析式；12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,即可得到θ的范围； （2）由（1）,若求l 的最小值即求2sin cos θθ的最大值,即可求24sin cos θθ的最大值,设为224()sin cos f θθθ=,令2cos x θ=,则22()(1)f x x θ=-,即可设2()(1)g x x x =-,利用导函数判断函数的单调性,即可求得()g x 的最大值,进而求解；（3）由题,23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭,则2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,()3(1)t h t t =-,利用导函数求得()h t 的最大值,即可求得S 的最小值.【详解】解:（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====. 因为6AM MB +=,所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，, 所以263sin (cos 21)sin cos l θθθθ==+,又12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,所以124ππθ≤≤, 所以23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）记()2sin cos ,124fππθθθθ=≤≤,则224()sin cos f θθθ=,设2cos x θ=,12,24x ⎡+∈⎢⎣⎦,则22()(1)f x x θ=-, 记2()(1)g x x x =-,则2()23g x x x ='-,令()0g x '=,则212,324x ⎡=∈⎢⎣⎦, 当12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x ¢>；当22,34x ⎡+∈⎢⎣⎦时,()0g x ¢<, 所以()g x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在23⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当22cos3x θ==时l 取最小值,此时sin θ=,l.（3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭, 所以2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,则12t ≤≤, 设3()(1)h t t t =-,则23()34h t t t '=-,令()0h t '=,312,424t ⎡+=∈⎢⎣⎦,所以当13,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0h t '>；当32,44t ⎡∈⎢⎣⎦时,()0h t '<,所以()h t 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在34⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当23cos 4t θ==,即6πθ=时,面积S 取最小值为【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.19．已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若a ，b R ∈且a ≠0，证明：函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点；（2）若函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()12423xx h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）514c -≤≤-（3）1m ≤【解析】（1）若函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点,则()()0f x f x -+=,即()()220ax bx a ax bx a +-+--=有解,即可求证；（2）由题可得()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解,则222x x c --=+,设2(11)xt x =-≤≤,利用导函数求得22x x -+的范围,即可求得c 的范围；（3）由题可得()()0h x h x -+=在R 上有解,即()12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解,设22(2)x x t t -+=≥,则可变形为方程222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解,进而求解即可. 【详解】（1）证明:由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--,代入()()0f x f x -+=得()()220ax bx a ax bx a +-+--=,则得到关于x 的方程20(0)ax a a -=≠,由于a R ∈且0a ≠,所以1x =±, 所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点（2）解:由题,因为函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点所以()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解, 所以222x x c --=+, 设2(11)xt x =-≤≤,则122t ≤≤,所以12c t t -=+令11(),22s t t t t =+≤≤,则221(1)(1)()1t t s t t t-+'=-=, 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '<,故函数()s t 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,当()1,2t ∈时,()0s t '>,故函数()s t 在区间()1,2上单调递增, 所以()()min 12s t s ==, 因为1522s ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()522S =,所以()max 52s t =,所以1522t t ≤+≤, 所以514c -≤≤- （3）解:由题,12()423x x h x m m --+-=-⋅+-, 由于()()0h x h x -+=,所以()12124234230xx x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=,所以()()()244222230x xxx m m --+-++-=（）在R 上有解,令22(2)xxt t -+=≥,则2442x x t -+=-,所以方程（）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解, 需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥,即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩得1m ≤【点睛】本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.20．已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1a y x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <„【解析】（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；（2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<-g 21x x -，即证2112()1x xln x x >-，构造函数进而求证； （3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ，设(1)()1k x h x lnx x -=-+，分类讨论进而求解． 【详解】解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．（2）由题意Q 11122211a lnx x x a lnx x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 211221(1)lnx lnx a x x x x -∴=--g ， 要证121a x x x <- 21x x -，即证211212121(1)lnx lnx x x x x x x x --<--g，即证2112()1x x ln x x >-，令211x t x =>，则11lnt t>-，由（1）知1lnx x -„，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t<-， 即11lnt t>-，所以原不等式成立．（3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ， 设(1)()1k x h x lnx x -=-+，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++，记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，①当△0„时，即02k <„时，()0h x '…恒成立，故()h x 单调递增． 于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，因此，当02k <„时，22(1)(1)x lnx k x --…， ②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <， 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<， 即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去， 综上，k 的取值范围是02k <„． 【点睛】（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题. 21．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩ 因为k≠0，所以a ＝2． 5分 因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 【考点】特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵． 22．本小题满分14分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1,231x t yt ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段的长度【答案】15)21(2222=-【解析】解：解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=， 即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径圆， ………………………4分 直线方程l 的普通方程为31y x =+， ………8分 圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，……………………………10分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．……………14分23．如图，在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，点M 、N 分别在线段PA 、BD 上，13BN BD =．（1）若13PM PA =，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M BD A --的大小为4π，求线段MN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC 、BD 交点为O ，则以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0即可证明垂直；（2）设44040a b a -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩＝λ()2010,,013y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎭⎪⎩，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD 的法向量n ，而平面ABD 的法向量为OP uuu r ，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得λ．试题解析: (1)连结AC 、BD 交于点O，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)． 由BN u u u r ＝13BD u u u r ，得N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由PM u u u u r ＝13PA u u u r ，得M 12,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1112,,3333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，AD u u u r ＝(－1，－1，0)． 因为MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0，所以MN ⊥AD(2) 解：因为M 在PA 上，可设PM u u u u r ＝λPA u u u r ，得M(λ，0，1－λ)．所以BM u u u u r ＝(λ，－1，1－λ)，BD u u u r ＝(0，－2，0)．设平面MBD 的法向量n r ＝(x ，y ，z)，由00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得()2010y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n r ＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD 的法向量为OP uuu r ＝(0，0，1)，所以cos 4π＝n OP n OP ⋅r u u ur r u u u r ，即2，解得λ＝12， 从而M 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN ＝6． 【考点】用空间向量法证垂直、求二面角．24．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”.（1）当12p q ==时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13p =，23q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，，的概率. 【答案】（1）见解析，0（2）802187 【解析】（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为12p q ==, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,311(3)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 223113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,223113(1)228P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以ξ的分布列为：所以1331()(3)(1)308888E ξ=-⨯+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，此时的概率为()5333658712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或802187）. 【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.。